Về bài toán cực đại hàm lồi và ứng dụng của nó

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HỒNG THỊ HƯƠNG VỀ BÀI TỐN CỰC ĐẠI HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG CỦA NĨ Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Bài toán cực đại hàm lồi tập lồi đa diện 1.1 1.2 Tập lồi đa diện hàm lồi 1.1.1 Tập lồi đa diện 1.1.2 Hàm lồi Bài toán cực đại hàm lồi 14 1.2.1 Tồn điều kiện tối ưu 14 1.2.2 Tính chất cực đại hàm lồi 17 1.2.3 Ví dụ 19 Một số thuật toán giải toán cực đại hàm lồi 23 2.1 Hàm bao lồi 23 2.2 Thuật toán nhánh cận 27 2.2.1 Phép chia đơn hình vét kiệt 27 2.2.2 Thuật toán 30 2.3 Thuật tốn xấp xỉ ngồi 37 2.4 Thuật toán xấp xỉ 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 i Lời cảm ơn Trong suốt q trình làm luận văn, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nghiêm túc, nhiệt tình GS.TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy kính chúc Thầy gia đình ln mạnh khỏe Tơi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, mang lại cho nhiều kiến thức quan tâm giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu Tôi xin cảm ơn bạn lớp giúp đỡ suốt thời gian học tập Đại học Thái Ngun q trình hồn thành luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn bố mẹ Nhờ có bố mẹ gian khó, vất vả tạo điều kiện tốt để có thành ngày hôm Thái Nguyên, tháng - 2014 Người viết Luận văn Hoàng Thị Hương ii Mở đầu Giải tích lồi phần quan trọng tốn học Hầu hết ngành tối ưu hóa, giải tích hàm, hình học, tốn kinh tế, liên quan đến lý thuyết tập lồi hàm lồi Đã có nhiều nhà tốn học nghiên cứu vấn đề đưa nhiều lý thuyết ứng dụng thực tế Một tính chất hàm lồi cho sử dụng rộng rãi tốn tối ưu tính chất đạt giá trị cực đại biên Trong toán học ứng dụng ta thường gặp toán tìm cực đại hàm lồi tập lồi Bài tốn có nhiều ứng dụng thực tế, số toán khác tối ưu tồn cục quy tốn Bài tốn có tính chất bản, nhiên tính chất quan trọng tốn cực đại hàm lồi tập lồi nghiệm tối ưu (tồn cục) ln đạt điểm cực biên Lợi dụng tính chất này, người ta đưa thuật tốn giải tốn Mục đích luận văn giới thiệu toán cực đại hàm lồi tập lồi đa diện, ta trình bày điều kiện nghiệm tối ưu tính chất tốn Tiếp trình bày ba thuật toán để giải toán Cụ thể luận văn trình bày ba thuật tốn sau: thuật tốn nhánh cận, thuật tốn xấp xỉ ngồi thuật toán xấp xỉ Luận văn gồm mục lục, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày kiến thức giải tích lồi Đó tập lồi, tập lồi đa diện hàm lồi với tính chất đặc trưng Tiếp theo giới thiệu tốn cực đại hàm lồi tập lồi với điều kiện nghiệm tối ưu (tồn cục), tính chất cực đại hàm lồi xét số ví dụ toán cực đại hàm lồi Chương 2: Giới thiệu số kiến thức hàm bao lồi Trình bày ba thuật tốn giải tốn tìm cực đại