ms print4 booklet

127 96 Khi viết lại (1.3) dạng (1.3) ⇔ x2 + = (x + 1) (x2 − x + 1) ⇔ x2 + = ⇔ (x2 + 2) = (x + 1) x2 − x + (x2 + 2) ⇔ −2= x+1 (x + 1) x2 − x + −2 x+1 2x2 − 10x − ⇔ = (x + 1) ⇔ (x + 1)2 (x2 − x + 1) x+1 x2 − x + +2 x+1 x2 − x + +2 x+1  (x + 1)  x2 − 5x − = ⇔ x2 − x + = + (vô nghiệm) x+1 Vậy tập nghiệm (1.3) S = 5− √ 37 + ; ✷ √ Bài 4: Giải phương trình: x3 + 3x2 − 3 3x + = − 3x (1.4) Giải Đến đây, ta dễ dàng nhẩm nghiệm Thật vậy, nhẩm nghiệm phương trình ta có phương trình có nghiệm x = Đối với bậc ba, ta làm tương tự bậc hai Lời giải: Viết lại (1.4) dạng √ (1.4) ⇔ (x + 1)3 − = 3 3x + − ⇔ (x − 1)[(x + 1)2 + 2(x + 1) + 4] = [(x + 1) + 2(x + 1) + 4]( Thoạt nhìnta đưa đánh giá +    a b√ Suy (∗) ab = − x    a2 + b = √ √ x+2− √ x = nên ta đặt 2+ √ x = a; 2− √ x=b √ a2 b2 +√ = 2+a 2−b √ √ √ √ √ ⇔ a − a2 b + b2 + ab2 = 2(2 − b + a − ab) √ ⇔ 2(a2 + b2 + ab − 2) − ab(a − b) = 2(a − b) √ ⇔ 2(ab + 2) = (a − b)(ab + 2) √ ⇔ a − b = (do a, b ⇒ ab + > 0)  a2 + b = √ ⇒ ab = ⇔ − x = ⇔ x = Kết hợp (*) ta có hệ phương trình √ a − b = √ 9(x − 1) √ (3x + 5)2 + 3x + + √ √ √ Bài 6: Giải phương trình (13 − 4x) 2x − + (4x − 3) − 2x = + 16x − 4x2 − 15 Giải Nhận xét: Dễ thấy (2x − 3)(5 − 2x) = 16x − 4x2 − 15, nhị thức ngồi ta khơng thể biểu diễn hết theo ẩn phụ được, ta đặt hai ẩn phụ cố đưa phương trình tích Lời giải: ĐK x 2  u = √2x − u + v = Đặt ⇒ √ v = √5 − 2x uv = 16x − 4x2 − 15 Phương trình cho trở thành (2v + 3)u + (2u2 + 3)v = + 8uv = u2 + v + 8uv √ (3x + 5) + 3x + + 4) = (∗) ⇔ 2uv(u + v) + 3(u + v) = (u + v)2 + 6uv Do có bậc ba nên việc giải (*) có phần phức tạp Ta dùng bất đẳng thức sau: (∗) ⇔ (x + 2)2 + √ = 2− x Giải x=1 √ +√ 2+ x 2− √ x Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ Ý tưởng: Đánh giá phương trình, ta thấy phương trình có dạng đẳng thức (x + 1)3 nên ta biến đổi phương trình theo đẳng thức để biểu thức gọn Thật từ phương trình đầu ta có biểu thức gọn sau: √ (x + 1)3 = 3 3x + + ⇔ 2− x Ta viết lại phương trình sau: √ + 37  x= 2√ ⇔ − 37 x= √ 37 2+ √ x2 − x + −2 x+1 x2 − x + +2 x+1 x2 − 5x − 2x2 − 10x − = (x + 1) Bài 5: Giải phương trình √ 2+ √ 3x + + ⇔ (u + v − 3)(2uv − u − v) = +3 =9 √ 16x − 4x2 − 15 = (vơ nghiệm) √ • Nếu u + v = 2uv :⇔ 16x − 4x2 − 15 = ⇔ x = (chọn) • Nếu u + v = :⇔ 97 Vậy phương trình cho có nghiệm x = ✷ Bài 7: Giải phương trình x2 + √ x + = (∗) Giải 126 √ √ Vậy tập nghiệm phương trình cho là: S = − 2; + ✷ Nhận xét: mấu chốt lời giải nhận lượng liên hợp để tìm nhân tử chung √ x2 − 2x + + Vậy làm cách để nhận điều này? Ta làm sau: √ x2 + Xét phương trình: x2 − 2x + = (∗) x+1 ĐXKĐ: x −1 √ Đặt x + = t; t ta có phương trình ⇔ (t2 − 1)2 + t = ⇔ t(t − 1)(t2 + t − 1) = • Với t = x = −1 • Với t = x√= √ −1 + 1− • Với t = x = 2 √ x2 − 2x + − m = Bây ta cần xác định m cho √ 1− Phương trình có tập nghiệm S = {−1; 0; } ✷ Bài 8: Giải phương trình x4 + √ x2 + − m (m > 0) x+1 √ x2 − mx − m + ⇔ x2 − 2x + − m = √ √ x+1 x − 2x + − m x2 − 2x + + m x2 − mx − m + √ ⇔ = x+1 x2 − 2x + + m 2 x − mx − m + x − 2x + − m √ = x+1 x2 − 2x + + m (∗) ⇔ x2 − 2x + − m2 = x2 − mx − m + ⇔ −2 = −m ∨ − m2 = −m + ⇒ m = x2 + = Từ ta suy lời giải trình bày √ √ √ Bài 2: Giải phương trình: x2 + x2 + − = x2 + 