DS1 d3 HuongBT tim gioi han cua day so

Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ BÁO CÁO MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP TRONG TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Người báo cáo: Bùi Thị Hương Giáo viên trường THPT chuyên Hồng Văn Thụ, Hòa Bình Ký hiệu:  tập: [a; b] ; (a; b) ; (a; b]; [ a; b ); (; a) ; ( ; a ]; ( b;  ); [ b;  );  I SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA DÃY SỐ TRONG TÌM GIỚI HẠN 1.1 Định lý hội tụ đơn điệu Mọi dãy số đơn điệu (tăng giảm) bị chặn có giới hạn hữu hạn 1.2 Các ví dụ VD1 Cho dãy số  an  bị chặn thỏa mãn điều kiện an 1  an  n , n  * Chứng minh dãy số  an  có giới hạn hữu hạn Giải Xét dãy số  bn  sau: bn  an  1 , n  * , ta có bn 1  bn  an 1  an  n  Dẫn n 1 2 đến  bn  dãy không giảm Mà  an  bị chặn nên dẫn đến  bn  bị chặn trên,  bn  hội tụ Vì lim  nên kéo theo dãy  an  hội tụ 2n1 VD2 Cho dãy số  an   a1  0, a2  xác định sau:  an 1  1  an  an31  , n  * , n   Chứng minh dãy số  an  có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Giải Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh  an  Thật ta có  a1  a2  Giả sử  a1 , a2 , , an  1  với n  * 1   2 1  1  , n   , ta có  1  an  an31   an1  Từ ta có đpcm Ta chứng minh dãy số  an  tăng phương pháp quy nạp 1  a3  2 Giả sử a1  a2   an1  an , n  , n  , ta suy Thật ta có  a1  a2  Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ an  Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình 1  an 1  an32   1  an  an31   an1  3 Dãy số  an  tăng bị chặn nên có giới hạn hữu hạn lim an  a Cho công thức truy hồi qua giới a  1 hạn ta a  1  a  a     a  1   1  1  nên lim an  2 VD3 Cho dãy số ( xn ), ( yn ) xác định sau Vì  an  tăng  an  xn  yn , n  Chứng minh dãy số ( xn ), ( yn ) hội tụ lim xn  lim yn x1  a  0, y1  b  0, xn 1  xn yn , yn 1  Giải Ta xét hai trường hợp sau: (i) Nếu a  b quy nạp ta dãy ( xn ) dãy giảm bị chặn a , dãy ( yn ) dãy tăng bị chặn a Do tồn lim xn , lim yn từ giả thiết chuyển qua giới hạn ta lim xn  lim yn (ii) Nếu a  b tương tự trường hợp (i) VD4 Giả sử có dãy bị chặn  an  thỏa mãn an   an 1  an với n  Chứng minh 3 dãy hội tụ 2 Giải Từ bất đẳng thức an   an 1  an ta có an   an1  an 1  an Do dãy 3 3 bn  an1  an dãy giảm, bị chặn hội tụ Đặt b  lim bn , ta chứng minh lim an  b  Với số   tùy ý, tồn n0   cho  bn  b với n  n0 Do  3  an1  an  b  an1  b  an  b với n  n0 5 3  Do an1  b  an  b  Theo quy nạp ta suy 5 k   k 1 3  2 an0  k  b    an0  b       1 5  3   k 2 1   k k 3  3  2 2     an0  b     an0  b  3 5 3 1 Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình k  2 Với k đủ lớn ta có   an0  b  suy với n đủ lớn ta có an  b   5 3 Vậy ta có điều phải chứng minh VD5 Cho dãy số  an   an  a1  a2   xác định  Chứng minh dãy số an1 an1  an  n  n  1 , n  , n   có giới hạn hữu hạn n dần đến vô Giải Nhận xét an  0, n  Do đó: an 1  an  an 1  an , n    an  dãy số n  n  1 tăng Ta chứng minh  an  bị chặn cách chứng minh an   , n  n Ta chứng minh quy nạp theo n: Với a2    (đúng) a Với a3  a2     (đúng) 2.3 2 Giả sử ta có : an   với n  2, 3, , k Ta chứng minh : ak 1   n k 1 Thật : 2 ak 1 2 k 1    ak 1  ak   2   2 k (k  1) k k (k  1) k k (k  1) k 1 Theo nguyên lí quy nạp ta an   với n = 2, 3, n Dãy số  an  tăng bị chặn nên có giới hạn hữu hạn n dần đến vơ Bình luận Việc chứng minh tính tăng dãy số em học sinh dễ dàng phát Nên vấn đề tốn phụ thuộc vào việc chứng minh dãy số bị chặn Khi hướng dẫn đến phần nhận thấy có nhiều học sinh nghĩ đến phương pháp quy nạp Nhưng em gặp phải trở ngại mà  an  lại dãy số tăng, nên việc chọn đại lượng chặn số khiến cho em sử dụng giả thiết quy nạp Do để giải trở ngại ta nghĩ đến kỹ thuật làm giảm lượng vừa đủ thay đổi theo n, đảm bảo  an  bị chặn mà sử dụng phương pháp quy nạp Tuy nhiên bạn đọc nhận thấy việc đưa bất đẳng thức an   hồn tồn khơng tự nhiên Để dạy học tập tơi n Trường THPT