Về bài toán cực đại hàm lồi và ứng dụng của nó ( Luận văn thạc sĩ)

Về bài toán cực đại hàm lồi và ứng dụng của nó ( Luận văn thạc sĩ)Về bài toán cực đại hàm lồi và ứng dụng của nó ( Luận văn thạc sĩ)Về bài toán cực đại hàm lồi và ứng dụng của nó ( Luận văn thạc sĩ)Về bài toán cực đại hàm lồi và ứng dụng của nó ( Luận văn thạc sĩ)Về bài toán cực đại hàm lồi và ứng dụng của nó ( Luận văn thạc sĩ)Về bài toán cực đại hàm lồi và ứng dụng của nó ( Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THỊ HƯƠNG

VỀ BÀI TOÁN CỰC ĐẠI HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

Mục lục

1 Bài toán cực đại hàm lồi trên tập lồi đa diện 3

1.1 Tập lồi đa diện và hàm lồi 3

1.1.1 Tập lồi đa diện 3

1.1.2 Hàm lồi 9

1.2 Bài toán cực đại hàm lồi 14

1.2.1 Tồn tại và điều kiện tối ưu 14

1.2.2 Tính chất cực đại hàm lồi 17

1.2.3 Ví dụ 19

2 Một số thuật toán giải bài toán cực đại hàm lồi 23 2.1 Hàm bao lồi 23

2.2 Thuật toán nhánh cận 27

2.2.1 Phép chia đơn hình vét kiệt 27

2.2.2 Thuật toán 30

2.3 Thuật toán xấp xỉ ngoài 37

2.4 Thuật toán xấp xỉ trong 41

Tài liệu tham khảo 46

Lời cảm ơn

Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn vàgiúp đỡ nghiêm túc, nhiệt tình của GS.TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Toán học,Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam) Tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến Thầy và kính chúc Thầy cùng gia đình luôn mạnh khỏe.Tôi xin chân thành cảm ơn các quý thầy, cô giảng dạy tại Đại học TháiNguyên, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam,

đã mang lại cho tôi nhiều kiến thức và quan tâm giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập, nghiên cứu

Tôi cũng xin cảm ơn các bạn cùng lớp đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gianhọc tập tại Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thành luận vănnày

Cuối cùng, con xin cảm ơn bố mẹ Nhờ có bố mẹ gian khó, vất vả tạo mọiđiều kiện tốt nhất để con có được thành quả ngày hôm nay

Thái Nguyên, tháng 6 - 2014Người viết Luận vănHoàng Thị Hương

Mở đầu

Giải tích lồi là một phần quan trọng của toán học Hầu hết các ngànhnhư tối ưu hóa, giải tích hàm, hình học, toán kinh tế, đều liên quan đến lýthuyết về các tập lồi và hàm lồi Đã có rất nhiều nhà toán học nghiên cứu vềvấn đề này và đưa ra nhiều lý thuyết cũng như ứng dụng thực tế Một trongnhững tính chất cơ bản của hàm lồi cho chúng ta sử dụng rộng rãi trong bàitoán tối ưu đó là tính chất đạt giá trị cực đại trên biên

Trong toán học ứng dụng ta thường gặp bài toán tìm cực đại của hàm lồitrên một tập lồi Bài toán này có nhiều ứng dụng trong thực tế, hơn nữa một

số bài toán khác của tối ưu toàn cục có thể quy về bài toán này Bài toánnày có những tính chất rất cơ bản, tuy nhiên tính chất quan trọng của bàitoán cực đại hàm lồi trên một tập lồi vẫn là nghiệm tối ưu (toàn cục) luônđạt trên một điểm cực biên Lợi dụng tính chất này, người ta đã đưa ra cácthuật toán giải bài toán trên

Mục đích của luận văn này là giới thiệu bài toán cực đại hàm lồi trên tậplồi đa diện, trong đó ta đi trình bày điều kiện nghiệm tối ưu và các tính chấtcủa bài toán Tiếp đó là trình bày ba thuật toán cơ bản để giải bài toán trên

