ms print8 booklet

255 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y, z)= Bài 19: Giải hệ phương trình 1 , , ✷ a a a ĐKXĐ: x  √ √ √    + x1 + + x2 + + + x2010 = 2010 √ √ √    − x1 + − x2 + + − x2010 = 2010 2011 2010 2011 2010 Giải Điều kiện: -1 20102 xi ,y (∗) Ta có: (2) ⇔ (x + y)(2x − y) + = −4(x + y) − (2x − y) ⇔ (x + y + 1)(2x − y + 4) = ⇔ y = 2x + ( (∗) ⇒ x + y + > 0) Thay vào (1) ta được: √ √ √ √ 3x − + 2x − = 2x + ⇔ (3x − 1) + 3x − = (2x + 3) + 2x + Xét hàm số f (t) = 2t2 + t với t Phương trình (12) viết lại thành (i= 1, 2, 3, , 2010) Ta có f √ √ √ 2011 = ( + x1 + + x2 + + + x2010 )2 2010 Suy x1 + x2 + + x2010 Lại có 20102 224 √ √ √ 2011 = ( − x1 + − x2 + + − x2010 )2 2010 2010(2010 − x1 − x2 − − x2010 ) ⇔ x1 = x2 = = x2010 = 2010 (i = 1, 2010) ✷ 2010  √ 1   √ √ + + = 3 √   y z  x x+y+z =1     xy + yz + zx = + 2xyz(∗) 27 Giải Ý tưởng: Bài giải cách bình thường cho ta kết quả,nhưng để ý phương trình (*) BĐT IMO 1984 Như hệ có liên quan đến BĐT Phương pháp BĐT cho ta lời giải đẹp gọn tốn Ta có: (∗) ⇔ xy + yz + zx − 2xyz = 27 Lại có: xyz (x + y − z)(y + z − x)(z + x − y) = (1 − 2x)(1 − 2y)(1 − 2z) 4(xy + yz + zx) − ⇔ 2xyz Ta phải chứng minh xy + yz + zx Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = 3x − = √ 2x + ⇔ x = ⇒ y = 12 Vậy (III) có nghiệm (x, y) = (4, 12) ✷ Giải Vậy hệ phương trình có nghiệm xi = ⇒ 9xyz 2x +  x3 + x − = y + 3y + 4y (1) Bài 4: Giải hệ phương trình (IV ) x5 + y + = (2)    x1 + x2 + + x2010 = Bài 20: Giải hệ phương trình: √ Ta có f (t) = 4t + > ∀t > nên hàm số f đồng biến (0; +∞) Do √ + x1 = + x2 = = + x2010 3x − = f 2010(2010 + x1 + x2 + + x2010 ) (1) Do x1 + x2 + + x2010 (2) Từ (1) (2) suy x1 + x2 + + x2010 = Do hệ phương trình cho trở thành     1 + x1 = + x2 = = + x2010 √ 8(xy + yz + zx) − (x + y + z)2 = (đúng) 3 Ý tưởng: Rất tự nhiên ta nhìn vào PT để đánh giá với mục đích tìm mối quan hệ hai biến Từ (1) ta thấy vế đa thức độc lập biến x ,y bậc Như việc áp dụng phương pháp sử dụng tính đơn điệu có hội thành cơng cao Và lúc dùng tới kĩ thuật hệ số bất định Đầu tiên, ta chọn đa thức làm chuẩn (1) Dễ thấy nên chọn đa thức bên vế trái nhìn đơn giản Với ý tưởng ta hàm số đặc trưng f (t) = t3 + t − , việc cần làm phân tích : y + 3y + 4y = g (y) + g(y) − Rõ ràng g(y) có dạng g(y) = y + b từ ta khai triển b = Như ta có phương trình x3 + x − = (y + 1)3 + (y + 1) − tới ý tưởng giải tốn hồn thiện Lời giải: Từ (1) ta có x3 + x − = (y + 1)3 + (y + 1) − (∗) Xét hàm số đặc trưng: f (t) = t3 + t − có f (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ R Suy f (t) đồng biến R , Kết hợp với (*) ta x = y + Thế vào (2) suy ra: x5 + (x − 1)3 + = ⇔ x5 + x3 − 3x2 + 3x = ⇔ x(x4 + x2 − 3x + 3) = ⇔ x=0 x4 + x2 − 3x + = (vơ nghiệm) 225 254 Vậy (IV ) có nghiệm (x; y) = (0, 1) ✷ Bài 5: Giải hệ phương trình (V ) Giải (4x2 + 1)x + (y − 3) − 2y = (1) (ĐH khối A – √ 4x2 + y + − 4x = (2) 2010) Giải Ý tưởng: Do số ẩn phương trình khơng nên ta dùng bất đẳng thức Khó có √ √ √ √ thể so sánh x + y + z với 2010, nên ta khai thác phương trình sau Lời giải: ĐKXĐ: x, y, z khơng âm không đồng thời Theo BĐT Cauchy-Shwarz ta có: 2(2x + 2y + z) + = 3x + 2y x + 2y + 2z (3x + 2y)(x + 2y + 2z) Ý tưởng: Khó khai thác từ (2), ta bắt đầu phân tích từ (1) Phương trình có x, y tách biệt nên khả dùng đơn điệu cao Vậy ta biến đổi phương trình dạng ⇔ g(x) = h(y) ⇔ (4x2 + 1)x = (3 − y) − 2y + a2 a3 a − a2 − a2 (3 − y) − 2y = (3 − )a = a = + 2 2 t3 t Ta hi vọng f (t) = + hàm đặc trưng mà ta cần tìm Vậy cần phải phân tích 2 p(x) p(x) + Rõ ràng p(x) có dạng mx + n , dùng hệ số bất định ta (4x2 + 1).x = 4x3 + x = 2 t3 t thu m = 2; n = ⇒ p(x) = 2x Như hàm số đặc trưng f (t) = + 2 Lời giải: ĐK: x ; y Ta có Đặt − 2y = a ⇒ y = (1) ⇔ (4x2 + 1)x = (3 − y) − 2y ⇔ 2x (2x) + = 2 √ (5 − 2y)3 + − 2y t3 t 3t2 + có f (t) = + > 0, ∀t ∈ R 2 2 x √ Suy hàm f(t) hàm đồng bíên R , hay : 2x = − 2y ⇔ 4x2 = − 2y Tới ta vào (2) ta : 1 + 3x + 2y x + 2y + 2z 2(2x + 2y + z) (2x + 2y + z)2 2x + 2y + z Tương tự ta có: 1 + 3y + 2x y + 2x + 2z 1   + 3z + 2x z + 2x + 2y    x + 2y + 2z y + 2x + 2z Suy ra: 1 + + 3x + 2y 3y + 2x 3z + 2x 1 + + 2x + 2y + z x + 2y + 2z y + 2x + 2z Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z √ √ 670 Thay vào hệ ta có: x = 2010 ⇔ x = 670 670 670 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y; z) = ( , , ) ✷ 3 Xét hàm số đặc trưng : f (t) = Bài 18: Giải  hệ phương trình: √ √  √   x+a+ y+a+ z+a=3  √ √ √   a−x+ a−y+ a−z =3 √ 4x2 + ( − 2x2 ) + − 4x − = 2 √ Xét hàm số g(x) = 4x + ( − 2x ) + − 4x − có g (t) > 0, ∀x 1 TXĐ , lại có g( ) = ⇒ x = ⇒ y = 2 Vậy V có nghiệm (x; y) = ( ; 2) ✷ 2 Bài 6: Giải hệ phương trình (V I) a2 + a a2 − a Với a > a số Giải suy g(x) đồng biến x5 + xy = y 10 + y (1) √ 4x + + y + = 6(2) Giải Ý tưởng: Nhìn vào hệ ta thấy dùng phép Phương trình có ẩn khơng độc lập với nên ta nghĩ tới việc thử nhóm lại phân tích nhân tử, lại có x − y nhân tử chung, việc phân tích tương đối phức tạp phải dùng đẳng thức √ √ √ z+  a, B = a − x + a − y + a − z A2 3(3a + x + y + z) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: B 3(3a − x − y − z) Đặt A = √ x+a+ √ y+b+ √ Cộng vế theo vế ta có: A2 + B 18a (∗) Mặt khác theo giả thiết ta lại có: A2 + B = Vậydấu “=” (*) xảy √ √  √   a+x= a+y = a+z = ⇔  √ √ √   a−x= a−y = a−z = a2 + a2 − + a a a2 + a a2 − a = 18a ⇔x=y=z= a 253  2x2   =y     x + 13 3y Bài 15: Giải hệ phương trình sau: =z  y + y2 +    4z   =x z + z + z2 + liên quan tới A5 − B Ta xét cách khác đơn giản Với dự đoán x = y mối quan hệ x ,y ta nghĩ tới dùng đơn điệu Hãy thử đánh giá: (1) có hạng tử xy mà việc xét hàm đặc trưng ta lại chì xét hàm ẩn điều tự nhiên ta tìm cách biến đổi cho (1) trở thành PT có ẩn tách biệt Và chia vế cho y cách giúp giải tất vấn đề nêu Ta đến lời giải chi tiết: Lời giải: −5 ĐK: x Dễ thấy y = không thoả hệ Với y= chia vế PT(1) cho y ta được: Giải Rõ ràng số ẩn x, y, z x = y = z = Như x = y = z = nghiệm hệ cho Nếu x, y, z = ⇒ x, y, z > Ta có: 2x2 2x 1⇒y= x (1) x2 + 2x ⇒ x +1 x +1 3y 3y y + y + 3y ⇒ ⇒ z = y (2) y + y2 + y4 + y2 + 4z 4z z + z + z + 4z ⇒ ⇒ x = z + z4 + z2 + z6 + z4 + z2 + Từ (1),(2),(3) ta suy x = y = z = Vậy hệ cho có nghiệm x = y = z = x = y = z = ✷ (1) ⇔ z (3) x4 + y = Bài 16: Giải hệ phương trình x2 + y + xy − 3x − 4y + = Giải Giả sử hệ phương trình có nghiệm (x, y) Viết lại phương trình thứ hai theo x: x2 + x(y − 3) + (y − 2)2 = 0 ⇔ −3y + 10y − 0⇔1 y (1) Viết lại phương trình thứ hai theo y: y + y(x − 4) + x2 − 3x + = Để phương trình có nghiệm y thì: ∆y = (x − 4)2 − 4(x2 − 3x + 4) ⇔ −3x2 + 4x 0⇔0 x (2) 697 Từ (1) (2) ⇒ x + y + = < (mâu thuẫn) 3 81 Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm ✷ Bài 17: Giải hệ phương trình: √ √ √  x + √y + z = 2010 1 1  + + = + + 3x + 2y 3y + 2z 3z + 2x x + 2y + 2z y + 2z + 2x z + 2x + 2y x5 x + = y + y (∗) y5 y Xét hàm số đặc trưng f (t) = t5 + t có f (t) = 5t4 + > 0, ∀t ∈ R x Suy f(t) đồng biến R , kết hợp với (*) ta được: = y ⇔ x = y y √ √ Thế vào PT(2) ta 4x + + x + = (∗∗) −5 Ta có x = khơng thoả (**) Đặt V T (∗∗) = g(x) −5 −5 Ta có g (x) = √ + √ > ∀x > g(x) đồng biến ( ; +∞) 4 4x + x + Lại có g(1) = nên (**) có nghiệm x = Suy y = ±1 Vậy (V I) có nghiệm (x; y) = (1 : 1); (1; −1) ✷ Nhận xét: Với phương trình có bậc cao việc hạ bậc đặt ẩn phụ hữu ích Ta xem qua số tương tự: Bài 7: Giải hệ phương trình (V II) Để phương trình có nghiệm x ∆x = (y − 3)2 − 4(y − 2)2 226 √ x = (1) √ 4y + = x + x2 + (2) x3 (4y + 1) + (x2 + 1) x2 y + Giải ĐKXĐ: x Nếu x = 0, từ phương trình thứ hai hệ ta có = (sai) Vậy x > 0, chia hai vế (2) cho x2 ta thu 1 2y + 4y + = 1+ + (3) x x2 √ Xét hàm số f (t) = t + + t2 với t ∈ R, phương trình (3) viết lại thành f (2y) = f ( ) x 2t2 + 1 Ta có f (t) = + √ > ∀t ∈ R, 2y = Thay vào (1) ta có x t +1 √ √ x3 + x + x2 + x − = ⇔ x3 + x − = −2 x2 + x (4) √ Xét hàm số g (x) = x3 + x − 6, h (x) = −2 (x2 + 1) x với x ∈ (0; +∞) Dễ thấy g(x), h(x) đơn điệu ngược chiều (0; +∞) g(1) = h(1) nên (4) có nghiệm 227 x = ⇒ y = Vậy (V II) có nghiệm (x, y) = 1, Bài 8: Giải hệ phương trình (V III) ✷  √  x2 + − 3x2 y + Nếu x < 0, y < ⇒ V T < < V P ⇒ phương trình vơ nghiệm Nếu x > 0, y > 0: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM có: 4y + + = 8x2 y  x2 y − x + = Giải Với x = y = hệ vơ nghiệm Với x = y = 0.Phương trình (1) tương đương với √ √ x2 + − 4x2 y + x x2 + − 4x2 y + x 4y = 8x2 y ⇔ = 2x2 y 4y + − 4y + − √ √ ⇔ x2 + − 4x2 y + x = 2x2 y 4y + − 2x2 y ⇔ x2 + + x = 2x2 y ⇔ x +1+1 x2 (2y)2 + + = 2y f 4y + + (3) = f (2y) ⇔ = 2y ⇔ 2xy = x Thế vào phương trình (2) ta có:  x = 2x y − 2x + = ⇔ x − 2x + = ⇔ y = Kết luận: Hệ có nghiệm (x; y) = 4; Bài 9: Giải hệ phương trình (IX) √ √ 2x + 4y = 2x + 22y 2x 22y = 2x+2y   2x = 22y   x=4 Đẳng thức xảy ⇔ x = 2y ⇔  y=2   xy = √ 