15 (1.2) Giải Đặt x2 = a, a ta có a2 + √ a + = (∗), ta đưa phương trình tích sau: √ √ √ √ (∗) ⇔ a2 −(a+3)+(a+ a + 3) = ⇔ (a+ a + 3)(a− a + 3+1) = ⇔ a+1 = a + (do a > 0) Từ tìm a = 1, suy x = ±1 nghiệm phương trình ✷ Bài 9: Giải phương trình (x2 + 2)2 + 4(x + 1)3 + √ x2 + 2x + = (2x − 1)2 + (∗) Giải Nhận xét: Bài có lũy thừa bậc cao 4, có bậc nên ta cố nhóm biểu thức lũy thừa giống để đặt ẩn phụ Lời giải: √ (∗) ⇔ x4 + 4x2 + + 4(x3 + 3x2 + 3x + 1) + x2 + 2x + = 4x2 − 4x + √ ⇔ (x2 + 2x)2 + 8(x2 + 2x) + x2 + 2x + + =  t √ Đặt t = x2 + 2x + ⇒ t2 − = x2 + 2x Giải Dự đoán nghiệm x = ±1, ta viết lại phương trình sau: √ √ √ x2 − + x2 + − = x2 + 15 − (1.2) ⇔ 3 (x2 − 1) x2 − x2 − √ √ √ ⇔ √ + = 3 x2 + + x2 + 15 + x4 + x2 +  x2 = 1 1 ⇔ √ √ +√ =√ (∗) 3 x2 + + x2 + 15 + x4 + x2 + Mặt khác, ta có: √ √ √ √ 1 x2 + 15 > x2 + ⇒ x2 + 15 + > x2 + + ⇒ √ 0) Điều kiện: x −1 Do x = −1 khơng phải nghiệm phương trình nên ta xét x > −1 125 bén, ta dễ dàng nhẩm nghiệm phương trình nghiệm đẹp Sau số kĩ thuật dùng phương pháp lượng liên hợp: Một số đẳng thức hay sử dụng: 1) x2 − y = (x − y) (x + y) 2) x3 − y = (x − y) (x2 + xy + y ) 3) x4 − y = (x − y) (x + y) (x2 + y ) 4) xn − y n = (x − y) (xn−1 + xn−2 y + + xy n−2 + y n−1 ) Sử dụng đẳng thức này, ta quy phương trình vơ tỉ ban đầu dạng phương trình tích việc làm xuất nhân tử chung Từ ta dễ dàng giải tiếp Ta có số đẳng thức để trục thức: √ x−y √ 1) x ± y = √ √ x∓ y √ x±y √ 2) x ± y = √ √ x2 ∓ xy + y √ x−y √ √ 3) x ± y = √ √ √ 4 ( x ∓ y)( x + y) 98 √ Suy x2 + 2x + = ⇔ x = −1 Vậy phương trình có nghiệm x = −1 ✷ Bài 10: Giải phương trình √ √ x2 − 2x + + x − = Giải ĐKXĐ: x Viết lại phương trình cho dạng (x − 1)2 + = − √ Đặt t = x−1⇒  t √ x−1 t2 = x − Ta có phương trình √ t4 + = − t (t 2) ⇔ t4 − t2 + 4t = ⇔ t = (do t ∈ [0; 2]) Từ suy x = nghiệm phương trình ✷ √ : (4x2 + 1)x + (y − 3) − 2y = Bài 11: Giải phương trình với tham số y Bài tập ví dụ Giải kĩ thuật thêm bớt tách hạng tử Ở phương pháp này, thêm bớt hạng tử tách hạng tử sẵn có để dùng phương pháp lượng liên hợp để giải phương trình Bài 1: Giải phương trình: (x + 1) √ x2 − 2x + = x2 + (1.1) √ Đặt a = 2x b = − 2y (b a3 + a − (b3 + b) + =0⇔a=b 2 Hay 2x = Giải Vì x = −1 khơng phải nghiệm phương trình trên, ta viết phương trình dạng: √ Vì √ x2 − 2x + = √ x2 + x2 − 2x − ⇔ x2 − 2x + − = x+1 x+1 x2 − 2x + + > nên: √ √ x2 − 2x + − x2 − 2x + + x2 − 2x − √ (1.1) ⇔ = x+1 x2 − 2x + + 2 x − 2x − x − 2x − ⇔√ = x+1 x − 2x + +  √  x = +   √  x2 − 2x − = x=1− 1 ⇔ ⇔ √  = 1   √ x+1 = x2 − 2x + + x+1 x2 − 2x + + √ Dễ thấy phương trình x − 2x + + = x + vơ nghiệm 0) ta có phương trình viết lại thành − 4y − 2y ⇔ x = − 4y nghiệm phương trình ✷ Nhận xét: Câu hỏi đặt là: Làm đặt ẩn phụ trên? Trước tiên ta đặt Vậy x = − 2y = b ⇒ y − = − b2 − (b2 + 1) −3= ⇒ (y − 3) 2 − 2y = − (b2 + 1) b Ta hi vọng có a (a3 + 1) 2 ⇔ 4x + 2x = a3 + a 4x2 + x = ⇔ 8x3 + 2x = a3 + a ⇔ a = 2x Vấn đề đề cập kĩ chương Sáng tạo phương trình - hệ phương trình Bài 12: Giải phương trình x+2 −1= 3(x − 3)2 + 9(x − 3) 99 Giải Điều kiện x −2  t3 + 27   x =     x+2 t3 + 45 Đặt t = (x − 3) ta có =  18    t   3(x − 3) = Phương trình cho trở thành t3 + 45 t2 −1= +t⇔ 18 Ta có t + 3t + = t+ + t3 + 