10_Tìm nghiệm kép

10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép 10_Tìm nghiệm kép

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1. Giải phương trình

2 2

4 5

PHÂN TÍCH CASIO Với điều kiện x≥1, dùng chức năng SHIFT CALC hoặc TABLE ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình như sau:

Nhập ( )

2 2

• Start =0

• End =8

• Step =1

Dựa vào bảng TABLE thì ta thấy phương trình có dấu hiệu đi xuống,

hay nói cách khác phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1

Bây giờ ta sẽ kiểm tra tính chất nghiệm bằng cách xét đạo hàm như sau:

( )

' 1 0

f = Suy ra x=1 là nghiệm kép của phương trình đã cho Tuy

nhiên ta không thể ghép biểu thức liên hợp với hai căn vì căn thức ở

đây vừa ở tử số, vừa ở mẫu số Vì thế ta có các nhận xét sau:

x + x− = x− x+ , đồng thời liên hợp biểu thức:

3 2

x

x

−

+ + Khi đó phương trình đã cho trở thành:

2

2

1

3 2

x

x

=



+ +



Và nhiệm vụ còn lại là đi chứng minh phương trình ( )∗ có nghiệm x=1

∗ ⇔ + + + = +  + − + + 

a= x+ ⇒VT = a + a+ Và ( ) ( 2 ) ( )

Nên ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( )

Xét hàm số ( ) ( 2 ) ( )

f t = t + t+ với t≥0, có ( ) 2 ( ) 2

f t = + +t t t+ = t + + > ∀ ≥t t Suy ra f t( ) là hàm số đồng biến trên [0;+∞) mà f a( )≥ f b( )⇒a≥b

Do đó

2 0

≥



+ − ≤



Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=1

10 BIẾN DẠNG NGHIỆM KÉP, NGHIỆM BỘI BA (tiếp)

Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc

Ví dụ 2. Giải phương trình 2 ( ) ( ) ( )

PHÂN TÍCH CASIO Với điều kiện x≥0, dùng chức năng SHIFT CALC hoặc TABLE ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình như sau:

• Start =0

• End =5

• Step =0.5

Dựa vào bảng TABLE thì ta thấy phương trình có dấu hiệu của một

Parabol, hay nói cách khác phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

1

x= Bây giờ ta sẽ kiểm tra tính chất nghiệm bằng cách xét đạo hàm

như sau: f ' 1( )=0 Suy ra x=1 là nghiệm kép của phương trình đã cho

Để đơn giản ta sẽ đặt t = x ≥0, phương trình đã cho trở thành:

Với dự đoán t=1 ta sẽ chọn giải pháp liên hợp như sau ( thay vì liên hợp nghiệm kép )

2

2

2

2

2

1

t t

t

t

+ +

=



+ +









Và bây giờ ta sẽ chứng minh phương trình ( )∗ có nghiệm t=1

Tuy nhiên như trong CHUYÊN ĐỀ NGHIỆM KÉP HỮU TỶ, ta hoàn toàn có thể giải quyết ngắn gọn như sau, đưa về tổng các đại lượng không âm Đó là: 2 ( ) ( )

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=1

6

3 2

x x

x− − = + − + − −

Lời giải

2 1

x

x

−

− + Khi đó phương trình đã cho tương đương với

( )

3

x

=



− + − +



x+ x− + = − +x x− + + = + x− + nên suy ra

0.5 1.2229

1.5 0.9896

2.5 7.9156

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

∗ ⇔ + − + = + − +  − +

⇔ − +  − + = + − +  + − +

⇔ − + − + − = + − + + − + + −

Xét hàm số ( ) 3 2

4

f t = + +t t t, có ( ) 2

f t = t + + >t ∀ ∈t nên f t( ) là hàm số đồng biến và liên

tục trên R mà f ( x−2) (= f 1+ x−3) suy ra

x− = + x− ⇔ − = + − +x x x− ⇔ x− = ⇔ =x

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là x=3

Ví dụ 4 Giải phương trình x2− + +x 4 x− =2 6x− +3 3x2−3

A Phân tích CASIO

Trong bài giảng trước về nghiệm kép của phương trình vô tỷ thì chúng ta đã biết được phương trình sau

có nghiệm kép x=2, phương trình x2− + =x 4 6x− +3 3x2−3

Để giải phương trình (1) ta có thể tìm lại được lượng cân bằng thích hợp, từ đó liên hợp như cũ, sau đó đặt x−2 chung và tìm được x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Tuy nhiên do đặc điểm của bài toán có thêm x−2 nên ta phản xạ như sau:

Nhập vào máy tính X2 − + +X 4 X− −2 6X − −3 3X2− =3 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =2

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm

Như vậy (1) có nghiệm duy nhất x=2

Rõ ràng ta không thể tính được f ' 2( ) bởi ( ) 1

x

x

−

Như vậy x=2 là nghiệm đơn của (1), với

2

6 3 3 2

3 3 3

x x

x

 − =



= ⇒ 

− =



Ta tiến hành liên hợp theo hằng số (đây là một cách giải quyết dạng bài này)

B Lời giải

ĐK: x≥2 (*)

6x 3 3 3x 3 3 x 2 x x 2

2 2

2

Dễ thấy x=2 là một nghiệm của (2)

2

1 0

x

x

+

Với 6 2 3 6.2 32 3 0 ( ) 6 3( 2) 1 ( )