chun Hồng Văn Thụ Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình thường khơng vào lời giải mà tiếp cận bất đẳng thức an   theo hướng n làm sau: Cứ giả sử ta có  an  bị chặn số M Tức an  M , n  * Từ cơng thức truy hồi ta có: an 1 an 1  an  n  n  1  an   an 1 , lặp lại trình tìm   an 1   (n  1).n  n(n  1)  an 1  a2  a a1 a2  1     n 1   M      a2  a1 , , an 1  M 2.3 3.4 n(n  1) 2.3 3.4 n ( n  1)   Đến việc tính tổng 1 1      toán quen thuộc, từ có 2.3 3.4 n(n  1) n  M M  , n 1 bị chặn M, đơn giản chọn an 1   Cuối ta cần chọn M cho an 1 M M M 2 2 Từ đưa đến bất đẳng thức an 1   , hay an   có cách giải giới thiệu n 1 n 1 VD6 Cho a số thực dương Dãy số  xn  xác định sau:  x1  a,   xn  xn 1  x n  n   n Chứng minh  xn  có giới hạn hữu hạn n dần đến vô Giải Ta có xn  0, n  dẫn đến dãy  xn  dãy tăng thực Ta chứng minh dãy bị chặn rõ ràng có giới hạn hữu hạn x 1   Cách Ta thấy xn1  xn 1   xn  n2    xn   4n 2n 4n 2n   Suy xn 1  xn  , n  , nên có: 2n n xn1  a   i 1 1 n  a   2i i  2i  i  1 1 n  1 1 1  a       a   1    a  2 i2  i  i  2 n Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Suy xn1    a  , n  Cách Xét bất phương trình a  x  x , dễ thấy bất phương trình có nghiệm thực dương, gọi M nghiệm thực dương nó, ta có a  M  M Ta chứng minh xn  M , n  (*) Thật vậy: Với n  , ta có x1  a  M  M  M nên (*) Giả sử (*) đến n  k , k  * , tức xn  M , n  k Khi từ cơng thức truy hồi dãy số ta có k xk 1  x1   i 1 xi i2 k  a i 1 k M  a  M  a2 M  M  2 i i 1 i Do (*) với n  k  Từ ta suy điều phải chứng minh Bình luận Tương tự ví dụ việc chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn thực chứng minh dãy số bị chặn Ta lặp lại cách tiếp cận nói trên: Trước hết giả sử dãy  xn  bị chặn số M dương Tức xn  M , n  * Xét xn 1  xn  xn n2  xn 1  xn =  xn 1    , lặp lại q trình có  (n  1)  n  x1 x x  1  22   2n  a  M      , x1  a x1 , , xn  M 2 n n  1 1 1 1     toán quen thuộc Bất đẳng thức      n 1.2 (n  1).n n  x1  Nên ta có xn 1  a  M  M n Để  xn  bị chặn M ta chọn M nghiệm dương bất phương trình a  x  x Từ đưa cách làm quy nạp cách Nhận xét Ví dụ trường hợp riêng toán tổng quát sau: Cho a số thực dương   1,   Dãy số  xn  xác định sau:  x1  a   xn x  x  , n   n1 n n  Chứng minh dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn n dần đến vô Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình Trường THPT chun Hồng Văn Thụ Việc chứng minh tốn tổng quát xin nhờ bạn đọc VD7 (VMO 2007) Cho dãy số  xn    x2   thỏa mãn   x  xn 1  xn1  xn1 , n  , n   n n Chứng minh dãy  yn  với yn   i 1 có giới hạn hữu hạn n   tìm giới hạn xi2 Giải Từ giả thiết ta có xn  0, n  Khi xn  xn 1  xn21  xn1  xn1  2 xn 1 n 1 x  0, n   xn 1  xn1 Do  xn  dãy số tăng Giả sử dãy  xn  bị chặn, dãy  xn  có giới hạn hữu hạn, lim xn  a  Cho cơng thức truy hồi qua giới hạn có a  a  4a  a  Điều vơ lý dãy  xn  dãy số dương tăng Vậy lim xn   Mặt khác ta có xn  xn21  xn1  xn1 1 , n   xn2   xn  1 xn 1    , n  2 xn1 xn xn n  1 1  1 1 1 1 1                    , n  x1  x1 x2   x2 x3  xn i 1 xn  xn 1 xn  x1 x1 xn Từ suy yn  6, n  (vì xn  0, n  ) Mặt khác yn  yn1   yn1 Nên dãy  yn  xn Do yn   dãy tăng bị chặn Vậy dãy  yn  có giới hạn hữu hạn n    Ta có lim yn  lim   xn     (vì xn   )  Vậy lim yn   x1   VD8 (VMO 2012) Cho dãy số thực  xn  xác định bởi:  n2  xn  3n ( xn1  2), n  Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn n   tính giới hạn Giải Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh xn  với n nguyên dương (1) Ta chứng minh kể từ số hạng thứ hai, dãy số cho giảm 2[(n  2)  (n  1) xn 1 ] n2 Thật vậy, xét hiệu xn  xn 1  ( xn 1  2)  xn 1  3n 3n Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình Để chứng minh  xn  giảm số hạng thứ hai, ta cần chứng minh (n  2)  (n  1) xn 1  với n ≥ (2) Ta chứng minh điều quy nạp toán học 10 10 Với n  , x2  nên bất đẳng thức (n  2)  (n  1) xn 1       3 n2 Giả sử ta