45 = t2 + 3t + (1) > nên phương trình (1) tương đương với 124 Vậy (1) tương đương với 1 + + = (2x − 1) (−3x − 1) (x + 2) |x + 2| ⇔ (−3x − 1)(x + 2) + (2x − 1)(x + 2) + (2x − 1)(−3x − 1) = (2x − 1)(−3x − 1)(x + 2) |x + 2| √ −7x2 − 3x − 1± ⇔ =2⇔x= (2x − 1)(−3x − 1) √ 1± Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ t3 + 45 = (t2 + 3t + 3)2 ⇔ 2t4 + 11t3 + 30t2 + 36t − 27 = PHƯƠNG PHÁP DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP ⇔ (2t − 1)(t + 3)(t2 + 3t + 9) = ⇔ t ∈ { ; −3} Phương pháp lượng liên hợp cách giải hiệu phương trình, hệ phương trình vơ tỉ Ý tưởng phương pháp trục thức tạo nhân tử chung Muốn vậy, ta cần phải biết nghiệm biến đổi khéo léo 1) Dùng máy tính bỏ túi để giải nghiệm phương trình: √ √ Ví dụ để tìm nghiệm phương trình x2 − x + + x2 + x + = 7: Đầu tiên ta cần nhập vào máy tính bỏ túi: √ √ X2 − X + + X2 + X + − t3 + 27 217 x = = 72 t3 + 27 • Với t = −3 x = =0 Các nghiệm thỏa mãn điều kiện toán 217 ✷ Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = 72 • Với t = √ √ Bài 13: Giải phương trình x x + x x = Giải Lý thuyết Sau đó, bấm Shift → CALC Sau máy tính giải nghiệm, ta nhận thấy phương trình có nghiệm X = Để kiểm tra phương trình sót nghiệm hay khơng ta tiếp tục nhập: √ √ X − X + + X + X + − : (X − 3) Phương trình cho tương đương với: Đặt:y = √ x2 với y 15 √ x6 + √ √ √ 15 15 x4 = ⇔ x + x4 = ta có: 5y + 3y − = ⇔ (y − 1)(5y + 8y + 8) = ⇔ y − = ⇔ y = √ 15 Do ta có x2 = ⇔ x2 = ⇔ x = ±1 Vậy tập nghiệm phương trình cho là:S = {−1; 1} ✷ Bài 14: Giải phương trình √ x4 − √ + =0 x2 x Giải Rồi lại tiếp tục bấm Shift → Solve Ta tìm nghiệm thứ hai X = −143 48 2) Dùng tính chất số học để đốn nghiệm phương trình: Vẫn dùng phương trình làm ví dụ, ta nhận xét vế phải phương trình số ngun Chính mà ta đưa dự đoán số thức phải số phương bé Vì ta cho thức số từ → giải vế thức Ví dụ như: √ √ Cho x2 − x + = x2 + x + = giải phương trình Nhưng hai vế thức phương pháp không hiệu 3) Thế thử vài nghiệm vào phương trình cho để đốn nghiệm: Dựa vào điều kiện toán, ta nghiệm gần gũi −3, −2, −1, 0, 1, 2, vào phương trình để tìm xem số nghiệm phương trình Đơi với chút nhạy 123 100 ĐK x = Ta có phương trình cho tương đương với Giải 1 ,y 2 Phương trình tương đương với: √ √ √ 5 x4 − √ +√ = ⇔ x9 − x3 + = (∗) 5 x x ĐKXĐ: x √ 1 (x − + − 2x + 1) + (y − + − 2y + 1) = x y ⇔ Mà x, y > nên V T (∗) √ x3 , y = 0, phương trình (*) trở thành: y − 7y + = ⇔ (y − 1)(y + y − 6) =    √ x=1 y=1 x3 = √    √ ⇔ x=234 ⇔ y=2 ⇔  x3 = √ √ x3 = −3 x = −3 y = −3 √ √ 2 2x − 1) (y − 2y − 1) + = (∗) x y  x = √2x − (*) xảy ⇔ ⇔x=y=1 y = √2y − (x − Đặt:y = √ √ Vậy tập nghiệm phương trình cho 1; 4; −3 ✷ Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (1, 1) ✷ Bài 8: Giải phương trình √ 2x x + + √ Bài 15: Giải phương trình x = 2x2 + x + √ √ 4x − + 4x2 − = Giải Giải ĐKXĐ: x Phương trình tương đương với ĐK √ √  x + − 2x = √ ( x + − 2x) + ( x − 1)2 = ⇔ √  x−1=0 ⇔x=1  4x − 4x2 − 1 + = (2x − 1) (3x + 1) (x + 2)2 Giải −1 ĐKXĐ: x ∈ / ; ; −2 Ta có bổ đề sau, dễ dàng chứng minh cách bình phương vế đẳng thức: Với a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c ⇔x Bình phương hai vế phương trình cho, ta có: (4x − 1) + (4x2 − 1) + Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ Bài 9: Giải phương trình (4x − 1)(4x2 − 1) = ⇔ (4x − 1) (4x2 − 1) = − 4x2 − 4x = − (2x + 1)2 (∗) Đặt y = 2x + ⇒ 4x − = 2y − 3, 4x2 − = y − 2y Phương trình (*) trở thành: ⇔ (2y − 3)(y − 2) = − y  4 − y 4(2y − 3)(y − 2)y = (4 − y )2    −2 y   ⇔ y−2=0      4(2y − 3)y = (y + 2)2 (y − 2)    −2 y   ⇔ y=2      y − 6y + 8y − = (vô nghiệm [−2; 2]) Như phương trình cho viết lại thành 1 (1) + + = (2x − 1) (−3x − 1) (x + 2) (x + 2)2 Vì (2x − 1) + (−3x − 1) + (x + 2) = nên Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ Do ta có 2x + = ⇔ x = Bài 16: Giải phương trình 1 1 1 + + + + = (2x − 1) (−3x − 1) (x + 2) (2x − 1) (−3x − 1) (x + 2) √ 2x − + x2 − 3x + = Giải ⇔y=2 101 ĐKXĐ: x √ Đặt t = 2x − 122 ĐKXĐ: x = −1 Phương trình tương đương với: t2 + Phương trình cho tương đương √ (x2 + x + 2) − (2x + 2) x2 + x + + 4x = 0⇒x= √ √ ⇔ ( x2 + x + − 2x)( x2 + x + − 2) = √ x2 + x + = 2x x=1 ⇔ √ ⇔ x2 + x + = x = −2  t=1  √ 2 t − 4t + 4t − = ⇔ (t − 1) (t + 2t − 1) = ⇔  t = 2−1  √ t = − − (loại t 0) • Với t = ⇔ x = √ √ √ • Với t = − ⇔ x = − Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1; − 2} ✷ √ Nhận xét: Đối với có dạng ax + b + cx2 + dx + e = cách giải đặt √ ax + b = t, sau đưa phương trình bậc 4, dùng đồng thức để phân tích nhân tử Nhưng có số khơng giải cách đó, ta nhắc lại vấn đề phần sau √ √ Bài 17: Giải phương trình (x − 2) x − − 2x + = Vậy phương trình có tập nghiệm S = 1; −2 ✷ √ Bài 4: Giải phương trình x4 − x2 + 3x + − x + = Giải ĐKXĐ: x −2 Phương trình cho tương đương với: √ (x4 − 2x2 + 1) + (x2 + 2x + 1) + (x + − x + 2) = √ 2 ⇔ (x2 − 1) + (x + 1)2 + ( x + − 1) =   x2 − =   ⇔ x = −1 ⇔ x+1=0  √   x+2−1=0 Giải √ Ý tưởng: Ta thấy có x − 1, nên ta cố gắng thêm bớt tách phương trình theo ẩn Lời giải: √ ĐKXĐ: x Đặt x − = t Ta biến đổi phương trình sau : √ √ √ √ [(x − 1) − 1] x − − 2[(x − 1) − 2] − = √ √ ⇔ t3 − 2t2 − t + − = √ √ ⇔ (t + − 2)(t2 − t − 2) = √ √ • Với t = − ⇒ x − = − ⇒ x = − 2 √ √ √ 1+ 1+4 1+ 1+4 2 • Với t − t − = 0, t > ta chọn t = ⇒x= 2   √  √ 1+ 1+4  ✷ Kết luận: Phương trình có tập nghiệm S = − 2;   √ Vậy phương trình có nghiệm x = −1 ✷ Bài 5: Giải phương trình x8 − x5 + x − x + = Giải Phương trình tương đương với: √ x4 − +1 Từ suy x4 − x 2 + x −1 2 + x2 =0 x x x2 = −1= = Hệ vơ nghiệm nên phương trình vô nghiệm ✷ 2 Bài 6: Giải phương trình √ √ x + + − x2 + (x + 1)(9 − x2 ) = −x3 − 2x2 + 10x + 38 Giải Đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp √ Bài 18: Giải phương trình 2(x2 + 2) = x3 + Giải Ý tưởng: Đối với toán ta phân tích nhân tử x3 + = (x + 1)(x2 − x + 1) biến đổi vế trái thành tổng hiệu hai thừa số ĐKXĐ: −1 x Phương trình cho viết lại thành: √ √ 2 ( x + − 1) + ( − x2 − 3) + ( (x + 1)(9 − x2 ) − 3) = √ √ ⇔ x + − = − x2 − = (x + 1)(9 − x2 ) − = ⇔ x = Từ dễ dàng thu x = nghiệm phương trình ✷ Bài 7: Giải phương trình x+y− √ √ 1 − + = 2( 2x − + 2y − 1) x y 121 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẲNG THỨC 102 Lời giải: Viết lại phương trình dạng Bài 1: Giải phương trình √ 2(x2 + 2) = 2(x2 − x + 1) + 2(x + 1) √ x2 + 3x + x + = 2x + x+ +5 x Giải   x(x + 3)      x + ĐKXĐ: x Đầu tiên bình phương hai vế phương trình: √ x+3 (x + 