Tieu chuan chia het cho tam thuc

TIÊU CHUẨN CHIA HẾT CỦA TAM THỨC X m  X n  CHO CÁC TAM THỨC X  X  VÀ X  X  TRẦN VĂN VUÔNG Viện khoa học Giáo dục - Trong toán này, xác định mối liên hệ chặt chẽ tính chia hết tam thức x m  x n  tính chia hết số mũ m, n Nhưng tiêu chuẩn ứng dụng để phân tích tam thức x m  x n  thành nhân tử, rút gọn phân thức,… Tiêu chuẩn chia hết tam thức x m  x n  cho tam thức x  x  mn  chia hết cho Chứng minh: Biểu diễn m, n dạng: m  3k  r ; k, r  N ,  r  n  3l  s ; l, s  N,  s  Khi đó: x m  x n   (x 3k  1) x r  (x 3l  1) x s  x r  x s  Vì x 3k  x 3l  chia hết cho x   (x  1)(x  x  1) Nên x m  x n   x  x  x m  x s   x  x  r s Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta có: x  x   x  x  r  1, s  2, r  2, s  Mặt khác: mn   (3k  r) (3l  s)   3(3kl  ks  lr)  rs  Nên mn   rs   Nhưng rs   r  1, s  2, r  2, s  Vậy x m  x n   x  x   mn   Hệ 1: x m  x n   x  x   n   Hệ 2: x m  x n   x  x   n   Tiêu chuẩn chia hết tam thức x m  x n  cho tam thức x  x  Tuyển tập chuyên đề ôn thi học sinh giỏi báo toán học tuổi trẻ Page Định lý 2:Tam thức x m  x n  chia hết cho tam thức x  x  mn  m  n chia hết cho Chứng minh: Biểu diễn m, n dạng: m  6k  r ; k, r  N,  r  5, n  6l  s ; l, s  N,  s  5, Khi đó: x m  x n   (x 6k  1) x r  (x 6l  1) x s  x r  x s  x 6k  x 6l  chia hết cho Vì Nên x   (x  1)(x  1)(x  x  1) x m  x n   x2  x   x r  xs   x  x  Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta có: x r  x s   x  x   r  2, s  r  4, s  Mặt khác, ta có: mn   (6k  r)(6l  s)   6(6kl  ks  lr)  rs  m  n  6k  r  6l  s  6(k  l)  r  s Nên mn   m  n   rs   r  s  Nhưng rs   r  s   r  2, s  r  4, s  Vậy x m  x n   x  x   mn   m  n  Hệ 3: x n  x   x  x   n   Hệ 4: Với n tự nhiên, tam thức x n  x  không chia hết cho x  x  Tiêu chuẩn chia hết tam thức x m  x n  cho tam thức x  x  Định lý 3: Tam thức x m  x n  chia hết cho tam thức x  x  khi mn  m  n chia hết cho Chứng minh: Vì x  x   (x  x  1)(x  x  1) nên x m  x n   x  x  theo định lí ta phải có mn  m  n chia hết cho Ngược lại, mn  m  n chia hết cho theo định lí ta có xm  xn   x2  x  Tuyển tập chuyên đề ôn thi học sinh giỏi báo toán học tuổi trẻ Page Hơn nữa, mn   ta có mn   nên theo định lí ta có x m  x n   x  x  Như vậy, mn  m  n chia hết cho x m  x n  chia hết cho x  x  lẫn x  x  Mặt khác đa thức x  x  x  x  nguyên tố (vì 1 (x  1) (x  x  1)  (1  x) (x  x  1) nên suy x m  x n  chia hết 2 cho (x  x  1)(x  x  1)  x  x  Vậy x m  x n   x  x   mn   m  n  Hệ 5: x 6m   x 6n    x  x  x 6m   x 6n    x  x  Ứng dụng Ví dụ 1: Phân tích tam thức x  x  thành nhân tử Giải: Theo định lí ta có x  x   x  x  Do x  x   (x  x  1) (x  x  x  x  1) Ví dụ 2: Phân tích tam thức x  x  thành nhân tử Giải: Theo định lí ta có x  x   x  x  Do x  x   (x  x  1)(x  x  1)  (x  x  1) (x  x  1)  (x  x  1)(x  x  1) Ví dụ 3: Rút gọn phân thức x8  x  x10  x  Giải: Theo định lí 2, tử thức lẫn mẫu thức chia hết cho x  x  Do đó: x8  x  x4  x2   x10  x  x6  x4  Ví dụ 4: Chứng minh với số nguyên dương k, l ta có 23k   23l   hợp số Giải: Đặt m  3k  1, n  3l  , ta có: Tuyển tập chun đề ơn thi học sinh giỏi báo toán học tuổi trẻ Page mn   (3k  1)(3l  1)   9kl  3k  3l  nên theo định lí 23k   23l    22   (đ.p.c.m) Bài tập 1) CMR x 3000  x 2000  x1000  x  x  2) CMR x m  x n   x  x  x 2m  x 2n   x  x  3) Phân tích tam thức x16  x14  thành nhân tử 4) Rút gọn phân thức x11  x  x7  x2  5) CMR x m  x n   x  x  phương trình x m  x n   khơng có nghiệm số thực 6) Cho m, n, k ba số nguyên dương Hỏi k 3m   k 3n   có phải hợp số hay không? Tuyển tập chuyên đề ôn thi học sinh giỏi báo toán học tuổi trẻ Page ... nhiên, tam thức x n  x  không chia hết cho x  x  Tiêu chuẩn chia hết tam thức x m  x n  cho tam thức x  x  Định lý 3: Tam thức x m  x n  chia hết cho tam thức x  x  khi mn  m  n chia. ..Định lý 2 :Tam thức x m  x n  chia hết cho tam thức x  x  mn  m  n chia hết cho Chứng minh: Biểu diễn m, n dạng: m  6k  r ; k, r  N,... m  n chia hết cho x m  x n  chia hết cho x  x  lẫn x  x  Mặt khác đa thức x  x  x  x  nguyên tố (vì 1 (x  1) (x  x  1)  (1  x) (x  x  1) nên suy x m  x n  chia hết 2 cho (x