có (n  2)  (n  1) xn 1  xn1  Khi n 1 n2 n2 n2 n2 n3 xn  ( xn1  2)  (  2)   3n 3n n  n 1 n Suy  n  3  n xn  Vậy (2) với n  Theo ngun lý quy nạp tốn học, ta có (2) với n ≥ Như vậy,  xn  dãy số giảm kể từ số hạng thứ hai Ngồi ra, theo (1), bị chặn Theo tính chất dãy đơn điệu, tồn giớ hạn hữu hạn xn  lim xn  a Chuyển đẳng thức n  n2 ( xn1  2) sang giới hạn, ta a  (a  2) Từ suy a = 3n Vậy dãy số cho có giới hạn n dần tới vô lim xn  n  VD9 Cho n số nguyên dương phương trình ln 1  x   nx  a) Chứng minh phương trình có nghiệm thực xn với n nguyên dương b) Tìm lim n 1  nxn  xn Giải Xét hàm số f n  x   ln 1  x   nx  1, n  * , x   1  x   n   0, n  * , x   , f x hàm số liên tục, 2x a) Ta có f n '  x    n  n   x2  x2  1  đồng biến  Lại có f n    1  , f n    ln     , suy phương trình n  n   ln 1  xn   1 f n  x   có nghiệm xn   0;  Lại có xn    , n   n n  n Áp dụng định lý kẹp có lim xn  n 1  nxn   1 b) Vì xn   0;  nên  Từ giả thiết có  nxn  ln 1  xn2  , dẫn đến: n xn   lim 1 n 1  nxn  n  lim ln 1  xn2   lim nxn ln 1  xn2  xn2  lim 1  ln 1  xn2   ln 1  xn2  xn2  , xn xn x2 n n Vì lim 1  x   e , lim 1  ln 1  xn2    VD10 (VMO - 2002) Xét phương trình: Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình Trường THPT chun Hồng Văn Thụ 1 1       (1) 1 x  x k x n  x 2x n tham số nguyên dương a) Chứng minh với số nguyên dương n , khoảng (0 ;1) phương trình (1) có nghiệm Ký hiệu nghiệm x n b) Chứng minh dãy số ( x n ) có giới hạn hữu hạn 1 1       1 x  x k x n  x 2x 1 1 fn '  x        0, x   0;1 2 2 1  x    x   n  x 2x Giải Xét hàm số f n ( x )  a) Ta có hàm số f n (x ) liên tục đồng biến khoảng (0 ;1) Hơn lim f n ( x)   x 0  lim f n ( x )   Suy ra, với số nguyên dương n , khoảng (0 ;1) phương trình (1) có x 1 nghiệm b) Ta chứng minh dãy ( x n ) giảm Có f n 1  x   f n  x    xn 1  xn , n  n  1  x f n 1  x   f n1  xn    n  1  xn   f n 1  xn1  (vì xn   0;1 ) hàm số đồng biến Do dãy ( x n ) giảm Mặt khác, ta có xn  (0;1) , n  * Vậy, dãy ( x n ) hội tụ II SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN 2.1 Định lý Cho f :    hàm liên tục đó: a) Phương trình f ( x )  x có nghiệm  f n ( x )  x có nghiệm b) Gọi  ;  mút trái, mút phải  biết lim[ f ( x )  x ] lim  f ( x )  x  x  x  dương âm Khi f ( x )  x có nghiệm  f n ( x )  x có nghiệm Trong f n ( x )  f ( f ( f ( x) ))  n lÇn Chứng minh a)  Nếu phương trình f ( x )  x có nghiệm x0 x0 nghiệm phương trình fn ( x)  x Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình  Nếu phương trình f ( x )  x vơ nghiệm f ( x)  x  f ( x)  x  với x   , f n ( x )  x f n ( x )  x với x   , dẫn đến phương trình f n ( x )  x vô nghiệm b)  Giả sử phương trình f ( x )  x có nghiệm x0 rõ ràng nghiệm phương trình f n ( x )  x Đặt F ( x )  f ( x )  x , F ( x) hàm liên tục nên khoảng ( x0 ;  ) ( ; x0 ) F ( x) giữ nguyên dấu + Nếu lim[ f ( x )  x ] lim  f ( x )  x  dương F ( x)  ( x0 ;  ) x  x  ( ; x0 )  f ( x)  x, x   /  x0  Xét x1   \  x0   f ( x1 )  x1  f ( f ( x1 ))  f ( x1 )  x1  f n ( x1 )  x1  x1 khơng nghiệm phương trình f n ( x )  x  f n ( x )  x có nghiệm nhất: x  x0 + Nếu lim[ f ( x )  x ] lim  f ( x )  x  âm chứng minh tương tự x  x   Ta thấy nghiệm phương trình f ( x )  x nghiệm phương trình f n ( x )  x phương trình f n ( x )  x có nghiệm phương trình f ( x )  x có nghiệm 2.2 Định lý Cho f :    hàm đồng biến, dãy ( xn ) thoả mãn: xn 1  f ( xn ), n  * Khi đó: a) Nếu x1  x2 ( xn ) dãy tăng b) Nếu x1  x2 ( xn ) dãy giảm Chứng minh a) Ta chứng minh xn  xn 1 , n  * phương pháp quy nạp Thật vậy: - Với n  , ta có x1  x2 , mệnh đề - Giả sử mệnh đề với n  k , k  * , tức uk  uk 1 , ta chứng minh mệnh đề với n  k  , có f (uk )  f (uk 1 ) (do f hàm đồng biến)  uk 1  uk  (đpcm) b) Chứng minh tương tự Có thể mở rộng định lý sau: Cho k  * f :    hàm đồng biến Dãy ( xn ) thoả mãn: xn 1  f ( xn ), n  k , xk   Khi đó: a) Nếu tồn số nguyên dương k để xk  xk 1 xn  