Câu lạc Toán học Viện Toán học Hà Nội 18 Hoàng Quốc Việt Cầu Giấy, Hà Nội Bàitập nhà số 31/10/2010 Bài Một người vào Bưu điện lĩnh tiền người ta gửi đến Người phát tiền đưa nhầm: số đơla số xu ghi giấy, số xu số đơla Người lĩnh tiền không đếm lại, mà bỏ vào túi, đồng thời đánh rơi đồng xu Về đến nhà, thấy số tiền nhận gấp đơi số ghi giấy chuyển tiền Hỏi giấy ghi bao nhiêu? (1 đôla = 100 xu) Bài Nam Hà xuống tầng thang máy (chạy liên tục) siêu thị Nam bảo: ”Tớ đếm 50 bậc”, Hà bảo: ”Tớ đếm 75 bậc” Hỏi thang máy đứng n có bậc, biết Hà, Nam, thang máy chuyển động với tốc độ tốc độ Hà gấp lần tốc độ Nam Bài Tìm số phương có chữ số mà tổng số lập nên chữ số đầu số lập nên chữ số cuối lũy thừa bậc Bài Tìm số phương nhỏ số phương lớn chứa chữ số đến 9, chữ số xuất lần Bài Tìm hai số nhỏ có tính chất: hiệu bình phương chúng lũy thừa bậc 3; hiệu lập phương chúng lũy thừa bậc Bài (Kvant M2184) Biết đồ thị hàm số y = f (x) có tính chất sau: đường thẳng mặt phẳng tọa độ cắt đồ với số điểm số điểm mà đường thẳng cắt đồ thị hàm số y = x2 Chứng minh f (x) = x2 Bi (Kvant M2186) Nam tc Mă unchhause khng nh để xác định đa thức P (x) với hệ số nguyên không âm ông cần biết hai số P (2) P (P (2)) Liệu Nam tước có nói khơng? Bài (Thi Olympic Matxcơva 2010) Cho x, y, z p, q số thực thỏa mãn y = xn + px + q z = y n + py + q x = z n + pz + q Chứng minh x2 y + y z + z x ≥ xy + yz + zx2 với n = 2; n = 2010 Bài Chứng minh phương trình y = x3 − khơng có nghiệm ngun Bài 10 Tìm số phân tử tậphợp sau Các tập [10] = {1, 2, , 10} chứa số lẻ; Các hoán vị P [6] cho P (1) = 2; Có gái chàng trai Mỗi cô iu anh (và ngược lại, anh u cơ) Có bao nhiều cách có thể? Các cách phân 10 người vào nhóm, nhóm người; Các hợp thành 19 sử dụng số 3; Các cách xếp chữ từ MISSISSIPPI cho chữ S không đứng cạnh nhau; Số dãy số gồm số số cho khơng có hai số đứng cạnh nhau; Các ánh xạ từ [5] vào [5] cho có số vào số Bài 11 Một hộp có bóng xanh, bóng đỏ bóng vàng Lấy quả, Hỏi có cách lấy (các màu coi nhau) Bài 12 Một người nghĩ cách chia 900 đồng tiền vàng làm 30 phần để tiêu 30 ngày Sau lại nghĩ cách chia 900 đồng tiền để ngày tiêu 30 đồng, ngày Hỏi số cách chia theo kiểu nhiều hay số cách chia theo kiểu ? Bài 13 Một ngơi nhà có số chẵn bóng đèn chia vào phòng cho phòng có bóng Mỗi bóng đèn chung cơng tắc với bóng khác đèn khác, khơng thiết phòng Mỗi lần thay đổi trạng thái cơng tắc thay đổi trạng thái cặp bóng đèn nối với Chứng minh dù trạng thái ban đầu ta có cách tắt bật cơng tắc đề cuối phòng có đèn bật đèn tắt Bài 14 Hai người chia bánh, người thứ chia người thứ hai chọn Rất dễ thấy người thứ cố gắng chia thành hai phần mà cho nhau, người thứ hai chọn phần cho lớn phần hai người hài lòng Tìm phương pháp cho ba người chia chọn để ba hài lòng (Một người cảm thấy hài lòng nghĩ nhiều 1/3 bánh); Tìm phương pháp chia bánh cho n người mà n người hài lòng (Một người cảm thấy hài lòng nghĩ nhiều 1/n bánh) Bài 15 Cho z1 , , zn , n > số phức biểu diễn mặt phẳng tọa độ gốc O Với A tập {1, 2, , n}, ký hiệu zA = i∈A zi Giả sử 2n véctơ Oz A , A ⊂ {1, 2, , n} có phương khác Với σ = {i1 , , in } hoán vị {1, 2, , n} ta ký hiệu s0 (σ) = 0, sk (σ) = zi1 + zi2 + · · · + zik , k = 1, , n Pσ bao lồi điểm s0 (σ), s1 (σ), , sn (σ) Chứng minh tập A có m phần tử số n! đa giác Pσ có 2(m − 1)!(n − m)! đa giác chứa cạnh song song OzA