Cụ thể luận văn trình bày ba thuật toán sau: thuật toán nhánh cận, thuậttoán xấp xỉ ngoài và thuật toán xấp xỉ trong

Luận văn gồm mục lục, hai chương, kết luận và tài liệu tham khảo.Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản của giải tích lồi Đó là tập lồi,tập lồi đa diện và hàm lồi cùng với những tính chất đặc trưng của nó Tiếptheo giới thiệu bài toán cực đại của hàm lồi trên một tập lồi cùng với điềukiện nghiệm tối ưu (toàn cục), tính chất cực đại hàm lồi và xét một số ví dụ

về bài toán cực đại của hàm lồi

Chương 2: Giới thiệu một số kiến thức cơ bản về hàm bao lồi Trình bày

ba thuật toán cơ bản giải bài toán tìm cực đại hàm lồi trên một tập lồi Đó

là thuật toán nhánh cận, thuật toán xấp xỉ ngoài và thuật toán xấp xỉ trong.Sau mỗi thuật toán sẽ có một ví dụ minh họa cho thuật toán

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS TSKH Lê Dũng Mưu Mặc dùtác giả đã hết sức cố gắng nhưng do vấn đề được nghiên cứu là khá phức tạp

và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót Trongquá trình viết luận văn cũng như xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏinhững sai sót nhất định Tác giả mong nhận được sự góp ý của các quý thầy

cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

1.1 Tập lồi đa diện và hàm lồi

1.1.1 Tập lồi đa diện

Định nghĩa 1.1 Một đường thẳng đi qua hai điểm (hai véc-tơ) a, b trong

Định nghĩa 1.4 Điểm x ∈Rn có dạng x = λ1a1+ λ2a2+ + λkak với ai ∈Rn ,

λi ≥ 0, λ1+ λ2+ + λk = 1 gọi là một tổ hợp lồi của các điểm a1, a2, , ak.Định nghĩa 1.5 Thứ nguyên (hay số chiều) của một tập lồiC, ký hiệudimC,

là số chiều của bao affine của nó

Một tập lồi C trong Rn gọi là có thứ nguyên đầy nếu dimC = n.

Định nghĩa 1.6 Tập C ⊆Rn gọi là một tập affine (hay đa tạp tuyến tính)nếu C chứa trọn cả đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó, tức là

Định nghĩa 1.7 Điểm x ∈Rn có dạng x = λ1a1+ λ2a2+ + λkak với ai ∈Rn

và λ1+ λ2+ + λk = 1 gọi là một tổ hợp affine của các điểm a1, a2, , ak.Định nghĩa 1.8 Thứ nguyên (hay số chiều) của một tập affine C, ký hiệu

dimC, là số chiều của không gian con song song với nó

Ta quy ước: dim∅ = −1.

Định nghĩa 1.9 Một tập C ⊂Rn được gọi là nón nếu

∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C.

Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi Một nón đượcgọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng Nếu nón này là một tập lồi

đa diện thì ta nói nó là nón lồi đa diện

Định nghĩa 1.10 Cho C ⊆Rn là một tập lồi và x ∈ C.

(i) Tập

NC(x) := {w ∈Rn : hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C},

được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x và tập −NC(x) được gọi là nónpháp tuyến trong của C tại x

(ii) Tập

NC(x) := {w ∈Rn : hw, y − xi ≤ , ∀y ∈ C},

được gọi là nón pháp tuyến  của C tại x

Hiển nhiên0 ∈NC(x)và dùng định nghĩa ta có NC (x)là một nón lồi đóng.Định nghĩa 1.11 Bao lồi của một tập C là giao của tất cả các tập lồi chứa

C. Bao lồi của một tập C được ký hiệu là coC.

Bao lồi đóng của một tập C là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa C. Ta ký hiệubao đóng của một tập C là coC.

Bao affine của C là giao của tất cả các tập affine chứa C. Bao affine củamột tập C được ký hiệu là aff C.