xn 1 , n  k b) Nếu tồn số nguyên dương k để xk  xk 1 xn  xn 1 , n  k Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình Trường THPT chun Hồng Văn Thụ 2.3 Định lý Cho f :    hàm nghịch biến Dãy ( xn ) thoả mãn: xn 1  f ( xn ) , n  * Khi đó: a) Các dãy ( x2n ) ( x2 n 1 ) đơn điệu dãy tăng dãy giảm b) Nếu ( xn ) bị chặn   lim x2 n   lim x2 n 1 c) Nếu f liên tục  ,  nghiệm phương trình: f ( f ( x))  x (1) Vì (1) có nghiệm    Và: lim xn     Chứng minh a Vì f hàm giảm nên hàm f ( f ( x )) đồng biến, áp dụng định lý ta có điều phải chứng minh b Suy trực tiếp từ phần a c Ta có f ( f ( x2 n ))  f ( x2 n 1 )  x2 n  , lim f ( f ( x2 n ))  lim x2 n         f ( f ( )) lim x2 n    Chứng minh tương tự ta có:   f ( f (  )) Vậy  ;  nghiệm phương trình f ( f ( x))  x 2.4 Các ví dụ u1  2, VD1 Cho dãy (un ) sau:  * un 1  3un 1 (un 1  1)  un  1, n   Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn Giải Ta có: un31  3un 1 (un 1  1)  un  1, n  *  (un 1  1)3  un , n  *  un 1  un  1, n  * Do u1  2,  nên quy nạp ta chứng minh un  1, n  , n  Xét hàm f ( x)  x  , với x  , có (1; ) f '( x)  3 x2  với x  Do f ( x ) hàm đồng biến Lại có un 1  f (un ), n  * , u1  2,  u2  2,  nên ta suy (un ) dãy giảm mà lại bị chặn nên dãy (un ) có giới hạn hữu hạn u1  2,9  un VD2 Cho dãy số (un ) thỏa mãn  un 1   , n  *  un   Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục đào tạo Hoà Bình a) Ta có hàm số f n (x ) liên tục nghịch biến khoảng (1;  ) Hơn lim f n ( x)   x 1 lim f n ( x )   Suy ra, với số nguyên dương n , khoảng (1;  ) phương trình (1) x   có nghiệm 1 b) Ta có f n 1  x   f n  x    f n1  xn     f n1  xn1  xn  2  n  1 x   n  1 xn   xn  xn 1 , n  f n 1  x  hàm số nghịch biến Do dãy ( x n ) tăng Mặt khác, ta có 1 1 f n (4)        2 1 1 ( 2k )  ( 2n)    1   1    1                              2k  2k    2n  2n   4n  Suy f n (4)   f n ( x n ) , x n  , n  N * (vì hàm f n (x ) nghịch biến (1;  ) ) Vậy dãy  xn  có giới hạn hữu hạn b) Theo định lý Lagrange tồn c  ( x n ; 4) để f n ( xn )  f n (4)  f n '(c )  xn   Ta có f n '( x)  n2     f n ' ( x )  , x  (1; 4) 2 2 ( x  1) (4 x  1) (n x  1) f n ( xn )  f n (4)  f n ( xn )  f n (4)  f n (4)   n   f n '(c) 4n   xn   Vậy lim x n  Nhận xét Từ hai ví dụ ta phát biểu cho trường hợp tổng quát sau: Cho dãy hàm số f n (x ) xác định có đạo hàm khoảng (a ; b) , dãy ( x n ) thoả mãn: + x n  ( a ; b) , f n ( x n )  ,  n  N * + Tồn x  (a ; b) thoả mãn lim f n ( x0 )  + Tồn số dương M  để f n ' ( x)  M , x  (a ; b) Khi lim x n  x Chú ý: điều kiện f n ' ( x)  M , x  (a ; b) chứng tỏ phương trình f n ( x )  có nghiệm khoảng (a ; b) ; f n (x ) liên tục khoảng (a ; b) nên f n (x ) đơn điệu khoảng VD7 Cho n số nguyên dương lớn a) Chứng minh phương trình x n  x  x  có nghiệm dương nhất, ký hiệu xn b) Tính lim n  xn  1 c) Hãy tìm số thực a cho giới hạn lim n a  xn  xn 1  tồn tại, hữu hạn khác x  n Giải Vì x  x  x   1, x   x  Đặt f n  x   x n  x  x  , x  Ta có: Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình Trường THPT chun Hồng Văn Thụ f n '  x   nx n 1  x   0, n  3, x  , a) Ta có f n  x  hàm số đồng biến, liên tục 1;   , mà f n 1  2  , f n    2n   0, n  , nên suy f n  x   có nghiệm xn 1;  Lại có f n 1  x   f n  x   x n  x  1  0, x   f n 1  xn    f n 1  xn 1   xn  xn1 , n   xn  Dãy giảm bị chặn 1, nên tồn giới hạn hữu hạn lim xn  a   xn  a  1, n  Ta chứng minh a  , giả sử a  Khi tồn n đủ lớn để xnn  a n  , lại có xn2  xn   7, 1  xn   xnn   xn2  xn  , điều vơ lý xnn  xn2  xn  2, n  Vậy lim xn  b) Đặt yn  xn   yn  0, n  lim yn  (vì xn  lim xn  ) Ta có  f n  xn   xnn  xn2  xn  n  xnn  xn2  xn   1  yn   yn2  yn   n ln 1  yn   ln  y  yn  3  nyn  n Vì lim yn  suy lim ln  yn2  yn  3 ln 1  yn  yn ln 1  yn   ln  yn2  yn  3  ln yn Vậy tìm lim n  xn  1  ln c) Ta có f n 1  xn   xnn1  xn2  xn   xnn1  xnn   xn2  xn2  xn  1  xnn  xn  1 (vì xnn  xn2  xn   f n  xn   ) Áp