Về hai bài toán hình học hay

Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Về hai tốn hình học hay Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tóm tắt nội dung Bài viết giới thiệu hướng mở rộng cho hai đề toán, đề kỳ thi Olympic toàn Nga đề kỳ thi học sinh giỏi trường chuyên sư phạm với cơng cụ phương tích trục đẳng phương hình học túy Trong kỳ thi olympic toàn Nga năm 2013 cho lớp số ngày thứ có tốn sau [1] Bài tốn Các hình vng CAKL CBMN vẽ ngồi tam giác nhọn ABC CN cắt AK X CL cắt BM Y Điểm P nằm tam giác ABC giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác KXN LY M S trung điểm AB Chứng minh ∠ACS = ∠BCP Trong kỳ thi học sinh giỏi lớp 10 trường THPT chuyên sư phạm 2014 có tốn sau [2] Bài tốn Cho tam giác ABC không cân A với ∠BAC > 45◦ O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Dựng ngồi tam giác ABC hình vng ABKL, ACMN Các đường thẳng AN, AL theo thứ tự cắt CM, BK E, F Gọi P giao điểm nằm tam giác ABC đường tròn ngoại tiếp tam giác LME NF K a) Chứng minh E, F, O, P thẳng hàng b) Chứng minh B, C, O, P thuộc đường tròn Nhận xét Hai tốn hai tốn hay mang nhiều ý nghĩa Ta thấy yếu tố hình vng coi hình chữ nhật đồng dạng tổng quát hình bình hành đồng dạng Với ý tưởng tơi xin giới thiệu tốn tổng qt cho hai toán với lời giải Bài toán Cho tam giác ABC tâm ngoại tiếp O Dựng ngồi tam giác ABC hình bình hành ABKL, ACMN cho ABL ∼ CAM Các đường thẳng AN, AL theo thứ tự cắt CM, BK E, F Gọi P giao điểm nằm tam giác ABC đường tròn ngoại tiếp tam giác LME NF K Chứng minh B, C, O, P thuộc đường tròn Lời giải Gọi KB giao CM G ABL ∼ CAM nên dễ có ∠ABK + ∠ACM = 180◦ nên G nằm đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC Dễ thấy tứ giác AF GE hình bình hành nên ∠AF G = 180◦ − ∠F GE = ∠BAC Lại có góc nội tiếp ∠AGF = ∠ACB nên AF G ∼ BAC suy AC.F A = AB.F G = AB.AE Cũng từ tam giác đồng dạng ABL ∼ CAM dễ có AC.AL = AF AE AB.AN Từ suy = hay AL.AE = AF.AN A thuộc trục đẳng phương đường AL AN tròn ngoại tiếp tam giác LME NF K Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN D N L M A K P O Q F B C R E G T Hình Gọi KL giao MN D ta thấy ∠DNF = 180◦ −∠ANM = 180◦ −∠F KL suy D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác NF K Tương tự D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác LME Vậy DP Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN thuộc trục đẳng phương đường tròn ngoại tiếp tam giác LME NF K nên A thuộc DP Từ ý tứ giác DMEP DKF P nội tiếp dễ có ∠AP F + ∠AP E = ∠DME + ∠DKF = 180◦ P thuộc EF Gọi Q trung điểm AG dễ thấy ∠AOQ = ∠AOG = ∠ACG = ∠AMC = 180◦ − ∠DP E = 180◦ − ∠AP Q suy tứ giác AP QO nội tiếp mà OQ ⊥ AQ nên AP ⊥ OP SDAB SLAB AL.AB AB RB = = = = Từ AP đường Gọi AP giao BC R ta dễ có RC SDAC SLAC AN.AC AC đối trung tam giác ABC Vậy AP qua giao điểm hai tiếp tuyến B, C (O) T Từ OP ⊥ AP dễ thấy O, P, B, C thuộc đường tròn đường kính OT Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Khi hình bình hành hình vng ta thu kết hai toán Ta thấy để tới kết luận B, C, O, P thuộc đường tròn ta phải qua cơng đoạn chứng minh AP đường đối trung toán P thuộc EF ý a) toán Điểm P thực chất toán cố định không phục thuộc cách chọn hình bình hành hình chiếu tâm ngoại tiếp O lên đường đối trung Hình chiếu tâm ngoại tiếp O lên đường đối trung điểm đặc biệt tam giác có nhiều ứng dụng, chẳng hạn tâm phép đồng dạng biến đoạn thẳng CA thành AB Việc khai thác toán mở rộng mang lại cho nhiều toán đẹp Các bạn làm toán luyện tập sau Bài toán Cho tam giác ABC khơng cân A Dựng ngồi tam giác ABC hình chữ nhật đồng dạng ABKL, ACMN Các đường thẳng AN, AL theo thứ tự cắt CM, BK E, F Gọi P giao điểm nằm tam giác ABC đường tròn ngoại tiếp tam giác LME NF K Gọi KN giao LM Q Chứng minh ∠P AB = ∠QAC Tài liệu [1] http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=3067570 [2] http://diendantoanhoc.net/forum/ đề thi học sinh giỏi chuyên sư phạm Trần Quang Hùng, trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN E-mail: analgeomatica@gmail.com ... minh AP đường đối trung toán P thuộc EF ý a) toán Điểm P thực chất toán cố định khơng phục thuộc cách chọn hình bình hành hình chiếu tâm ngoại tiếp O lên đường đối trung Hình chiếu tâm ngoại tiếp... đoạn thẳng CA thành AB Việc khai thác toán mở rộng mang lại cho nhiều toán đẹp Các bạn làm toán luyện tập sau Bài tốn Cho tam giác ABC khơng cân A Dựng ngồi tam giác ABC hình chữ nhật đồng dạng ABKL,... qua giao điểm hai tiếp tuyến B, C (O) T Từ OP ⊥ AP dễ thấy O, P, B, C thuộc đường tròn đường kính OT Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Khi hình bình hành hình vng ta thu kết hai toán Ta thấy