Về bài toán cực đại hàm lồi và ứng dụng của nó ( Luận văn thạc sĩ)

Về bài toán cực đại hàm lồi và ứng dụng của nó ( Luận văn thạc sĩ)Về bài toán cực đại hàm lồi và ứng dụng của nó ( Luận văn thạc sĩ)Về bài toán cực đại hàm lồi và ứng dụng của nó ( Luận văn thạc sĩ)Về bài toán cực đại hàm lồi và ứng dụng của nó ( Luận văn thạc sĩ)Về bài toán cực đại hàm lồi và ứng dụng của nó ( Luận văn thạc sĩ)Về bài toán cực đại hàm lồi và ứng dụng của nó ( Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HƯƠNG VỀ BÀI TOÁN CỰC ĐẠI HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG CỦA NĨ Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Bài toán cực đại hàm lồi tập lồi đa diện 1.1 1.2 Tập lồi đa diện hàm lồi 1.1.1 Tập lồi đa diện 1.1.2 Hàm lồi Bài toán cực đại hàm lồi 14 1.2.1 Tồn điều kiện tối ưu 14 1.2.2 Tính chất cực đại hàm lồi 17 1.2.3 Ví dụ 19 Một số thuật toán giải toán cực đại hàm lồi 23 2.1 Hàm bao lồi 23 2.2 Thuật toán nhánh cận 27 2.2.1 Phép chia đơn hình vét kiệt 27 2.2.2 Thuật toán 30 2.3 Thuật tốn xấp xỉ ngồi 37 2.4 Thuật toán xấp xỉ 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 i Lời cảm ơn Trong suốt q trình làm luận văn, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nghiêm túc, nhiệt tình GS.TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy kính chúc Thầy gia đình ln mạnh khỏe Tơi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, mang lại cho nhiều kiến thức quan tâm giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu Tôi xin cảm ơn bạn lớp giúp đỡ suốt thời gian học tập Đại học Thái Ngun q trình hồn thành luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn bố mẹ Nhờ có bố mẹ gian khó, vất vả tạo điều kiện tốt để có thành ngày hôm Thái Nguyên, tháng - 2014 Người viết Luận văn Hoàng Thị Hương ii Mở đầu Giải tích lồi phần quan trọng tốn học Hầu hết ngành tối ưu hóa, giải tích hàm, hình học, tốn kinh tế, liên quan đến lý thuyết tập lồi hàm lồi Đã có nhiều nhà tốn học nghiên cứu vấn đề đưa nhiều lý thuyết ứng dụng thực tế Một tính chất hàm lồi cho sử dụng rộng rãi tốn tối ưu tính chất đạt giá trị cực đại biên Trong tốn học ứng dụng ta thường gặp tốn tìm cực đại hàm lồi tập lồi Bài tốn có nhiều ứng dụng thực tế, số tốn khác tối ưu tồn cục quy tốn Bài tốn có tính chất bản, nhiên tính chất quan trọng tốn cực đại hàm lồi tập lồi nghiệm tối ưu (tồn cục) ln đạt điểm cực biên Lợi dụng tính chất này, người ta đưa thuật tốn giải tốn Mục đích luận văn giới thiệu toán cực đại hàm lồi tập lồi đa diện, ta trình bày điều kiện nghiệm tối ưu tính chất tốn Tiếp trình bày ba thuật toán để giải toán Cụ thể luận văn trình bày ba thuật tốn sau: thuật tốn nhánh cận, thuật tốn xấp xỉ ngồi thuật toán xấp xỉ Luận văn gồm mục lục, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày kiến thức giải tích lồi Đó tập lồi, tập lồi đa diện hàm lồi với tính chất đặc trưng Tiếp theo giới thiệu tốn cực đại hàm lồi tập lồi với điều kiện nghiệm tối ưu (tồn cục), tính chất cực đại hàm lồi xét số ví dụ tốn cực đại hàm lồi Chương 2: Giới thiệu số kiến thức hàm bao lồi Trình bày ba thuật toán giải toán tìm cực đại hàm lồi tập lồi Đó thuật tốn nhánh cận, thuật tốn xấp xỉ ngồi thuật toán xấp xỉ Sau thuật toán có