Một số ứng dụng sai phân để tính tổng Đinh Công Hướng Trường Đại học Quy Nhơn Giới thiệu Bài tốn tính tổng, tổng riêng chuỗi số thường xuất kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Để giải toán này, người ta thường sử dụng phương pháp truyền thống quy nạp tốn học, sử dụng đạo hàm, tích phân, biến đổi đại số, sử dụng tính chất số phức, Trong báo này, giới thiệu phương pháp khác để giải tốn phương pháp sai phân Một số khái niệm tính chất sai phân Định nghĩa 2.1 Ký hiệu R tập hợp số thực Giả sử f : R −→ R hàm số cho trước h = const = Ta gọi sai phân cấp f đại lượng ∆f (x) = f (x + h) − f (x) Giả sử định nghĩa sai phân cấp n − f Khi đó, sai phân cấp n f định nghĩa sau: ∆n f (x) = ∆[∆n−1 f (x)](n 1), ∆0 f (x) := f (x) Ví dụ 2.2 ∆ sin(a + bx) = sin 2b cos a + 2b + bx ; ∆ cos(a + bx) = −2 sin 2b sin a + 2b + bx ; ∆x! = xx!; ∆(a + bx)(n) = bn(a + bx)(n−1) , đặc biệt ∆x(n) = nx(n−1) ; ∆n sin(a + bx) = sin 2b ∆n cos(a + bx) = sin 2b n sin a + bx + n cos a + bx + n(b+π) n(b+π) ; Định lý 2.3 a Sai phân số b Sai phân cấp tốn tử tuyến tính c ∆n (xn ) = n!hn ; ∆m (xn ) = 0, (m > n) n, m nguyên dương 43 d Nếu P (x) đa thức bậc n theo công thức Taylor n ∆P := P (x + h) − P (x) = i=1 n e f (x + nh) = n n f ∆ f (x) = hi (i) P (x) i! Cni ∆i f (x) i=0 (−1)i Cni f (x + (n − i)h) i=0 g Giả sử f ∈ C n [a, b] (x, x + nh) ⊂ [a, b] Khi ∆n f (x) = f (n) (x + θnh), hn θ ∈ (0, 1) h ∆fx gx = fx ∆gx + gx+1 ∆fx (Công thức sai phân phần) n ∆fx = fn+1 − fm , k (m < n) x=m l Nếu fx đa thức bậc n x biểu diễn dạng fx = f0 + x(1) ∆f0 + x(3) x(n) n x(2) ∆ f0 + ∆ f0 + · · · + ∆ f0 2! 3! n! Định nghĩa 2.4 Ta gọi x(n) = x(x − 1)(x − 2) · · · (x − n + 1) đa thức giai thừa Nhận xét 2.5 Ý tưởng đa thức giai thừa mở rộng cho trường hợp n khơng phải x(n+1) số nguyên dương Xuất phát từ cơng thức x(n+1) = (x − n)x(n) , ta có x(n) = x−n dùng để định nghĩa x(n) với n = 0, −1, −2, · · · Định lý 2.6 a x(0) = 1, x(−n) = b ∆x (n) (n−1) = nx (x+n)(n) với n = 0, −1, −2, · · · với n = 0, −1, −2, · · · Định nghĩa 2.7 Đa thức giai thừa tổng quát: x(n) = x(x − h)(x − 2h) · · · (x − (n − 1)h) (n+1) x Định lý 2.8 a ∆x(n) = nx(n−1) h, ∆−1 x(n) = (n+1)h (−n) −(n+1) (−n) b ∆x = −nhx , x = (x+h)(x+2h)···(x+nh) Tính tổng phương pháp sai phân Trước tiên ta xét toán sau: Xác định gx cho ∆gx = fx , với fx hàm biết Nhận xét rằng, gx lời giải tốn gx + C với C số lời giải Trong tài liệu ta kí hiệu gx + C = ∆−1 fx , C ∈ R Ta dễ dàng kiểm tra tính chất sau ∆−1 44 Định lý 3.1 a ∆−1 = C, C ∈ R b ∆−1 (fx ± gx ) = ∆−1 fx ± ∆−1 gx + C, C ∈ R c ∆−1 kfx = k∆−1 fx + C, k, C ∈ R d ∆−1 [fx ∆gx ] = fx gx − ∆−1 [gx+1 ∆fx ] + C, C ∈ R Ví dụ 3.2 a ∆−1 ax = −1 (n) b ∆ x = x(n+1) n+1 (n) c ∆−1 (a + bx) ax a−1 C ∈ R + C, = C ∈ R + C, (a+bx)(n+1) b(n+1) + C, C ∈ R d ∆−1 sin(a + bx) = −1 sin 2b cos a − 2b + bx + C, C ∈ R e ∆−1 cos(a + bx) = sin