Định nghĩa 1.12 Siêu phẳng trong không gian Rn là một tập hợp các điểm

là nửa không gian mở

Một siêu phẳng sẽ chia không gian ra làm hai nửa không gian, mỗi nửakhông gian ở về một phía của siêu phẳng Nếu hai nửa không gian này làđóng thì phần chung của chúng chính là siêu phẳng đó

Định nghĩa 1.14 Cho hai tập C và D khác rỗng

(i) Ta nói siêu phẳng ha, xi = α tách C và D nếu

ha, xi ≤ α ≤ ha, yi, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D.

(ii) Ta nói siêu phẳng ha, xi = α tách chặt C và D nếu

ha, xi < α < ha, yi, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D.

(iii) Ta nói siêu phẳng ha, xi = α tách mạnh C và D nếu

sup

x∈C

ha, xi < α < inf

y∈D ha, yi.

Định lý 1.1 (Định lý tách 1) Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong Rnsao cho C ∩ D = ∅. Khi đó có một siêu phẳng tách C và D

Định lý 1.2 (Định lý tách 2) Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng saocho C ∩ D = ∅. Giả sử có ít nhất một tập là compact Khi đó hai tập này cóthể tách mạnh được bởi một siêu phẳng

Hệ quả 1.1 (Bổ đề Farkas) Cho a ∈ Rn và A là ma trận cấp m × n Khi đó

ha, xi ≥ 0, với mọi x thỏa mãn Ax ≥ 0, khi và chỉ khi tồn tại y ≥ 0 thuộc Rmsao cho a = ATy.

Ý nghĩa hình học của bổ đề Farkas: Siêu phẳng đi qua gốc tọa độha, xi = 0,

để nón Ax ≥ 0về một phía của nó khi và chỉ khi véc-tơ pháp tuyến a của siêuphẳng nằm trong nón sinh bởi các hàng của ma trận A

Định nghĩa 1.15 Một tập con lồi F của một tập lồi C gọi là một diện của

C nếu x, y ∈ C mà (1 − λ)x + λy ∈ F, 0 < λ < 1 thì [x, y] ⊂ F, nghĩa là nếu mộtđoạn thẳng bất kỳ thuộc C có một điểm trong tương đối thuộc F thì cả đoạnthẳng ấy phải nằm trọn trong F

Một diện có số chiều 0 gọi là một điểm cực biên của C

Một diện có số chiều 1 gọi là một cạnh của C

Nếu một tập lồi C có diện là một nửa đường thẳng thì véc-tơ chỉ phươngcủa nửa đường thẳng này gọi là một phương cực biên của C.

Tính chất 1.1 Các tính chất sau về diện của các tập lồi

• Một diện của một nón lồi là một nón lồi

• Một diện của một diện của C cũng là một diện của C.

• Một diện E của một tập lồi đóng C là một tập lồi đóng

• Giao của tập lồi C với một siêu phẳng tựa của C là một diện của C.

• Giả sử F ⊂ Rn là một tập bất kỳ và C = convF. Khi đó, mọi điểm cựcbiên của C đều thuộc F.

Định nghĩa 1.16 Một tập lồi mà là giao của một số hữu hạn nửa khônggian đóng gọi là một tập lồi đa diện Nói cách khác, đó là tập nghiệm của một

hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính

hai, xi ≤ bi, i = 1, 2, , m (ai ∈Rn, bi ∈R), (1.1)nghĩa là tập các x nghiệm đúng Ax ≤ b với A là một ma trận cấp m × n và

b ∈Rm.

Vì một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn tương đương bằng haibất phương trình tuyến tính nên một tập lồi đa diện cũng là tập nghiệm củamột hệ các phương trình và bất phương trình tuyến tính

hai, xi = b i , i = 1, 2, , p

hai, xi ≤ bi, i = p + 1, , m.