dụng định lý Lagrange suy tồn xn1  cn  xn để: xnn  xn  1  f n 1  xn   f n 1  xn 1    xn  xn 1  f n 1 '  cn  n a  xn  xn1   ta cần tính lim Ta có n a 1  xn2  xn  1 n  xn  1 f n1 '  cn  Vì lim n  xn  1  ln lim  xn2  xn  1  , nên n a 1 f n1 '  cn  f n 1 '  x    n  1 x n  x  , f n 1 ''  x   n  n  1 x n    , n  2, x  , dẫn đến f n 1 '  x  hàm số đồng biến  f n 1 '  xn 1   f n 1 '  cn   f n 1 '  xn  xn1  cn  xn   n  1 xnn1  xn 1   f n 1 '  cn    n  1 xnn  xn  Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ   n  1  xn21  xn 1  1  xn21  xn1 xn 1 Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình  f n1 '  cn    n  1  xn2  xn  1  xn  Vì xnn11  xn21  xn 1  , xnn  xn2  xn   n a 2 xn  1      xn  xn  1  n n  n Vì lim  n a 1 n a 2 xn1  xn21 xn1 f n1 '  cn     x  x        n1 n1 n n  n  0, lim xn  lim xn 1  , nên theo giới hạn kẹp ta thu điều sau: n - Nếu a  lim n a 1 0 f n1 '  cn  - Nếu a  lim n a 1  f n1 '  cn  - Nếu a  lim n a 1   f n1 '  cn  Vậy a  số cần tìm lim n a  xn  xn 1   ln IV SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH CESARO VÀ ĐỊNH LÝ STOLZ TRONG TÌM GIỚI HẠN u1  u   u n a n Chứng minh (Sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số)  Với   , lim u n  a nên có số tự nhiên k để n  k ta có u n  a  Với n  k , xét: 5.1 Định lý Trung bình Cesaro Nếu lim u n  a lim u1  u   u n u  u   u k  ka (u k 1  a)  (u k   a )   (u n  a ) a   n n n  (n  k ) u1  u   u k  ka u k 1  a  u k   a   u n  a u1  u   u k  ka     n n n n  u1  u   u k  ka   n Tồn số tự nhiên m cho u1  u2   uk  ka   m Khi với n  m ta có u1  u   u k  ka   n Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình Trường THPT chun Hồng Văn Thụ Suy ra, với n  maxk ; m ta có Vậy lim u1  u   u n a  n u1  u   u n a n Nhận xét Xét dãy số  an  xác định sau: u1  u2   un  an , n  * Khi tính un  an 1  an Do định lý trung bình Cesaro phát biểu tương đương sau: an  a n 5.2 Định lý Stolz Cho hai dãy số  x n   y n  ,  y n  tăng lim y n   Khi đó, Nếu lim  an 1  an   a lim lim x n1  x n x  a lim n  a y n1  y n yn Chứng minh (Sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số) x  xn Cách 1: Với   , lim n1  a nên có số tự nhiên M để k  M ta có y n1  y n xk 1  xk  a  yk 1  yk (1)  a  (1)  xk 1  xk   a yk 1  yk       a   ( yk 1  yk )  xk 1  xk   a   ( yk 1  yk ) 2 2   Với n  M , cho k chạy từ M đến n cộng bất đẳng thức ta có      a   ( yn  yM )  xn  xM   a   ( yn  yM ) 2 2   Vì lim yn   nên tồn số tự nhiên T cho n  T ta có yn  (2) (3) Từ (2) (3) suy n  max  N , T  ta có yM  xn xM  y          a   1  M    a   1   yn  yn yn   yn   (4) Suy n  max M , T  ta có yM  xM x y  x        n   a   1  M   M   a   1   yn  yn yn   yn  yn  (5)   y  x    y  x    Ta có lim  a     M   M  a  , lim  a   1  M   M  a  , nên tồn số tự  yn  yn 2  yn  yn   nhiên P cho n  P ta có yM  xM        a     a    a   1   yn  yn  2  Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình Trường THPT chun Hồng Văn Thụ tồn số tự nhiên Q cho n  Q ta có yM  xM        a     a    a   1   yn  yn  2  Đặt N  max M , T , P, Q Khi n  N ta có a    Vậy lim Cách 2: xn  a yn xn a yn Với   , lim x n1  x n  a nên có số tự nhiên k để n  k ta có y n1  y n xn  xk x  xn     a  ;a    a  , hay n 1 yn  yk y n 1  y n  2 Suy ra, với n  k ta có Với n  k , ta xét xn  xk    a  ;a   yn  yk  2 xn xn  xk xk y x  xk x k yk    k n   T (n) yn yn  yk y n  y k yn yn  y k y n ( y n  y k ) Vì lim y n   , nên dễ thấy n đủ lớn T (n)  cho với n  m ta có  , tức tồn số tự nhiên m xn xn  xk    yn yn  yk Suy ra, với n  maxk ; m ta có xn  xk  a  yn  yk xn xn  xk    , yn yn  yk xn a  yn Vậy lim xn a yn Nhận xét: 1) Định lý Trung bình Cesaro trường hợp riêng Định lý Stolz, với hai dãy số  x n   y n  , đó: xn  u1  u2   un , y n  n 2) Trong vài trường hợp ta thường sử dụng định lý Trung bình Cesaro định lý Stolz kết hợp với quy tắc L’Hospital: Cho hai hàm số f  x  g  x  xác định có