Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ

Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ

Trang 1

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Lý thuyết cơ bản

- Trong các chủ đề trên, đã đề cập đến vấn đề nâng lũy thừa rồi sử dụng Viet đảo trong các bài toán phương trình vô tỷ chứa căn đơn giản như một căn bậc hai, hai căn bậc hai ở hai vế, … Và vấn đề

được đặt ra là trong các bài toán phức tạp hơn, nhiều căn thức thậm chí chứa cả phân thức việc

nâng lũy thừa sẽ tạo hệ số lớn dẫn đến khó có thể xử lý Chính vì thế ta cần tư duy qua hướng liên hợp

- Tuy nhiên, để có thể liên hợp được thuận tiện thì ta cần sự hỗ trợ của công cụ đắc lực CASIO để

đoán nghiệm vô tỷ cũng như tìm nhân tử chung chứa nghiệm lẻ của bài toán

- Các dạng biểu thức liên hợp:

• ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

−

• ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

f x g x

−

( ) ( ) ( ) ( )

±

+

∓

( ) ( ) ( ) ( )

3 3

f x g x

f x f x g x g x

−

+

∓

- Dựa vào các căn thức của phương trình, ta lựa chọn các biểu thức liên hợp cho phù hợp

Ví dụ 1 Giải phương trình 2 2 ( )

PHÂN TÍCH CASIO Trước hết, ta có điều kiện của bài toán là 212 17 0 17

21

x

x x



⇔ ≥



− + ≥

này, chứa hai căn thức bậc hai, việc lựa chọn giải pháp nâng lũy thừa không hẳn là sẽ không làm được nhưng lại rất phức tạp về phần tính toán trong khi ta cũng chưa có nghiệm của nó Chính vì thế hướng tư duy bây giờ sẽ là tìm nghiệm của phương trình sau đó dùng phương pháp liên hợp nhân tử

Sử dụng TABLE với

1.5 - 0.608

2.5 1.3973

3 3.4603 3.5 6.1323

4 9.3824 4.5 13.191

5 17.547 5.5 22.441

6 27.866 6.5 33.818

04 KĨ THUẬT LIÊN HỢP HAI NGHIỆM HỮU TỈ

Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc

Trang 2

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶ NG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Start =1, End =7, Step =0.5 Ta có bảng giá trị như sau:

Và đồ thị biểu diễn hàm số

Như vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là x=1 hoặc x=2 Từ đó suy ra được nếu sử dụng phương pháp nhân liên hợp, ta cần tìm được nhân tử ( )( ) 2

x− x− =x − x+ , ta thấy ngay là không thể nhân và chia lượng liên hợp với hai căn đó ngay Vậy thì làm thế nào để tách nhóm để tạo ra

2

x − x+ , ta thực hiện theo nguyên tắc sau: nếu phương trình có chứa căn g x( ) và có hai nghiệm ,

α β , khi đó ta sẽ đặt ax+ =b g x( ) Thay hai nghiệm vào đẳng thức đó ta được ( )

( )



 + =

Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được a b đồng thời sẽ có được biểu thức liên hợp là ,

( )

(ax+ −b g x ) Và có thể áp dụng cho các căn bậc cao hơn Vậy với bài toán trên, ta tư duy như sau:

• Với nghiệm 1

2

x x

=



 =

 , ta đặt

2

ax+ =b x − +x nên có hệ phương trình 2 1

⇔

nên ta có được nhân tử là ( 2 )

2x − + − −x 3 x 1

2

x x

=



 =

 , ta đặt mx+ =n 21x−17 nên có hệ phương trình 2 3

⇔

nên ta có được nhân tử là (3x− −1 21x−17)

LỜI GIẢI Điều kiện: 212 17 0 17

21

x

x x



⇔ ≥



− + ≥

x − x+ + x − + − − +x x x− − x− =

2 2

2

2 2

2

1

x x

− +

− + + +







21

x≥ nên

2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x={ }1; 2

Ví dụ 2 Giải phương trình ( )3 2 ( )