22 2xy √ = 22 2.8 = 32 Thử lại ta thấy nghiệm (4;2) thỏa hệ Vậy hệ phương trình có nghiệm (4;2) ✷ √ √ √ t2 + t t + t + + √ Xét hàm số: f (t) = t t2 + + có f (t) = t2 + 1+ √ +1 = >0 2+1 2+1 t t √ Nên hàm số f (t) = t t2 + + đồng biến R Từ phương trình (3) ta có x 252  2x2   =y   x2 +    2y Bài 14: Giải hệ phương trình =z  y2 +       2z = x z2 + (Thi vơ địch tốn Bungari 1977) Giải Ta thấy  x = y = z = nghiệm hệ x=0  Nếu   y = x, y, z > Khi đó, nhân vế hệ phương trình ta có z=0 8x2 y z = xyz ⇔ (x2 + 1)(y + 1)(z + 1) = 8xyz 2 (z + 1)(y + 1)(z + 1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM-GM có: ✷ x3 − 3x2 + = y + 3y (1) √ x − = y + 8y (2) Giải Ý tưởng: Chúng ta lại bắt đầu tìm tòi từ đơn giản tới phức tạp Từ (1) để ý ta có dạng g(x) = h(y) mong muốn ý tưởng dùng tính đơn điệu để xét hàm đặc trưng xuất Và sế tốt g(x), h(y) hàm đa thức Vậy ta thử bình phương để loại bỏ thức: (1) ⇔ (x3 − 3x2 + 2) = y + 3y Công việc tìm hàm đặc trưng Dễ thấy h(y) = y + 3y lựa chọn tốt hàm số đơn giản đồng biến [0; +∞] √ √ (x2 + 1)(y + 1)(z + 1) x2 y 2 z = |xyz| = 8xyz (do xyz > 0)  x, y, z > Đẳng thức xảy ⇔ ⇔x=y=z=1 x = y = z = Thử lại ta thấy x = y = z = thỏa hệ Vậy hệ phương trình có nghiệm (0;0;0), (1;1;1) ✷ Nhận xét: 2t2 1) Bài hệ giải hàm đơn điệu Cụ thể xét hàm f (t) = , ta có t +1 4t f (t) = nên f (t) đồng biến (0; +∞) (t + 1)2 Dễ thấy x, y, z khơng giảm tổng qt giả sử x = max{x; y; z} f (x) f (y) ⇒ y z ⇒ f (y) f (z) ⇒ z x ⇒ x = y = z Ta xem qua toán tổng quát hơn: 251 228 Từ (2) suy 7(x − 1)2 + 3(y + 1) = Mà 7(x − 1)2 0; 3(y + 1) (do (*)) ⇒ 7(x − 1)2 + 3(y + 1) (x − 1)2 = x=1 Đẳng thức xảy ⇔ ⇔ y3 + = y = −1 Thử lại ta thấy hệ có nghiệm (x; y) = (1; −1) ✷ x2 + y + z + 2xy − xz − yz = Bài 12: Giải hệ phương trình (∗) x2 + y + yz − zx − 2xy = −1 Giải Ý tưởng: Ta thấy phương trình thứ phân tích thành bình phương tổng theo x, y, z dư lượng theo z , phương trình thứ hai phân tích thành bình phương tổng có chứa x, y, z lại thiếu lượng theo z Từ ta nghĩ tới việc đánh giá z từ phương trình Lời giải: Viết lại hệ (*) dạng  z 3z   2  + =3 (x + y) − z(x + y) + (x + y + 2xy) − z(x + y) + z = 4 ⇔  z2 z2 (x2 + y − 2xy) − z(x − y) = −1   (x − y)2 − z(x − y) + − = −1 4   z z2 z2      (x + y − ) = 3(1 − ) 1 − (∗∗) ⇒ ⇔   z z2 z2    (x − y − ) =  −1 −1 4  z z=2 ⇔ ⇔ z2 = ⇔ z z = −2 z = 2, (∗∗) ⇔ z = −2, (∗∗) ⇔ (x + y − 1)2 = (x − y − 1)2 = ⇔ (x + y + 1)2 = ⇔ x+y−1=0 x−y−1=0 ⇔ x+y+1=0 x=1 y=0 ⇔ x = −1 (x − y + 1)2 = x−y+1=0 y=0 Thử lại ta thấy hệ có nghiệm (x; y; z) = (1; 0; 2), (−1; 0; 2) ✷ Bài 13: Giải hệ phương trình 2x + 4y = 32 Ta cố gắng phân tích (x3 − 3x2 + 2) = q (x) + 3q (x) Đồng hệ số tìm q(x) = x2 − 2x − Suy x2 − 2x − = y (chú ý điều kiện có nghiệm x3 − 3x2 + = (x − 1)(x2 − 2x − 2) ⇒ x2 − 2x − x 2) Nhưng câu hỏi đặt là, việc khai triển đồng hệ số với (x3 − 3x2 + 2)2 phức tạp Lại ý hàm số đặc trưng khơng phải Liệu có hàm số đơn giản hơn? Vậy