10_Tìm nghiệm kép

10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – LỄ TÂN - NHƯ QUỲNH 10 BIẾN DẠNG NGHIỆM KÉP, NGHIỆM BỘI BA (tiếp) Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Ví dụ Giải phương trình x2 + x − x2 + x ( ) x −1 +1 + = ( x + 3) ( x+3 −2 ) ( x ∈ ℝ) PHÂN TÍCH CASIO Với điều kiện x ≥ , dùng chức SHIFT CALC TABLE ta tìm nghiệm phương trình sau: X F(X) X + 4X − Nhập F ( X ) = − ( X + 3) X + − X + 2X X −1 +1 + -0.713 • Start = -2.092 • End = -3.859 • Step = -5.937 Dựa vào bảng TABLE ta thấy phương trình có dấu hiệu xuống, -8.293 hay nói cách khác phương trình cho có nghiệm x = -10.9 Bây ta kiểm tra tính chất nghiệm cách xét đạo hàm sau: -13.75 f ' (1) = Suy x = nghiệm kép phương trình cho Tuy nhiên ta khơng thể ghép biểu thức liên hợp với hai thức vừa tử số, vừa mẫu số Vì ta có nhận xét sau: Ta có x + x − = ( x − 1)( x + 5) , đồng thời liên hợp biểu thức: ( ( ( ) x+3−2 )( ) ) x + + = x −1 ⇔ x −1 x+3+2 x+3−2= Khi phương trình cho trở thành: ( x − 1)( x + 5) x = ( x − 1)( x + 3) ⇔  = x+5  = x + 2x x −1 + +  x2 + 2x x − + +  Và nhiệm vụ lại chứng minh phương trình ( ∗) có nghiệm x = ( Phương trình ( ∗) ⇔ ( x + ) ) ( ⇔ ( x + + 2) ( x+3+2 ) x + + = ( x + 3)  x + x  ( ) ( ( x+3 x+3+2 ) ) x − + + 3  x + + = ( x + + 2) x2 + 2x + + x x − ) ( ∗) (i ) Đặt a = x + ⇒ VT( i ) = ( a + ) ( a + ) Và b = x + ⇒ VP( i ) = ( b + ) ( b + ) + 2bx x − Nên ( i ) ⇔ ( a + ) ( a + ) = ( b + ) ( b + ) + 2bx x − ⇔ ( a + ) ( a + ) − ( b + ) ( b + ) = 2bx x − ≥ ⇒ ( a + ) ( a + ) ≥ ( b + ) ( b + ) ⇔ f ( a ) ≥ f ( b ) Xét hàm số f ( t ) = ( t + ) ( t + ) với t ≥ , có f ' ( t ) = t + + 2t ( t + ) = 3t + 4t + > 0; ∀t ≥ Suy f ( t ) hàm số đồng biến [ 0; +∞ ) mà f ( a ) ≥ f ( b ) ⇒ a ≥ b x ≥  x ≥ x + ≥ x +1 ⇔  ⇔ ⇔ x = x + x − ≤ ( x + 1) ≤ x + Vậy phương trình cho có nghiệm x = Do Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC ( ) Ví dụ Giải phương trình x + x x − x − + 13 = ( − x ) x + ( x ∈ ℝ) PHÂN TÍCH CASIO Với điều kiện x ≥ , dùng chức SHIFT CALC TABLE ta tìm nghiệm phương trình sau: Nhập F ( X ) = X + X X − X − + 13 − ( − X ) X + X F(X) • Start = 0.5 1.2229 • End = • Step = 0.5 1.5 0.9896 Dựa vào bảng TABLE ta thấy phương trình có dấu hiệu 3.7084 Parabol, hay nói cách khác phương trình cho có nghiệm 2.5 7.9156 x = Bây ta kiểm tra tính chất nghiệm cách xét đạo hàm 13.464 cho sau: f ' (1) = Suy x = nghiệm kép phương trình 3.5 20253 Để đơn giản ta đặt t = x ≥ , phương trình cho trở thành: ( ) t + 2t ( t − 2t − ) + 13 = ( − t ) 3t + Với dự đoán t = ta chọn giải pháp liên hợp sau ( thay liên hợp nghiệm kép ) t + 2t − 4t − 4t + 13 + ( t − 3) 3t + = ⇔ t + 2t − 4t − 4t + 13 + ( t − 3) ⇔ t + 2t − 4t + + ( t − 3) ( ) 3t + − = ⇔ ( t − 1) ( t + 3t + 3t − 1) + ( ) 3t + − = ( t − 3) ( t − 1)( t + 1) 3t + + =0 t =   t − t + ( ) ( )  ⇔ ( t − 1) t + 3t + 3t − + =0⇔ ( t − 3) ( t + 1) 2 =0 ( ∗)  3t + +  t + 3t + 3t − + 3t + +  Và ta chứng minh phương trình ( ∗) có nghiệm t = Tuy nhiên CHUYÊN ĐỀ NGHIỆM KÉP HỮU TỶ, ta hồn tồn giải ngắn gọn sau, đưa tổng đại lượng khơng âm Đó là: x + x x − x − + 13 − ( − x ) x + = ( ( ) ) ⇔ x − x + − ( − x ) x + + 3x + + 3x + x x − x − + = ⇔ ( ) 3x + + x − + x x − x − x + = ⇔ ( ) ( 3x + + x − + ) (2 x −1 ) x + = ⇔ x =1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình ( x2 − x − = x+2 x−3 +2 x −3 + Lời giải Điều kiện: x ≥ , Ta có: x − = ( x − ) − = ( )( )( x − −1 ) x − − tập số thực ) x − +1 ⇔ x − −1 = x−3 x − +1 Khi phương trình cho tương đương với ( x − 3)( x + ) = ( x − 3) ( x + x−3 +2 x −3 + x − +1 ) ⇔  x =  x + = x+ x −3 +  x − + x − +1 ( Giải phương trình ( ∗) ta có: x + x − + = x − + x − + + = + x − ) ( ∗) + nên suy Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC ( ∗) ⇔ ( x + ) ( ⇔  ⇔ ( ( x−2 x−2 ) ( x − +1 =  1+ x −  ) + 4  ) +( ( ) + 4  ) ( ( x−3 +2 ( x − ) + (1 + x − +1 =  1+ x −  x−2 ) ( + x − = 1+ ) ) ) + 4 + x − +  x −3 ) ( + 1+ x − ) Xét hàm số f ( t ) = t + t + 4t , có f ' ( t ) = 3t + 2t + > 0; ∀t ∈ R nên f ( t ) hàm số đồng biến liên tục R mà f ( ) ( ) x − = f + x − suy x − = 1+ x − ⇔ x − = 1+ x − + x − ⇔ x − = ⇔ x = Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình x − x + + x − = x − + 3x − A Phân tích CASIO Trong giảng trước nghiệm kép phương trình vơ tỷ biết phương trình sau có nghiệm kép x = 2, phương trình x − x + = x − + 3x − Để giải phương trình (1) ta tìm lại lượng cân thích hợp, từ liên hợp cũ, sau đặt x − chung tìm x = nghiệm phương trình Tuy nhiên đặc điểm tốn có thêm x − nên ta phản xạ sau: Nhập vào máy tính X − X + + X − − X − − X − = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = ) ( Nhập vào máy tính X − X + + X − − X − − X − : ( X − ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thơng báo hết nghiệm Như (1) có nghiệm x = Rõ ràng ta tính f ' ( ) x−2 '= x−2  x − = Như x = nghiệm đơn (1), với x = ⇒   3x − = Ta tiến hành liên hợp theo số (đây cách giải dạng này) B Lời giải ĐK: x ≥ (*) ( Phương trình (1) ⇔ ( ) ( 6x − − + ) ) 3x − − = x − + x − x − 6x − − 3x − − + = x − + ( x − )( x + 1) 6x − + 3x − + ( x − 2) ( x − )( x + ) ⇔ + − x − − ( x − )( x + 1) = + 6x − 3 + 3x2 − Dễ thấy x = nghiệm (2) 3( x + 2) Ta xét x > (2) ⇔ + − − ( x + 1) = + x − 3 + 3x − x−2 ⇔ (2) (3) 3( x + 2)  x − > 6.2 − = > ⇒ VT ( 3) < + − − ( x + 1) Với x > ⇒  2 + 3 + x − x − > 3.2 − = >  x+2 2− x ⇒ VT ( 3) < + − ( x + 1) = < ⇒ (3) vơ nghiệm 2 Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Đ/s: x = C Nhận xét Cách làm tự nhiên, không quan tâm đến chất phương trình xuất phát từ nghiệm kép hữu tỷ Nó có lợi việc xử lý phương trình sau khó khăn chút Ngồi ta cách làm khác phương pháp hàm số sau: Phương trình ⇔ x − x + + x − − x − − 3x − = Xét hàm số f ( x ) = x − x + + x − − x − − 3x − với x ∈ [ 2; +∞ ) có f '( x ) = 2x −1 + 3x − − x−2 6x − 3x −  x − > 6.2 − = > Với x ∈ ( 2; +∞ ) ⇒  2  3x − > 3.2 − = > 3    6x − < =  − x − > −1   ⇒ ⇒ 3x 3x  3x < = x − > −x  x − 3  x − ⇒ f ' ( x ) > x − + − − x = x − > 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) Kết hợp với f ( x ) liên tục [ 2; +∞ ) ⇒ f ( x ) đồng biến [ 2; +∞ ) ⇒ f ( x ) ≥ f ( ) = 0, dấu " = " xảy ⇔ x = nên (1) ⇔ x = thỏa mãn (*) Ví dụ Giải phương trình x − 11x + 21 = 3 x − − x − A Phân tích CASIO Trong giảng trước nghiệm kép phương trình vơ tỷ biết phương trình sau có nghiệm kép x = 3, phương trình x − 11x + 21 = 3 x − Nhập vào máy tính X − 11X + 21 + X − − 3 X − = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = ( ) Nhập vào máy tính X − 