ms printa booklet

319 Giải Nếu t = Tập xác định R Đặt a= √ 288 √ √ 3 7x + 1, b = − x2 − x − 8, c = x2 − 8x − Khi   x = 16 ⇔ 13  y = 16 −3 ; , ; ✷ 16 16 16 16 √ √ √ 2x + − x − y = 2 (1) Bài 19: Giải hệ phương trình √ √ √ √ 2x + − x + 2y = + (2) a3 + b3 + c3 = (1) a+b+c=2 (2) Vậy hệ có nghiệm (x; y) = Mặt khác ta có đẳng thức (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) √ a 1 ⇒ = kết hợp với a + b = b   3x − y = ⇒  x + y = (3) Giải Thay (1), (2) vào (3) ta  a = −b  (a + b)(b + c)(c + a) = ⇔  b = −c c = −a Vậy   √ √ 7x + = x2 − x − 7x + = x2 − x − √ √   3  x − x − = x2 − 8x − ⇔  x2 − x − = x2 − 8x − √ √ x2 − 8x − = −7x − x2 − 8x − = − 7x +   x = −1 x2 − 8x − =  x=9   ⇔  7x = ⇔  x=1 x2 − x = x = Thay giá trị −1, 0, 1, vào phương trình cho thấy thoả mãn Vậy phương trình có tập nghiệm S = {−1; 0; 1; 9} ✷ Ví dụ 19 Cho a= √ √ √ √ √ √ 2x + − x + 2x + − x = y − Bài 26 Giải phương trình √ √ √ √ 3 3x2 − x + 2001 − 3x2 − 7x + 2002 − 6x − 2003 = 2002 Giải V T (3) (2x + 12 − 2x) + √ √ 2x + − x 6+ √ 3.6 = + (∗) √ + (∗∗) Từ (*), (**) (3) suy √ √  2x = − x  √ √ x=2 √ V T (3) = V P (3) = + ⇔ √ 2x = − x ⇔  √ y =  y = Thử lại ta thấy hệ có nghiệm (x; y) = (0; 6) ✷   x2 − x − y.√ x−y =y Bài 20: Giải hệ phương trình 2(x2 + y ) = 11 + 3√2x − Giải > Trong phương trình thứ nhất, x − y y dấu Nếu y thuẫn Do đó, x > y > √ Đặt x − y = a > ⇒ x − y = a3 Ta có (x2 − x − y)a2 = y Thay y = x − a3 , ta được: Ta thấy 2x − 0⇒x x y > x − y (x2 − 2x + a3 )a2 = (x − a3 )2 Đẳng thức tương đương với: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = √ Dễ dàng nhận thấy V P (3) √ √ √ 3 a = 3x2 − x + 2001, b = − 3x2 − 7x + 2002, c = − 6x − 2003 Khi √ + + (3) √ √ √ √ √ √ Lại có: V T (3) = 2x + 12 − 2x + 2x + 24 − 4x Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho V T (3) ta √ √ 3x2 − x + 2001, b = − 3x2 − 7x + 2002, c = − 6x − 2003 a3 + b3 + c3 = 2002 Ta toán sau Đặt ĐKXĐ: x ∈ [0; 6] Cộng vế theo vế hai phương trình hệ ta a2 x2 − 2a2 x + a5 = x2 − 2a3 x + a6 0, mâu 289 318 ⇔ 2x2 − 5x + = (x + 4)(x − 5)(x + 1) Rõ ràng a = đẳng thức nên phân tích thành nhân tử, ta được: ⇔ 2(x2 − 4x − 5) + 3(x + 4) = (x2 − 4x − 5)(x + 4) (a − 1)(x2 + 2a2 x + ax − a5 ) = Dễ thấy x2 + 2a2 x + ax − a5 xảy a5 max{a3 , a6 } = max{x − y, (x − y)2 } Nếu max{x − y, (x − y)2 } = (x − y)2 dễ thấy a5 (x − y)2 < x2 < x2 + 2a2 x + ax Nếu max{x−y, (x−y)2 } = x−y dễ thấy a5 x−y, suy < x−y từ PT thứ hai, 11 với x2 + y Nếu x x2 + y 2, mâu thuẫn Suy x > ⇒ x2 > x > > x − y Trong hai trường hợp, ta có x2 + 2a2 x + ax − a5 > Vậy a = ⇒ y = x − 1, thay vào phương trình thứ hai, ta được: √ √ 2(2x2 − 2x + 1) = 11 + 2x − ⇔ (2x − 1)2 − 10 = 2x − √ Đặt 2x − = b ta phương trình sau: b4 − 10 = 3b ⇔ (b − 2)(b3 + 2b2 + 4b + 5) = Dễ thấy PT có nghiệm khơng âm b = 2, tương ứng với nghiệm hệ cho ✷ (x, y) = , 2  x3 − 3x2 + = y + 3y Bài 21: Giải hệ phương trình 3√x − = y + 8y Với điều kiện x 5, chia hai vế (2) cho x + > ta Đặt t = x2 − 4x − x+4 x2 − 4x − +3=5 x+4 x2 − 4x − x+4 (3) 0, thay vào (3) ta  2t2 − 5t + = ⇔  t=1 t= Khi t = 1, ta có √ x2 − 4x − 5± = ⇔ x − 5x − = ⇔ x = x+4 Khi t = , ta có x2 − 4x − = , nghĩa x+4  4(x2 − 5x − 5) = 9x + 36 ⇔ 4x2 − 35x − 56 = ⇔  Giải Điều kiện: x 2, y (y + 3) 0, y(y + 8) Phương trình thứ viết lại là: Đặt x − = a √ 1, y + = b 0⇒y x3 − 3x2 + = y √ 3, ta có: x=− 5+ √ 61 ✷ y+3 xây dựng phương trình từ đẳng thức Xuất phát từ đẳng thức đó, xây dựng lên phương trình vơ tỉ Chẳng hạn từ đẳng thức (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) y + ⇒ y = a2 − Bình phương hai vế PT thứ hai, ta được: 9(x − 2) = y + 8y hay 9(a − 1) = (a2 − 3)(a2 + 5) Đoán nghiệm a = phân tích thành nhân tử, ta được: x=8 Kết hợp với điều kiện ta nghiệm phương trình cho x = 8, x = a3 − 3a = b3 − 3b ⇔ (a − b)(a2 + b2 + ab − 3) = √ Dễ thấy a2 + b2 + ab + + > nên ta a = b hay a= (2) (a − 2)(a + 2a + 6a + 3) = Suy phương trình có nghiệm a = tương ứng với nghiệm hệ (x, y) = (3, 1) Thử lại ta thấy thỏa.Vậy hệ có nghiệm (x, y) = (3, 1) ✷ √  x + = y3 −   Bài 22: Giải hệ phương trình (I) y + = z − 25    √z + = x3 + ta có (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = Bằng cách chọn a, b, c cho (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 ta xẽ tạo phương trình vơ tỉ chứa bậc ba Ví dụ 18 Cho a= √ √ √ 3 7x + 1, b = − x2 − x − 8, c = x2 − 8x − a3 + b3 + c3 = Ta toán sau Bài 25 (Đề nghị OLYMPIC 30/04/1999) Giải phương trình √ 7x + − √ x2 − x − + √ x2 − 8x − = 317 Vậy 290 Giải √ x2 + 2x − 23 ± 341 = ⇔ x2 − 23x + 47 = ⇔ x = x−2 √ 23 ± 341 Kết hợp với điều kiện ta thấy phương trình cho có hai nghiệm x = ✷ Đặt a = − x2 x (1) Lại có: Giải Do x4 + 2x3 + 2x2 − 2x + = x2 (x + 1)2 + (1 − x)2 > 0, ∀x ∈ R nên x nghiệm (1)   x>0 ⇔ < x <  1−x >0 x Với điều kiện a b ⇒ b2 − c2 − Suy ra: a2 − 3 +1> √ 3⇒ > 13 25 > 23  √  a >   a2 − > ⇒ √ b> √ √ c> 3−1> (∗) Ta có: (1) ⇔ x2 (x + 1)2 + (1 − x)2 = (x2 + 1) (1 − x)[x(1 + x)] (2) Đặt u = x(1 + x), v = − x (điều kiện u > 0, v > 0) Khi u + v = x2 + Vậy (2) trở thành √ √ √ u u u u 2 √ +√ +1= (3) u + v = (u + v) uv ⇔ v v v v √ u Đặt t = √ , thay vào (3) ta v t4 + = t3 + t ⇔ (t − 1)(t3 − 1) = ⇔ t = x(1 + x) = − x ⇔ x2 + 2x − = ⇔ Phương trình cho có nghiệm x = −1 + √ √ x = −1 + √ x = −1 − (loại) ✷ Bài 24 Giải phương trình √ √ √ 5x2 + 14x + − x2 − x − 20 = x + (1) Giải Điều kiện     5x + 14x +  (x + 1)(5x + 9)  ⇔ x − x − 20 (x + 4)(x − 5) ⇔ x     x+1 x+1 Ta có √ √ √ 5x2 + 14x + = x2 − x − 20 + x + √ √  f (b) = b2 − 2b − > 3.1.2 − > ∀b >    √ √   g (c) = c2 − 2c − > 3.22 − > ∀c >    √ √ 2   h (a) = a − 2a − > .2 − > .2 − > ∀a(∗) 2 Suy ra: f (b), g(c), h(a) hàm đồng biến f (2) = g(2) = h(2) = Nếu a > : ⇒ h(a) > h(2) = ⇒ c > a > ⇒ g(c) > g(2) = ⇒ b > c > ⇒ f (b) > f (2) = ⇒ a > b > ⇒ a > b > c > a Vậy trường hợp loại Lý luận tương tự với a < Vậy ta có: a = ⇒ c = a + h(a) = ⇒ b = c + g(c) = √    x + = x=1     a=b=c=2⇔ y+2=2 ⇔ y =2   √    z+1=2 z = √ u Vậy √ = ⇔ u = v Do v (1) ⇔ 0) ta có:   3   a − b = b2 − − b − = f (b) a = b − −     3 (I) ⇔ b = c2 − − 25 ⇔ b − c = c2 − − c − 25 = g(c)     3   c − a = a2 − − a + = h(a) c = a2 − + Bài 23 Giải phương trình x4 + 2x3 + 2x2 − 2x + = x3 + x √ √ √ x + 3, b = y + 2, c = z + (a, b, c Thử lại ta thấy hệ phương trình có nghiệm là: (x; y; z) = (1; 2; 3) ✷ Nhận xét: Nếu đốn nghiệm hệ, ta có lời giải đẹp sau: Ta có:  x−1  √  √ = (y − 2)(y + 2y + 4)   x + +   x + − = y − √  y−2 = (z − 3)(z + 3z + 9) (I) ⇔ y + − = z − 27 ⇔ √ y+2+2   √   z + − = x3 − z−3   √ = (x − 1)(x2 + x + 1) z+1+2  √  x − = (y − 2)(y + 2y + 4)(√x + + 2) (1) ⇔ y − = (z − 3)(z + 3z + 9)( y + + 2) (2)  √  z − = (x − 1)(x2 + x + 1)( z + + 2) (3) 291 Nếu x = :⇒ y= 2, z =    (1) ⇒ |x − 1| > |y − 2| Từ hệ ta có: (2) ⇒ |y − 2| > |z − 3|    (3) ⇒ |z − 3| > |x − 1| 316 Vậy x2 − x + 1 = √ ⇔ 2x2 − 4x + = ⇔ x = x +x+1 (mâu thuẫn) Phương trình cho có nghiệm x = ✷ Vậy x = ⇒ y = 2, z = √ Bài 21 Giải phương trình 2(x2 − 3x + 2) = x3 +  2x + 2y − √xy = Bài 23: Giải hệ phương trình √  3x + + √3y + = Giải Điều kiện : x > −3 Phương trình tương đương Giải 2(x2 − 2x + 4) − 2(x + 2) = (x + 2)(x2 − 2x + 4) Nnhận thấy phương trình thứ hệ có hệ số bậc x; y tỉ lệ với nên ta thêm bớt để đưa đồng hệ số 3√ √ xy = Từ phương trình thứ ta có 2x + 2y − xy = ⇔ (2x + 2y) − 2  √ a −  x =  3x + = a ⇔ Đặt √ b −  3y + = b  y =  (3x + 1) + (3y + 1) − √xy = 13 2 Hệ phương trình cho tương đương √  3x + + √3y + = Thay a; b vào hệ ta có  a2 + b − a + b =  S = a + b Đặt P = ab (a2 − 1)(b2 − 1) = 13 ⇔ − Đặt t = x2 x+2 − 2x + x2 x+2 =3 − 2x + x2 x+2 − 2x + Khi  t = − 2t = 3t ⇔ 2t + 3t − = ⇔  t = −2 (loại) 2 Vậy √ x = − 13 x+2 √ = ⇔ x − 6x − = ⇔ x2 − 2x + x = + 13 √ √ Phương trình cho có hai nghiệm x = − 13 x = + 13 ✷ Bài 22 (Đề nghị OLYMPIC 30/04/2009) Giải