Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 11 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
11
Dung lượng
198,92 KB
Nội dung
Giợi hÔn v liản tửc cừa hm mởt bián Tõm tưt lỵ thuyát 1.1 Vổ b 1.1.1 nh nghắa f (x) ữủc gồi l VCB x x0 náu xx lim f (x) = 0 Vẵ dö f (x) = x2 l VCB x → f (x) = sin(x − 1) l VCB x → 1.1.2 So s¡nh vỉ cịng b² G¿a sû f (x) v g(x) l c¡c VCB x x0 Xt giợi hÔn lim xx0 ã f (x) =k g(x) N¸u k = ta nâi f (x) l VCB bªc cao hìn g(x) x → x0 v kỵ hiằu f (x) = o(g(x)), x x0 ã ã Náu k = ta nõi f (x) v g(x) l cĂc VCB tữỡng ữỡng, kỵ hiằu f (x) ∼ g(x), x → x0 N¸u k 6= 0, ta nâi f (x) v g(x) l c¡c VCB bêc, kỵ hiằu f (x) = O(g(x)), x x0 ã Náu giợi hÔn khổng tỗn tÔi f (x) v g(x) l c¡c VCB khỉng so s¡nh ÷đc 1.1.3 C¡c VCB t÷ìng ÷ìng x → sin x ∼ x tg x ∼ x arcsin x ∼ x arctgx ∼ x ex − ∼ x ln(x + 1) ∼ x (1 + mx)α − ∼ mαx − cos x ∼ x2 Mët c¡ch têng quĂt náu u(x) x x0 tữỡng tỹ vợi cĂc biu thực cỏn lÔi cổng thực trản Vẵ dử sin x x x → v¼ √x → x → ln(1 + sin x2 ) ∼ sin x x → v¼ sin x2 → x → arctg(x − 2)2 ∼ (x − 2)2 x → v¼ (x − 2)2 → x → sin u(x) ∼ u(x) 1.1.4 Quy tưc thay thá tữỡng ữỡng GiÊ sỷ f (x), g(x), f (x), g(x) l c¡c VCB x → x0 v f (x) ∼ f (x), g(x) ∼ g(x) Khi â x → x0 lim x→x0 f (x) f (x) = lim g(x) xx0 g(x) Chú ỵ: N¸u f (x), g(x), f (x), g(x) l c¡c VCB x → x0 v f (x) ∼ f (x), g(x) ∼ g(x) x → x0 â f (x)g(x) ∼ f (x)g(x), x → x0 nh÷ng f (x) + g(x) 6∼ f (x) + g(x), x → x0 1.2 Quy tc Lỉpitan Quy tc Lỉpitan câ thº n¶u ngưn gồn (vợi cĂc iÃu kiằn thọa mÂn) lim xx0 f (x) g(x) ho°c ∞ ∞ = lim x→x0 f (x) g (x) 1.3 Mët số dÔng vổ nh 1.3.1 DÔng 00 ã ã NhƠn biu thực liản hủp hoc thay thá tữỡng ữỡng Dũng quy tưc Lổpitan 1.3.2 DÔng ã ữa và dÔng 00 ã Dũng quy tưc Lổpitan 1.3.3 DÔng ì ữa và dÔng 00 hoc 1.3.4 DÔng lim v(x)(u(x)1) lim u(x)v(x) (1 ) = exx0 xx0 1.3.5 DÔng 00 GiÊ sỷ cƯn tẵnh giợi hÔn A = lim u(x)v(x) xx0 ln hai vá ln A = lim v(x) ln(u(x)) xx0 1.3.6 Tẵnh chĐt kàp Gi£ sû f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) l¥n cªn x0 Hìn núa lim f (x) = lim g(x) = L x→x0 Khi â x→x0 lim h(x) = A xx0 Vẵ dử Tẵnh cĂc giợi hÔn sau lim x→0 ln(1 + 