ví dụ minh họa cho thuật tốn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn trực tiếp GS TSKH Lê Dũng Mưu Mặc dù tác giả cố gắng vấn đề nghiên cứu phức tạp kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót Trong q trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót định Tác giả mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Chương Bài toán cực đại hàm lồi tập lồi đa diện Trong chương ta trình bày khái niệm tập lồi, tập lồi đa diện hàm lồi với tính chất đặc trưng Tiếp theo trình bày điều kiện cần đủ nghiệm tối ưu, tính chất cực đại hàm lồi xét số ví dụ tốn cực đại hàm lồi Các kiến thức trình bày chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2], [3], [6], [7] 1.1 1.1.1 Tập lồi đa diện hàm lồi Tập lồi đa diện Định nghĩa 1.1 Một đường thẳng qua hai điểm (hai véc-tơ) a, b Rn tập hợp tất véc-tơ x ∈ Rn có dạng {x ∈ Rn : x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1} Định nghĩa 1.2 Đoạn thẳng nối hai điểm a b Rn tập hợp véc-tơ x có dạng {x ∈ Rn : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1} Định nghĩa 1.3 Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Định nghĩa 1.4 Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak với ∈ Rn , λi ≥ 0, λ1 + λ2 + + λk = gọi tổ hợp lồi điểm a1 , a2 , , ak Định nghĩa 1.5 Thứ nguyên (hay số chiều) tập lồi C , ký hiệu dimC, số chiều bao affine Một tập lồi C Rn gọi có thứ nguyên đầy dimC = n Định nghĩa 1.6 Tập C ⊆ Rn gọi tập affine (hay đa tạp tuyến tính) C chứa trọn đường thẳng qua hai điểm nó, tức ∀a, b ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ (1 − λ)a + λb ∈ C Nhận xét 1.1 Nếu C tập affine a ∈ Rn i) a + C = {a + x : x ∈ C} tập affine ii) C tập affine chứa gốc C không gian con, nghĩa a, b thuộc C điểm λa + µb thuộc C với λ, µ ∈ R Định nghĩa 1.7 Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak với ∈ Rn λ1 + λ2 + + λk = gọi tổ hợp affine điểm a1 , a2 , , ak Định nghĩa 1.8 Thứ nguyên (hay số chiều) tập affine C , ký hiệu dimC, số chiều không gian song song với Ta quy ước: dim∅ = −1 Định nghĩa 1.9 Một tập C ⊂ Rn gọi nón ∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Một nón gọi nón nhọn khơng chứa đường thẳng Nếu nón tập lồi đa diện ta nói nón lồi đa diện Định nghĩa 1.10 Cho C ⊆ Rn tập lồi x ∈ C (i) Tập NC (x) := {w ∈ Rn : w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C}, gọi nón pháp tuyến ngồi C x tập −NC (x) gọi nón pháp tuyến C x (ii) Tập NC (x) := {w ∈ Rn : w, y − x ≤ , ∀y ∈ C}, gọi nón pháp tuyến C x Hiển nhiên ∈ NC (x) dùng định nghĩa ta có NC (x) nón lồi đóng Định nghĩa 1.11 Bao lồi tập C giao tất tập lồi chứa C Bao lồi tập C ký hiệu coC Bao lồi đóng tập C tập lồi đóng nhỏ chứa C Ta ký hiệu bao đóng tập C coC Bao affine C giao tất tập affine chứa C Bao affine tập C ký hiệu aff C Định nghĩa 1.12 Siêu phẳng không gian Rn tập hợp điểm có dạng {x ∈ Rn : a, x = α}, a ∈ Rn véc-tơ khác α ∈ R Véc-tơ a thường gọi véc-tơ pháp tuyến siêu phẳng Định nghĩa 1.13 Nửa khơng gian đóng tập hợp có dạng {x ∈ Rn : a, x ≥ α}, a = α ∈ R Tập {x ∈ Rn : a, x > α}, nửa không gian mở Một siêu phẳng chia không gian làm hai nửa không gian, nửa không gian phía siêu phẳng Nếu hai nửa khơng gian đóng phần chung chúng siêu