phương trình √ (2) vào (1) ta có √ √ √ x2 + x − + x − − 3x2 − 6x + 19 = Giải P + 2P − 15 = 19 − 4P (với P 19 ) 94 (loại) ⇒ S = P = 15 √  3x + = Vậy a, b nghiệm phương trình X − 4X + = ⇔ a = b = ⇒ √  3y + = ⇔ P − 154P + 376 = ⇔ P = ∨ P = Giải hệ ta thu (x; y) = (1; 1) ✷ Nhận xét: Ngoài cách giải ta làm sau: Nhân phương trình thứ cho 2, nhân phương trình thứ hai cho 4, trừ vế theo vế ta đưa dạng tổng bình phương khơng âm A2 + B + C = Bài 24: Giải hệ phương trình  3y + 2y(x + 1) + = 4y y(y − x) = − 3y Giải x2 + 2y +    x +x−6 ⇔x Điều kiện x−1   3x − 6x + 19 Phương trình tương đương √ √ √ x2 + x − + x − = 3x2 − 6x + 19 ⇔x2 + x − + (x2 + x − 6)(x − 1) + 9x − = 3x2 − 6x + 19 ⇔3 (x − 2)(x + 3)(x − 1) = x2 − 8x + 17 ⇔3 (x2 + 2x − 3)(x − 2) = (x2 + 2x − 3) − 10(x − 2) ⇔3 x2 + 2x − x2 + 2x − = − 10 x−2 x−2 (Do x = không nghiệm (2)) Đặt t = (2) x2 + 2x − x−2 3t = t2 − 10 ⇔ t2 − 3t − 10 = ⇔ (1) Thay vào (2) ta t = −2 (loại) t = 315 ĐKXĐ: x2 + 2y + Từ hệ ta có Giải Điều kiện x3 + 3x2 + 4x + 292 ⇔ (x + 1)(x2 + 2x + 2) ⇔ x 4y − 4y −1 ⇔ (2y − Phương trình cho viết lại 3(x2 + 2x + 2) − 8(x + 1) = √ 30 (x + 1)(x2 + 2x + 2) (1) Dễ thấy x = −1 không nghiệm (1) Tiếp theo xét x = −1 Chia hai vế (1) cho x + > ta Đặt t = x2 + 2x + −8= √ x+1 30 x2 + 2x + x+1 (2) x2 + 2x + > Khi x+1 √ √ 6 3t2 − = √ t ⇔ 3t2 − √ t − = ⇔ 30t2 − 6t − 30 = 30 30 (3) 10 Vậy  x=2 10 ⇔ 3x2 + 6x + = 10x + 10 ⇔  x=− Nhận xét t nghiệm dương phương trình (3), hay x2 + 2x + = x+1 x2 + 2y + + x2 + 2y + = y − 2xy + x2 x2 + 2y + 1)2 = (x − y)2 Nếu 2y − x2 + 2y + = x − y ⇔ 3y − x =    3y − x Ta có hệ 9y − 6xy − 2y = (1)    y − xy + 3y = (2) x2 + 2y + : 17 Xét (1) − (2).6 ta có 3y − 20y + 17 = ⇔ y = ∨y =1 17 415 Với y = x = (chọn) Với y = x = (chọn) 51 Nếu 2y − x2 + 2y + = y − x ⇔ y + x = x2 + 2y + :    x + y Ta có hệ y + 2xy − 2y =    y − xy + 3y = Giải tương tự, ta có hệ vơ nghiệm Vậy hệ phương trình đầu có nghiệm (x; y) = (1; 1), 415 17 ; 51 ✷  33x−2y − 5.6x + 4.23x−2y = (1) Bài 25: Giải hệ phương trình √  x − y = √y + (√2y − √x)(√2y + √x)2 (2) Kết hợp với điều kiện ta thấy x = nghiệm phương trình cho ✷ Bài 20 Giải phương trình √ 3√ x − 3x + = − x + x2 + Giải Tập xác định R Vì x4 + x2 + = (x2 + 1)2 − x2 = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) nên √ (1) ⇔ 2(x − x + 1) − (x + x + 1) = − (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) √ x2 − x + x2 − x + ⇔2 −1=− x +x+1 x2 + x + Đặt t = x2 − x + > Khi x2 + x + 1 t= √ √ √  2t2 − + t = ⇔ 3t2 + t − = ⇔  3 t = − √ (loại) √  Giải (1) Điều kiện x y √ √ √ √ √ √ Từ phương trình (2) ta có x − y − y = ( 2y − x)( 2y + x)2 √ √ x − 2y 2y − x √ ⇔√ 2y + x √ =√ x−y+ y 2y + x √ √ ⇔ (x − 2y) √ √ + 2y + x = x−y+ y 4y 2y Với x = 2y thay vào (1) ta có − 5.6 + 4.24y = ⇔ 92y − 5.62y + 4.42y = 2y Chia vế phương trình cho 92y đặt a = (0 < a < 1) ta có:  a = ⇔ 4a2 − 5a + = ⇔  a = (loại) 2y 1 = ⇒ y = log ⇒ x = log Vậy ta có 2 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = log 4; log ✷ 2 293 314 Vì x = nghiệm nên chia hai vế (2) cho x − > ta Bài 26: Giải hệ phương trình 11 10 22 12 x + xy = y + y (1) 7y + 13x + = 2y x (3x2 + 3y − 1) (2) 3+2 x2 + x + =7 x−1 x2 + x + x−1 (3) (Đề thi chọn đội tuyển TP HCM 2009-2010) Đặt t = x2 + x + ⇒ x2 + (1 − t2 )x + + t2 = Điều kiện t x−1 Giải −8 13 Xét x = từ (1) suy y = (x; y) = không thoả (2) Xét xy = Từ phương trình (1) ta có t ∆x = t4 − 6t2 − Xét y = 0, thay vào hệ tìm x = √ + ⇔t Phương trình (3) trở thành 2t2 − 7t + = ⇔ t ∈ 3, Kết hợp với điều kiện t ta t = Vậy x y 11 + x = y 11 + y y Xét hàm số f (t) = t11 + t ta có f (t) = 11t10 + > ∀t ∈ R ⇒ f (t) đồng biến R Từ ta có: x (1) ⇔ f = f (y) ⇔ x = y > y Khi (2) trở thành: 7x2 + 13x + = 2x2 √ x(3x2 + 3x − 1) ⇔ 7t + 13t2 + 8t3 = + 3t − t2 với t = > (3) x √ x2 + x + = ⇔ 9x − = x2 + x + ⇔ x2 − 8x + 10 = ⇔ x = ± x−1 √ Kết hợp với điều kiện ta x = ± tất