Hạng của hệ bất phương trình tuyến tính (1.1)được định nghĩa bằng hạngcủa ma trậnA Nếu hạng của hệ này bằng m thì ta nói hệ độc lập tuyến tính.Nhận xét 1.2 i)Một tập lồi đa diện có thể không bị chặn (không giới nội)

ii) Một tập lồi đa diện bị chặn còn được gọi là một đa diện lồi

iii) Mỗi điểm cực biên của một tập lồi đa diện còn được gọi là một đỉnhcủa nó Tập các đỉnh của C ký hiệu là V (C) Mỗi cạnh vô hạn của một tậplồi đa diện tương ứng với một phương cực biên của nó

Cho tập lồi đa diện D 6= ∅ xác định bởi hệ bất phương trình tuyến tính

(1.1) Khi đó mỗi bất phương trình (1.1) gọi là một ràng buộc của D Ta nóiđiểm x0 ∈ D thỏa mãn chặt ràng buộc i∗ nếuha i∗, x0i = bi Với mỗi x ∈ D, kýhiệu I(x) = {i : hai, xi = bi} là tập chỉ số của những ràng buộc thỏa mãn chặttại x

Ký hiệu I 0 = {i : hai, xi = b i , ∀x ∈ D}. Tính chất đặc trưng của các diện,các đỉnh và cạnh của D được cho trong định lý sau

Định lý 1.3 Một tập con khác rỗng F ⊂ D là một diện thực sự của D khi

và chỉ khi

F = {x : hai, xi = bi, i ∈ I; hai, xi ≤ bi, i / ∈ I},

với I là tập chỉ số sao cho I0⊂ I ⊂ {1, , m} (I- tập chỉ số xác định diện F ).

Hơn nữa, ta có dimF = n − rank{ai : i ∈ I} và dimD = n − rank{ai : i ∈ I0}.

Hệ quả 1.2 Nếu D là một tập lồi đa diện xác định bởi hệ (1.1) thì

a) Điểm x0 ∈ D là một đỉnh của D khi và chỉ khi

rank{ai : i ∈ I(x0)} = n,

nghĩa là x0 thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính của hệ (1.1)

b) Nếu một đoạn thẳng (nửa đường thẳng hay cả đường thẳng) Γ ⊂ D làmột cạnh của D thì Γ được xác định bởi một tập chỉ số I sao cho

rank{ai: i ∈ I} = n − 1,

tức là mọi x ∈ riΓ cùng thỏa mãn chặt n − 1 ràng buộc độc lập tuyến tính của

hệ (1.1)

Mỗi tập lồi đa diện có một số hữu hạn đỉnh và cạnh (hữu hạn hay vô hạn)

Hình 1.1: Tập lồi đa diện

Định lý 1.4 a) Mỗi đa diện lồi C bằng bao lồi của tất cả các đỉnh của nó:

C = conv V (C) hay x ∈ C khi và chỉ khi x = λ1v1+ + λpvp với mọi λi ≥ 0,

λ1+ + λp = 1 và vi (i = 1, , p) là các đỉnh của C

b) Với tập lồi đa diện C không giới nội, mỗi x ∈ C có thể biểu diễn dướidạng một tổ hợp lồi của các đỉnh của C cộng với một tổ hợp tuyến tính không

âm của các phương cực biên của C, nghĩa là x ∈ C khi và chỉ khi

x = λ 1 v1+ + λ p vp+ µ 1 u1+ + µ q uq,

với mọi λi ≥ 0, λ1+ + λp = 1, µj ≥ 0, p, q ≥ 0 là số nguyên, vi là đỉnh của

C (i = 1, , p), uj (j = 1, , q) là phương của các cạnh vô hạn của C

Với tập lồi đa diện C không có đỉnh thì trong biểu diễn trên chỉ cần các

vi∈ C và các uj ∈ rec C.