hàm lồi tập lồi Đó thuật tốn nhánh cận, thuật tốn xấp xỉ ngồi thuật tốn xấp xỉ Sau thuật tốn có ví dụ minh họa cho thuật tốn Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn trực tiếp GS TSKH Lê Dũng Mưu Mặc dù tác giả cố gắng vấn đề nghiên cứu phức tạp kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót Trong q trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót định Tác giả mong nhận góp ý q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Chương Bài toán cực đại hàm lồi tập lồi đa diện Trong chương ta trình bày khái niệm tập lồi, tập lồi đa diện hàm lồi với tính chất đặc trưng Tiếp theo trình bày điều kiện cần đủ nghiệm tối ưu, tính chất cực đại hàm lồi xét số ví dụ tốn cực đại hàm lồi Các kiến thức trình bày chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2], [3], [6], [7] 1.1 1.1.1 Tập lồi đa diện hàm lồi Tập lồi đa diện Định nghĩa 1.1 Một đường thẳng qua hai điểm (hai véc-tơ) a, b Rn tập hợp tất véc-tơ x ∈ Rn có dạng {x ∈ Rn : x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1} Định nghĩa 1.2 Đoạn thẳng nối hai điểm a b Rn tập hợp véc-tơ x có dạng {x ∈ Rn : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1} Định nghĩa 1.3 Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Định nghĩa 1.4 Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak với ∈ Rn , λi ≥ 0, λ1 + λ2 + + λk = gọi tổ hợp lồi điểm a1 , a2 , , ak Định nghĩa 1.5 Thứ nguyên (hay số chiều) tập lồi C , ký hiệu dimC, số chiều bao affine Một tập lồi C Rn gọi có thứ nguyên đầy dimC = n Định nghĩa 1.6 Tập C ⊆ Rn gọi tập affine (hay đa tạp tuyến tính) C chứa trọn đường thẳng qua hai điểm nó, tức ∀a, b ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ (1 − λ)a + λb ∈ C Nhận xét 1.1 Nếu C tập affine a ∈ Rn i) a + C = {a + x : x ∈ C} tập affine ii) C tập affine chứa gốc C không gian con, nghĩa a, b thuộc C điểm λa + µb thuộc C với λ, µ ∈ R Định nghĩa 1.7 Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak với ∈ Rn λ1 + λ2 + + λk = gọi tổ hợp affine điểm a1 , a2 , , ak Định nghĩa 1.8 Thứ nguyên (hay số chiều) tập affine C , ký hiệu dimC, số chiều không gian song song với Ta quy ước: dim∅ = −1 Định nghĩa 1.9 Một tập C ⊂ Rn gọi nón ∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Một nón gọi nón nhọn khơng chứa đường thẳng Nếu nón tập lồi đa diện ta nói nón lồi đa diện Định nghĩa 1.10 Cho C ⊆ Rn tập lồi x ∈ C (i) Tập NC (x) := {w ∈ Rn : w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C}, gọi nón pháp tuyến ngồi C x tập −NC (x) gọi nón pháp tuyến C x (ii) Tập NC (x) := {w ∈ Rn : w, y − x ≤ , ∀y ∈ C}, gọi nón pháp tuyến C x Hiển nhiên ∈ NC (x) dùng định nghĩa ta có NC (x) nón lồi đóng Định nghĩa 1.11 Bao lồi tập C giao tất tập