TIÊUCHUẨNCHIAHẾT CỦA TAMTHỨC X m X n CHO CÁC TAMTHỨC X X VÀ X X TRẦN VĂN VUÔNG Viện khoa học Giáo dục - Trong toán này, xác định mối liên hệ chặt chẽ tính chiahếttamthức x m x n tính chiahết số mũ m, n Nhưng tiêuchuẩn ứng dụng để phân tích tamthức x m x n thành nhân tử, rút gọn phân thức,… Tiêuchuẩnchiahếttamthức x m x n chotamthức x x mn chiahếtcho Chứng minh: Biểu diễn m, n dạng: m 3k r ; k, r N , r n 3l s ; l, s N, s Khi đó: x m x n (x 3k 1) x r (x 3l 1) x s x r x s Vì x 3k x 3l chiahếtcho x (x 1)(x x 1) Nên x m x n x x x m x s x x r s Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta có: x x x x r 1, s 2, r 2, s Mặt khác: mn (3k r) (3l s) 3(3kl ks lr) rs Nên mn rs Nhưng rs r 1, s 2, r 2, s Vậy x m x n x x mn Hệ 1: x m x n x x n Hệ 2: x m x n x x n Tiêuchuẩnchiahếttamthức x m x n chotamthức x x Tuyển tập chuyên đề ôn thi học sinh giỏi báo toán học tuổi trẻ Page Định lý 2:Tam thức x m x n chiahếtchotamthức x x mn m n chiahếtcho Chứng minh: Biểu diễn m, n dạng: m 6k r ; k, r N, r 5, n 6l s ; l, s N, s 5, Khi đó: x m x n (x 6k 1) x r (x 6l 1) x s x r x s x 6k x 6l chiahếtcho Vì Nên x (x 1)(x 1)(x x 1) x m x n x2 x x r xs x x Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta có: x r x s x x r 2, s r 4, s Mặt khác, ta có: mn (6k r)(6l s) 6(6kl ks lr) rs m n 6k r 6l s 6(k l) r s Nên mn m n rs r s Nhưng rs r s r 2, s r 4, s Vậy x m x n x x mn m n Hệ 3: x n x x x n Hệ 4: Với n tự nhiên, tamthức x n x không chiahếtcho x x Tiêuchuẩnchiahếttamthức x m x n chotamthức x x Định lý 3: Tamthức x m x n chiahếtchotamthức x x khi mn m n chiahếtcho Chứng minh: Vì x x (x x 1)(x x 1) nên x m x n x x theo định lí ta phải có mn m n chiahếtcho Ngược lại, mn m n chiahếtcho theo định lí ta có xm xn x2 x Tuyển tập chuyên đề ôn thi học sinh giỏi báo toán học tuổi trẻ Page Hơn nữa, mn ta có mn nên theo định lí ta có x m x n x x Như vậy, mn m n chiahếtcho x m x n chiahếtcho x x lẫn x x Mặt khác đa thức x x x x nguyên tố (vì 1 (x 1) (x x 1) (1 x) (x x 1) nên suy x m x n chiahết 2 cho (x x 1)(x x 1) x x Vậy x m x n x x mn m n Hệ 5: x 6m x 6n x x x 6m x 6n x x Ứng dụng Ví dụ 1: Phân tích tamthức x x thành nhân tử Giải: Theo định lí ta có x x x x Do x x (x x 1) (x x x x 1) Ví dụ 2: Phân tích tamthức x x thành nhân tử Giải: Theo định lí ta có x x x x Do x x (x x 1)(x x 1) (x x 1) (x x 1) (x x 1)(x x 1) Ví dụ 3: Rút gọn phân thức x8 x x10 x Giải: Theo định lí 2, tử thức lẫn mẫu thứcchiahếtcho x x Do đó: x8 x x4 x2 x10 x x6 x4 Ví dụ 4: Chứng minh với số nguyên dương k, l ta có 23k 23l hợp số Giải: Đặt m 3k 1, n 3l , ta có: Tuyển tập chun đề ơn thi học sinh giỏi báo toán học tuổi trẻ Page mn (3k 1)(3l 1) 9kl 3k 3l nên theo định lí 23k 23l 22 (đ.p.c.m) Bài tập 1) CMR x 3000 x 2000 x1000 x x 2) CMR x m x n x x x 2m x 2n x x 3) Phân tích tamthức x16 x14 thành nhân tử 4) Rút gọn phân thức x11 x x7 x2 5) CMR x m x n x x phương trình x m x n khơng có nghiệm số thực 6) Cho m, n, k ba số nguyên dương Hỏi k 3m k 3n có phải hợp số hay không? Tuyển tập chuyên đề ôn thi học sinh giỏi báo toán học tuổi trẻ Page ... nhiên, tam thức x n x không chia hết cho x x Tiêu chuẩn chia hết tam thức x m x n cho tam thức x x Định lý 3: Tam thức x m x n chia hết cho tam thức x x khi mn m n chia. ..Định lý 2 :Tam thức x m x n chia hết cho tam thức x x mn m n chia hết cho Chứng minh: Biểu diễn m, n dạng: m 6k r ; k, r N,... m n chia hết cho x m x n chia hết cho x x lẫn x x Mặt khác đa thức x x x x nguyên tố (vì 1 (x 1) (x x 1) (1 x) (x x 1) nên suy x m x n chia hết 2 cho (x