phẳng Định nghĩa 1.14 Cho hai tập C D khác rỗng (i) Ta nói siêu phẳng a, x = α tách C D a, x ≤ α ≤ a, y , ∀x ∈ C, ∀y ∈ D (ii) Ta nói siêu phẳng a, x = α tách chặt C D a, x < α < a, y , ∀x ∈ C, ∀y ∈ D (iii) Ta nói siêu phẳng a, x = α tách mạnh C D sup a, x < α < inf a, y y∈D x∈C Định lý 1.1 (Định lý tách 1) Cho C D hai tập lồi khác rỗng Rn cho C ∩ D = ∅ Khi có siêu phẳng tách C D Định lý 1.2 (Định lý tách 2) Cho C D hai tập lồi đóng khác rỗng cho C ∩ D = ∅ Giả sử có tập compact Khi hai tập tách mạnh siêu phẳng Hệ 1.1 (Bổ đề Farkas) Cho a ∈ Rn A ma trận cấp m × n Khi a, x ≥ 0, với x thỏa mãn Ax ≥ 0, tồn y ≥ thuộc Rm cho a = AT y Ý nghĩa hình học bổ đề Farkas: Siêu phẳng qua gốc tọa độ a, x = 0, để nón Ax ≥ phía véc-tơ pháp tuyến a siêu phẳng nằm nón sinh hàng ma trận A Định nghĩa 1.15 Một tập lồi F tập lồi C gọi diện C x, y ∈ C mà (1 − λ)x + λy ∈ F , < λ < [x, y] ⊂ F, nghĩa đoạn thẳng thuộc C có điểm tương đối thuộc F đoạn thẳng phải nằm trọn F Một diện có số chiều gọi điểm cực biên C Một diện có số chiều gọi cạnh C Nếu tập lồi C có diện nửa đường thẳng véc-tơ phương nửa đường thẳng gọi phương cực biên C Tính chất 1.1 Các tính chất sau diện tập lồi • Một diện nón lồi nón lồi • Một diện diện C diện C • Một diện E tập lồi đóng C tập lồi đóng • Giao tập lồi C với siêu phẳng tựa C diện C • Giả sử F ⊂ Rn tập C = convF Khi đó, điểm cực biên C thuộc F Định nghĩa 1.16 Một tập lồi mà giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng gọi tập lồi đa diện Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính , x ≤ bi , i = 1, 2, , m (ai ∈ Rn , bi ∈ R), (1.1) nghĩa tập x nghiệm Ax ≤ b với A ma trận cấp m × n b ∈ Rm Vì phương trình tuyến tính biểu diễn tương đương hai bất phương trình tuyến tính nên tập lồi đa diện tập nghiệm hệ phương trình bất phương trình tuyến tính , x = bi , i = 1, 2, , p , x ≤ bi , i = p + 1, , m Hạng hệ bất phương trình tuyến tính (1.1) định nghĩa hạng ma trận A Nếu hạng hệ m ta nói hệ độc lập tuyến tính Nhận xét 1.2 i) Một tập lồi đa diện khơng bị chặn (không giới nội) ii) Một tập lồi đa diện bị chặn gọi đa diện lồi iii) Mỗi điểm cực biên tập lồi đa diện gọi đỉnh Tập đỉnh C ký hiệu V (C) Mỗi cạnh vô hạn tập lồi đa diện tương ứng với phương cực biên Cho tập lồi đa diện D = ∅ xác định hệ bất phương trình tuyến tính (1.1) Khi bất phương trình (1.1) gọi ràng buộc D Ta nói ∗ điểm x0 ∈ D thỏa mãn chặt ràng buộc i∗ , x0 = bi Với x ∈ D, ký hiệu I(x) = {i : , x = bi } tập số ràng buộc thỏa mãn chặt x Ký hiệu I0 = {i : , x = bi , ∀x ∈ D} Tính chất đặc trưng diện, đỉnh cạnh D cho định lý sau ... Bất điểm cực đại địa phương hàm lõm tập lồi điểm cực đại toàn cục Tập tất điểm cực đại hàm lõm tập lồi lồi Định lý 1.7 Hàm f (x), x ∈ Rn , hàm lồi hàm biến số ( ) ≡ f (x + λd) hàm lồi theo λ... αi ≥ lồi chặt hàm fi lồi chặt với αi > • Nếu fi (i ∈ I) : Rn → R hàm lồi hàm f (x) = supi∈I fi (x) hàm lồi • Nếu A : Rn → Rm biến đổi tuyến tính g : Rm → R hàm lồi hàm hợp f (x) = g(Ax) hàm lồi. .. λx +(1 −λ)y với λ thuộc (0 , 1) Khi f (x0 ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) Vì λf (x) ≥ f (x0 ) − (1 − λ)f (y) ≥ f (x0 ) − (1 − λ)f (x0 ) = λf (x0 ) Như f (x) ≥ f (x0 ) Từ f (x) = f (x0 ) hay f (x) số C Mặt khác,