lồi chứa C Bao lồi tập C ký hiệu coC Bao lồi đóng tập C tập lồi đóng nhỏ chứa C Ta ký hiệu bao đóng tập C coC Bao affine C giao tất tập affine chứa C Bao affine tập C ký hiệu aff C Định nghĩa 1.12 Siêu phẳng không gian Rn tập hợp điểm có dạng {x ∈ Rn : a, x = α}, a ∈ Rn véc-tơ khác α ∈ R Véc-tơ a thường gọi véc-tơ pháp tuyến siêu phẳng Định nghĩa 1.13 Nửa khơng gian đóng tập hợp có dạng {x ∈ Rn : a, x ≥ α}, a = α ∈ R Tập {x ∈ Rn : a, x > α}, nửa không gian mở Một siêu phẳng chia không gian làm hai nửa không gian, nửa không gian phía siêu phẳng Nếu hai nửa khơng gian đóng phần chung chúng siêu phẳng Định nghĩa 1.14 Cho hai tập C D khác rỗng (i) Ta nói siêu phẳng a, x = α tách C D a, x ≤ α ≤ a, y , ∀x ∈ C, ∀y ∈ D (ii) Ta nói siêu phẳng a, x = α tách chặt C D a, x < α < a, y , ∀x ∈ C, ∀y ∈ D (iii) Ta nói siêu phẳng a, x = α tách mạnh C D sup a, x < α < inf a, y y∈D x∈C Định lý 1.1 (Định lý tách 1) Cho C D hai tập lồi khác rỗng Rn cho C ∩ D = ∅ Khi có siêu phẳng tách C D Định lý 1.2 (Định lý tách 2) Cho C D hai tập lồi đóng khác rỗng cho C ∩ D = ∅ Giả sử có tập compact Khi hai tập tách mạnh siêu phẳng Hệ 1.1 (Bổ đề Farkas) Cho a ∈ Rn A ma trận cấp m × n Khi a, x ≥ 0, với x thỏa mãn Ax ≥ 0, tồn y ≥ thuộc Rm cho a = AT y Ý nghĩa hình học bổ đề Farkas: Siêu phẳng qua gốc tọa độ a, x = 0, để nón Ax ≥ phía véc-tơ pháp tuyến a siêu phẳng nằm nón sinh hàng ma trận A Định nghĩa 1.15 Một tập lồi F tập lồi C gọi diện C x, y ∈ C mà (1 − λ)x + λy ∈ F , < λ < [x, y] ⊂ F, nghĩa đoạn thẳng thuộc C có điểm tương đối thuộc F đoạn thẳng phải nằm trọn F Một diện có số chiều gọi điểm cực biên C Một diện có số chiều gọi cạnh C Nếu tập lồi C có diện nửa đường thẳng véc-tơ phương nửa đường thẳng gọi phương cực biên C Tính chất 1.1 Các tính chất sau diện tập lồi • Một diện nón lồi nón lồi • Một diện diện C diện C • Một diện E tập lồi đóng C tập lồi đóng • Giao tập lồi C với siêu phẳng tựa C diện C • Giả sử F ⊂ Rn tập C = convF Khi đó, điểm cực biên C thuộc F Định nghĩa 1.16 Một tập lồi mà giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng gọi tập lồi đa diện Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính , x ≤ bi , i = 1, 2, , m (ai ∈ Rn , bi ∈ R), (1.1) nghĩa tập x nghiệm Ax ≤ b với A ma trận cấp m × n b ∈ Rm Vì phương trình tuyến tính biểu diễn tương đương hai bất phương trình tuyến tính nên tập lồi đa diện tập nghiệm hệ phương trình bất phương trình tuyến tính , x = bi , i = 1, 2, , p , x ≤ bi , i = p + 1, , m Hạng hệ bất phương trình tuyến tính (1.1) định nghĩa hạng ma trận A Nếu hạng hệ m ta nói hệ độc lập tuyến tính Nhận xét 1.2 i) Một tập lồi đa diện khơng bị chặn (không giới nội) ii) Một tập lồi đa diện bị chặn gọi đa diện lồi iii) Mỗi điểm