3x sin x) tg x2 sin x − x x→0 xarctgx2 √ √ + tg x − + sin x lim x→0 x3 x→0+ lim lim x ln x Gi£i ln(1 + 3x sin x) x→0 tg x2 I1 = lim Ơy l dÔng 00 Dũng thay thá tữỡng ÷ìng, ta câ ln(1 + 3x sin x) ∼ 3x sin x ∼ 3x2 , x → Do â tg x2 ∼ x2 , x→0 3x2 =3 x→0 x2 I1 = lim I2 = lim x→0 sin x x xarctgx2 Ơy l dÔng 00 Trữợc hát thay thá tữỡng ữỡng arctgx2 x2 , Khi â I2 = lim x→0 x→0 sin x − x x3 Ơy ta khổng th thay thá sin x x ữủc giợi hÔn bơng (theo þ ð tr¶n) Dịng quy tc Lỉpitan cos x − x0 3x2 I2 = lim Ơy lÔi l dÔng 00 , thay thá cos x − x2 , x→0 ta ÷đc x2 =− x→0 6x I2 = − lim √ I3 = lim 1+ tg x − √ + sin x x3 x0 Ơy l dÔng 00 NhƠn biu thùc li¶n hđp cõa tû sè √ x→0 x3 ( + I3 = lim = lim Do Thay th¸ t÷ìng ÷ìng tg x − sin√ x tg x + + sin x) tg x(1 − cos x) 2x3 x→0 p 1+ tg x + tg x ∼ x, √ + sin x → 2, x → − cos x ∼ Khi â x2 , x→0 x3 = x→0 2x3 I3 = lim lim x ln x x0+ Ơy l dÔng ì ữa và dÔng I4 = lim x→0+ Dịng quy tc Lỉpitan I4 = − lim x→0+ ln x x x2 =0 x V½ dư Tẵnh cĂc giợi hÔn: lim x x→0 x→0+ lim 2x + 2x − sin x x x x2 lim (sin x)x GiÊi Ơy l giợi hÔn dÔng Ta câ lim x→∞ x 2x + 2x − 2x+1 −1 2x−3 lim x = ex→∞ lim 4x = ex 2x3 = e2 Giợi hÔn trản cõ dÔng Ta cõ lim x0 sin x x x2 =e x→0 x2 lim sin x −1 x lim = ex→0 sin x−x x3 = e− (Dịng quy tc Lỉpitan) Ơy l giợi hÔn dÔng 00 t K = lim (sin x)x x0+ LĐy logarit vá ta ÷đc ln K = lim x ln sin x, (0 × ∞) x→0+ ln sin x = lim x→0+ ¡p dưng quy tc Lỉpitan ta ÷đc x x2 cos x =0 x→0+ sin x ln K = − lim Vêy K = Chú ỵ cĂc giợi hÔn sau ữủc tẵnh tữỡng tỹ v cho kát quÊ l lim (sin x) tg x = lim (x) tg x = lim ( tg x)x = lim ( tg x)sin x = x→0+ x→0+ x→0+ V½ dư T½nh giợi hÔn I = lim x sin x0 Ta cõ −1 ≤ sin Hìn núa x 1 ≤ ⇒ −|x| ≤ x sin ≤ |x| x x lim |x| = xx0 Vêy theo tẵnh chĐt kàp suy x→0+ I=0 1.4 So s¡nh c¡c VCB x → x0 Gi£ sû f (x) v g(x) l c¡c VCB x → x0 º so s¡nh hai VCB ny ta xt giợi hÔn: lim xx0 f (x) g(x) v kát luên Vẵ dử So sĂnh c¡c c°p VCB sau: √ f (x) = ln(1 + x) − ln(1 − x) v g(x) = + 4x − x → f (x) = x sin x v g(x) = ln(1 + sin x) x → f (x) = arctg(x − 2) v g(x) = ln(5 − x2 ) x GiÊi Xt giợi hÔn f (x) ln(1 + x) − ln(1 − x) √ lim = lim = lim