11X + 21 + X − − 3 X − : ( X − ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thơng báo hết nghiệm Như (1) có nghiệm x = Rõ ràng ta khơng thể tính f ' ( 3) x−3 ' = x −3 Như x = nghiệm đơn (1), với x = ⇒ x − ⇒ 4.3 − = B Lời giải Hướng Liên hợp theo số ĐK: x ≥ (*) ( Khi (1) ⇔ Đặt T = ( ( 4x − 4) ) ) x − − = x − + x − 11x + 15 + x − + > Ta có (2) ⇔ x − + ( x − 3)( x − ) = ( x − − 8) T Dễ thấy x = nghiệm (3) 12 + 2x − = Ta xét x > (3) ⇔ T x −3 Vớ i x > ⇒ T > (2) ( 4.3 − ) + 4.3 − + = 12 ⇒ = 12 ( x − 3) T (3) (4) 12 < T Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Với x > ⇒ 12 + x − > + 2.3 − = > ⇒ (4) vô nghiệm T x −3 Đ/s: x = Hướng Xét hàm số ĐK: x ≥ (*) Khi (1) ⇔ x − 11x + 21 + x − − 3 x − = Xét hàm số f ( x ) = x − 11x + 21 + x − − 3 x − với x ∈ [3; +∞ ) có f ' ( x ) = x − 11 + Với x ∈ ( 3; +∞ ) ⇒ ( 4x − 4) > ( 4.3 − ) ⇒ − x−3 ( 4x − 4) =4>0 −1 ( 4x − 4) ( x − 4) ⇒ f ' ( x ) > x − 11 + − = ( x − 3) > 0, ∀x ∈ ( 3; +∞ ) Kết hợp với f ( x ) liên tục [3; +∞ ) ⇒ f ( x ) đồng biến [3; +∞ ) ⇒ f ( x ) ≥ f ( 3) = 0, dấu " = " xảy ⇔ x = nên (1) ⇔ x = thỏa mãn (*) 2 Đ/s: x = Ví dụ 6: Giải phương trình x − x + x + + x − = x + + x + x + A Phân tích CASIO Trong giảng trước nghiệm bội ba phương trình vơ tỷ biết phương trình sau có nghiệm bội ba x = 1, phương trình x − x + x + = x + + x + x + Nhập vào máy tính X − X + X + + X − − X + − X + X + = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = X − X + 8X + 1+ X −1 − X + − X + X + =0 X −1 Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thơng báo hết nghiệm Như (1) có nghiệm x = 1 Rõ ràng ta tính f ' (1) x −1 ' = x −1 B Lời giải ĐK: x ≥ (*) Nhập vào máy tính ( ) Khi (1) ⇔ x − x + x + + x − − x + − x + x + = Xét hàm số f ( x ) = x − x + x + + x − − x + − x + x + với x ∈ [1; +∞ ) có f ' ( x ) = x − 12 x + + − x −1 4x (6x + 2) 6x + − (9 x + 9x + 9) 2 3  ( 6x + 2) > ( + 2) = Với x ∈ (1; +∞ ) ⇒   ( x + x + )2 > ( + + ) =  Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 4x 4x 4x   < =x − > −x   2 x2 + x2 +  (  ( ) ) ⇒ ⇒ 6x + 6x +  6x + 2x +  < − >− 2 3  9 x2 + 9x + 9) x2 + 9x + 9)  (  ( 4x > −1, ∀x ∈ (1; +∞ ) , với x ∈ (1; +∞ ) có Ta chứng minh − x2 + ( ) 4x − > −1 ⇔ x < (6x + 2) ⇔ ( x + 1) > 16 x 2 2 3 (6x + 2) ⇔ ( x ) < ( x2 + 2) ⇔ x − 16 x3 + x + > ⇔ x3 ( x − 1) − x ( x − 1) − x ( x − 1) − ( x − 1) ⇔ ( x − 1) ( x − x − x − 1) ⇔ ( x − 1) ( x + x + 1) 4x Điều với ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇒ − 6x + Ta chứng minh − (9x2 + 9x + 9) 6x + − (6x + 2) > −1 > −1, ∀x ∈ (1; +∞ ) , với x ∈ (1; +∞ ) có > −1 ⇔ x + < (9x + 9x + 9) 2 (9 x + 9x + 9) ⇔ ( x + x + ) > ( x + 3) ⇔ 81( x + x + 1) > 27 ( x + 1) ⇔ ( x + x + x + x + 1) > x + 12 x + x + 2 2 3 2 3 ⇔ 3x − x3 − 3x + > ⇔ 3x ( x − 1) + x ( x − 1) − x ( x − 1) − ( x − 1) > ⇔ ( x − 1) ( 3x + x − x − ) > ⇔ ( x − 1) ( 3x + x + ) > 6x + Điều với ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇒ − (9x + 9x + 9) > −1 Do f ' ( x ) > x − 12 x + − − = ( x − 1) > 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) Kết hợp với f ( x ) liên tục [1; +∞ ) ⇒ f ( x ) đồng biến [1; +∞ ) ⇒ f ( x ) ≥ f (1) = 0, dấu " = " xảy ⇔ x = nên (1) ⇔ x = thỏa mãn (*) Đ/s: x = Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016