Các dạng toán chọn học sinh giỏi cấp quốc gia năm gần Trịnh Đào Chiến, Trường CĐSP Gia Lai Ấy năm 2010 - 2015 Các năm 2010 2011, kì thi tổ chức buổi thi Các năm 2012 - 2015, tổ chức buổi thi cho kì thi Các tốn Dãy số, Hình học phẳng Tốn rời rạc liên tục xuất kì thi (tỉ lệ 100 o/o) Trong năm gần đây, toán Số học, Bất đẳng thức Đa thức góp mặt lần (tỉ lệ 50 o/o) Hệ phương trình Phương trình hàm rải rác có mặt, lần cho dạng (tỉ lệ 30 o/o) Đặc biệt, năm 2012, toán Dãy số xuất lần; năm 2013, 2014, tốn Hình học phẳng xuất lần; năm 2012, 2014, Toán rời rạc xuất lần; năm 2015, toán Số học xuất lần Số liệu thống kê nêu cho thấy chuyên đề cần ưu tiên bồi dưỡng cho học sinh kế hoạch cần kíp nhằm xây dựng chuyên gia tỉnh khu vực Duyên hải Miền Trung Tây nguyên cho dạng toán hẹp Dưới số dạng toán cụ thể đề thi nêu Các toán Dãy số Như đề cập trên, toán Dãy số liên tục xuất năm gần Đa số giả thiết toán cho (hoặc hai) dãy số xác định công thức truy hồi yêu cầu chứng minh dãy số (hoặc hai dãy số) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn Chẳng hạn, dãy số xác định sau: n+2 (xn−1 + 2), ∀n (Bài - VMO 2012) 3n an + a1 = an+1 = − an , ∀n (Bài - VMO 2013) √ xn+1 yn+1 − xn = x1 = 1, y1 = , ∀n (Bài - VMO 2014) x2n+1 + yn = x1 = xn = n2 u1 = un+1 = un + 2 4n + a u2n + 3, ∀n 1, a (Bài - VMO 2015) Có cảm giác rằng, sở để người đề tạo chúng phương trình (hoặc hệ phương trình) sai phân tuyến tính (hoặc phi tuyến) với hệ số biến thiên Cần tuyến tính hóa chúng áp dụng định lí, tính chất dãy số giải toán Sự hội tụ dãy số đề thi thường chứng minh từ tính đơn điệu bị chặn Tính đơn điệu thường chứng minh quy nạp suy từ việc xét hàm số tương ứng, xét dấu đạo hàm Giới hạn cần tìm thường nghiệm phương trình tương ứng thiết lập Tuy nhiên, việc xét tính đơn điệu bị chặn dãy số đề thi thường khó quan hệ truy hồi phức tạp Đơi dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh mà độ khó chứng minh ngang ngửa với độ khó tốn 26 Các tốn Hình học phẳng Một cách giải cho số tốn hình học phẳng năm gần phương pháp áp dụng khái niệm phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương Khái niệm tâm đẳng phương hình thành từ định lý sau đây: Định lí Cho đường tròn (C1), (C2) (C3) Khi trục đẳng phương cặp đường tròn trùng song song qua điểm (gọi tâm đẳng phương ba đường tròn) Lời giải tốn Hình học phẳng năm gần dựa số định lý hình học mà học sinh lớp Chuyên bồi dưỡng, Định lý Brocard, Định lý Miquel Chẳng hạn Bài - VMO 2012, Bài - VMO 2014, Bài - VMO 2015 Định lí (Định lý Brocard) Cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối khơng song song nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M, N, P giao điểm AC BD, AD BC, AC BD Khi O trực tâm tam giác NMP Định lí (Định lý Miquel) Cho tam giác ABC điểm D, E, F thuộc đường thẳng BC, CA, AB Khi đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF, BFD, CDE có điểm chung M (gọi Điểm Miquel) Hệ Các điểm D, E, F thẳng hàng Điểm Miquel M thuộc đường tròn (ABC) Hệ Cho tứ giác ABCD có AB giao CD E, AD giao BC F Khi đường tròn (EAD), (EBC), (FAB), (FCD) có điểm chung M (Điểm Miquel tứ giác ABCD) Điểm Miquel M Hệ có nhiều tính chất thú vị tứ giác ABCD nội tiếp Một tính chất quan trọng là: Hệ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O) Giả sử AB giao CD E, AD giao BC F, AC giao BD G Khi đường tròn (EAD), (EBC), (FAB), (FCD) có điểm chung M O, G, M thẳng hàng Các kết nêu thường ẩn lời giải mà việc vận dụng chúng phải tinh tế Điều đáng lưu ý góc sử dụng chứng minh thường góc định hướng Điều đòi hỏi học sinh cần nắm vững kiến thức vấn đề Các Toán rời rạc Đây tốn "từ trời rơi xuống" mà thí sinh tỉnh lẻ ngại Đôi cần cần hiểu tốn người ta nói rồi, chưa bàn đến lời giải Chẳng hạn: 27 Bài tốn (VMO 2015) Cho m học sinh nữ n học sinh nam (m, n 2) tham gia Liên hoan Song ca Tại Liên hoan song ca, buổi biểu diễn chương trình văn nghệ Mỗi