cực biên tập lồi đa diện cịn gọi đỉnh Tập đỉnh C ký hiệu V (C) Mỗi cạnh vô hạn tập lồi đa diện tương ứng với phương cực biên Cho tập lồi đa diện D = ∅ xác định hệ bất phương trình tuyến tính (1.1) Khi bất phương trình (1.1) gọi ràng buộc D Ta nói ∗ điểm x0 ∈ D thỏa mãn chặt ràng buộc i∗ , x0 = bi Với x ∈ D, ký hiệu I(x) = {i : , x = bi } tập số ràng buộc thỏa mãn chặt x Ký hiệu I0 = {i : , x = bi , ∀x ∈ D} Tính chất đặc trưng diện, đỉnh cạnh D cho định lý sau Bổ sung điểm chấp nhận tìm thấy tính cận α(Ski ) (i = 1, 2) vào tập Qk • Bước : Tính βk = max{f (x) : x ∈ Qk }, xk ∈ Qk cho f (xk ) = βk • Bước : Đặt Dk+1 := (Dk \ Sk ) ∪ {Sk1 , Sk2 } Xóa tất Sk ∈ Dk+1 thỏa mãn βk ≥ α(Sk ) Sk ∩ C = ∅ Đặt Rk+1 tập lại   βk+1 Rk+1 = ∅, (khi thuật tốn dừng); Đặt αk+1 :=  max{α(P ) : P k+1 k+1 ∈ Rk+1 } trái lại Chọn Sk+1 ∈ Pk+1 cho α(Sk+1 ) = αk+1 • Bước : Đặt Dk+1 = {Rk+1 } chuyển sang Bước bước lặp k + Minh họa thuật toán nhánh cận S0 S01 S11 S02 S12 S21 S22 Sự hội tụ thuật toán Nhận xét 2.1 Ký hiệu giá trị tối ưu Bài toán (P ) f ∗ 32 Trong trình giải tốn đơn hình con, ta nhận điểm chấp nhận xk ∈ C (ở bước k ), βk = f (xk ) ≤ f ∗ ≤ αk Nếu thuật toán dừng bước k đó, tức αk ≤ βk từ βk ≤ f ∗ ≤ αk suy αk = f ∗ = βk Trong trường hợp này, suy xk nghiệm tối ưu (P ) Nếu αk = −∞ f ∗ = −∞, tức tốn khơng có lời giải Nếu thuật tốn kéo dài vơ hạn ta có định lý sau Định lý 2.3 i) Nếu thuật toán kéo dài vơ hạn khơng tìm điểm chấp nhận αk f ∗ ii) Nếu thuật tốn kéo dài vô hạn tồn điểm chấp nhận xk , điểm tụ dãy {xk } nghiệm tối ưu tồn cục Bài tốn (P ) Hơn nữa, αk f ∗ βk f ∗ Chứng minh Đặt f ∗ = max{f (x) : x ∈ C} Khi thuật tốn kéo dài vơ hạn sinh dãy đơn hình lồng {Skv , v = 1, 2, } mà Skv ∩ C = ∅ ∀v trái lại Skv bị loại Để đơn giản ký hiệu, thay viết kv ta viết k Do tính vét kiệt, nên Sk → x∗ k → ∞ Vì Sk ∩ C = ∅ nên x∗ ∈ C i) Ta có αk = α(Sk ) = max{f (x) : x ∈ V (Sk )} = f (v k ) Mặt khác, v k ∈ Sk mà Sk → x∗ hàm f liên tục nên αk = f (v k ) → f (x∗ ) ≤ f ∗ Theo định nghĩa cận αk , ta có αk ≥ f ∗ Do f (x∗ ) = f ∗ Vậy αk f ∗ ii) Giả sử x k điểm chấp nhận Sk ∩ C Ta có lim (αk − f (x k )) = k→∞ Vì βk ≥ f (x k ) hàm f liên tục nên ta có lim (αk − βk ) = k→∞ 33 Mặt khác, theo cách tính cận αk = α(Sk ) nên ta có lim (αk − βk ) = lim (α(Sk ) − βk ) = k→∞ k→∞ (2.6) Do C bị chặn nên {xk } có điểm tụ Gọi x∗ điểm tụ {xk } Giả sử dãy {xkv } dãy {xk } hội tụ tới x∗ , xkv → x∗ Để đơn giản ký hiệu ta viết xk → x∗ Do hàm f liên tục nên suy lim f (xk ) = f (x∗ ) k→∞ Dãy {αk } dãy không tăng bị chặn f ∗ nên tồn α = lim αk k→∞ Hơn nữa, dãy {βk } dãy số thực không giảm bị chặn f ∗ nên tồn β = lim βk Do đó, ta có β ≤ f ∗ ≤ α Từ (2.6), ta có k→∞ β = lim βk = lim f (xk ) = f (x∗ ) = f ∗ = lim αk = α k→∞ k→∞ k→∞ Vậy điểm tụ x∗ dãy {xk } nghiệm tối ưu Bài toán (P ) Hơn nữa, αk f ∗ βk f ∗ Ví dụ 2.2.1 Xét tốn f (x) = 2x2 + y − x + 5y → max (P 1) với ràng buộc  x + y − 10 ≤    0≤x≤5    y≥0 Ta sử dụng thuật toán nhánh cận để giải tốn Ta có miền chấp nhận C = {x ∈ R2 : x + y − 10 ≤ 0, ≤ x ≤ 5, y ≥ 0} Ta lấy S0 = co{(0, 0), (0, 10), (10, 0)} Tập đỉnh S0 V (S0 ) = {(0, 0), (0, 10), (10, 0)} Ta có α0 = max{f (x, y) : (x, y) ∈ V (S0 )} = f (10, 0) = 190 Lấy Q0 = {(0, 0), (0, 10)} tập điểm chấp nhận S0 Ta có x0 = (0, 10) điểm chấp nhận tốt có Vậy cận β0 = f (x0 ) = 150 34 Hình 2.3: Hình vẽ minh họa • Bước lặp k = S0 = {S0 } Điểm chấp nhận tốt x0 = (0, 10) Giá trị cận β0 = f (x0 ) = 150 Giá trị cận α0 = 190 Vì β0 < α0 Do ta thực chia đơn hình S0 thành hai đơn hình S01 , S02 thỏa mãn S0 = S01 ∪ S02 intS01 ∩ intS02 = ∅ Lấy Q1 = {(0, 10), (5, 5)} tập điểm chấp nhận S0 Ta có x1 = (0, 10) điểm chấp nhận tốt có Vậy cận β1 = f (x1 ) = 150 Đơn hình S01 có tập đỉnh V (S01 ) = {(0, 0), (5, 5), (0, 10)} Ta có α01 = max{f (x, y) : (x, y) ∈ V (S01 )} = f (0, 10) = 150 = β1 (loại S01 ) Đơn hình S02 có tập đỉnh V (S02 ) = {(0, 0), (5, 5), (10, 0)} Ta có α02 = max{f (x, y) : (x, y) ∈ V (S02 )} = f (10, 0) = 190 > β1 • Bước lặp k = S1 = {S02 } Điểm chấp nhận tốt x1 = (0, 10) Giá trị cận β1 = f (x1 ) = 150 35 Giá trị cận α02 = 190 Vì α02 > β1 nên ta thực phép chia đơn hình S1 thành hai đơn hình S11 , S12 thỏa mãn S1 = S11 ∪ S12 intS11 ∩ intS12 = ∅ Lấy Q2 = {(0, 10), (5, 0)} tập điểm chấp nhận S1 Ta có x2 = (0, 10) = 150 điểm chấp nhận tốt có Vậy β2 = f (x2 ) = 150 cận Đơn hình S11 có tập đỉnh V (S11 ) = {(0, 0), (5, 5), (5, 0)} Ta có α11 = max{f (x, y) : (x, y) ∈ V (S11 )} = f (5, 5) = 95 < β2 (loại S11 ) Đơn hình S12 có tập đỉnh V (S12 ) = {(5, 0), (5, 5), (10, 0)} Ta có α12 = max{f (x, y) : (x, y) ∈ V (S12 )} = f (10, 0) = 190 > β2 • Bước lặp k = S2 = {S12 } Điểm chấp nhận tốt x2 = (0, 10) Giá trị cận β2 = f (x2 ) = 150 Giá trị cận α12 = 190 Vì α12 > β2 nên ta thực phép chia đơn hình S2 thành hai đơn hình S21 , S22 thỏa mãn S2 = S21 ∪ S22 intS21 ∩ intS22 = ∅ Lấy Q3 = {(0, 10)} điểm chấp nhận S2 Ta có x3 = (0, 10) = 150 điểm chấp nhận tốt có Vậy β3 = f (x3 ) = 150 cận Đơn hình S21 có tập đỉnh V (S21 ) = {(5, 0), (5, 5), ( 15 , )} Ta có α21 = max{f (x, y) : (x, y) ∈ V (S21 )} = f ( 15 , 2) = 495 < β3 (loại S21 ) Đơn hình S22 có tập đỉnh V (S22 ) = {(5, 0), ( 15 , ), (10, 0)} Ta có α22 = max{f (x, y) : (x, y) ∈ V (S22 )} = f (10, 0) = 190 > β3 • Bước lặp k = S3 = {S22 } Điểm chấp nhận tốt x3 = (0, 10) Giá trị cận β3 = f (x3 ) = 150 Giá trị cận α22 = 190 Vì α22 > β3 nên ta thực phép chia đơn hình S3 thành hai đơn hình S31 , S32 thỏa mãn S3 = S31 ∪ S32 