sin a − 2b + bx + C, C ∈ R b f ∆−1 (xx!) = x! + C, C ∈ R x 3x + C = 32 + C, C ∈ R g ∆−1 3x = 3−1 h x3 − 2x2 + 7x − 12 ≡ x(3) + x(2) + 6x(1) − 12 ∆−1 (x3 − 2x2 + 7x − 12) = ∆−1 (x(3) + x(2) + 6x(1) − 12) = ∆−1 x(3) + ∆−1 x(2) + 6∆−1 x(1) − 12∆−1 x(0) x(4) x(3) = + + 3x(2) − 12x(1) + C, C ∈ R k ∆−1 [x(x + 1)(x + 2)] = ∆−1 (x + 2)(3) (x + 2)(4) = +C (x + 2)(x + 1)(x)(x − 1) = + C, l ∆−1 (x3x ) Đặt fx = x, C ∈ R ∆gx = 3x Khi ∆fx = 1, gx = ∆−1 3x = 3x , gx+1 = 3x+1 = 3x 2 Do ta nhận 3x − ∆−1 3x · +C 2 3x 3x x = x· − + C = 3x − +C, 2 2 ∆−1 x3x = x · C ∈ R Tiếp theo ta đề cập đến việc tính tổng phương pháp sai phân Giả sử ta phải n−1 ak ta tìm dãy {xk } cho xk+1 − xk = ak Tức ∆xk = ak Khi tính tổng k=1 ta có n−1 n−1 ∆xk = xn − x1 = xk |n1 = ∆−1 ak |n1 ak = k=1 k=1 45 Ví dụ 3.3 Tính tổng · + · + · · · + n · (n + 1) Ta có fx = x(x + 1) = (x + 1)(2) n fx = ∆−1 (x + 1)(2) |n+1 1 (n + 2)(n + 1)n (1 + x)(3) n+1 (n + 2)(3) 2(3) |1 = − = = 3 3 Ví dụ 3.4 Tính tổng 12 + 22 + · · · + n2 Ta có fx = x2 = x(x − 1) + x = x(2) + x(1) n fx = ∆−1 [x(2) + x(1) ]|n+1 1 x(3) x(2) n+1 (n + 1)(3) (n + 1)(2) (n + 1)n(n − 1) (n + 1)n = [ + ]|1 = + = + 3 n(n + 1)(2n + 1) = Ví dụ 3.5 Tính tổng n số hạng chuỗi với số hạng tổng quát x3 + 7x Ta có fx = x3 + 7x = x(3) + 3x(2) + 8x(1) n fx = ∆−1 [x(3) + 3x(2) + 8x(1) ]|n+1 1 x(4) (n + 1)(4) + x(3) + 4x(2) ]|n+1 + (n + 1)(3) + 4(n + 1)(2) = 4 = n(n + 1)(n2 + n + 14) = [ Ví dụ 3.6 Tính tổng n S= ak , k=1 ak = √ (k + 1) k + k k + √ Ta có 1 √ √ =√ √ √ √ (k + 1) k + k k + k k + 1( k + k + 1) √ √ k+1− k 1 √ √ = =√ −√ = −∆ √ k+1 k k+1 k k ak = Do n n ak = − S= k=1 1 ∆√ = − √ −1 =1− √ n + n + k k=1 46 Ví dụ 3.7 Tính tổng n số hạng chuỗi với số hạng tổng quát x2x (x + 2)! Ta phải tìm g(x) cho ∆g(x) = f (x) = x2x (x + 2)! Sử dụng định nghĩa sai phân ta giả sử g(x) = f (x) x , (x + 1)! f (x) đa thức x Từ ∆g(x) = g(x + 1) − g(x) = f (x), ta có f (x + 1)2x+1 f (x)2x x2x − = (x + 2)! (x + 1)! (x + 2)! hay 2f (x + 1) − (x + 2)f (x) = x Vế phải phương trình tuyến tính Do vế trái phải tuyến tính, nên f (x) phải hàm Giả sử f (x) ≡ k Khi f (x) = k f (x + 1) = k 2k − (x + 2)k = x Từ ta có k = −1 = f (x) Vậy g(x) = n n f (x) = 1 −1 · 2x (x + 1)! x2x (x + 2)! x2x n+1 −2x n+1 |1 = | (x + 2)! (x + 1)! 2n+1 = 1− (x + 2)! = ∆−1 47 Ví dụ 3.8 Tính tổng n số hạng chuỗi với số hạng tổng quát Ta phải tìm g(x) cho ∆g(x) = f (x) = Giả sử g(x) = 2x − 2x−1 f (x) 2x−1 Vì ∆g(x) = f (x) = nên 2x−1 2x−1 2x − 2x−1 f (x + 1) f (x) f (x) − x−1 = x−1 x 2 hay f (x + 1) − 2f (x) = 4x − Vế phải phương trình tuyến tính Do vế trái phải tuyến tính, nên f (x) phải có dạng f (x) = ax + b, kéo theo f (x + 1) = ax + a + b Do (ax + a + b) − 2(ax + b) = 4x − Cân hệ số ta nhận ax − 2ax = 4x, a + b − 2b = −2 Suy a = −4, b = −2 f (x) = −4x − Từ g(x) = n 2x + −4x − = − x−2 x−1 2 n f (x) = 1 2x − 2x−1 2x − n+1 2x + |1 = − x−2 |n+1 x−1 2 2n + = − n−1 = ∆−1 Ví dụ 3.9 Tính tổng n số hạng chuỗi với số hạng tổng quát (2x sin2 2θx )2 Dễ tính θ θ ∆−1 (2x sin2 x )2 = (2x−1 sin x−1 )2 2 Do n θ θ θ (2x sin2 x )2 = (2x−1 sin x−1 )2 |n+1 = 22n sin2 n − sin2 θ 2 16 48 Ví dụ 3.10 Tính tổng sau S = 21 sin 2011 2011 sin 21 21+1 +22 sin 2011 2011 sin 22 22+1 + · · · + 2n sin 2011 2011 sin 2n 2n+1 Dễ tính ∆−1 2x sin Do S = 2x−2 sin ∞ Ví dụ 3.11 Tính tổng sau i=0 n−1 2011 2011 sin x+1 x 2 i=0 = 2x−2 sin 2011 2x−1 2011 n+1 2011 |1 = 2n−1 sin n − sin 2011 x−1 2 (i+1)(i+2) Ta có ∆i(−1) = − (i+1)(i+2) Do =− (i + 1)(i + 2) Sn = − n−1 ∆i(−1) = − i=0 n+1 Vì chuỗi có tổng n Ví dụ 3.12 Tính tổng sau i=1 i(n) i(i+1)(i+2) Sử dụng đa thức giai thừa với số mũ âm, ta 1 − = 2i(i + 1) 2(i + 1)(i + 2) i(i + 1)(i + 2) Do tổng 1 − 2(n + 1)(n + 2) ∞ chuỗi i=1 i(n) i(i+1)(i+2) hội tụ, có tổng 41 Ví dụ 3.13 Tính tổng 1 + + ··· + 1·3·5 3·5·7 (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) Ta có (x − h)(−3) = 1 = (x − h + h)(x − h + 2h)(x − h + 3h) x(x + h)(x + 2h) Với h = ta có x=2n−1 (x − 2)(−3) = ∆−1 (x − 2)(−3) |2n−1 = x=1 = (x − 2)(−2) 2n−1 (2n − 1)(−2) (−1)(−2) | = − (−2)2 −4 −4 −1 −1 1 · − = − (2n + 1)(2n + 3) 12 4(2n + 1)(2n + 3) 49 Ví dụ 3.14 Tính tổng 12 + 42 + 72 + · · · + (3n − 2)2 Ta có x(2) = x(x − h) = x2 − xh hay x(2) + hx(1) = x2 , với h = x=3n−2 x=3n−2 x2 = x=1 = (x(2) + x(1) ) = x=1 x(3) 3x(2) 3n+1 + | (3 · 3) (2 · 3) (3n + 1)(3n − 2)(3n − 5) (3n + 1)(3n − 2) (−2)(−5) (−2) n(6n2 − 3n − 1) + − − = 9 2 Ví dụ 3.15 Tính tổng 1 1 + + + ··· + 1·4 2·5 3·6 n(n + 3) Tổng cho viết dạng x=n x=1 x(x + 3) Trước hết ta để ý (x + 1)(x + 2) (x + 1)(x + 2) = = x(x + 3) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) (x + 3)(4) tìm hệ số c0 , c1 , c2 cho (x + 1)(x + 2) = c0 + c1 (x + 3)(1) + c2 (x + 3)(2) = c0 + c1 (x + 3) + c2 (x + 3)(x + 2) Đồng ta tìm c0 = 2, c1 = −2, c2 = Vì vậy, − 2(x + 3) + (x + 3)(x + 2) = x(x + 3) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 2 − + x(x + 1)(x + 2)(x + 3) x(x + 1)(x + 2) x(x + 1) = 2(x − 1)(−4) − 2(x − 1)(−3) + (x − 1)(−2) Mặt khác, ta có ∆−1 x=n x=1 =− 2(x − 1)(−3) 2(x − 1)(−2) (x − 1)(−1) = −2 + x(x + 3) −3 −2 −1 2(x − 1)(−3) 2(x − 1)(−2) (x − 1)(−1) n+1 ={ −2 + }|1 x(x + 3) −3 −2 −1 1 1 + − + − + 3(n + 1)(n + 2)(n + 3) (n + 1)(n + 2) n + 3(1)(2)(3) (1)(2) 11 1 − + − = 18 n + (n + 1)(n + 2) 3(n + 1)(n + 2)(n + 3) 50 Tài liệu [1] Nguyễn Văn Mậu (2005), Một số ví dụ chọn lọc dãy số, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thuỷ Thanh (2003), Giới hạn dãy số hàm số, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Mậu (2007), Chuyên đề Toán rời rạc số vấn đề liên quan, NXB Giáo Dục [4] Lê Đình Thịnh tác giả khác (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Trọng Tuấn (2004), Ví dụ hàm số qua kỳ thi Olimpic, NXB Giáo dục 51