chương trình văn nghệ bao gồm số song ca nam-nữ mà đơi nam-nữ hát với khơng q học sinh hát Hai chương trình coi khác có cặp nam-nữ hát với chương trình khơng hát với chương trình Liên hoan Song ca kết thúc tất chương trình khác có biểu diễn, chương trình biểu diễn lần a) Một chương trình gọi lệ thuộc vào học sinh X hủy tất song ca mà X tham gia có học sinh khác khơng hát chương trình Chứng minh tất chương trình lệ thuộc vào X số chương trình có số lẻ hát số chương trình có số chẵn hát b) Chứng minh Ban tổ chức Liên hoan xếp buổi biểu diễn cho số hát hai buổi biểu diễn liên tiếp không tính chẵn lẻ Chỉ ngần thời gian làm bài, việc hiểu cho thấu nội dung đề toán nói đủ để thí sinh "chống váng"! Những dạng tốn kiểu sơ cấp hóa kết tốn đại, cụ thể Lý thuyết Đồ thị hữu hạn Để giải toán này, học sinh cần phải bồi dưỡng cách từ chun gia có chun mơn sâu, am hiểu lĩnh vực Mà chuyên gia ấy, nước, đếm khơng q mười đầu ngón tay Gần đây, nhiều Tốn rời rạc giải phương pháp mơ hình hóa dạng bảng ô vuông (bảng nhị phân) mà toán ví dụ Chẳng hạn, ta đánh số học sinh nữ theo thứ tự từ đến m học sinh nam từ đến n Ứng với chương trình văn nghệ, việc ghép cặp đơi song ca biểu diễn bảng ô vuông gồm m hàng n cột Mỗi ô vuông bảng đánh số 0, nằm hàng i cột j điền số học sinh nữ thứ i học sinh nam thứ j có hát với điền số học sinh nữ thứ i học sinh nam thứ j không hát với Bằng cách "mã hóa" thế, lời giải tốn xem [1] Việc thay lời giải toán cho thao tác bảng ô vuông nêu bước "mã hóa" quan trọng nhiều Tốn rời rạc tương tự Bạn đọc tham khảo thêm vấn đề [2] Các toán Số học Bài toán Số học đề thi năm gần thường liên quan đến phương trình nghiệm nguyên cách giải áp dụng kết Số học Mà phương trình nghiệm ngun đơi lại ẩn sau phương trình Diophant kinh điển Phương trình Pell, Phương trình dạng Markov, Chẳng hạn toán sau đây: Bài toán (VMO 2014) Với a, n số nguyên dương, xét phương trình a2 x + 6ay + 36z = n, x, y, z số tự nhiên a) Tìm tất giá trị a để với n 250, phương trình cho ln có nghiệm tự nhiên (x, y, z) b) Biết a > nguyên tố với Tìm giá trị lớn n theo a để phương trình cho khơng có nghiệm (x, y, z) 28 Giá trị 250 câu a) dễ làm cho học sinh lúng túng, chắn giá trị cụ thể biểu thức mà khơng dễ tự nghĩ Bây giờ, biến đổi phương trình a2 x + 6ay + 36z = n dạng a(ax + 6y) + 36z = n vế trái phương trình có dạng ax + by = n Liên hệ nhận xét trên, ta nhận tốn thiết lập từ kết sau: Định lí (Định lý Sylvester) Cho a, b nguyên tố Khi số nguyên lớn không biểu diễn dạng ax+by với x, y tự nhiên N0 = ab−a−b Nói cách khác, N0 = ab−a−b+1 số nguyên dương nhỏ cho phương trình ax+by = n có nghiệm tự nhiên với n N0 Với b = 36, tốn có liên hệ với định lý theo tham số a lời giải tham khảo [1] Phương trình Markov cổ điển phương trình dạng x21 + x22 + + x2n = kx1 x2 xn , n k tham số nguyên dương Một tính chất phương trình là, có nghiệm có nhiều nghiệm tạo theo quy luật Một số trường hợp riêng phương trình sở hình thành nhiều tốn đề thi năm gần Chẳng hạn: Bài toán (VMO 2012) Cho a, b hai số tự nhiên lẻ thỏa mãn a ước b2 + b ước a2 + Chứng minh a b số hạng dãy số tự nhiên xác định v1 = v2 = 1, vn+2 = 4vn+1 − , ∀n Từ giả thiết tốn, suy luận (a, b) = Do ab ước a2 +b2 +2 Như a b thỏa mãn phương trình dạng Markov x2 + y + = 4xy Tóm lại, việc bồi dưỡng cách phương trình Diophant kinh điển giúp cho học sinh phần có hướng giải số toán Số học thường gặp kì thi chọn học sinh giỏi Tốn sơ cấp mênh mông, dù biển nhỏ Mà sức người có hạn! Pleiku, Tết Ất Mùi Tài liệu tham khảo [1] Trần Nam Dũng (chủ biên), Nguyễn Tất Thu, Võ Quốc Bá Cẩn, Lê Phúc Lữ - Lời giải bình luận đề thi VMO 2015 - Thành phố Hồ Chí Minh, 16/01/2015 - Nguồn: Internet [2] Trịnh Đào Chiến - Đi tìm "cái gốc" số Toán rời rạc - Kỷ yếu hội thảo khoa học “Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn Trung học phổ thơng” - Sở Giáo dục Đào tạo Gia Lai, 19-20/04/2014 29