2 x+ 3x+61 x− =1 3x −61 x∈ℝ

7 40.293

Trang 3

PHÂN TÍCH CASIO Tư tưởng vẫn giống như Ví dụ 1, nhưng ở ví dụ hai này mở rộng ra căn bậc ba

cùng với căn bậc hai Với điều kiện x≥0 ta sẽ tìm được hai nghiệm của phương trình là x=0; x=9, do

đó ta sẽ tìm nhân tử như sau:

9

x x

=



 =

 , ta đặt ax+ =b x nên có hệ phương trình

1 0

3

0

b



⇔

+ =

nên ta có

3

9

x x

=



 =

 , ta đặt

3

1

mx+ =n x− nên có hệ phương trình

1 1

3

1

n



⇔

+ =

nên ta

LỜI GIẢI Điều kiện: x≥0

6 x +3 3x+61 x− =1 9x −183

3

2

x x

2 3

2

0 1

2

x

=

−

+

2

x

+

9

x

x x

x

=



− = ⇔ 

=

 là hai nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 3 Giải phương trình 3 ( )

7x− + =8 2 x 2x− −1 5 x−1 x∈ℝ

PHÂN TÍCH CASIO Tư tưởng vẫn giống như các ví dụ trên, nhưng ở ví dụ này mở rộng ra tới ba căn

thức gồm các căn bậc ba cùng với căn bậc hai Với điều kiện x≥1, ta sẽ khảo sát nghiệm bằng TABLE cũng như chức năng tìm nghiệm SHIFT CALC đồng thời có được đồ thị như sau:

1.5 4.7714

2 5.353 2.5 5.2416

3 4.7141 3.5 3.8783

4 2.7916

Trang 4

4.5 1.4905

5.5 -1.661

6 - 3.479

Dựa vào các yếu tố trên, ta tìm được các nghiệm là x=1; x=5 Và sẽ tìm nhân tử liên hợp cho cả ba căn thức như sau:

5

x x

=



 =

 , ta đặt ax+ =b x−1 nên có hệ phương trình

1

2

a

b



=

 + =

⇔

+ =

nên ta

có được nhân tử là (x− −1 2 x−1)

5

x x

=



 =

 , ta đặt mx+ =n 2x−1 nên có hệ phương trình

1

2

m

n



=

 + =

⇔

+ =

nên

ta có được nhân tử là (x+ −1 2 2x−1)

5

x x

=



 =

 , ta đặt

3

⇔

ta có được nhân tử là ( 3 )

LỜI GIẢI Điều kiện: x≥0

2x 2x− −1 10 x− −1 2 7x− − =8 2 0

Tuy nhiên xét đến biểu thức −x x( + −1 2 2x−1) nếu liên hợp sẽ xuất hiện dấu âm, vì thế ta sẽ gặp khó khăn trong việc đánh giá biểu thức còn lại có vô nghiệm hay không, hay nói cách khác là có luôn âm, hay luôn dương hay không Chính vì thế, ta sẽ tách đến biểu thức ( ) 2

như sau:

( )∗ ⇔2(x− −2 37x− +8) (5 x− −1 2 x− +1) (2x 2x− −1 7x+ =5) 0 Chú ý đến các biểu thức liên hợp, ta có:

3

2

x x

−

x

− +

• 2 2 1 7 5 ( 5) 1 (8 5) 1

+ + −

5

x x

=



Vì ( )

x x

−

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=1; x=5

Trang 5

Ví dụ 4 Giải phương trình 5 2 ( )

4

x

PHÂN TÍCH CASIO Quan sát thấy phương trình chứa nhiều căn thức, ta có thể sử dụng phương pháp

đặt ẩn phụ hoặc nhân liên hợp Tuy nhiên, để làm được điều đó ta cần xét nghiệm của phương trình trước,

vẫn với cách tìm nghiệm ở các ví dụ trên, bây giờ ta sẽ quan sát ĐỒ THỊ cũng như bảng TABLE hay chức năng SHIFT CALC tại các giá trị nghiệm như sau:

Sau khi tìm được hai nghiệm là 0; 0,8 4

5

x= x= = , thì nhân tử ta cần tìm đó là 4 ( )

5

Nhưng để ý kỹ một chút thì phương trình bài cho đã xuất hiện nhân tử 5 2 1 ( )

x

lượng còn lại sẽ chính là biểu thức liên hợp hay nói cách khác ta sẽ giải phương trình

4− −x 1+ −x 1− =x 0 Mặt khác, ta thấy rằng với

0 4 5

x x

=





 =



thì 4− =x 1+ +x 1−x, do đó ta sẽ

liên hợp như sau:

2

x x

−

Cũng với nhận xét bên trên 4− =x 1+ +x 1− ⇔ − = +x 4 x 2 2 1−x2 ⇔ − =2 x 2 1−x2 Thì ở

đây hai biểu thức cân bằng và nếu tìm được hàm số thỏa mãn ( ) ( 2)

f −x = f −x ta cũng sẽ tìm

được nghiệm của phương trình đã cho Quan sát vế phải, ta chú ý đến hằng đẳng thức bậc hai

2

2+2 1−x = 1+ +x 1−x, và đại lượng cân bằng với nó chính là căn thức còn lại

( )

4− =x 2+ −2 x Biểu thức còn lại chính là 5x2 −4x nên ta sẽ dùng phương pháp đồng nhất hệ số

2

5x −4x=a 2−x −b 2 1−x ⇔ = =a b 1 Do đó phương trình đã cho được viết lại thành

2−x +4 2+ −2 x = 2 1−x + 2+2 1−x Với hàm số đại diện ở đây chính là

( ) 2

4 2

f t = +t +t với điều kiện t>0

LỜI GIẢI Điều kiện: 4≥ ≥x 1

Cách 1 Nhân liên hợp Phương trình đã cho tương đương với:

X F(X) -1 3.0718 -0.8 2.002 -0.6 1.2973 -0.4 0.7398 -0.2 0.3095

0.2 -0.19 0.4 -0.26 0.6 -0.203

1 0.5678

Trang 6

2

0 4

5

x

−

=

Vì 1≥ ≥ −x 1 nên suy ra 2 1−x2 + − >2 x 0, do đó phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên

Cách 2 Phương pháp hàm số Phương trình đã cho tương đương với:

2

0

5

x

=



≥ ≥ −

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 0; 4

5

Ví dụ 5 Giải phương trình x2− + =x 5 5x− +1 7x+2

A Phân tích CASIO

Nhập vào máy tính X2 − + −X 5 5X − −1 7X + =2 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =2

X − + −X X − − X + X − =

X − + −X X − − X + X − X − =

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm

Như vậy (1) có hai nghiệm là x=1 và x=2⇒ (1) có nhân tử ( )( ) 2

x− x− =x − +x

Ta cần cân bằng ax b+ = 5x−1 khi biết hai nghiệm x=1, x=2

1





Ta cần cân bằng cx+ =d 7x+2 khi biết hai nghiệm x=1, x=2

2

d



=



Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:

B Lời giải

5

( ) (2 ) ( ) (2 )

2

x x

2

x x

Trang 7

( 2 ) 1 1

x

2

x

=



=

 thỏa mãn (*)

Đ/s: 1

2

x

=



 =



C Nhận xét

1. Khi đã nhóm được x+ −1 5x−1 thì ta cũng có thể làm như sau:

( ) (2 )

2

5

x≥ ⇒T =x − x+ + x+ = −x + + x+ >

2

2 3 2 2 4 7 2

0

x x

T

− +

( ) ( 3 2 ) ( )( ) ( 2 )

0

x x

T

x x

T

5

2

27 1

x

x x T

− +

2

x x

=



⇔

=

 thỏa mãn (*) Đ/s: 1

2

x

=



 =



Rõ ràng cách làm 2 này dài và phức tạp hơn nhiều so với cách làm 1 Đặc biệt, khi vế trái của phương trình được thay bởi một phương trình bậc 3 thì cách làm 2 là rất khó khăn còn cách làm 1 vẫn rất ổn