nghiệm phương trình (1) ✷ Nhận xét: Gọi Q(x) = x − 1, P (x) = x2 + x + Mấu chốt lời giải phân tích vế trái PT (1) thành V T = 2P (x) + 3Q(x) Tinh ý ta thấy hệ số x2 vế trái (1) Cũng từ suy Tuy nhiên dễ dàng tìm số phương pháp hệ số bất định 2x2 + 5x − = p(x2 + x + 1) + q(x − 1) Phương trình giải phương pháp dùng hàm số đơn điệu (xem chương Các phương pháp giải phương trình) Lời giải cụ thể sau: √ (3) ⇔ (2t + 1)3 + 2(2t + 1) = + 3t − t2 + + 3t − t2 √ ⇔ g(2t + 1) = g( + 3t − t2 ) với g(t) = t3 + 2t ⇔ 2x2 + 5x − = px2 + (p + q)x + p − q Đồng hệ số ta    p=2 ⇔ p+q =5   p − q = −1 Do g (t) = 3t2 + > ∀t > nên ta suy  t = −1 (loại)  √  −5 − 89 √  (loại) 2t + = + 3t − t2 ⇔ (2t + 1)3 = + 3t − t2 ⇔  t = 16  √  89 − t= (chọni) 16 16 16 ⇒y=± √ 89 − 89 − −8 16 16 Vậy hệ có nghiệm (x; y) = ;0 , √ ;± √ ✷ 13 89 − 89 −   (1 + 4x−y )51−x+y = + 3x−y+2 Bài 27: Giải hệ phương trình  x2 − 3y y − = − 2y x Suy x = √ Giải p=2 q = Ví dụ 17 Xét x = Khi (x2 + 2x + 2) = 10, x + = 3, 3(x2 + 2x + 2) − 8(x + 1) = 6, (x + 1)(x2 + 2x + 2) = 30, (x + 1)(x2 + 2x + 2) = x3 + 3x2 + 4x + Vậy với x = 3(x2 + 2x + 2) − 8(x + 1) = √ 6 √ 30 √ = √ x + 3x2 + 4x + 30 30 Ta có tốn sau Bài 19 Giải phương trình √ 3x2 − 2x − = √ x + 3x2 + 4x + 30 313 Tập xác định R Do x2 + x + > nên chia hai vế phương trình cho (x2 + x + 1)2 > ta x−1 x−1 − = 13 x +x+1 x +x+1 Đặt t = x2 x−1 Khi +x+1  − 7t2 = 13t ⇔ 7t2 + 13t − = ⇔  294 ĐK:y x y x Đặt x − y = u Phương trình thứ trở thành: (1 + 4u )51−u = + 9.3u (1) Nếu u > V T < + = 10 V P > + = 10 (VN) Nếu u < V T > + = 10 V P < + = 10 (VN) Nếu u = x = y Thay vào phương trình sau ta có: t = −2 t= x2 − 3x x − • Khi t = −2 ta = − 2x (ĐK: x x − x < 0)  x = −1 x−1  = −2 ⇔ 2x + 3x + = ⇔ x2 + x + x=− • Khi t = ⇔ 3x2 − x(x2 − 1) = − 2x (∗) √ √ Đặt a = x2 − 1(a > 0), b = x (*) trở thành:   √ √ √  x2 − = x a=b 1±   x= ⇔ a2 − 3ab + 2b2 = ⇔  ⇔ 2√ √ √ x = ± x −1=2 x a = 2b ta x2 x−1 = ⇔ x2 − 6x + = ⇔ +x+1 x=2 x = Phương trình cho có bốn nghiệm x = −1, x = − , x = 2, x = ✷ Nhận xét: Phương trình có nhiều nghiệm, nghiệm phương trình số nguyên số hữu tỉ, ta giải nhanh chóng cách khai triển đưa phương trình bậc bốn, sau nhẩm nghiệm, đưa phương trình tích √ √ 1± Vậy hệ có nghiệm x = y = x = y = ± ✷ √  x2 + 91 = √y − + y (1) Bài 28: Giải hệ phương trình  y + 91 = √x − + x2 (2) Ví dụ 16 Xét phương trình bậc hai có nghiệm Giải 2t − 7t + = Lấy t = ĐK: x, y Lấy (1) trừ (2) ta được: x2 + x + ta x−1 √ x2 + x + −7 x−1 x2 + x + + = x−1 (x − 1)(x2 + x + 1) Bài 18 (Đề nghị OLYPIC 30/04/2007) Giải phương trình (1) Giải Điều kiện x (1) ⇔ 3(x − 1) + 2(x2 + x + 1) = (x − 1)(x2 + x + 1) x2 − y y − + y2 − √ x − − x2 =√ ⇔x=y Ta có tốn sau √ 2x2 + 5x − = x3 − y + 91 = y−x + (y − x2 ) √ 2 x−2+ y−2 x + 91 + y + 91 x+y ⇔ (x − y)( √ +√ + x + y) = √ 2 x−2+ y−2 x + 91 + y + 91 ⇔√ Quy đồng bỏ mẫu ta 2(x2 + x + 1) + 3(x − 1) = x2 + 91 − (2) Thay vào hệ ban đầu ta được: √ √ x2 + 91 = x − + x2 √ √ ⇔ x2 + 91 − 10 = x − − + (x2 − 9) x2 − x−3 ⇔√ =√ + (x − 3)(x + 3) x−2+1 x2 + 91 + 10  x=3  ⇔ x+3 √ =√ + (x + 3) x−2+1 x + 91 + 10 295 x+3 x+3 mà xy ⇒ x, y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x,y ta chứng minh (5) xảy x = y Hợp tất trường hợp, kết luận (1) ⇔ x = y Thế y = x vào phương trình (2), ta được: 20122x−1 − 2x + = (2x − 1)2 + Đặt 2x − = t Phương trình trở thành: √ Từ phương trình ta phương trình a+ a √ √ 2(x2 + y ) + x + y = ( x + y)2 ⇔ 2012t = t + 16x5 − 20x3 + 5x + = x= x2 + y √ √ (3) ⇔ x + y = + xy ⇔ 2(x + y) = 2(x2 + y ) + xy √ √ 2(x2 + y ) − (x + y)2 √ √ ⇔ ( x − y) = 2(x2 + y ) − (x + y) ⇔ ( x − y)2 = 2(x2 + y ) + x + y √ √ √ √ √ √ (x − y)2 √ √ ( x − y)2 ( x + y)2 ⇔ ( x − y) = ⇔ ( x − y) = 2(x2 + y ) + x + y 2(x2 + y ) + x + y  x=y √ √  ( x + y)2 ⇔ 1= (4) 2(x2 + y ) + x + y (4) ⇔ = −7 ta phương trình (1) ⇔ Xét (3) ta có: Xét (4) ta có: √ a− a 1 Ví dụ 14 Từ đồng thức a5 + = 16m5 − 20m3 + 5m, m = a Lấy m = x ta 1 a5 + = 16x5 − 20x3 + 5x a Lấy 296 (1) 310 x = sin α với α ∈ [0; 2π] Thay vào (2) ta t = cos α Đặt √ 16 sin5 α − 20 sin3 α + sin α + 16 cos5 α − 20 cos3 α + cos α = − √ π 3π k2π = −1 ⇔ α = − + ⇔ sin 5α + cos 5α = − ⇔ sin 5α + 20 Chương VI: SÁNG TẠO PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH π 13π 21π 29π 37π , , , , , từ suy x, y ✷ 20 20 20 20 Nhận xét: Lời giải tận dụng “một trùng lặp thú vị” hàm sin cos : Vì α ∈ [0; 2π] nên α ∈ xây dựng số phương trình giải cách đưa sin 5α = 16 sin5 α − 20 sin3 α + sin α; cos 5α = 16 cos5 α − 20 cos3 α + cos α hệ phương trình Ví dụ Xét hệ đối xứng loại hai sử dụng hàm lượng giác hyperbolic x = − 3y ⇒ x = − − 3x2 y = − 3x Ta có tốn sau 1 a5 − Ví dụ 13 Ta có a x Đặt m = √ , 2 Bài (THTT, số 250, tháng 04/1998) Giải phương trình x + − 3x2 Sử dụng đồng thức đại số có xuất sứ từ hàm lượng giác hypebơlic ta sáng tác số phương trình đa thức bậc cao có cách giải đặc thù = 2 Giải Đặt y = − 3x2 Ta có hệ x + 3y = ⇔ y = − 3x2 x = − 3y (1) y = − 3x2 (2) Lấy a5 − a5 a5 − a5 = 16m5 + 20m3 + 5m, m = = a− a 20x3 5x x5 10x3 20x 16x5 √ + √ + √ = √ + √ + √ 128 16 2 8 18 = √ , ta toán sau Bài 15 Giải phương trình x5 + 10x3 + 20x − 18 = Lấy (1) trừ (2) ta Giải  x − y = 3(x2 − y ) ⇔ y=x x−y =0 ⇔ − 3x 3(x + y) = y= x= • Với y = x, thay vào (1) ta 3x2 + x − = ⇔ x ∈ • Với y = Ta thấy −1, √ Do ta có quyền đặt x = − 3x , thay vào (2) ta √ − 3x ± 21 2 = − 3x ⇔ 9x − 3x − = ⇔ x = √ ± 21 Kết luận: Phương trình cho tập nghiệm S = −1; ; ✷ Nhận xét: Từ lời giải ta thấy khai triển (2 − 3x ) đưa phương trình cho phương trình đa thức bậc bốn, sau biến đổi thành (x + 1)(3x − 2)(9x2 − 3x − 5) = √ ⇔ √ a− 2a − xa − √ 2=0⇔a= x± √ x2 + √ 2 Khi a √ 10 x5 = a5 − 5a3 + 10a − + 3− a a a √ √ 1 10x3 = 20 a3 − 3a + − , 20x = 20 a − a a a Thay vào phương trình cho ta √ 113 + √ a5 = √ √  √2 − 18 = ⇔ 2(a ) − 18a5 − = ⇔   − 113 √ a5 =  2 297 a− a √ a5 − a 309 Ví dụ 11 Từ sin 5α = 16 sin5 α − 20 sin3 α + sin α, lấy sin α = 2x ta sin 5α = 512x5 − π 160x3 + 10x Chọn 5α = , ta có √ √ = 512x5 − 160x3 + 10x ⇔ 1024x5 − 320x3 + 20x − = 298 Vậy xây dựng toán, ta cố ý làm cho phương trình khơng có nghiệm hữu tỉ phương pháp khai triển đưa phương trình bậc cao, sau phân tích đưa phương trình tích gặp nhiều khó khăn Ví dụ Xét phương trình bậc hai có hai nghiệm số vơ tỉ 5x2 − 2x − = ⇔ 2x = 5x2 − Ta toán sau Bài 13 Giải phương trình 1024x5 − 320x3 + 20x − √ = Do xét 2y = 5x2 − ⇒ 2x = 2x = 5y − 5x2 − − Ta có tốn sau Giải t Đặt x = , thay vào phương trình cho ta √ π 32t5 − 40t + 10 = ⇔ 16t5 − 20t3 + 5t = sin Bài Giải phương trình 8x − 5x2 − = −4 Giải (1) Đặt 2y = 5x2 − Khi Ta có 2y = 5x2 − ⇔ 8x − 5.4y = −4 sin 5α + sin α = sin 3α cos 2α ⇔ sin 5α = sin α − sin3 α ⇔ sin 5α = 16 sin5 α − 20 sin3 α + sin α Lấy (1) trừ (2) theo vế ta  (2) 2(y − x) = 5(x2 − y ) ⇔ Từ (2) suy (1) có nghiệm t = sin sin π k2π + 15 k2π π + 3.5 , k = 0, 1, 2, 3, Phương trình cho , k = 0, 1, 2, 3, ✷ √ Ví dụ 12 Ta xét phương trình x3 − 3x = x + Dễ thấy x = nghiệm phương trình Ta khơng theo đường lượng giác mà biến đổi đại số từ phương trình ban đầu, cụ thể bình phương hai vế ta x − 6x + 9x − x − = ⇔ (x − 2) x5 + 2x4 − 2x3 − 4x2 + x + = Ta xét x5 + 2x4 − 2x3 − 4x2 + x + = Lại đặt thêm ẩn phụ để che lấp vấn đề kĩ hơn: thay x 2x, ta 32x5 + 32x4 − 16x3 − 16x2 + 2x + = Ta toán sau Bài 14 (Đề nghị Olympic 30/04/2011) Giải hệ phương trình 2y = 5x2 − (1) 2x = 5y − (2) − sin2 α − sin α ⇔ sin 5α = sin5 α − 10 sin3 α + sin α − sin α có nghiệm x = 2 x + 4y = √ 16x5 − 20x3 + 5x + 512y − 160y + 10y + = Giải Đặt t = 2y, thay vào hệ ta x2 + t2 = (1) √ 5 3 16(x + t ) − 20(x + t ) + 5(x + t) = − (2) y=x y−x=0 ⇔ 5x + 2 = −5(x + y) y=− • Với y = x, thay vào (1) ta √ 1± 5x − 2x − = ⇔ x = • Với y = − 5x + , thay vào (1) ta √ 10x + −5 ± 50 2 − = 5x − ⇔ 25x + 10x − = ⇔ x = 25 √ √ ± −1 ± Phương trình cho có tập nghiệm S = , ✷ 5 Nhận xét: Phép đặt 2y = 5x2 − tìm sau: Ta đặt ay + b = 5x2 − 1, với a, b tìm sau Khi thu hệ ay + b = 5x2 − ⇒ 8x − (ay + b)2 = −4 ay + b + = 5x2 8x + − 5b2 = 5a2 y + 10aby   a = = b+1 Để hệ hệ đối xứng loại II 5a2 − 5b2 ⇒  10ab = Vậy ta có phép đặt 2y = 5x2 − Sau tương tự: Bài Giải phương trình 5(5x2 − 17)2 − 343x − 833 = Giải b=0 a = 299 Ý tưởng: Đặt ay + b = 5x − 17 (a = 0) ⇒  ay + b = 5x2 − 17 308 Ta có cos 6α = cos2 3α − = cos3 α − cos α 5(ay + b)2 − 343x − 833 = (∗) −1 = 32 cos6 α − 48 cos4 α + 18 cos2 α − Từ (*) có 5(ay)2 + 10aby + b2 − 343x − 833 = 5(ay)2 + 10aby + b2 − 833 ⇔x= 343 5a3 y + 10a2 by + b2 a − 833a ⇒ ax + b = + b (∗∗) 343 Ta hi vọng có ax + b = 5y − 17, kết hợp với (**) suy 5a3 y + 10a2 by + b2 a − 833a +b 343 ⇔ 343.5y − 5831 = 5a3 y + 10a2 by + b2 a − 833a + 343b    343 = a3   a = Đồng hệ số ta a b = ⇔  b =   −833a + 343b = −5831 5y − 17 = Vậy ta có lời giải sau: Lời giải: Đặt 7y = 5x2 + 17 ta có hệ phương trình  7y = 5x2 − 17 245y − 343x − 833 = (1) Phương trình cho tương đương π ⇔ 32x6 − 48x4 + 18x2 − = cos (2) k2π π + , k = 1, ✷ Từ (1) suy (2) có nghiệm x = cos 3.6 Nhận xét: Việc sử dụng công thức biểu diễn cos nα theo cos α, sin nα theo sin α giúp ta giải phương trình dạng 32x6 − 48x4 + 18x2 − = x Ví dụ 10 Từ cos 5α = 16 cos5 α − 20 cos3 α + cos α, Đặt cos α = √ ta 16x5 20x3 5x x5 5x3 5x x5 − 15x3 + 45x √ √ √ √ √ √ √ cos 5α = − + = − + = 288 24 3 18 3 18 √ x5 − 15x3 + 45x π √ = ⇔ x5 − 15x3 + 45x − 27 = Ta có tốn sau Chọn 5α = 18 Bài 12 (Đề nghị Olympic 30/04/2011) Giải phương trình  7y = 5x2 − 17 (1) ⇒ 7x = 5y − 17 (2) Lấy (1) trừ (2) ta có 7(y − x) = 5(x + y)(x − y) ⇔ x=y 5x + 5y = −7 x5 − 15x3 + 45x − 27 = Giải √ Tập xác định R Đặt x = 3t, thay vào phương trình cho ta √ √ √ 288 3t5 − 360 3t3 + 90 3t − 27 = √ π ⇔2 16t5 − 20t3 + 5t = ⇔ 16t5 − 20t3 + 5t = cos (1) Mặt khác ta có Nếu x = y, thay vào (1) có 5x2 − 7x − 17 = ⇔ x = 7± √ cos 5α + cos α = cos 3α cos 2α 389 ⇔ cos 5α = cos3 α − cos α 10 cos2 α − − cos α ⇔ cos 5α = cos5 α − 10 cos3 α + cos α − cos α Nếu 5x + 5y = −7, kết hợp (2) ta có √ 5(5x − 17) −35 ± 193 + 5x + = ⇔ 25x + 35x − 36 = ⇔ x = 50 √ √ ± 389 −35 ± 193 Kết luận: Phương trình có tập nghiệm S = ✷ ; 10 50 Ví dụ Xét phương trình bậc ba √ √ √ 3 4x − 3x = − ⇔ 8x3 − 6x = − ⇔ 6x = 8x3 − ⇔ cos 5α = 16 cos5 α − 20 cos3 α + cos α Từ (2) suy (1) có nghiệm t = cos π k2π + 6.5 (2) , k = 0, Vậy phương trình cho có √ nghiệm x = cos π k2π + , k = 0, ✷ 30 √ Nhận xét: Trong lời giải trên, phép đặt x = 3t tìm sau : Do cơng thức cos 5α = 16 cos5 α − 20 cos3 α + cos α, nên đặt x = at, với a tìm sau Thay x = at vào phương trình cho ta a5 t5 − 15a3 t3 + 45at − 27 = Do ta xét √ 6y = 8x − √ ⇒ 6x = 6x = 8y − 3 √ 8x − 3 − √ √ a5 15a3 45a a4 3a2 Ta tìm a thoả điều kiện = = ⇒ = = ⇒ a = ±2 Vậy ta có phép đặt 16 20 16 √ x = 3t 307 Giả sử x √ √ ⇒ 1296x + 216 = 8x3 − √ √ ⇒ 162x + 27 = 8x3 − u Khi 4u = 30 + 1√ x + 30 30 + 1√ u + 30 = 4x ⇒ u x ⇒ x = u 4x = 30 + 1√ x + 30 (2) √ √ Bài Giải phương trình 162x + 27 = 8x3 − 1√ x + 30, từ (2) ta có hệ (3) Đặt 6y = 8x3 − √ √ 4x ⇒ v x ⇒ v = x √ √ x + 1921 Vậy v = x 4x = x + 30 ⇔ ⇔x= 32 16x2 = x + 30 √ + 1921 ✷ Phương trình cho có nghiệm x = 32 x + 30 v + 30 = 4x ⇒ 4v √ Ta có hệ √ 6y = 8x3 − √ ⇔ 162x + 27 = 216y v Khi 4v = Giải √ 4x = 30 + v √ 4v = x + 30 Giả sử x √ 6y = 8x3 − (1) √ 6x = 8y − (2) Lấy (1) trừ (2) theo vế ta 6(y − x) = 8(x3 − y ) ⇔ (x − y) x2 + xy + y + = √ √ 5π 3 6x = 8x − ⇔ 4x − 3x = − ⇔ 4x3 − 3x = cos sử dụng công thức lượng giác để sáng tác phương 5π 5π 5π = cos3 − cos , 18 18 17π 17π 17π cos = cos3 − cos , 18 18 7π 7π 7π cos = cos3 − cos 18 18 Trong mục ta dùng số công thức lượng giác để sáng tác phương trình đa thức bậc cao Việc giải phương trình đa thức bậc cao phức tạp, nhiều trường hợp khơng thể Tuy nhiên sử dụng tính