điều tự nhiên ta tìm cách đặt ẩn phụ : hàm chứa để khơng phải luỹ thừa √ Để ý (1) ⇔ x3 − 3x2 + = y + 3y ⇔ x3 − 3x2 + = y y + √ √ Như ta đặt a = y + ⇒ y = a2 − , y y + = (a2 − 3)a = a3 − 3a √ Phân tích hồn tồn tương tự ví dụ trước , ta (x − 1)3 − 3(x − 1) = ( y + 3) − √ y + hàm đặc trưng f (t) = t3 − 3t hàm đồng biến [1; +∞] Như ý tưởng rõ ràng Lời giải: ĐKXĐ: x 2; y Ta có: (1) ⇔ x3 − 3x2 + = y y + ⇔ (x − 1)3 − 3(x − 1) = ( y + 3) − y + √ √ Xét hàm đặc trưng f (t) = t3 − 3t có f (t) = 3t2 − 0, ∀t ( y + 3; x − √ Suy hàm số đồng biến [1; +∞] , hay x − = y + ⇔ y = x − 2x − Thế vào (2): (2) ⇔ 9(x−2) = y +8y ⇔ 9(x−2) = (x2 − 2x − 2) +8(x2 −2x−2) ⇔ x4 −4x3 +8x2 −17x+6 = ⇔ (x − 3)(x3 − x2 + 5x − 2) = ⇔ x=3 x3 − x2 + 5x − = Xét Q(x) = x3 − x2 + 5x − có Q (x) = 3x2 − 2x + > 0, ∀x suy hàm đồng biến R Lại có x ⇒ Q(x) Q(2) = 13 > suy phương trình Q(x) = vơ nghiệm Vậy (IX) có nghiệm (x; y) = (3; 1) ✷ Nhận xét: Những toán cho thấy có nhiều cách để đưa hai vế phương trình hàm đặc trưng Tuy nhiên số tốn khó đòi hỏi phải biến đổi phương trình hệ để tìm hàm đặc trưng Bài 10: Giải hệ phương trình (X) x3 (2x + 3y) = x(y − 2) = xy = Giải Giải Ý tưởng: Ta thấy phương trình thứ hệ có dạng tổng, phương trình thứ hai có dạng tích nên nghĩ tới việc sử dụng bất đẳng thức AM-GM để đánh giá Lời giải: Do xy = > ⇒ x, y dấu 1) Với x = dễ thấy nghiệm hệ Với x = ta có x3 (2 + 3y) = 1 3 3 (X) ⇔ ⇒ x (2 + 3y + y − 2) = 3x + ⇔ y + 3y = + x x x3 (y − 2) = 3x2 Tới hàm số đặc trưng lộ rõ: f (t) = t3 + 3t 229 Có f (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ R suy f (t) hàm số đồng biến R ⇒ y = 250 tới ta x làm điều ta chia trường hợp để xét Lời giải: Viết lại hệ dạng việc vào PT tốn hồn tất :  PT    y = y = x = −1, y = −1 x  x (X) ⇔ ⇔ ⇔  2x3 + 3x2 − = x3 (2 + ) = x = ,y = 2 x Thử lại ta thấy (X) có nghiệm (x; y) = (−1; −1); ( ; 2) ✷ Sau ta xem qua số hệ phương trình logarit: ⇔ Nếu x > : Bài 11:  Giải hệ phương trình log (2x + 1) − log (x − y) + = √4x2 + 4x + − 3 (XI) √ √ log (−2y − 2) + 4x2 − 4x2 + = − (x − y)2 + + (x − y)2 − 4x(x + 1) (1) (2) Giải Ý tưởng: Phương trình (1) nhìn phức tạp khả nhóm nhân tử lại cao, nên ta phân tích (1) Dễ thấy biểu thức log khơng thể thay đổi, ta lấy 2x + x − y làm chuẩn Việc xây dựng hàm đặc trưng hệ số bất định giống trên, nên ta khơng nhắc lại Lời giải: Ta có: (2x + 1)2 + − (2x + 1)2 − log3 (2x + 1) = (1) ⇔ Xét f (t) = √ (x − y)2 + − (x − y)2 − log3 (x − y) (∗) t2 + − t2 − log3 t (t > 0) ta có f (t) = √ t − 2t + t t +1 √ √ −2 < nên f (t) nghịch biến (0; +∞) Do (∗) ⇔ 2x + = x − y ⇔ x = −y − √ √ Khi (2) ⇔ log3 (2x) + 4x2 − 4x2 + = − √ Xét g(x) = log3 (2x) + 4x2 − 4x2 + (x > 0) ta có g (x) = 4x(2 − √ )+ 4x2 + √ 1 g(x) đồng biến Lại có g = − nên (2) có nghiệm x = ⇒ y = 2 Vậy (IX) có nghiệm (x; y) = ( 12 ; −3 ) ✷ > nên x −3    ey2 −x2 = x + y2 + Bài 12: Giải hệ phương trình   3log (x + 2y + 6) = 2log (x + y + 2) + 2 Giải