Định lý trên cho thấy ứng với mỗi tập lồi đa diện C cho trước có hai nhómhữu hạn véc-tơ, sao cho tập lồi ấy chính là tập tất cả các điểm có thể biểudiễn thành tổng của một tổ hợp lồi của các véc-tơ thuộc nhóm thứ nhất vàmột tổ hợp tuyến tính không âm của các véc-tơ thuộc nhóm thứ hai Cácvéc-tơ trong nhóm thứ nhất đều là các đỉnh của C, các véc-tơ trong nhómthứ hai đều là các phương vô hạn của C Nếu C bị chặn thì trong biểu diễntrên chỉ còn lại tổng thứ nhất

Ngược lại, có thể chứng minh được rằng nếu cho trước hai nhóm hữu hạnvéc-tơ thì tập tất cả các điểm có biểu diễn như trên xác định một tập lồi đadiện

Hàm f được gọi là hàm tuyến tính affine (hay hàm affine) trên C nếu f

hữu hạn và vừa lồi vừa lõm trên C

Hàm lồi f : C → R∪ {+∞} có thể được mở rộng thành hàm lồi xác địnhtrên toàn không gian Rn bằng cách đặt f (x) = +∞ với mọi x / ∈ C Vì vậy đểđơn giản ta thường xét hàm lồi trên toàn Rn.

Nhận xét 1.3 i) Hàm affine không lồi chặt hay lõm chặt

ii)Một hàm lồi chặt là lồi, nhưng điều ngược lại không đúng

Định nghĩa 1.18 Cho hàm bất kỳ f : C →R∪ {+∞} với C ⊆Rn.

Miền hữu dụng của f là tập

Chú ý 1.1 Ta có thể chứng minh hàm f lồi trên C khi và chỉ khi

i) Tập trên đồ thị epif là một tập lồi, hoặc

k, trong đó m ≥ 2, m là số nguyên (bất đẳng thức Jensen)

Ví dụ 1.1 ChoC là một tập lồi, khác rỗng của không gian Rn.Hàm chỉ của

C được định nghĩa bởi

f [λx + (1 − λ)y]6 λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)ρ k x − y k2 .

Ta có thể chứng minh hàm f (x) lồi mạnh khi và chỉ khi f (x) − ρ k x k2

là hàm lồi Một hàm lồi mạnh thì lồi chặt, nhưng điều ngược lại không chắcđúng Chẳng hạn, hàm ex, x ∈R, lồi chặt nhưng không lồi mạnh.

Các hàm lồi mạnh có vai trò đặc biệt quan trọng trong nghiên cứu các bàitoán tối ưu

Ví dụ 1.2 Hàm f (x1, x2) = x21+ x22 lồi mạnh Tổng quát, xét hàm bậc hai

trong đó ρ là giá trị riêng nhỏ nhất (dương) của ma trận Q.

Tính chất 1.2 Bốn phép toán cơ bản bảo toàn hàm lồi

• Nếu f i: Rn →R (i = 1, , m) là hàm lồi thì α 1 f 1 + + α m f m lồi với mọi

αi≥ 0 và lồi chặt nếu ít nhất một trong các hàm fi lồi chặt với αi > 0.

• Nếu fi (i ∈ I) :Rn →R là hàm lồi thì hàm f (x) = supi∈Ifi(x) là hàm lồi

• Nếu A : Rn → Rm là biến đổi tuyến tính và g : Rm → R là hàm lồi thì

là tập lồi.

Tương tự, nếu f là một hàm lõm trên Rn thì các tập mức trên

Dβ = {x : f (x) > β}, Dβ = {x : f (x) ≥ β}

là tập lồi

Nhận xét 1.4 i) Mệnh đề đảo của định lý trên không đúng

ii) Một hàm f mà mọi tập mức dưới là tập lồi gọi là một hàm tựa lồi

Ví dụ 1.3 f (x) = x3 hay f (x) = pkxk trên R là hàm tựa lồi nhưng không

là hàm lồi

Định lý 1.6 Cho C là một tập lồi, khác rỗng trong Rn và f : Rn → R là

một hàm lồi Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên C đều là điểm cực tiểutoàn cục Tập Argminx∈Cf (x) là tập con lồi của C.