intS31 ∩ intS32 = ∅ Lấy Q4 = {(0, 10)} điểm chấp nhận S3 Ta có x4 = (0, 10) = 150 điểm chấp nhận tốt có Vậy β4 = f (x4 ) = 150 cận 36 15 Đơn hình S31 có tập đỉnh V (S31 ) = {(5, 0), ( 15 , ), ( , 0)} Ta có α31 = max{f (x, y) : (x, y) ∈ V (S31 )} = f ( 15 , 2) = Đơn hình S32 có tập đỉnh V (S32 ) = 495 < β4 (loại 15 {( 15 , 0), ( , ), (10, 0)} S31 ) Ta có α32 = max{f (x, y) : (x, y) ∈ V (S32 )} = f (10, 0) = 190 > β3 Vì S32 ∩ C = ∅ nên loại đơn hình S32 Thuật tốn kết thúc Vậy (0, 10) nghiệm tối ưu f (0, 10) = 150 giá trị cực đại tốn 2.3 Thuật tốn xấp xỉ ngồi Ta xét toán f (C) := max{f (x) : x ∈ C} (P ) C := {x : aTi x ≤ bi , (i = 1, 2, , m)} với ∈ Rn \ {0}, bi ∈ R, (i = 1, 2, , m) tập lồi đa diện bị chặn với intC = ∅ f : A → R hàm lồi liên tục tập A thỏa mãn C ⊂ A ⊆ Rn Ý tưởng Dựa tính chất quan trọng tốn cực đại hàm lồi tập lồi nghiệm tối ưu (tồn cục) ln đạt điểm cực biên Ban đầu ta thay tập ràng buộc C tập D0 ⊃ C, cho tập đỉnh D0 dễ tính Khi ta giải tốn max f (x) = max f (x) x∈D0 x∈V (D0 ) nghiệm x0 ∈ D0 • Nếu x0 ∈ C dừng: x0 nghiệm tối ưu Bài toán (P ) • Nếu x0 ∈ / C ta dùng siêu phẳng l(x) cắt x0 , không cắt điểm C Tức l(x0 ) > l(x) ≤ 0, ∀x ∈ C Thuật toán Khởi tạo 37 Xây dựng đa diện D0 ⊃ C Tính tập hợp đỉnh V (D0 ) Bước lặp k (k = 0, 1, ) Tại thời điểm bắt đầu bước lặp k (k = 0, 1, ), ta có đa diện Dk với tập đỉnh V (Dk ) Giải toán max{f (x) : x ∈ V (Dk )} nghiệm xk Nếu xk ∈ C dừng: xk nghiệm tối ưu Bài tốn (P ) Nếu xk ∈ / C Chọn k cho aTk xk > bk Đặt Dk+1 := Dk ∩ {x : aTk x ≤ bk } Tính V (Dk+1 ) chuyển sang bước k + Hình 2.4: Minh họa thuật tốn xấp xỉ ngồi Định lý 2.4 Thuật toán kết thúc sau tối đa m bước lặp Chứng minh Nếu thuật tốn khơng dừng bước lặp k, tức bước lặp k có ràng buộc bị vi phạm, ta giả sử ràng buộc bị vi phạm aTk x > bk Khi đó, theo thuật tốn ta xây dựng đa diện Dk+1 := Dk ∩ {x : aTk x ≤ bk } Vậy lần lặp có ràng buộc tập ràng buộc C thêm vào đa diện Do tập C có m ràng buộc nên suy thuật toán phải dừng sau tối đa m bước lặp 38 Ta có sơ đồ khối sau Bắt đầu k = D0 ⊃ C, V (D0 ) dễ tính max{f (x) : x ∈ V (Dk )} nghiệm xk xk ∈ C kết thúc sai Chọn k cho aTk xk > bk k +1 → k Dk+1 := Dk ∩ {x : aTk x ≤ bk } Ví dụ 2.3.1 Xét toán f (x) = x2 + y + 3x + 2y − xy → max 39 (P 2) với ràng buộc  x + 2y − ≤        2x − y − ≤  x≥0       y≥0 Ta giải tốn phương pháp xấp xỉ ngồi Ta có miền chấp nhận C = {x ∈ R2 : x + 2y − ≤ 0, 2x − y − ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0} Hình 2.5: Hình vẽ minh họa Lấy D0 = co{(0, 0), (0, 12 )(1, 0)} ⊃ C Tập đỉnh D0 V (D0 ) = {(0, 0), (0, 12 ), (1, 0)} Giá trị hàm mục tiêu đỉnh f (0, 0) = 0, f (0, 21 ) = 54 , f (1, 0) = Ta có f (x0 ) = max{f (x, y) : (x, y) ∈ V (D0 )} = f (1, 0) = Vì x0 = (1, 