ĐKXĐ: x + 2y + > x+y+2>0 Xét hàm số: f (t) = et (t + 1), t ∈ [0, +∞) Ta có f (t) = et (t + 1) + et = et (t + 2) > nên hàm đồng biến Do đó: y −x2 e x2 + 2 ⇔ ex (x2 + 1) = ey (y + 1) ⇔ f (x2 ) = f (y ) ⇔ x2 = y ⇔ x = ±y = y +1 x3 − 3x − = − y 2y − 6y − = x − (1) ⇒ y < (2) ⇒ y > ⇔ (x − 2)(x + 1)2 = − y (1) 2(y − 2)(y + 1)2 = x − (2) ⇒ Vô nghiệm (1) ⇒ y > ⇒ Vô nghiệm (2) ⇒ y < Suy x = ⇒ y = Thử lại ta thấy x = y = thỏa hệ Vậy hệ phương trình có nghiệm (2;2) ✷ Nếu x < 2: Bài 10: Giải hệ phương trình x5 + y + z = x6 + y + z = Giải Ý tưởng: từ hai phương trình ta suy x6 + y + z = x5 + y + z Ta nghĩ tới việc đánh giá x6 + y + z x5 + y + z , cụ thể ta chứng minh x6 + y + z x5 + y + z Dĩ nhiên để chứng minh bất đẳng thức ta phải nghĩ tới việc sử dụng công cụ mạnh bất đẳng thức Holder Lời giải: Từ giả thiết ta suy x6 + y + z = x5 + y + z Ap dụng bất đẳng thức Holder cho ba số dương có : (x6 + y + z )5 (1 + + 1)  x = y = z Đẳng thức xảy ⇔ x, y, z (|x|5 + |y|5 + |z|5 )6 (x5 + y + z )6 Kết hợp với giả thiết suy x = y = z = Thử lại ta thấy hệ phương trình cho có nghiệm (1; 1; 1) ✷  x2 y − 2x + y = (1) Bài 11: Giải hệ phương trình 7x2 − 14x + 3y + 10 = (2) Giải Từ (1) suy ra: y2 = 2x +1 x2  x 1⇒ −1 y ⇒ y3 −1 (∗) 249 Giải 230 Phương trình thứ hai hệ tương đương với: Nhận thấy biểu thức phức tạp Nhưng phương trình sau gợi ý cho ta đưa bình phương, từ hi vọng đánh giá bất đẳng thức cách hợp lí Lời giải: Nhận thấy + 2x2 y − x4 y = − (1 − x2 y)2 + + (x − y)2 6 3 2 ⇒ y + 2x − x x − x + 2x y ⇔ (x − y )    1−x y =0 Suy x3 = y ⇒ ⇒x=y=1 x−y =0   x =y Thử lại ta thấy hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1) ✷ y − x3 = Bài 8: Giải hệ phương trình ⇔ y − = x3 − y3 − y2 − = − x ⇔ y − = x3 − (1) (y − 2)(y + y + 2) = − x (2) (1) ⇒ x < (3x + 6)3 − 2(2x + 4)2 = (x + 2)2 (27x + 46) > ⇒ (3x + 6)3 > 2(2x + 4)2 Do đó: (3x + 6)3 > 2(2x + 4)2 > 2(2x + 2)2 nên (*) vô nghiệm Nếu x = −y, thay vào (*), ta được: Thử lại ta thấy hệ cho có nghiệm (x, y) = (4, −4) ✷ Nhận xét: Trong nên ý đánh giá trường hợp x = y, phương trình bậc ba thu phải giải theo cơng thức tổng quát, điều thường bị tránh kì thi HSG Do đó, việc tìm đánh giá thích hợp để chứng minh nghiệm không thỏa đề cách hay Giải hệ phương√trình sau: (8x − 3) 2x − − y − 4y = Bài 1) 4x2 − 8x + 2y + y − 2y + = Bài 2) ⇒ Hệ vô nghiệm (2) ⇒ x > y = :⇒ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;2) ✷ Nhận xét: Mấu chốt lời giải đốn nghiệm (x; y) = (1; 2), từ có biến đổi đẳng thức hợp lí để chứng minh nghiệm Ta xem qua tương tự: Bài 9: Giải hệ phương trình Xét hai trường hợp: Nếu x = y thay vào (*), ta được: (3x + 6)3 = 2(2x + 2)2 Theo ĐKXĐ ta có x > −1 Lại có Bài tập tự luyện Ta có y + y + = (y + ) + > 0, ∀y ∈ R Xét trường hợp: (1) ⇒ x > y > : Ta có ⇒ Hệ vơ nghiệm (2) ⇒ x < y < : Ta có ⇔ (x + 2y + 6)3 = 2(x + y + 2)2 (∗) (−x + 6)3 = 2(2)2 ⇔ (6 − x)3 = ⇔ − x = ⇔ x = ⇔ y = −4 Hệ phương trình tương