đạo hàm  a; b  \  x0  thỏa mãn: lim f  x   lim f  x   x  x0 Khi lim x  x0 f  x f ' x  lim g  x  x  x0 g '  x  5.3 Ví dụ áp dụng x  x0 Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình a1  VD1 Cho dãy số dương  an  thoả mãn:  an 1  a1  a2   an , n  a Chứng minh lim n  n Giải Từ công thức truy hồi dễ dàng suy dãy  an  tăng kể từ số hạng thứ hai Nên dãy  an  bị chặn suy tồn lim an  a Mặt khác từ cơng thức truy hồi ta có an21  an2  an , cho qua giới hạn tìm a  , trái với dãy số dương tăng Suy dãy  an  không bị chặn, hay lim an   n 1 Lại có a an21 a  a  an     , n    lim n 1  (vì an  0, n  ) an an an n an ta tính lim  an 1  an  n an 1 Từ an21  an2  an  an1  an    , n   an 1  an an 1  an Áp dụng định lý trung bình Cesaro, để tính lim Vậy lim an  n VD2 Cho dãy số dương  xn  Chứng minh lim xn 2n  x1   thỏa mãn   xn1  xn  x , n  n   Giải Từ công thức truy hồi dễ thấy  xn  dãy số dương tăng, nên  xn  bị chặn suy tồn lim xn  a Cho công thức truy hồi qua giới hạn ta thu a  a  1   vơ a a lý Do dãy  xn  không bị chặn hay lim xn    x2  x2  xn x2   lim n  , áp dụng định lý trung bình Cesaro đưa tính lim  n1 n  2n 2n   2 x x 1 Từ công thức truy hồi suy xn21  xn2    n1 n    , n   xn 2 xn Ta có lim lim 0 xn Vậy lim xn 2n  0  a1  VD3 Cho dãy số  an  xác định sau:  * an1  an 1  an  , n   Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình Trường THPT chun Hồng Văn Thụ Chứng minh a) lim  n.an   b) lim n 1  an  1 ln n Giải Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh an   0;1 , n  * Lại có an 1  an  an2  an , n  Dẫn đến dãy  an  dãy giảm bị chặn nên có giới hạn hữu hạn, lim an  a Cho công thức truy hồi qua giới hạn ta có a  a 1  a   a   lim an  a) Xét a  a  an 1 a a   n n1  n n   an 1 an an1an an 1  an   an Áp dụng định lý Trung bình Cesaro ta suy lim   lim n.an  n.an   nan   n  n n 1  nan  a an  n  b) Ta có lim  lim , lim nan  , nên ta tính lim ln n ln n ln n     1  n  1    n   1 1  an 1 an  an an an 1 an     Xét lim  lim  lim  lim n 1 ln  n  1  ln n  1  1 ln ln 1    an  ln 1    n  n  n  lim nan 1  an  ln 1    n n 1 n n 1  nan  an Áp dụng định lý Stolz suy lim  Dẫn đến lim 1 ln n ln n 0  a1   VD4 Cho dãy số  an  xác định sau:  * an 1  sin an , n   Chứng minh lim n an  Giải Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh an   0;   , n  Xét hàm số f  x   x  sin x, x   0;   , có f '  x    cos x  0, x   0;   Suy f  x  đồngi biến  0;    f  x   f    0, x   0;    x  sin x, x   0;   Ta có an 1  sin an  an , n  , dẫn đến  an  dãy số tăng, mà lại bị chặn nên có giới hạn hữu hạn, lim an  a Cho công thức truy hồi qua giới hạn tìm a  sin a  a   lim an    1   a  sin an Xét lim     lim     lim n a a sin a a a sin a n  n n  n n  n 1  Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Áp dụng quy tắc L’Hospital thu lim x0 x  sin x x  sin x  2cos x  lim  lim 2 2 x sin x x 0 x.sin x  x sin x x0 2.sin x  x.sin x  x cos x  lim  x0 x  x  1 cos x    cos x sin x  sin x   1   lim      an1 an  Áp dụng định lý Trung bình Cesaro suy lim   lim n an  n.an2 a1   VD5 Cho dãy số  an  xác định sau: an1  an  n , n   ak   k 1 an 1 Chứng minh lim 2ln n Giải Bằng phương pháp quy nạp chứng minh an  , n  Từ công thức truy hồi suy  an  dãy số tăng 2 n 1 Lại có a    1  2   an     an    an  , lặp lại trình n lần thu a1   an   n.an  n  an21  an2  1 1   a12       n n 1 1 1 Do lim        , nên suy lim an   n 1 a 1 Mặt khác an 1  an    n1   (1) nan an nan Áp dụng định lý Stolz ta có n  an21  an2  an2 an21  an2 n lim  lim  lim  lim  an21  an2  n n 1 ln n  1 ln ln    n  n  2an nan n  lim     lim 2  a1  a2   an  a1  a2   an   a1  a2   an Vì  n  a1  a2   an    n   , Áp dụng định lý Stolz ta có : n Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình Trường THPT chun Hoàng Văn Thụ lim   n  1 an1  nan nan a   lim  lim  n   n n   a1  a2   an an1 an1    1 1  1   a  n  an Vì 1   n   n n   n   , lim an   an1 1 nan V SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VD1 (VMO 2014) Cho hai dãy số thực dương  xn  ,  yn  , x1  , y1  ; với số nguyên dương n xn 1 yn 1  xn  xn21  yn  Chứng minh hai dãy số nói hội tụ tìm giới hạn chúng   Giải Từ giả thiết x1   sin , y1   cos 6 Suy x2   y1   cos   x   sin y2   2cos 12 x2 12 Bằng chứng minh quy nạp ta chứng minh   xn  sin ; y n  cos n với n  N * n 3.2 3.2   Ta tính lim xn  lim 2sin  lim yn  lim cos n  n 3.2 3.2 VD2 Tính giới hạn dãy số thực  xn  xác định xn  2n     với n = 1,2, …    n 1 Giải Đặt un     với n = 1,2, … Ta chứng minh un  cos Thật ta có u1   cos  (*) 2n 1  22 Khi n  mệnh đề (*) Giả sử mệnh đề (*) n  k tức uk  cos uk 1   uk  2(1  cos  Khi ta có 2k 1    )  2.2 cos k   cos k  k 1 2 Do theo nguyên lý quy nạp (*) với n thuộc * Ta có Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ xn  2n  cos  2n 2.sin    n 2(1  cos n 1 ) n 1 2    2n 1 sin n  n 2  sin n     Vậy lim xn  lim  2 n2 VD3 Cho a số thực dương tùy ý Xét dãy số  xn  ( n  1, 2, ) xác định bởi: x1  a ; xn 1  xn    ( có n số tử) xn  Chứng minh dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Giải Đặt yn     ta có kết yn  cos  , n  1, 2, n 1  2n 1 , n  * xn  xn cos  xn 1  1 1 Khi từ (1) ta có   n  1, 2,   xn 1 cos xn xn cos n 1 2n 1 an  an 1   n  1, 2, (2)   2cos n 1 2cos n 1 2   sin n 1 bn 1 sin n bn an 2 Đặt bn  Từ (2) ta   , n  1, 2,    sin n 4.2.cos n 1 cos n 1 2    bn 1  bn  n  1, 2,  bn 1  cot n 1  bn  cot n n  1, 2,  2 sin n      bn 1  cot n 1  bn  cot n =b n 1  cot n 1   b1  cot  b1 2 2    sin n bn sin n b sin  2 (b  cot  )  2n  cos  Do bn =  b1  cot n Bởi an   4 2n 2n  b1 sin n  cos  )   lim x   Suy lim an  lim( n 2n lim an Dễ thấy xn  Đặt an  VD4 ( Đề nghị thi HSG khu vực DHĐBBB năm 2012) Cho dãy số (xn) xác định Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ x1  1, xn 1   xn2  xn n  N * Tìm lim  n.xn    Giải Ta có nhận xét : Với    0;  ta ln có:  2  1 2sin 2  tan   cos   cos        tan sin    tan  sin  2 sin cos cos     Áp dụng nhận xét dễ thấy x1  tan  x2  tan  Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: xn  tan n 1 n   sin n 1       Do đó: lim  2n.xn   lim  2n.tan n 1   lim     cos n 1 2 n 1 2 Nhận xét: Một dấu hiệu để ta suy nghĩ đến sử dụng lượng giác cách cho số hạng đầu công thức truy hồi VD5 ( Olympic Tốn Sinh viên Tồn Quốc năm 2009) Cho hai dãy số  xn  ,  yn  sau: x1  y1  , xn 1  xn   xn2 , yn 1  yn   yn2 Chứng minh xn yn  (2;3), n  2,3, 4, lim yn  Giải Đặt a     a , b  Ta có x1   cot  cot a  cot 6 x2  cot a   cot a  cot a  Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh xn  cot 1  cos a a   cot sin a sin a a , n  1, 2, 2n 1  b  cot a  cot tan b tan b b y2    tan   tan b  cos b Ta lại có y1   cot Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh yn  tan b , n  1, 2, 2n 1 Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình Trường THPT chun Hồng Văn Thụ a b   tan n 1  cot n tan n 1  n  1, 2, n 1 2 3.2 3.2   tan 3.2 n   Vì  tan  tan  , n  hàm số f ( x)  đồng biến khoảng (0; ) n 3.2 1 x nên   xn yn  (2;3) n  2,3, 4, b  tan 3.2n b Và dễ thấy lim yn  lim tan n 1  tan  Nhân xét: Đây tốn tư cách tự nhiên nghĩ đến lượng Do xn yn  cot giác để giải toán điều nàu thể qua dấu hiệu: x1  y1  ,  xn2 VI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho dãy số ( xn ) xác định sau x1  1, x2  2, xn   xn1  xn , n  Chứng minh dãy số cho có giới hạn tìm giới hạn Giải Dễ thấy quy nạp ta ( xn ) dãy số tăng bị chặn Do tồn lim xn  a Từ đẳng thức xn  xn 1  xn chuyển qua giới hạn ta a  a a  nên lấy a  Vậy lim an  Bài Cho dãy số ( xn ) xác định x1  2, xn1   xn ,n  1, 2, Chứng minh dãy số cho hội tụ tìm lim xn n  Bài Cho dãy số thỏa mãn điều kiện  xn  1, xn1 1  xn   Chứng minh dãy số hội tụ tìm giới hạn Bài (VMO 2005) Cho dãy số thực ( xn ), n  1, 2,3 xác định bởi: x1  a xn1  xn3  xn2  xn với n  1, 2, 3,  4 a số thực thuộc đoạn  0,   