3 3 3.2 3 3 0

x x

 − > − = > +



− > − = >



( ) x+2 ( ) 2−x

⇒ < + − + = < ⇒ (3) vô nghiệm

Đ/s: x=2

C Nhận xét

1. Cách làm trên là tự nhiên, không quan tâm đến bản chất của phương trình xuất phát từ nghiệm kép hữu tỷ Nó chỉ có một cái kém lợi thế đó là việc xử lý phương trình sau khó khăn hơn một chút

2. Ngoài ra ta còn một cách làm khác bằng phương pháp hàm số như sau:

Phương trình ⇔x2− + +x 4 x− −2 6x− −3 3x2− =3 0

f x =x − + +x x− − x− − x − với x∈[2;+∞) có

x

Với (2; ) 6 2 3 6.2 22 3 0

3 3 3.2 3 3 0

x x

x

 − > − = >



∈ +∞ ⇒ 

− > − = >



3

3

' 2 1 0 1 2 0, 2;

⇒ > − + − − = − > ∀ ∈ +∞

Kết hợp với f x( ) liên tục trên [2;+∞)⇒ f x( ) đồng biến trên [2;+∞)

( ) ( )2 0,

f x f

⇒ ≥ = dấu " "= xảy ra ⇔ =x 2 nên (1) ⇔ =x 2 thỏa mãn (*)

Ví dụ 5 Giải phương trình 2 3

2x −11x+21 3 4= x− −4 x−3

A Phân tích CASIO

Trong bài giảng trước về nghiệm kép của phương trình vô tỷ thì chúng ta đã biết được phương trình sau

2x −11x+21 3 4= x−4

Nhập vào máy tính 2X2−11X + +21 X − −3 3 43 X − =4 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =3

2X −11X + +21 X − −3 3 4X −4 : X − =3 0 Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm

Như vậy (1) có nghiệm duy nhất x=3

Rõ ràng ta không thể tính được f ' 3( ) bởi ( ) 1

x

x

− Như vậy x=3 là nghiệm đơn của (1), với 3 3

B Lời giải

Hướng 1 Liên hợp theo hằng số

ĐK: x≥3 (*)

3 4x 4 2 x 3 2x 11x 15

Đặt 3( )2 3

4 4 2 4 4 4 0

T = x− + x− + >

Ta có (2) x 3 (x 3 2)( x 5) (3 4x 4 8) 12(x 3)

Dễ thấy x=3 là một nghiệm của (3)

Ta xét x>3 khi đó (3) 1 2 5 12

x

T

Với 3 1 2 5 0 2.3 5 1 12

3

T x

Đ/s: x=3

Hướng 2 Xét hàm số

ĐK: x≥3 (*)

2x 11x 21 x 3 3 4x 4 0

f x = x − x+ + x− − x− với x∈ +∞[3; ) có

( )

( )2 3

x∈ +∞ ⇒ x− > − = >

' 4 11 0 1 4 3 0, 3;

⇒ > − + − = − > ∀ ∈ +∞

Kết hợp với f x( ) liên tục trên [3;+∞)⇒ f x( ) đồng biến trên [3;+∞)

( ) ( )3 0,

f x f

⇒ ≥ = dấu " "= xảy ra ⇔ =x 3 nên (1) ⇔ =x 3 thỏa mãn (*)

Đ/s: x=3

Ví dụ 6: Giải phương trình 2x3−6x2+8x+ +1 x− =1 3 6x2+ +2 39x2+9x+9

A Phân tích CASIO

Trong bài giảng trước về nghiệm bội ba của phương trình vô tỷ thì chúng ta đã biết được phương trình sau có nghiệm bội ba x=1, phương trình 2x3−6x2+8x+ =1 36x2+ +2 3 9x2+9x+9

Nhập vào máy tính 2X3−6X2+8X + +1 X − −1 3 6X2+ −2 39X2+9X + =9 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =1

Nhập vào máy tính

0 1

X

− + + + − − + − + + =

−

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm

Như vậy (1) có nghiệm duy nhất x=1

Rõ ràng ta không thể tính được f ' 1( ) bởi ( ) 1

x

x

−

B Lời giải

ĐK: x≥1 (*)

Khi đó (1) ⇔2x3−6x2 +8x+ +1 x− −1 36x2+ −2 39x2+9x+ =9 0

f x = x − x + x+ + x− − x + − x + x+ với x∈ +∞[1; ) có

( )

2

+

3

3

1;

x x







( )

4

Ta sẽ chứng minh

3

4

1, 1; ,

x

x x

+

thật vậy với x∈ +∞(1; ) có

3 2

2 3

4

x

x

+

3x 1 16x 9x 16x 6x 1 0

9x x 1 7x x 1 x x 1 x 1

⇔ − − − − − − −

⇔ − − − − ⇔ − + +

Điều này luôn đúng với ( )

3

4

x x

x

+

Ta sẽ chứng minh

3

6 3

1, 1; ,

x

x

+

thật vậy với x∈ +∞(1; ) có

2 2

3 2

2 3

6 3

x

+

9x 9x 9 6x 3 81 x x 1 27 2x 1

3 x 2x 3x 2x 1 8x 12x 6x 1

3x 2x 3x 2 0 3x x 1 x x 1 2x x 1 2 x 1 0

⇔ − − + > ⇔ − + − − − − − >

⇔ − + − − > ⇔ − + + >

Điều này luôn đúng với ( )

3

6 3

x x

+

f x > x − x+ − − = x− > ∀ ∈ +∞x

Kết hợp với f x( ) liên tục trên [1;+∞)⇒ f x( ) đồng biến trên [1;+∞)

( ) ( )1 0,

f x f

⇒ ≥ = dấu " "= xảy ra ⇔ =x 1 nên (1) ⇔ =x 1 thỏa mãn (*)

Đ/s: x=1