2)(x + 3) + x + = 2x + x x √ x+3 ⇔ (x − x + 2)( − 2) = x  √ x− x+2=0 x=2  ⇔ x+3 ⇔ x=1 −2=0 x Vậy tập nghiệm phương trình S = {1; 2} ✷ Bài 2: Giải phương trình 1 1 + + = + 9x + 40 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 Giải ĐKXĐ: x ∈ / {−4; −5; −6; −7} Phương trình tương đương với: 1 1 1 − + − + − = x+4 x+5 x+5 x+6 x+6 x+7 18 x=2 1 ⇔ − = ⇔ x2 + 11x − 26 = ⇔ x+4 x+7 18 x = −13 Vậy tập nghiệm phương trình S = {−13; 2} ✷ Bài 3: Giải phương trình √ x2 + x + = √ √ √ 5x2 − 14x + − x2 − x − 20 = x + Giải x x2 a = 2b √ √ x2 − x + = a; x + = b ta có phương trình 2a2 + 2b2 = 5ab ⇔  b a= √ ± 37 Từ tìm nghiệm x = ✷ Đăt Bài 19: Giải phương trình ⇔x>0 x2 + 5x +     x    x=0 Phương trình viết lại thành ĐKXĐ:  x2 + 5x + 2(x + 1) Giải 2x2 − 5x + = (x2 − x − 20)(x + 1) (∗) Ta khơng thể tìm hai số α, β cho α(x2 − x − 20) + β(x + 1) = 2x2 − 5x + √ √ Nên đặt a = x2 − x − 20; b = x + ví dụ Ở này, ý x2 −x−20 = (x−5)(x+4) (∗) ⇔ 2x2 −5x+2 = (x  − 4x − 5)(x + 4) α = 2 Như ta tìm α, β thỏa α(x − 4x − 5) + β(x + 4) = 2x − 5x + ⇔ β = Lời giải: Ta biến đối lại phương trình sau (∗) ⇔ 2(x2 − 4x − 5) + 3(x + 4) = (x2 − 4x − 5)(x + 4) √ √ Đặt a = x2 − 4x − 5; b = x + ta có phương trình  a=b 2  2a + 3b = 5ab ⇔ 3b a= √ + 61 • Với a = b ⇒ x = (x 5) • Với a = b ⇒ x = 8; x = − √ + 61 Đối chiều với điều kiện ta nhận x = 8; x = nghiệm phương trình.✷ Nhận xét: Ta có toán tương tự: √ Bài 19*: Giải phương trình 3x2 − 2x − = √ x + 3x2 + 4x + 30 Sau ví dụ khó hơn: √ √ Bài 20: Giải phương trình (x2 − 6x + 11) x2 − x + = 2(x2 − 4x + 7) x − 103 Vậy nghiệm phương trình cho là:x = √ ✷ Giải Lời giải: ĐK x √ √ Đặt x2 − x + = a; x − = b với a, b Ta biểu diễn biểu thức theo a b sau:  x2 − 6x + 11 = α(√x2 − x + 1)2 + β(√x − 2)2 √ x2 − 4x + = α( x2 − x + 1)2 + β(√x − 2)2 Sử dụng đồng thức ta giải  x2 − 6x + 11 = a2 − 5b2 x2 − 4x + = a2 − 3b2 Phương trình cho tương đương với (a2 − 5b)a = 2(a2 − 3b2 )b ⇔ a3 − 2a2 b − 5ab2 + 6b3 = ⇔ t3 − 2t2 − 5t + = với t = 120 a b ⇔ (t − 1)(t − 3)(t + 2) = √ √ • Với t = ⇒ a = b ⇒ x2 − x + = x − (VN) √ √ √ • Với t = ⇒ a = 2b ⇒ x2 − x + = x − ⇒ x = ± (chọn) √ √ Vậy phương trình có tập nghiệm S = + 6; − ✷ Bài tập tự luyện Giải phương trình sau: √ √ √ 1/ x2 + x − + x − − 3x2 − 6x + 19 = √ √ √ 2/ x2 + 4x − + x − − 11x2 + 25x + = √ √ √ √ 3/ 7x2 + 25x + 19 − x2 − 2x − 35 = x + 4/2(x2 − 3x + 2) = x3 + √ 5/2x2 + 5x − = x3 − √ 6/10 x3 + = 3(x2 − x + 6) √ 7/10 x3 + = 3(x2 + 2) √ √ 8/4x2 − 2x + = x4 + √ √ √ 9/( x + − x + 2)(1 + x2 + 7x + 10) = √ √ √ 10/( x + + x − 2)(1 − x2 − x − 2) = √ √ √ 11/ x − x2 + − x = + (1 − x) x √ √ 12/ 3x2 − 18x + 25 + 4x2 − 24x + 29 = 6x − x2 − Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Đối với nhiều phương trình vơ tỷ, khơng biểu diễn hồn tồn theo ẩn phụ có cách xem biến ẩn, biến cũ tham số Dạng tốn gọi ẩn phụ khơng hồn tồn Nội dung phương pháp: Đưa phương trình cho dạng phương trình bậc hai với ẩn ẩn phụ ẩn phương Bài tập tự luyện Giải phương trình sau: √ 1/ x3 − x2 − 10x − = 7x2 + 23x + 12 2/7x2 − 13x + = 2x2 x(1 + 3x − 3x2 ) √ 3/8x2 − 13x + = x + 3x2 − x √ 4/ 2x − + x2 − 3x + = √ 5/ 2x + 15 = 32x2 + 32x − 20 √ 6/ x − + x2 − x − = √ 7/x2 − x − 2004 + 16032x = 2004 (HSG Bắc Giang 2003-2004) √ 