x→0 g(x) x→0 x→0 + 4x − 1 1+x + 1−x √2 1+x =1 Vêy f (x) v g(x) l cĂc VCB tữỡng ữỡng x Xt giợi hÔn f (x) x sin x x sin x = lim = lim = lim x = x→0 g(x) x→0 ln(1 + sin x) x→0 sin x x→0 lim Vªy f (x) l VCB bªc cao hìn g(x) x → Xt giợi hÔn f (x) arctg(x 2) = lim arctg(x − 2) lim = lim x→2 g(x) x→2 ln(5 − x2 ) x→2 ln(1 + − x2 ) = lim x→2 x−2 =− − x2 V¼ arctg(x − 2) ∼ (x − 2), ln(1 + − x2 ) ∼ (4 − x2 ) x → Vªy f (x) v g(x) l c¡c VCB cịng bªc x → 1.5 Xt sỹ liản tửc cừa hm mởt bián Hm số y = f (x) xĂc nh trản (a, b) ữủc gồi l liản tửc tÔi im x0 (a, b) n¸u lim f (x) = f (x0 ) hay lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ) x→x x→x+ x→x− H m sè y = f (x) ữủc gồi l liản tửc trản (a, b) náu nõ liản tửc tÔi mồi im (a, b) Vẵ dử Xt sỹ liản tửc cừa hm số sau: ( x ln x f (x) = a Gi£i: x>0 x0 ã ã ã Vợi x > 0, f (x) = x ln x l h m c§p, vêy f (x) liản tửc vợi mồi x > Vỵi x < 0, f (x) = a l h m sỡ cĐp, vêy f (x) liản tửc vợi mồi x < Vỵi x = 0, ta câ f (0) = a lim f (x) = lim x ln x = (xem ð tr¶n) x→0 x→0 + lim f (x) = lim a = a x→0− x→0+ N¸u a = hm số liản tửc tÔi x = hm số liản tửc trản R Náu a 6= hm số giĂn oÔn tÔi x = Vẵ dư X²t sü li¶n tưc x sin f (x) = x a x 6= x=0 Gi£i • Vỵi x 6= 0, f (x) = x sin x1 Ơy l hm sỡ cĐp nản f (x) liản tửc vợi mồi x 6= ã Vợi x = 0, ta câ f (0) = a lim x sin x0 = (xem x trản) Vêy, náu a = hm số liản tửc tÔi x = 0, õ hm số liản tửc trản R Náu a 6= hm số giĂn oÔn tÔi x = Vẵ dử Xt sỹ liản tửc cừa hm sè • a + x √ f (x) = 9+x3 2x náu náu x0 x>0 Vợi x < 0, f (x) = a + x l h m cĐp nản f (x) liản tửc vợi x < ã Vợi x > 0, f (x) = ã Vỵi x = 0, ta câ f (0) = 9+x3 2x l hm sỡ cĐp nản f (x) liản tưc vỵi ∀x > lim f (x) = lim (a + x) = a x→0− x→0− √ 9+x−3 1 lim f (x) = lim = lim √ = x→0+ x→0+ x→0+ 2x 12 9+x N¸u a = 121 hm số liản tửc tÔi x = v tứ õ hm số liản tửc trản R Náu a 6= 121 hm số giĂn oÔn tÔi x = 1.6 Tẳm v phƠn loÔi im giĂn oÔn Cho h m sè y = f (x) x¡c ành tr¶n D, giÊ sỷ x0 l im giĂn oÔn im giĂn oÔn ữủc phƠn thnh hai loÔi ã LoÔi 1: Náu lim f (x) v lim f (x) hỳu hÔn Náu hai giợi hÔn ny bơng thẳ xx + xx x0 gồi l im giĂn oÔn khỷ ữủc ã LoÔi 