chất phương trình đa thức bậc n (n = 1, 2, ) có khơng q n nghiệm, số định hướng q trình sáng tác đề tốn, ta có lời giải ngắn gọn ấn tượng cho phương trình dạng Ví dụ Từ công thức cos 5π 17π 7π , x = cos , x = cos tất nghiệm phương trình (4) 18 18 18 tất nghiệm phương trình cho ✷ √ Nhận xét: Phép đặt 6y = 8x3 − tìm sau : √ Ta đặt ay + b = 8x3 − Khi từ phương trình cho có hệ Vậy x = cos cos 6α = 32 cos6 α − 48 cos4 α + 18 cos2 α − Lấy cos α = x ta cos 6α = 32x6 − 48x4 + 18x2 − π ta 32x6 − 48x4 + 18x2 − = Ta có tốn sau Bài 11 (Đề nghị OLYMPIC 30/04/2009) Giải phương trình 64x6 − 96x4 + 36x2 − = Giải (4) α α − cos , ta có 3 Sử dụng công thức cos α = cos3 trình đa thức bậc cao (3) Vì x2 + xy + y nên (x2 + xy + y ) + > Do từ (3) ta x = y Thay vào (1) ta Chọn 6α = Ta có tốn sau Vậy từ hệ (1) ta có x = u Đặt v = 300 √ ay + b = 8x3 − √ 162x + 27 = a3 y + 3a2 by + 3ab2 y + b3 Cần chọn a b cho √  b+  a = = √ 162 a 27 − b3 ⇒  2 3a b = 3ab = Vậy ta có phép đặt 6y = 8x3 − √ b=0 a = 301 Ví dụ Ta xây dựng phương trình vơ tỉ có nghiệm theo ý muốn Xét x = Khi x=3 2x − = ⇒ (2x − 5)3 = = x − √ Ta mong muốn có phương trình chứa (ax + b)3 chứa cx + d, phương trình giải cách đưa hệ “gần” đối xứng loại hai (nghĩa trừ theo vế hai phương trình hệ ta có thừa số (x − y)) Vậy ta xét hệ 306 Xét hàm số f (t) = 11t + 10t Ta có f (t) = 11t ln 11 + 10 > 0, ∀t ∈ R Vậy hàm số f đồng biến R Mà (3) f (x) = f (y) nên x = y Thay vào (1) ta 11x = 10x + ⇔ 11x − 10x − = Xét hàm số g(x) = 11x − 10x − khoảng (2y − 5) = x − (2x − 5)3 = −x + 2y − √ ; +∞ , suy đồ thị hàm g trục 10 hồnh có với khơng q hai điểm chung, suy (4) có khơng q nghiệm Mà g(1) = 0, g(0) = nên x = x = tất nghiệm (4) Vậy nghiệm phương trình cho x = x = ✷ (2x − 5)3 = −x + 2y − 8x3 − 60x2 + 150x − 125 = −x + √ x − + − Ví dụ Ta sử dụng phương pháp lặp để sáng tác phương trình từ hệ phương trình đối xứng loại hai Xuất phát từ √ 4x = 30 + u √ 4u = x + 30, Ta có tốn sau Bài Giải phương trình √ x − = 8x3 − 60x2 + 151x − 128 Đặt 2y − = 1√ x + 30 Từ phương trình ta lại thu hệ đối xứng loại hai     4u = Cách 1: Tập xác định R Phương trình viết lại √ 30 + sử dụng phép ta phương trình 4x = Giải √ − Vậy hàm số g có đồ thị ln lõm khoảng x − 2, sau thay vào phương trình ta ; +∞ Ta có 10 g (x) = 11x ln 11 − 10, g (x) = 11x (ln 11)2 > Nếu có phép đặt 2y − = − (4) 1√ x + 30 1√ 30 + u + 30 30 +    4x = x − = (2x − 5)3 + x − (1) Từ hệ này, tiếp tục sử dụng phép ta thu phương trình x − Kết hợp với (1) ta có hệ (2y − 5)3 = x − (2) (2x − 5)3 = −x + 2y − (3) 4x = 30 + 30 + 30 + 1√ x + 30 Ta có toán sau Lấy (3) trừ (2) theo vế ta Bài 10 (Đề nghị Olympic 30/04/2010) Giải phương trình 2 (x − y) (2x − 5) + (2x − 5) (2y − 5) + (2y − 5)2 = 2(y − x) ⇔ x−y =0 (4) (2x − 5) + (2x − 5) (2y − 5) + (2y − 5)2 + = (5) (vô nghiệm) 4x = 30 + 30 + 30 + 1√ x + 30 Giải Ta có (4) ⇔ y = x Thay vào (2) ta (2x − 5) = x − ⇔ 8x − 60x + 149x − 123 = ⇔ (x − 3)(8x2 − 36x + 41) = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ Nhận xét: Từ nghiệm trên, ta nghĩ đến cách dùng đơn điệu hàm số sau: Để x nghiệm x > Đặt u = 30 +     4u =    4x = 1√ x + 30, từ phương trình cho ta có hệ 1√ x + 30 1√ 30 + u + 30 30 + (1) 305 Bài Giải phương trình x3 + 9x − 45 302 Cách √ Tập xác định R Đặt y = x − Ta có hệ + 81 x3 + 9x − 45 = 1215 + 81x (1) 8x3 − 60x2 + 151x − 128 = y x = y3 + Giải Tập xác định R Đặt x3 + 9x − 45 = 3y Kết hợp với (1) ta có hệ Cộng vế theo vế hai phương trình hệ ta x3 + 9x − 45 = 3y (2) y + 9y − 45 = 3x (3) 8x3 − 60x2 + 152x − 128 = y + y + ⇔8x3 − 60x2 + 150x − 125 + 2x − = y + y Lấy (2) trừ (3) theo vế ta ⇔(2x − 5)3 + (2x − 5) = y + y x3 − y + 9x − 9y = 3y − 3x ⇔ x3 − y + 12(x − y) = (*) Xét hàm số f (t) = t3 + t Vì f (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ R nên hàm f đồng biến R Do (∗) viết lại f (2x − 5) = f (y) ⇔ 2x − = y ⇔(x − y)(x2 + xy + y + 12) = ⇔ x = y Thay vào (2) ta Bởi x + 9x − 45 = 3x ⇔ (x − 3) x + 3x + 15 = ⇔ x = (2x − 5) = Phương trình cho có nghiệm x = ✷ Nhận xét: Phép đặt x3 + 9x − 45 = 3y tìm sau: Ta đặt x3 + 9x − 45 = ay Khi x3 + 9x − 45 = ay x3 + 9x − 45 = ay ⇔ a3 y + 81ay = 1215 + 81x a3 y + 81ay − 1215 = 81x a3 81a 1215 81 = = = ⇒ a = 45 a Do đặt x + 6x − 45 = 3y, ta thu hệ đối xứng loại hai Vậy cần chọn a thoả mãn điều kiện Ví dụ Chọn phương trình có hai nghiệm 11x = 10x + Từ phương trình ta thiết lập hệ đối xứng loại hai, sau lại quay phương trình sau : x 11 = 10y + ⇒ 11y = 10x + x y = log11 (10x + 1) 11 − ⇒ = log11 (10x + 1) x 10 11 = 10y + x x − ⇔ (2x − 5)3 = x − ⇔8x3 − 60x2 + 149x − 123 = ⇔(x − 3)(8x2 − 36x + 41) = ⇔ x = Phương trình có nghiệm x = ✷ Ví dụ Xét phương trình bậc ba đó, chẳng hạn xét 4x3 + 3x = Phương trình tương đương √ 8x3 + 6x = ⇔ 8x3 = − 6x ⇔ 2x = − 6x Ta “lồng ghép” phương trình cuối vào hàm đơn điệu sau (2x3 ) + 2x = x √ √ √ − 6x + − 6x ⇔ 8x3 + 8x − = − 6x Ta toán sau: ⇒11 = 10 log11 (10x + 1) + ⇒ 11 = log11 (10x + 1) + Bài Giải phương trình 8x3 + 8x − = Ta có tốn sau Giải Đặt y = log11 (10x + 1), 11y = 10x + Kết hợp với phương trình 10 Tập xác định phương trình R Cách 1: Phương trình cho tương đương cho ta có hệ (2x)3 + 2x = 11x = 10y + (1) 11y = 10x + (2) √ − 6x + − 6x (1) Xét hàm số f (t) = t3 + t, ∀t ∈ R Vì f (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f (t) đồng biến √ R Mà (1) viết lại f − 6x = f (2x) nên tương đương Lấy (1) trừ (2) theo vế ta 11x − 11y = 10y − 10x ⇔ 11x + 10x = 11y + 10y − 6x Giải Bài Giải phương trình 11x = log11 (10x + 1)5 + Điều kiện x > − √ (3) √ − 6x = 2x ⇔ 8x3 + 6x = ⇔ 4x3 + 3x = (2) 303 Vì hàm số g(x) = 4x3 + 3x có g (x) = 12x2 + > 0, ∀x ∈ R nên PT (2) có không nghiệm Xét √ 1 2= α3 − ⇔ (α3 )2 − 4α3 − ⇔ α3 = ± α √ 1 Do đó, đặt α = + = α3 − Ta có α α3 − α3 =3 α− α +4 √ √ 1 3 α− = 2+ 5+ 2− α nghiệm phương trình cho ✷ Vậy x = Cách 2: Phương trình viết lại thành (2x)3 = Đặt 2y = √ √ α− α 304 α α − cos , ta có 3 π π π cos = cos3 − cos , 9 7π 7π 7π cos = cos3 − cos , 9 5π 5π 5π cos = cos3 − cos 9 Sử dụng công thức cos α = cos3 nghiệm (2) π 5π 7π Vậy x = cos , x = cos , x = cos tất nghiệm phương trình (3) 9 tất nghiệm phương trình cho ✷ Nhận xét: Ta giải cách khác sau : Phương trình viết lại √ 6x + + 6x + = (2x)3 + 2x (3) Xét hàm số f (t) = t3 + t, ∀t ∈ R Vì f (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f (t) đồng biến √ R Mà (2) viết lại thành f 6x + = f (2x) nên tương đương −6x + − 8x + √ 6x + = 2x ⇔ 8x3 − 6x = ⇔ 4x3 − 3x = − 6x Ta có hệ 8y = − 6x ⇔ 8x3 + 8x − = 2y Ví dụ Xét tam thức bậc hai nhận giá trị dương : x2 + Khi 8y = −6x + (a) 8x3 = 2y + − 8x (b) x3 + 2x + C x + dx = Lấy (b) trừ (a) theo vế ta 3 x3 + 2x Ta có h(3) = 15 Vậy ta thu hàm số đa thức bậc ba đồng biến g(x) thoả mãn g(3) = Chỉ cần chọn C = ta đa thức bậc ba đồng biến h(x) = 8(x − y ) = 2(y − x) ⇔ (x − y)[4(x + xy + y ) + 1] = ⇔ y = x Thay y = x vào (a) ta g(x) = 8x3 = −6x + ⇔ 4x3 + 3x = x3 + 2x − 15 Ta tìm đa thức bậc ba đồng biến k(x) cho k(x) = x ⇔ g(x) = 0, muốn ta xét Đến làm giống cách Bài Giải phương trình √ x3 x3 + αx − 15 = x ⇔ + (α − 1)x − 15 = 3 6x + = 8x3 − 4x − Do chọn α cho α − = ⇔ α = 3, k(x) = (Đề đề nghị Olympic 30-4-2006) với x3 + 3x − 15 = y ⇔ x3 + 9x − 45 = 3y Từ phương trình cuối thay x y ta thu hệ đối xứng loại hai Giải Tập xác định phương trình R Đặt √ 6x + = 2y Ta có hệ 8x3 − 4x − = 2y ⇔ 6x + = 8y x3 + 9x − 45 = 3y y + 9y − 45 = 3x 8x3 = 4x + 2y + (1) 8y = 6x + (2) Từ hệ trên, sử dụng phép ta thu phương trình Lấy (1) trừ (2) theo vế ta x3 + 9x − 45 8(x3 − y ) = 2(y − x) ⇔ (x − y)[4(x2 + xy + y ) + 1] = ⇔ y = x Thay y = x vào (2) ta ⇔ x3 + 9x − 45 π 8x3 − 6x = ⇔ 4x3 − 3x = cos x3 + 3x − 15 k(x) = y tương đương (3) Vậy ta thu toán sau +9 x3 + 9x − 45 − 45 = 3x + 81 x3 + 9x − 45 = 1215 + 81x