3 Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài Chứng minh với số nguyên dương n cho trước phương trình: x n 1  x   có nghiệm thực, gọi nghiệm  xn  Tìm lim xn Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình Chứng minh với n  * , phương trình: cos x  x n ln có nghiệm    0;  , gọi nghiệm un Chứng minh dãy số  un  có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài Chứng minh với số nguyên dương n lớn hay 2, phương trình 1975( x n  x )  2008  0;   có nghiệm xn Chứng minh dãy  xn  hội tụ 1, tìm lim n  xn  1 Bài Cho dãy  xn    x1  xác định sau:   x  x2   n 1 n Chứng minh dãy  xn  có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn - Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh 1  xn  0, n  - Xét hàm số f ( x)  x  đoạn  1; 0 Ta có xn 1  f ( xn ) , n  N * Hàm số f ( x ) giảm đoạn  1; 0 , dãy ( x2 n ) , ( x2 n 1 ) đơn điệu (bắt đầu từ x2 ) - Suy tồn giới hạn lim x2 n  a , lim x2 n 1  b , a , b thuộc đoạn  1; 0 , a , b nghiệm phương trình x  f ( x ) Ta thấy, đoạn  1; 0 , phương trình x  f ( x ) có nghiệm x   - Vậy lim xn   Bài Cho dãy  un  u1   xác định sau:  un 1   u n  Tìm lim un Hướng dẫn - Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh  un  1, n  - Xét hàm số f ( x)  đoạn  0;1 Ta có un 1  f (un ) , n  N * x 1 f '( x)   ( x  1) Hàm số f ( x ) giảm đoạn  1; 0 , dãy (u2 n ) , (u2 n 1 ) đơn điệu - Suy tồn giới hạn lim u2 n  a , lim u2 n 1  b , a , b thuộc đoạn  1; 0 , a , b nghiệm phương trình x  f ( f ( x)) Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục đào tạo Hồ Bình Ta thấy, đoạn  0;1 , phương trình x  f ( f ( x)) có nghiệm x  - Vậy lim un  1  1  Bài Cho dãy  un  u1  a  xác định sau:  * un 1  cos un , n  N Chứng minh dãy  un  hội tụ Hướng dẫn - Dễ thấy un  (0;1) , n  - Xét hàm số f ( x)  cos x khoảng (0;1) , ta có un 1  f (un ) , n  Ta có f '( x)   sin x  khoảng (0;1) , dãy (u2 n ) , (u2 n 1 ) đơn điệu, u3 Mà  un  bị chặn Do tồn giới hạn lim x2 n  a , lim x2 n 1  b , a , b thuộc đoạn  0;1 , a , b nghiệm phương trình x  f ( x ) Ta thấy, đoạn  0;1 , phương trình x  f ( x ) có nghiệm - Vậy dãy  un  hội tụ a1  a Bài 10 Cho số a > xét dãy  an  xác định sau:  1 a * an 1  n , n   Xét tính hội tụ dãy số  an  Hướng dẫn - Chú ý  an  2, n  Nếu an  an 1  ngược lại - Đặt f  x   21 x F  x   f  f  x    x Ta chứng minh F '  x   0,  x  Do F  x   F 1  0,1  x  F  x   F 1  0,  x  - Từ xét trường hợp a1  a  dãy số  a2n  dãy tăng  a2 n 1  dãy giảm hai tiến tới Nếu a1  a  ngược lại dãy số  a2n  dãy giảm  a2 n 1  dãy tăng hcchai tiến tới Nếu a1  dãy  an  dãy an  1, n nên có giới hạn - Vậ.uggfggy trường hợp dãy số  an  hội tụ a1   Bài 11 Cho dãy số  an  xác định sau:  an an 1  2 , n  * Tìm lim an Hướng dẫn Sở giáo dục đào tạo Hoà Bình Trường THPT chun Hồng Văn Thụ - Chú ý  an  , n  x - Xét hàm số F  x   2  x,1  x  , hàm giảm nên F  x   F    0, x  1;  Từ suy dãy số  an  tăng có giới hạn hữu hạn lim an   , với  nghiệm phương x trình x  x  lim an    Bài 12 Tìm giới hạn dãy số thực  xn  xác định bởi: xn  2 với n = 1,2,… 22       n Bài 13 Cho dãy số  xn  sau: xn    với n = 1,2, …  n Hãy tìm lim u1u2 un 2n Bài 14 Cho dãy  xn  dãy không âm thỏa mãn điều kiện; x1  0, x2  2, x3  2, xn2 22 n  Chứng minh dãy số hội tụ tìm lim xn  (1  xn21 )  (n  4,5, ) 22 n 1 Bài 15 ( Đề nghi Olympic 30/4/2012) Cho dãy số  xn  xác định x1  2, xn 1  n Tính lim  xn xn  xn n  2, 3, ... thức truy hồi qua giới a  1 hạn ta a  1  a  a     a  1   1  1  nên lim an  2 VD3 Cho dãy số ( xn ), ( yn ) xác định sau Vì  an  tăng  an  xn  yn , n  Chứng minh dãy số... x 3  lim u2 k 1  lim u2 n  lim un = a Vậy dãy (un ) có giới hạn hữu hạn n   u1  a VD3 Cho số thực a dãy số (un ) xác định sau:  * un 1  un  sin un , n   , n  Tìm lim un ...  , nên x n  a  ,  3   , n  Suy x n  a      n x  a , n  Vậy lim x n   VD3 Cho  a  dãy  y n  a   y1  xác định sau:   y  a  y n 1  n 2 Tìm lim yn Giải Bằng