2: Khổng l loÔi 0 Vẵ dử 10 Tẳm v phƠn loÔi im giĂn oÔn f (x) = arctg f (x) = f (x) = x−1 |x − 1| (x − 1)(x − 2) 1 − e 3−x Gi£i H m sè khổng xĂc nh tÔi x = õ x = l im giĂn oÔn Ta cõ arctg = − (do x → 1−, → −∞) x→1− x−1 x−1 lim f (x) = lim x→1− π 1 = (do x → 1+, → +∞) arctg x→1+ x−1 x−1 lim f (x) = lim x→1+ Vªy x = l iºm gi¡n oÔn loÔi Hm số cõ hai im giĂn oÔn l x = v x = Xt x = 1, ta câ |x − 1| −(x − 1) = lim =1 x→1− (x − 1)(x − 2) x→1− (x − 1)(x − 2) lim f (x) = lim x→1− lim f (x) = lim x→1+ x→1+ |x − 1| x−1 = lim = −1 (x − 1)(x − 2) x→1− (x − 1)(x − 2) Vªy x = l im giĂn oÔn loÔi Xt x = 2, ta câ |x − 1| =∞ x→2 (x − 1)(x − 2) lim f (x) = lim x→2 ( Ơy khổng nhĐt thiát xt giợi hÔn phÊi v giợi hÔn trĂi?) Vêy x = l im giĂn oÔn loÔi Hm số cõ im giĂn oÔn x = Ta câ lim f (x) = lim x→3− x→3− lim f (x) = lim x→3+ 1−e x→3+ 3−x = 0, (do 1−e 3−x x → 3−, −1 x → +∞, = 1, (do Vêy x = l im giĂn oÔn loÔi e 3x +) x → 3+, −1 x → −∞, e 3−x 0) Bi têp 2.1 Tẵnh tẵch cĂc giợi hÔn x0 lim x0 − cos x cos 2x x→0 x2 ex − cos x x→0 x2 x→0 sin 2x sin 3x lim x2 + 5x − x − lim lim ln(1 + 3x sin x) tg x2 lim 8x − 7x x→0 6x − 5x √ − x2 − lim x→0 xarctg5x p (1 + x)3 − lim x→0 x lim 10 ln(4 + e3x ) x→+∞ ln(3 + e2x ) √ lim x − 2x 11 lim (cos 3x) x→0 12 lim x→∞ 13 x→∞ lim x→0 tg lim 2x x2 + 5x + x x2 − 3x + 3x − (3x−4) 3x + 1 − cos x 14 x→0 15 lim (2 − cos x) sin2 x x→0 16 lim x→∞ 17 x→∞ lim sin x lim x 2x2 + 2x − x 2x2 − x + 2x − x2 18 2x + 1 lim x sin + cos x→∞ x x 19 x→0+ 20 x→1 lim (sin 2x) lim (x − 1) tg x tg πx 2.2 So s¡nh c¡c VCB f (x) = − cos3 x, g(x) = ln(1 − 4x2 ), x → f (x) = sin x − tg x, g(x) = x2 , x → p √ f (x) = x + x, g(x) = esin x − 1, x → f (x) = − cos3 x, g(x) = ln(1 + arctg2x2 ), x 2.3 KhÊo sĂt tẵnh liản töc: 10 ( 5.2x x x sin x 6= f (x) = x a x=0 x≤0 x>0 ( x ln x2 x 6= f (x) = x=0 ln(1 + 4x) x>0 f (x) = 3x x2 + a x≤0 ( 3x + 2a x≥1 f (x) = ax + x + x < ln(1 + x) − x x>0 f (x) = 2x2 a x≤0 ( x ln x x > f (x) = a x≤0 arctg x 6= |x| f (x) = a x=0 2.4 Tẳm v phƠn loÔi im giĂn oÔn y = lg y= |x + 2| x − e 1−x 10 x2 (x + 1)(x − 3) y = ln f (x) = f (x) = x + x 1 + x−1 x+2 |x + 2| 11