Hệ quả 1.3 Bất cứ điểm cực đại địa phương nào của một hàm lõm trên mộttập lồi cũng là điểm cực đại toàn cục Tập tất cả các điểm cực đại của mộthàm lõm trên một tập lồi là lồi

Định lý 1.7 Hàm f (x), x ∈ Rn, là hàm lồi khi và chỉ khi hàm một biến số

ϕ(λ) ≡ f (x + λd) là hàm lồi theo λ với mỗi x, d ∈Rn.

Định lý 1.8 Hàm lồi chính thường f trên Rn liên tục tại mọi điểm trongcủa miền hữu dụng của nó (f liên tục trên int(domf ))

Nhận xét 1.5 Một hàm lồi chính thường chỉ có thể gián đoạn tại nhữngđiểm biên của miền hữu dụng của nó

Ví dụ 1.4 Xét hàm một biến số xác định trên tập C = [0, +∞) có dạng:

f (x) = ex với mọi x > 0 và f (0) = 2 Dễ thấy epif là tập lồi nên f là hàm lồitrên C Hàm f liên tục tại mọi điểm trong x > 0 và gián đoạn tại điểm biên

x = 0. Tại x = 0 hàm f nửa liên tục trên trên C.

Định lý 1.9 Cho một tập lồi C ⊂Rn và hàm f : Rn →R khả vi trên C

a) Hàm f lồi trên C khi và chỉ khi

f (y) ≥ f (x) + hOf (x), y − xi,

với mọi x, y ∈ C.

b) Nếu

f (y) > f (x) + hOf (x), y − xi,

với mọi x, y ∈ C và x 6= y thì hàm f lồi chặt trên C

Định lý 1.10 Cho một tập lồi mở C ⊂Rn và hàm f : Rn → R hai lần khả

vi liên tục trên C O2 f (x) là ma trận các đạo hàm riêng cấp hai của f tại x

a) Nếu O2 f (x) nửa xác định dương với mỗi x ∈ C (tức là hy,O2 f (x)yi> 0

với mọi y ∈Rn) hoặc nếu O2 f (x) có mọi giá trị riêng không âm thì hàm f lồitrên C

b) Nếu O2f (x) xác định dương với mỗi x ∈ C (tức là hy,O2f (x)yi > 0, vớimọi y ∈ Rn\ {0}) hoặc nếu O2f (x) có mọi giá trị riêng dương thì hàm f lồichặt trên C

c) Nếu C =Rn và hàmf lồi thì O2 f (x)nửa xác định dương với mọi x ∈Rn.

Hệ quả 1.4 (Điều kiện cần cho hàm lồi/ lõm) Giả sử f : Rn → R là một

hàm hai lần khả vi liên tục và fjj”(x) là đạo hàm riêng hai lần củaf theo cùngbiến xj.

• Nếu f (x) lồi thì fjj”(x) ≥ 0, j = 1, , n với mọi x

• Nếu f (x) lõm thì fjj”(x) ≤ 0, j = 1, , n với mọi x

• Nếu f (x) lồi chặt thì fjj”(x) > 0, j = 1, , n với mọi x.

• Nếu f (x) lõm chặt thì fjj”(x) < 0, j = 1, , n với mọi x.

Định lý 1.11 Cho Q là một ma trận vuông đối xứng thực cấp n × n Hàmtoàn phương f (x) = hx, Qxi lồi khi và chỉ khi Q nửa xác định dương Hơn nữa,hàm f lồi chặt khi và chỉ khi Q xác định dương

Hệ quả 1.5 Hàm bậc hai f (x) = 12hx, Qxi + hc, xi + α lồi (lồi chặt) trên Rn

khi và chỉ khi ma trận Q nửa xác định dương (xác định dương) và f lõm (lõmchặt) trên Rn khi và chỉ khi ma trận Q nửa xác định âm (xác định âm)

Do O2 f (x) xác định dương ∀x nên hàm f đã cho lồi chặt trên R2.