0) ∈ / C nên dùng siêu phẳng 2x − y − ≤ cắt điểm x0 = (1, 0) không cắt điểm C 40 Lấy D1 = co{(0, 0), (0, 12 ), ( 35 , 15 ), ( 21 , 0)} ⊃ C Tập đỉnh D1 V (D1 ) = {(0, 0), (0, 21 ), ( 35 , 15 ), ( 12 , 0)} Giá trị hàm mục tiêu đỉnh f (0, 0) = 0, f (0, 21 ) = 54 , f ( 35 , 15 ) = 25 , f ( 12 , 0) = 74 Ta có f (x1 ) = max{f (x, y) : (x, y) ∈ V (D1 )} = f ( 53 , 15 ) = 52 Vì x1 = ( 35 , 15 ) ∈ C nên x1 = ( 35 , 15 ) nghiệm tối ưu toán f ( 53 , 15 ) = 2.4 giá trị cực đại toán Thuật toán xấp xỉ Cũng trên, ta xét toán f (C) := max{f (x) : x ∈ C} (P ) C := {x : aTi x ≤ bi , (i = 1, 2, , m)} với ∈ Rn \ {0}, bi ∈ R, (i = 1, 2, , m) tập lồi đa diện bị chặn với intC = ∅ f : A → R hàm lồi liên tục tập A thỏa mãn C ⊂ A ⊆ Rn Ý tưởng Xấp xỉ tập ràng buộc C từ bên dãy đa diện lớn dần D1 ⊂ D2 ⊂ ⊂ C cho • D1 = ∅ • x1 nghiệm tối ưu tốn max{f (x) : x ∈ D1 ∩ C} • xk+1 nghiệm tối ưu toán max{f (x) : x ∈ Dk+1 ∩ C} suy từ nghiệm tối ưu xk toán max{f (x) : x ∈ Dk ∩ C} Thuật toán dừng Dk ⊇ C, tức C ∩ Dk = C Trong trường hợp xk hiển nhiên nghiệm tối ưu Bài toán (P ) Dãy D1 , D2 , tạo thành xấp xỉ C đa diện mở rộng dần Đa diện Dk+1 xây dựng từ Dk cách chọn điểm chấp nhận yk ∈ / Dk đặt Dk+1 = co(Dk ∪ {yk }) bao lồi Dk {yk } Hiển nhiên, dãy hữu hạn hội tụ xấp xỉ đảm bảo Dk+1 \ Dk chứa đỉnh C Vậy thuật toán lặp lại bước k + cách lấy tiếp bao lồi cho mở rộng tập C 41 Thuật tốn Khởi tạo Xây dựng đa diện D0 thỏa mãn D0 ⊆ C Tìm lời giải tối ưu x0 toán max{f (x) : x ∈ V (D0 )} Bước lặp k Tại thời điểm bắt đầu bước lặp k (k = 0, 1, ), ta có đa diện Dk với tập đỉnh V (Dk ) xk nghiệm toán max{f (x) : x ∈ V (Dk )} Nếu Dk ⊇ C dừng: xk nghiệm tối ưu Bài toán (P ), xk ∈ V (C) nghiệm tốn max{f (x) : x ∈ V (Dk )} Nếu trái lại Tìm y k ∈ V (C) \ Dk Đặt Dk+1 := co(Dk ∪ {y k }) Giải toán max{f (x) : x ∈ V (Dk+1 )} nghiệm xk+1 Chuyển sang bước k + Hình 2.6: Minh họa thuật toán xấp xỉ Định lý 2.5 Thuật toán kết thúc sau hữu hạn bước lặp Chứng minh Gọi v số đỉnh đa diện C Vì đa diện ban đầu Dk có n+1 đỉnh 0, e1 , , en lần lặp có đỉnh y ∈ V (C) \ Dk bị chứa đa diện Dk+1 , thuật toán phải dừng sau lặp lặp lại nhiều v − (n + 1) lần 42 Ta có sơ đồ khối sau Bắt đầu k = D0 ⊂ C V (D0 ) dễ tính max{f (x) : x ∈ V (D0 )} nghiệm xk Dk ⊇ C xk nghiệm sai Tìm y k ∈ V (C) \ Dk Dk+1 := co Dk ∪ {y k } Tính V (Dk+1 ) k ← k +1 max{f (x) : x ∈ V Dk+1 } nghiệm xk+1 43 Kết thúc Ví dụ 2.4.1 Ta giải lại Bài toán (P 2) phương pháp xấp xỉ Ta có miền chấp nhận C = {x ∈ R2 : x + 2y − ≤ 0, 2x − y − ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0} Hình 2.7: Hình vẽ minh họa Ta lấy D0 ⊂ C Tập đỉnh D0 V (D0 ) = {(0, 0), (0, 21 ), ( 12 , 0)} Giá trị hàm mục tiêu đỉnh f (0, 0) = 0, f (0, 21 ) = 45 , f ( 12 , 0) = 