8/ 9x − = 3x2 + 2x + √ √ √ 9/x2 = − x + 10/ x + 34 − x − = 14 √ √ 11/ 97 − x + x = √ √ 12/ x + + x + = √ √ 13/ 18 − x + x − = √ √ 14/ 17 − x8 − 2x8 − = 119 7π π Dựa vào điều kiện nghiệm phương trình ta nhận nghiệm x = cos ; x = cos 10 7π Vậy phương trình có tập nghiệm S = cos ; ✷ 10 1+ Bài 47: Giải phương trình √ √ − x2 = x(1 + − x2 ) √ Bài 21: Giải phương trình x2 + 3x + = (x + 3) x2 + 1 Giải 2 √ + − sin t = sin t + − sin t ⇔ + cos t = sin t (1 + cos t) √ √ t t 3t t ⇔ cos = sin t + sin 2t ⇔ cos = sin cos 2 2   π  t t= x= cos = √ √   t 3t  √ ⇔ − sin =0⇔ ⇔ ⇔ cos   3t 2 π sin = t= x=1 2 Vậy tập nghiệm phương trình cho S = Bài 48: Giải phương trình √ x2 ;1 ✷ √ Ta thấy có x2 + 1, ta đặt t = x2 + Ta không rút x theo t mà coi x tham số Thật vậy, phương trình cho tương đương t2 − (x + 3)t + 3x = Phương trình có ∆ = (x + 3)2 − 12x = (x − 3)2 nên có nghiệm t = 3; t = x + • Nếu t = x + 3: hệ cho vơ nghiệm √ • Nếu t = ⇒ x = ±2 ✷ Bài 22: Giải phương trình x2 + − √ x2 + (x2 + 1)2 +1+ = 2x 2x(1 − x2 ) Giải Điều kiện trình cho Đưa phương trình dạng f (x)Q(x) = f (x) + P (x)x đó: Đặt f (x) = t; t Phương trình viết lại thành t2 − t.Q(x) + P (x) = Đến giải t theo x Cuối giải phương trình f (x) = t sau đơn giản hóa kết luận Ta xét ví dụ sau để hiểu rõ Giải ĐKXĐ: − x2 ⇔ −1 x π π Đặt x = sin t với t ∈ − ; 2 Khi phương trình có dạng: 104 √ x2 + x = + x2 + Giải Phương trình tương đương với  x = ±1 x2 + − √ √ x2 + x = + x2 + x = π π π Đặt x = tan t; t ∈ − ; \ ± ;0 2 Khi ta có: √ 1 • x2 + = tan2 t + = ⇒ x2 + = cos t cos t tan t 2x x2 + 1 • sin 2t = = ⇒ = + tan t x +1 2x sin 2t − tan2 t − x2 2x (1 − x2 ) • cos 2t = = ⇒ sin 2t cos 2t = + tan2 t x +1 (x2 + 1)2 4x (1 − x2 ) (x2 + 1) ⇔ sin 4t = ⇔ = sin 4t 2x (1 − x2 ) (x2 + 1)2 Khi phương trình biến đổi dạng 1 + = ⇔ sin t cos 2t + cos 2t = cos t sin 2t sin 4t ⇔ sin t cos 2t = − cos 2t ⇔ sin t cos 2t = 2sin2 t ⇔ (cos 2t − sin t) sin t = ⇔ − 2sin2 t − sin t sin t = ⇔ (sin t + 1) (2 sin t − 1) sin t = π ⇔ sin t = ⇔ t = ⇔ x = √ ⇔ x2 + 3x − − (x + 2) Đặt t = √ x2 + (t √ x2 + = √ 2), phương trình viết lại thành t2 − (x + 2) t + 3x − = Ta có ∆ = (x − 4)2 nên phương trình  có nghiệm x √ • t = x − ⇔ x2 + = x − ⇔ (vô nghiệm) −2x − = √ √ • t = ⇔ x2 + = ⇔ x2 = 14 ⇔ x = ± 14 √ √ Vậy phương trình có hai nghiệm x = 14 x = − 14 ✷ Bài 23: Giải phương trình (3x + 1) √ 2x2 − = 5x2 + x − Giải 105 √ Đặt t = 2x2 − (t 0) Phương trình viết lại thành 118 Chỉ cần chọn ϕ mà ϕ π −1 cosϕ = x Phương trình cho biến đổi dạng 2t2 − (3x + 1)t + x2 + x − = Ta có ∆ = (x − 3)2 suy phương trình  có hai nghiệm x √ ⇔x=1 • t = 2x − ⇔ 2x2 − = 2x − ⇔ x2 − 2x + =  x −2 √ ⇔ x = −1 x = • t = x + ⇔ 2x2 − = x + ⇔ x2 − 4x − = cos3 ϕ + sin3 ϕ = √ sin ϕ |sin ϕ| = sin ϕ 2cosϕsinϕ ⇔ (cosϕ + sinϕ) (1 − cosϕsinϕ) = √ π Đặt u = cosϕ + sinϕ = sin ϕ + π π 5π Do x π ⇒ ϕ+ 4 √ π sin ϕ + 1, ta − ⇒− Phương trình đại số với ẩn u có dạng u √ √ 2cosϕsinϕ √ u2 − u2 − = 2 √ √ ⇔ u3 + 2u2 − 3u − = √ √ ⇔ u − u2 + 2u + =  √ u= √  ⇔ u=− 2+1 √ √ u=− 2−1 • Nếu u > u4 + 4u3 + 18u + 24 > Vậy u = 2, từ tìm x = ✷ √ √ √ Bài 30: Giải phương trình − x − x + + − x2 = − x Giải ĐK −1 x √ √ Ta tìm α; β cho −x + = α( − x)2 + β( x + 1)2 ⇔ −x + = (β − α)x + α + β