Ví dụ 6 Giải phương trình 2 3 2

Nhập vào máy tính X2 − + −X 4 5X − −1 35X2+4X − =1 0

X − + −X X − − X + X− X − =

Trang 8

X − + −X X − − X + X− X − X − =

Như vậy (1) có hai nghiệm là x=1 và x=2⇒ (1) có nhân tử ( )( ) 2

x− x− =x − +x

1





Ta cần cân bằng cx+ =d 35x2+4x−1 khi biết hai nghiệm x=1, x=2

3 2

1





B Lời giải

5

3

1

5

( )

2

x

= + − +  + + >

2

T

2

x x T

( 1)( 2) ( 1)( 2)( 1) ( )( )

x x T

x

T

+

5

x T

T

+

2

x

=



=

2

x

=



 =



C Nhận xét

1. Ta cũng có thể cân bằng ax b+ = 5x−1 như sau:

Ta cần phân tích 2 2 ( ) 2

a x + ab− x b+ + để có nhân tử x2− +3x 2

Đồng nhất hệ số

2

2 2

Trang 9

2 Ta cũng có thể làm như sau:

3

1

5

( )

2

x

= + − +  + + >

2

T

5

x≥ ⇒x − x+ + x− = −x + + x− >

3 2

2

0

x x x

( ) ( 3 2 ) ( )( ) ( 2 )

x − x − + = −x x x − − = −x x x− x+

2

0

x x

5

x≥ và

( )

2 2

x

T

2

x

=



=

 thỏa mãn (*)

Đ/s: 1

2

x

=



 =



Rõ ràng cách làm 2 này dài và phức tạp hơn nhiều so với cách làm 1 Đặc biệt, khi vế trái của phương trình được thay bởi một phương trình bậc 3 thì cách làm 2 là rất khó khăn còn cách làm 1 vẫn rất ổn

Ví dụ 7 Giải phương trình x2− + −x 1 3x− =5 3x−4 x2−2x+2

Nhập vào máy tính X2 − + −X 1 3X − −5 3X −4 X2−2X + =2 0

X − + −X X − − X − X − X + X − =

X − + −X X − − X − X − X + X − X − =

Như vậy (1) có hai nghiệm là x=2, x=3

Trang 10

1

b



= −



Ta cần sử lý 3x−4 x2−2x+2, đại lượng này có hai căn nhân với nhau nên việc cân bằng bình thường là khá khó khăn, ta làm như sau:

2

x

x x





2

x

x x





x − x+ − x− với nhau, khi đó viết vế phải thành

3x−4 x −2x+ = −2 x −2x+2 x −2x+ −2 3x−4 Tách thế này để khi chuyển vế, dấu trừ thành dấu cộng và việc giải sẽ đơn giản hơn

B Lời giải

3

2

(2)

Với

2 2

0

x x x

3

x

=



=

 thỏa mãn (*)

Đ/s: 2

3

x

=



 =



Ví dụ 8 Giải phương trình 2 ( ) ( )3 2

2x + − = +x 3 x 1 3x− + −5 x 1 10x +11x+2

2X + − −X 3 X +1 3X − −5 X −1 10X +11X+2 : X − =3 0 Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =2

2X + − −X 3 X +1 3X − −5 X −1 10X +11X+2 : X −3 X−2 =0 Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm

Trang 11

1

b



= −



Ta cần cân bằng cx+ =d 310x2+11x+2 khi biết hai nghiệm x=2, x=3

3 2

2

d



=





B Lời giải

3

T

( ) ( 2 ) ( ) ( 3 2 )

0

T

( ) ( 2 ) ( )( ) ( 2 )

0

T

x x

T

3

x≥ > và

2

T

3

x

=



=

3

x

=



 =



Bài giảng và tài liệu này được chia sẻ tại

Đề thi thử hocmai,moon,uschool http://fb.com/groups/dethithu dưới sự cho phép của Thầy giáo Đặng Việt Hùng Truy cập http://fb.com/groups/dethithu để nhận nhiều tài liệu hơn !

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	327,62 KB