47 Gọi f (x0 ) = max{f (x, y) : (x, y) ∈ V (D0 )} = f ( 12 , 0) = 74 Vì D0 C nên x0 = ( 21 , 0) khơng phải nghiệm của tốn Lấy y0 ( 35 , 51 ) ∈ C \ D0 Ta có D1 = co(D0 ∪ {y0 }) bao lồi D0 {y0 } Tập đỉnh D1 V (D1 ) = {(0, 0), (0, 12 ), ( 35 , 51 ), ( 12 , 0)} Giá trị hàm mục tiêu đỉnh f (0, 0) = 0, f (0, 12 ) = 54 , f ( 21 , 0) = 74 , f ( 35 , 15 ) = 25 Gọi f (x1 ) = max{f (x, y) : (x, y) ∈ V (D1 )} = f ( 35 , 15 ) = 25 Vì D1 ≡ C nên x1 = ( 35 , 15 ) nghiệm tối ưu toán f ( 35 , 51 ) = giá trị cực đại toán 44 Kết luận Bài toán cực đại hàm lồi tập lồi có vai trị quan trọng tối ưu tồn cục tốn có nhiều ứng dụng thực tế Hơn nhiều toán quan trọng khác Lý thuyết Tối ưu mơ tả dạng tốn cực đại hàm lồi Bản luận văn nhằm mục đích trình bày cách có hệ thống tốn cực đại hàm lồi tập lồi Cụ thể luận văn đề cập đến vấn đề sau: Giới thiệu kiến thức giải tích lồi Đó tập lồi, tập lồi đa diện hàm lồi với tính chất đặc trưng Trình bày điều kiện cần đủ nghiệm tối ưu (tồn cục), tính chất cực đại hàm lồi xét số ví dụ tốn cực đại hàm lồi Giới thiệu số kiến thức hàm bao lồi Trình bày ba thuật toán để giải toán tìm cực đại hàm lồi tập lồi Đó thuật tốn nhánh cận với phép chia đơn hình vét kiệt, thuật tốn xấp xỉ ngồi thuật toán xấp xỉ 45 Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải, Giải tích lồi, nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội (2000) [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền Nguyễn Hữu Điển, Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng, nxb Đại học Quốc gia Hà Nội (sẽ ra) [3] Trần Vũ Thiệu Nguyễn Thị Thu Thủy, Giáo trình tối ưu phi tuyến, nxb Đại học Quốc gia Hà Nội (2011) Tài liệu Tiếng Anh [4] L D Muu and W Oettli, Method for Minimizing a Convex - Concave Function over a Convex Set, Journal of Optimization Theory and Applications: 70 (1991), 377 - 384 [5] P M Pardarlos and J B Rosen, Constrained Global Optimization, Lecture Note in Computer Science 268, Springer, Berlin (1987) [6] N V Thoai and H Tuy, Convergent Algorithm for Minimizing a Concave Function, Mathematics of Operations Research, (1980), 556 - 566 [7] Hoang Tuy, Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publlshers, (1997) 46 ... thuyết ứng dụng thực tế Một tính chất hàm lồi cho sử dụng rộng rãi tốn tối ưu tính chất đạt giá trị cực đại biên Trong toán học ứng dụng ta thường gặp toán tìm cực đại hàm lồi tập lồi Bài tốn... Bài toán cực đại hàm lồi tập lồi đa diện 1.1 1.2 Tập lồi đa diện hàm lồi 1.1.1 Tập lồi đa diện 1.1.2 Hàm lồi Bài toán cực. .. giới thiệu tốn cực đại hàm lồi tập lồi với điều kiện nghiệm tối ưu (tồn cục), tính chất cực đại hàm lồi xét số ví dụ toán cực đại hàm lồi Chương 2: Giới thiệu số kiến thức hàm bao lồi Trình bày