Định nghĩa 1.20 Với d ∈ Rn \ {0}, nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hay vôhạn)

Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tạix0 gọi là dưới vi phân của f tạix0 và

ký hiệu là ∂f (x0). Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f (x0) 6= ∅.

Ví dụ 1.6 Dưới vi phân của hàm chỉ δC(x) của một tập lồi C 6= ∅ tại mộtđiểm x0 ∈ C chính là nón pháp tuyến ngoài của C

∂δC(x0) = {p : hp, x − x0i ≤ 0, ∀x ∈ C}.

1.2 Bài toán cực đại hàm lồi

Do min{f (x) : x ∈ C} = − max{−f (x) : x ∈ C} và tập nghiệm của hai bàitoán này trùng nhau nên lý thuyết cực tiểu (hay cực đại) hàm lồi cũng chính

là lý thuyết cực đại (hay cực tiểu) hàm lõm

1.2.1 Tồn tại và điều kiện tối ưu

Sự tồn tại nghiệm tối ưu

Xét bài toán

Có bốn trường hợp tồn tại nghiệm tối ưu

• C = ∅ (không có điểm chấp nhận được)

• f không bị chặn trên trên C (sup

x∈C

f (x) = +∞)

• sup

x∈C

f (x) < ∞ nhưng không có nghiệm

• Tồn tại x∗ ∈ C sao cho f (x∗) = max

Định lý 1.13 (Weistrass) Nếu C là tập compact khác rỗng và f là hàm nửaliên tục trên trên C, thì Bài toán (P ) có nghiệm tối ưu

Hệ quả 1.6 Nếu C là tập đóng khác rỗng, f là hàm nửa liên tục trên trên

C và thỏa mãn điều kiện bức sau

f (x) → −∞ khi x ∈ C, kxk → +∞,

thì f có điểm cực đại trên C

Chứng minh Đặt

C(a) := {x ∈ C : f (x) ≥ f (a)}, với a ∈ C.

Ta thấy C(a) đóng và bị chặn nên f có điểm cực đại trong C(a) mà điểm

đó cũng là điểm cực đại của f trên C

Điều kiện tối ưu

Mệnh đề 1.1 Giả sử C ⊂Rn là tập lồi và f : C → R là hàm lồi Nếu f (x)

đạt cực đại trên C tại điểm trong tương đối x0 của C (x0∈ riC) thì f (x) bằnghằng số trên C Tập Argmaxx∈Cf (x) là hợp của một số diện của C.

Chứng minh Giả sử f đạt cực đại trên C tại điểm x0 ∈ riC và giả sử x làđiểm tuỳ ý thuộcC Do x0∈ riC nên tìm đượcy ∈ C sao chox0= λx + (1 − λ)y

với λ nào đó thuộc (0, 1).

Mệnh đề 1.2 Giả sử C là tập lồi, đóng và f : C → R là hàm lồi Nếu C

không chứa đường thẳng nào và f (x) bị chặn trên trên mọi nửa đường thẳngtrong C thì

max{f (x) : x ∈ C} = max{f (x) : x ∈ V (C)},

trong đó V (C) là tập các điểm cực biên của C, nghĩa là nếu cực đại của f (x)

đạt được trên C thì cũng đạt được trên V (C)

Chứng minh Ta có C = coV (C) + K, trong đó K là nón lồi sinh bởi cácphương cực biên của C Một điểm bất kỳ thuộc C mà nó không phải là điểmcực biên, sẽ thuộc nửa đường thẳng xuất phát từ một điểm v nào đó thuộc

V (C)theo phương của một tia trongK Do f (x) hữu hạn và bị chặn trên trênnửa đường thẳng này, nên cực đại của nó trên đường thẳng này đạt được tại

v Như vậy max của f (x) trên C bằng maxcủa f trên coV (C) Khi đó, vì bất

Luận án đầy đủ ở file: Luận án Full