Giải ta α = 2; β = √ √ √ Ta viết lại phương trình thành + x + 2(1 − x) − − x + x + − − x2 = √ √ Đặt u = + x; v = − x u, v 0, phương trình trở thành u2 + 2v − 2v + u − 3uv = ⇔ u2 + (1 − 3v)u + 2v − 2v = 109 Phương trình có ∆ = (1 − 3v)2 − 4(2v − 2v) = (v + 1)2 nên u = 2v u = v − √ √ • u = 2v ⇔ x + = − x ⇔ x =  −1 x − • u=v−1⇔ 4x2 = √ Nên phương trình có nghiệm x = ; x = − √ ;− ✷ Vậy tập nghiệm phương trình S = √ √ √ Bài 31: Giải phương trình − x = x + − − x2 + + x Giải √ √ Đặt a = + x b = − x Phương trình cho tương đương √ √ √ 2x + + − x + + x − − x2 − − x + = ⇔ 2a2 + b2 − 3ab + 5a − 4b + = ⇔ (a − b)(2a − b) + 3(a − b) + (2a − b) + = ⇔ (a − b + 1)(2a − b + 3) = • Nếu a + = b : ⇔ √ x+1+1= √ √ √ − x ⇔ x + = −(2x + 1) ⇔ x = − • Nếu 2a + = b ta suy phương trình vơ nghiệm Ví dụ tương tự sau xin dành cho bạn đọc: √ √ √ Bài 32: Giải phương trình + − x = −3x + x + + − x2 √ 24 Đáp số: Phương trình có nghiệm S = 0; ; ✷ 25 Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình √ Dạng 1: Phương trình có dạng xn + a = b n bx − a √ Cách giải: Đặt y = n bx − a ta có hệ đối xứng loại II xn − by + a = y n − bx + a = 114 √ Ý tưởng: Ta viết lại phương trình dạng 3x + = −4x2 + 13x − đặt f (x) = −4x2 + 13x − Có f (x) = −8x + 13 ta giải đặt phương pháp tương tự không thu hệ đối xứng loại II Vậy ta hi vọng tìm hướng khác, phương pháp tự nhiên hệ số bất định Lời giải: ĐK x − √ Đặt 3x + = −(2y − 3); y  (2x − 3)2 = 2y + x + Ta có hệ phương trình sau (2y − 3)2 = 3x + Trừ vế theo vế ta có (x −√y)(2x + 2y − 5) = 15 − 97 • Với x = y ⇒ x = √ 11 + 73 • Với 2x + 2y − = ⇒ x = √ √ 15 − 97 11 + 73 ; Vậy tập nghiệm phương trình S = 8 Nhận xét: Ta thấy cách giải toán khác so với ví dụ đưa hệ “gần đối xứng” loại II giải cách dễ dàng Bài tốn có dạng sau:  u = ar + d √ ax + b = r(ux + v)2 + dx + e v = br + e  uy + v = r(ux + v)2 + dx + e √ Cách giải: Đặt uy + v = ax + b ta có hệ ax + b = (uy + v)2 √ Ta viết lại phương trình sau 3x + + (2x − 3)2 − x − = Dễ dàng ta kiểm tra √ hệ số thỏa mãn, đặt 3x + = 2y − ta thu hệ phương trình khơng dễ dàng để giải chút nào, chuyển vế đổi dấu đưa hệ gần đối xứng giải toán Tổng kết lại, ta có đạo hàm áp dụng hệ số d = 0, khơng dùng cách thêm bớt √ a2 c c ax + b = x2 +cx+d(a = 0) thỏa mãn b+ad = 1+ a 2 2 Cách giải: Xét hàm số f (x) = x + cx + d có f (x) = x + c a a √ ac ac Cho f (x) = ta thu x = − Từ đặt ax + b = y+ ta thu hệ đối xứng loại II 2 Dạng 4: Phương trình dạng Bài 41: Giải phương trình 3x2 + x − 29 = 12x + 61 36 Giải Ta xét toán sau: Ý tưởng: Xét f (x) = 3x2 + x − √ Bài 33: Giải phương trình x3 + = 2x − ✷ Lời giải: 29 ⇒ f (x) = 6x + = ⇔ x = − 6 113 ⇒ (x − y)(x + y − 1) = √ √ Với x = y ⇒ 2x − = 4x + ⇒ x = + √ Với x + y − = ⇒ y = − x ⇒ x = − 2✷ Nhận xét: Bài tốn tổng qt có dạng sau √ Giải √ 2x − ⇒ y = 2x − x3 + = 2y Ta có hệ PT sau y + = 2x Đây hệ đối xứng loại II, trừ vế theo vế ta có: Đặt y = ax + b = cx2 + dx + e, (a = 0, c = 0, a = ) c x3 − y = 2(y − x) Xét f (x) = cx2 + dx + e ⇒ f (x) = 2cx + d √ Giải phương trình f (x) = 0, phép đặt ax + b = 2cy + d, ta đưa hệ đối xứng loại II (trừ số trường hợp đặc biệt) Ta xét ví dụ Bài 39: Giải phương trình x2 − 4x − = √ x+5 Giải Ý tưởng: Xét f (x) = x2 − 4x − có f (x) = 2x − = ⇔ x = Vậy đặt Lời giải: ĐKXĐ: x −5 Viết lại phương trình đầu dạng √ Đặt √ 110 √ x + = y − ⇔ (x − y)(x2 + y + xy + 2) = √ 2x − = x√⇔ x3 − 2x + = (x − 1)(x2 + x − 1) = −1 ± Vậy x = 1; x = y 3y 2 + > 0, ∀x, y Ta có x + y + xy + = x + + √ −1 ± Vậy phương trình có tập nghiệm S = 1; ✷ x=y⇒ Dạng 2: Phương trình có dạng n Cách giải: Đặt u = Ta có hệ sau x + = (x − 2)2 − (∗) n a − f (x) + a − f (x); v = m m b + f (x) = c b + f (x) u+v =c u + vm = a + b n x + = y − ⇒ (y − 2)2 = x + Thay vào (*) ta có  (x − 2)2 = y + (y − 2)2 = x + Bài 34: Giải phương trình √ √ x+8+ 4x−7=3 Giải Trừ vế theo vế ta có (x − y)(x + y − 3) =    x  √   √ √ + 29 • Nếu x = y ⇔ x + = x − ⇔  x = (5 + 29) ⇔x= (thoả x    √    x = (5 − 29)   x   √ • Nếu x + y = ⇔ − x = x + ⇔ ⇔ x = −1 (thoả x −5) x = −1      x=4 √ Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = −1; (5 + 29) ✷ Bài 40: Giải phương trình x2 + + √ 3x + = 13x Giải −5) ĐKXĐ: x √ Đặt u = x + ⇔ u4 = x + ⇒ x = u4 − √ v = x − ⇒ v4 = x − ⇒ x = v4 + Ta có hệ       u + v =    v = − u u, v    u4 − v = 15     v = − u ⇔ u ⇔ (u2 − v )(u2 + v ) = 15    u, v ⇔  0 u     v = − u ⇔ (u − v)(u + v)(u2 + v ) = 15    u, v  (2u − 3) u2 + (3 − u)2 =   (u − v)(u2 + v ) =   0 u 0 u ⇔ ⇔ 4u3 − 18u2 + 36u − 32 = u =  0 u ⇔ (2u − 3)(2u2 − 6u + 9) = 111 √ 4x+8=2 Từ ta tìm √ 4x−7=1 ⇔  x + = 16 ⇔ x = (thoả ĐKXĐ) x − = Vậy phương trình cho có nghiệm x = ✷ 112 Vậy phương trình có nghiệm x = √ ✷ √ √ Bài 37: Giải phương trình (x + 5) x + + = 3x + √ √ Bài 35: Giải phương trình 3x − + − 5x = Giải ĐK x −1 √ √ Đặt a = x + 1; b = 3x + ⇒ x = a2 − 3a2 + = b3 Thay vào phương trình ta có hệ sau Giải √ √ u3 = 3x − v = − 5x ⇒ 5u3 + 3v = 5(3x − 2) + 3(6 − 5x) = 8(1) Mặt khác ta lại có 2u + 3v − = 0(2) Từ (1) (2) ta có hệ sau: Đặt u = 3x − 2; v = − 5x 0⇒ 5u3 + 3v = ⇒ 5u3 + 2u + 3v = 8 − 2u Phương trình có nghiệm u = −2 nên (a2 + 4)a + = b 3a2 + = b3 Cộng vế theo vế ta có = ⇔ 15u + 4u − 32u + 40 = Xét hàm số đặc trưng f (t) = t3 + t Ta có f (t) = 3t2 + > 0, hàm số đồng biến nên (∗) ⇔ a + = b Ta có hệ sau: a+1=b a=b−1 ⇔ b3 − 3a2 = b3 − 3a2 = √ 3x − = −2 ⇒ x = −2✷ Bài 36: Giải phương trình 1+ √ − x2 a3 + 3a2 + 4a + = b3 + b ⇔ (a + 1)3 + (a + 1) = b3 + b (∗) (1 + x)3 − (1 − x)3 = + √ − x2 Sử dụng phép ta có b3 − 3(b − 1)2 = ⇔ b3 − 3b2 + 6b − = ⇔ (b − 1)(b2 − b + 4) = Giải ĐK −1 x √ √ Đặt + x = a; − x = b với a, b Ta có hệ sau √ Suy b = 1, từ x = −1 Vậy phương trình có nghiệm x = −1 ✷ ⇒ a2 + b = a2 + b2 = (1) + ab(a3 − b3 ) = + ab (2) Ta có (1) ⇒ (a + b)2 = + 2ab ⇒ √ 1 + ab = √ (a + b) (do a, b 0) Bài 38: Giải phương trình 2x2 − 6x − = Kết hợp (2) ta có 1 √ (a + b)(a − b)(a2 + b2 + ab) = + ab ⇔ √ (a2 − b2 ) = 2 Từ ta có hệ √ a2 − b = a2 + b = Cộng hai phương trình vế theo vế ta có 2a2 = + √ Dạng 3: Phương trình dạng ax + b = cx2 + dx + e √ Ta gặp dạng toán ax + b = cx + d số ví dụ nêu cách bình phương bậc đồng hệ số để tìm nghiệm, tốn khơng dùng phương pháp sao? Chúng ta làm rõ vấn đề Xét ví dụ sau: √ 1 ⇔ a2 = + √ ⇔ + x = + √ ⇔ x = √ 2 √ 4x + Giải Ta biến đổi phương trình sau Lời giải: ĐK x − √ √ 4x2 − 12x − = 4x + ⇔ (2x − 3)2 = 4x + + 11 Đặt 2y − = √ 4x + ta hệ phương trình sau: (2x − 3)2 = 4y + (2y − 3)2 = 4x +