f(x) revised compatibility mode

10-Oct-12 MÔN HỌC: PHƯƠNG PHÁP SỐ GV: Th.S Nguyễn Tấn Phúc Bộ môn Cơ Điện Tử Email: phucnt@hcmuaf.edu.vn Tel : 01267102772 WEBSITE: http://www2.hcmuaf.edu.vn/?ur=phucnt 10-Oct-12 MÔN HỌC: PHƯƠNG PHÁP SỐ GV: Th.S Nguyễn Tấn Phúc Bộ môn Cơ Điện Tử Email: phucnt@hcmuaf.edu.vn Tel : 01267102772 WEBSITE: http://www2.hcmuaf.edu.vn/?ur=phucnt 10-Oct-12 CHƯƠNG GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 10-Oct-12 I ĐẶT BÀI TOÁN : Bài toán : tìm nghiệm gần phương trình f(x) = với f(x) hàm liên tục khoảng đóng [a, b] hay khoảng mở (a,b) 10-Oct-12 Khoảng cách ly nghiệm Khoảng đóng [a,b] hay mở (a,b) tồn nghiệm phương trình gọi khoảng cách ly nghiệm Đònh lý : Nếu hàm f liên tục đoạn [a,b] thoả điều kiện f(a) f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm [a,b] Nếu hàm f đơn điệu nghiệm 10-Oct-12 ĐK đủ: [a, b] KCLN pt f(a) f(b) < Đạo hàm f’ không đổi dấu đoạn [a,b] 10-Oct-12 Ví dụ : Tìm khoảng cách ly nghiệm pt : f(x) = x5 + x - 12 = Giaûi : Ta coù f(1) = -10, f(2) = 22 ⇒ f(1) f(2) < Mặt khác f’(x) = 5x4 +1 > ∀x f hàm đơn điệu tăng nên pt có nghiệm Vây khoảng cách ly nghiệm (1,2) 10-Oct-12 Ví dụ : Tìm khoảng cách ly nghiệm pt f(x) = x3 - 3x + = giải : Ta lập bảng giá trò điểm đặc biệt x f(x) - -2 -1 -1 1 -1 + Nhìn vào bảng ta thấy pt có nghiệm khoảng (-2, -1) (0, 1) (1,2) Vì pt bậc có tối đa nghiệm, nên khoảng cách ly nghiệm : (-2,-1) (0,1) (1,2) 10-Oct-12 Bài tập : Tìm khoảng cách ly nghiệm pt f(x) =ex –x2 + 3x -2 Tìm khoảng cách ly nghiệm pt f(x) =xcosx – 2x2 + 3x+1 10-Oct-12 Giaûi f(x) =ex –x2 + 3x -2 f’(x) = ex - 2x + Ta lập bảng giá trò điểm đặc biệt x f(x) - -2 -1 - - - + + + Nhận xét : f’(x) > 0, ∀x∈[0,1] Vây khoảng cách ly nghiêm (0,1) 10 10-Oct-12 Ví dụ : Xét phương trình f(x) = x – cosx = khoảng cách ly nghiệm [0,1] Giả sử chọn giá trò ban đầu xo = Xác đònh số lần lặp n xấp xỉ nghiệm pt với sai số 10-8 (dùng công thức tiền nghiệm) Giải a Ta chuyển pt x = cosx = g(x) g(x) laø haøm co với hệ số co q = sin1 < Mặt khác g(x) =cos x ∈[0,1] nên pp lặp hội tụ 37 10-Oct-12 xây dựng dãy lặp xo = xn = cos xn-1 Xác đònh số lần lặp công thức tiền nghiệm qn | x n − x |≤ | x − x |≤ − 1− q (1 − q )10−8 ⇒ n ≥ log( ) / log q = 112.8904 | x1 − x0 | Vậy số lần lặp n = 113 38 10-Oct-12 Nhận xét : Tốc độ hội tụ pp lặp đơn phụ thuộc vào giá trò hệ số co q q nhỏ (gần với 0) pp lặp hội tụ nhanh q lớn (gần với 1) pp lặp hội tụ chậm 39 10-Oct-12 IV Phương Pháp Lặp Newton Một phương pháp lặp khác pp lặp Newton, hội tụ cho tốc độ hội tụ nhanh Giả sử hàm f khả vi khoảng cách ly nghiệm [a,b] với f(a)f(b) < f’(x) ≠ 0, ∀x∈[a,b] Phương trình f(x) = tương đương với pt 40 10-Oct-12 Để tìm nghiệm gần ta chọn giá trò ban đầu xo∈[a,b] tùy ý Xây dựng dãy lặp {xn} theo công thức f ( xn −1 ) xn = xn −1 − ∀n = 1, 2, f '( xn −1 ) Công thức gọi công thức lặp Newton Tổng quát, dãy {xn} hội tụ phân kỳ 41 10-Oct-12 Ý nghóa hình học y = f(x) x2 x1 xo 42 10-Oct-12 Đònh lý : Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp liên tục đạo hàm f’(x) f”(x) không đổi dấu đoạn [a,b] Khi chọn giá trò ban đầu xo thỏa điều kiện Fourier : f(xo)f”(xo) > Thì dãy lặp {xn} xác đònh theo công thức Newton hội tụ nghiệm x pt 43 10-Oct-12 Chú ý : Điều kiện Fourier điều kiện đủ, điều kiện cần Từ điều kiện Fourier ta đưa qui tắc chọn giá trò ban đầu xo sau : đạo hàm cấp dấu, chọn xo = b Ngược lại trái dấu chọn xo = a Điều kiện Fourier f(xo)f”(xo) = điểm biên 44 10-Oct-12 Chú ý : Trong pp Newton, đạo hàm f’(x) phải ≠ Nếu ∃ c∈[a,b] : f’(c) = ta phải thu hẹp khoảng cách ly nghiệm để loại bỏ điểm c Để đánh giá sai số pp Newton ta dùng công thức sai số tổng quát : |x* - x| ≤ |f(x*)| / m m = |f’(x)| x∈[a,b] 45 10-Oct-12 Ví dụ : Tìm nghiệm gần pt phương pháp Newton: f(x) = x-cos x = Trên khoảng cách ly nghiệm [0,1] với sai số 10-8 Giải 1.Kiểm tra điều kiện hội tu f(x) = x – cos x có đạo hàm cấp liên tục [0,1] f’(x) = 1+sinx > 0, ∀x∈[0,1] f”(x) = cosx > f’(x) vaø f”(x) dấu, chọn xo = ta có pp lặp Newton hội tụ 46 10-Oct-12 Xây dựng dãy lặp Newton x0 = x n = x n −1 − x n −1 − cos x n −1 + sin x n −1 ∀ n = 1, 2, Công thức sai số m = | f '( x ) |= 0≤ X ≤1 | xn − x |≤| f ( xn ) | / m =| xn − cos xn | n xn 1 0.750363867 0.02 0.739112890 0.41x10-4 0.739085133 0.29x10-9 ∆n Nghiệm gần x = 0.739085133 47 10-Oct-12 Ví dụ : Cho phương trình f(x) = x3-3x+1= Trên khoảng cách ly nghiệm [0,1] Dùng pp Newton tính nghiệm x3 đánh giá sai số ∆3 theo công thức sai số tổng quát Giải 1.Kiểm tra điều kiện hội tu Ta thấy f’(x) = 3x2-3= x = 1, ta chia đôi để thu hẹp khoảng cách ly nghiệm Vì f(0) = 1, f(0.5) = -0.375 Thu hẹp khoảng cách ly nghiệm [0, 0.5] 48 10-Oct-12 f(x) có đạo hàm cấp liên tục [0, 0.5] f’(x) = 3x2-3 < f”(x) = 6x ≥ 0, ∀x ∈[0, 0.5] f’(x) f”(x) trái dấu, nên chọn xo = pp lặp Newton hội tụ Xây dựng dãy lặp Newton x0 = xn3−1 − xn −1 + xn = xn −1 − xn2−1 − 49 10-Oct-12 Công thức sai soá m = | f '( x ) |= 2.25 0≤ X ≤ 0.5 | xn − x |≤| f ( xn ) | / m =| xn3 − 3xn + | /2.25 n xn 0 0.333333333 0.0165 0.347222222 0.8693x10-4 0.347296353 0.2545x10-8 ∆n Nghiệm gần x = 0.347296353 Sai số 0.2545x10-8 50 10-Oct-12 KẾT THÚC CHƯƠNG … 51 ... ly nghiệm pt f(x) =ex –x2 + 3x -2 Tìm khoảng cách ly nghiệm pt f(x) =xcosx – 2x2 + 3x+1 10-Oct-12 Giaûi f(x) =ex –x2 + 3x -2 f’(x) = ex - 2x + Ta lập bảng giá trò điểm đặc biệt x f(x) - -2 -1... trình f(x) = có nghiệm [a,b] Nếu hàm f đơn điệu nghiệm 10-Oct-12 ĐK đủ: [a, b] KCLN pt f(a) f(b) < Đạo hàm f’ không đổi dấu đoạn [a,b] 10-Oct-12 Ví dụ : Tìm khoảng cách ly nghiệm pt : f(x) =... cách ly nghiệm (1,2) 10-Oct-12 Ví dụ : Tìm khoảng cách ly nghiệm pt f(x) = x3 - 3x + = giaûi : Ta lập bảng giá trò điểm đặc biệt x f(x) - -2 -1 -1 1 -1 + Nhìn vào bảng ta thấy pt có nghiệm khoảng