đương (y − 7) − y + x = −2 ⇔ log2 (x + 2y + 6)3 = log2 2(x + y + 2)2 x3 − y + x = −2 Giải y − = x3 − 3log2 (x + 2y + 6) = 2log2 (x + y + 2) + y = −x3 + 3x + x = 2y − 6y − (∗) Giải Ý tưởng: dễ dàng nhẩm nghiệm hệ phương trình x = y = Ta hi vọng nghiệm hệ, ta cố gắng đưa hệ phương trình ban đầu y − = (x − 2).f (x) dạng: x − = (y − 2).g(y) Rồi từ hai phương trình dựa vào dấu f (x) g(y) ta đánh giá x y, để x3 (3y + 55) = 64 xy(y + 3y + 3) = 12 + 51x  2x3 − 4x2 + 4x − = 2x3 (2 − y)√3 − 2y Bài 3) √  x + = 14 − x√3 − 2y + √ √ x+y+1+ 3x+y =5 Bài 4) x2 + xy + + y + xy + = 12 Bài 5) x3 − y − = 3x − 3y √ x2 + − x2 − 2y − y + = 231 248 Lại có: PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Hệ số bất định nguồn gốc cho nhiều lời giải đẹp Bài viết đề cập đến biến đổi hệ phương trình hữu tỉ dựa vào hệ số bất định Mục tiêu sau biến đổi thu phương trình phân tích thành nhân tử có ∆ phương (nếu bậc 2) Ta xem qua số ví dụ:    y − 6y + 21 = (y − 3)2 + 12 12 (2)  √ √ x + 32 − x 2(x + 32 − x) =   √ √ √ √   x + 32 − x 2( x + 32 − x) √ √ √ √ Từ suy ( x + 32 − x) + ( x + 32 − x) 12 (3) √ √ 2.8 = √ √ √ Kết hợp (1),(2) (3) ta có ( x+ 32 − x)+( x+ 32 − x) = y −6y+21 = 12 ⇔ Bài tập ví dụ y =  x3 − y = 35 (1) Bài 1: Giải hệ phương trình (I) 2x2 + 3y = 4x − 9y (2) Vậy hệ cho có nghiệm x = 16, y = ✷ Giải Ý tưởng: Không thể dùng phép để giải hệ Vì ta hi vọng từ hai phương trình hệ đưa dạng (x + a)3 = (y + b)3 (để ý x, y độc lập với nhau) Muốn ta nhân (2) cho số α Công việc ta tìm a, b, α (lưu ý phương trình (1) có bậc (cao nhất) nên ta để mặc định hệ số cũ, số a, b, α chọn để phù hợp) Lấy (1) + α.(2) ta được: x3 − y − 35 + α(2x2 + 3y − 4x + 9y) = ⇔ x3 + 2αx2 − 4αx − y + 3αy + 9αy − 35 = (∗) Ta cần tìm a, b, α thoả:   3   a − b = −35 V T (∗) = (x + a)3 − (y + b)3 ⇔ 3a = 2α    3a2 = −4α Do (∗) trở thành: (x − 2)3 − (y + 3)3 = Lời giải: Ta có hệ phương trình:   x3 − y = 35 x = y + ⇔ x − = y + (y + 5)3 − y = 35 ⇔     α = −3 ⇔ a = −2    b = x = 2; y = −3 x = 3; y = −2 Vậy (I) có nghiệm (x; y) = (2; −3); (3; −2) ✷ Nhận xét: Bài tốn cho ta nhìn tổng quan hệ số bất định hệ phương trình hữu tỉ Đây x, y đứng độc lập Ta xem qua tương tự: Bài 2: (VMO 2010) Giải hệ phương trình  2xy   = x2 + y (1) x + √ x − 2x + Bài 6: Giải hệ phương trình 2xy   = y + x (2) y + y − 2y + Giải Ý tưởng: Đây hệ phương trình đối xứng loại II, làm theo cách thơng thường khó khăn có xuất bậc ba Để ý ta cộng phương trình lại hạng tử (x + y) vế đơn giản, VT xuất 2xy, VP xuất x2 + y , hệ phương trình đối xứng loại II nên có nghiệm x = y Từ ta nghĩ tới việc đánh giá 2xy x2 + y Lời giải: Với x = ⇔ y = Xét x, y = : Cộng (1) (2) vế theo vế: x − 2y = 3(x − 4y ) − 4(x − 8y) (2) x + y + 2xy( √ + x2 − 2x + ⇔ 2xy( √ + − 2x + x2 Suy 2xy > Mặt khác ta có:    √ =    x2 − 2x +      ⇒ √ x − y = 240 (1)  x = 16 + x2 − 2x + y − 2y + y2 − 2y + y2 y2 − 2y + − 2y + = (x − 1)2 + (y − 1)2 + ) = x2 + y + x + y ) = x2 + y (3) 1 √ = 1 √ = 1 ⇒ 2xy( √ + x2 − 2x + y2 − 2y + Từ (3) (4) suy x = y = Thử lại nghiệm (0; 0), (1; 1)đều thỏa Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) (0;0), (1; 1) ✷ Giải Ý tưởng: Như trên, x, y tách biệt nên ta hi vọng từ hai phương trình hệ đưa dạng (x + α)4 = (y + β)4 Muốn ta nhân phương trình thứ hai cho số k Công việc Bài 7: Giải hệ phương trình + 2x2 y − x4 y + x4 (1 − 2x2 ) = y + + (x − y)2 = x3 (x3 − x + 2y ) ) 2xy x2 +y (4) 247 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  √ a a+b  √ √ a √ +  a+ b a + b a + 3b a√+ 3b ⇒ √ b 1 2b  a + 3b  √ + 2 a + 3b a + 3b √ √ a+ b b Chứng minh tương tự ta có: √ + a+b b + 3a Cộng lai ta √ √ 1 ( a + b) √ +√ a + 3b b + 3a Đẳng thức xảy nên a = b ta tìm số α, β, k Hệ phương trình cho tương đương: x3 − 3x2 + 4x = 2y − 12y + 32y Suy ra: x4 + a + k(x3 − 3x2 + 4x) = y + a + 240 + k(2y − 12y + 32) (∗) Cần chọn k cho : 24 ✷  x + y = Bài 4: Giải hệ phương trình: x3 − 2x2 + 2x = y Giải Viết lại hệ cho dạng:  x + y = x3 − 2x2 + 2x − = y − x4 + a = y + a + 240 a + a+b √ Vậy hệ có nghiệm a = b = 232  x + y = ⇔ (x − 1)(x2 − x + 1) = y − Xét khả sau: Nếu x > ⇒ (x − 1)(x2 − x + 1) > ⇒ y > ⇒ y > ⇒ x4 + y > Khi hệ cho vô nghệm Nếu < x < ⇒ y < ⇒ y < Trong trường hợp hệ vô nghiệm 2 Nếu x < x3 − 2x  + 2x < ⇒ y < : vô lý y = Tại x = 0, ta có hệ (vô nghiệm) y =  y = Tại x = 1, hệ trở thành: ⇔ y = ±1 y = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (1; 1), (1; −1) ✷ Bài 5: Giải hệ phương trình (x + α)4 = (y + β)4 ⇔ x4 + 4αx3 + 6α2 x2 + 4α3 x + α4 = y + 4βy + 6β y + 4β y + β (∗∗) Từ (*) (**) đồng hệ số ta có:   a = α4      k = 4α         k = −8 − 3k = 6α          α = −2  4k = 4α3 ⇔   a = 16 a + 240 = β          β = −4   2k = 4β       − 12k = 6β     32k = 4β Lời giải: Hệ cho tương đương: x4 + 16 = y + 256 x3 − 3x2 + 4x = 2y − 12y + 32y Lấy phương trình thứ hai nhân cho (-8) cộng với phương trình thứ ta có: x4 + 16 − 8(x3 − 3x2 + 4x) = y + 256 − 8(2y − 12y + 32y) ⇔ (x − 2)4 = (y − 4)4 ⇔ x−2=y−4 x−2=4−y ⇔ x=y−2 x=6−y Nếu x = y − thay vào (1) ta được: 8y − 24y + 32y + 224 = ⇔ (y + 2)(8y − 40y + 112) = ⇔ y = −2 ⇒ x = −4 Nếu x = − y thay vào (1) ta được: y − 9y + 36y − 44 = ⇔ (y − 2)(y − 7y + 22) = ⇔ y = ⇒ x =  √ x + √ 32 − x − y = −3 √ √ x + 32 − x + 6y = 24 Giải Điều kiện x 32 Cộng hai phương trình vế theo vế: √ √ √ √ ( x + 32 − x) + ( x + 32 − x) = y − 6y + 21 (1) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (−4; −2), (4; 2) ✷ Nhận xét: Ở tương tự với số mũ lớn hay nhỏ khơng chứa hạng tử có dạng xm y n ta sử dụng phương pháp Tuy nhiên cần qua phép đổi biến hệ khơng “ đẹp” Chúng ta xét toán sau:   x2 + y = (1) Bài 3: Giải hệ phương trình (II) 57  4x + 4x − = −y(3x + 1) (2) 25 233 Giải PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Ý tưởng: Để ý phương trình hệ có bậc hai xuất hạng tử xy nên việc dùng HSBĐ gặp nhiều khó khăn Một hướng thường dùng ta với hệ loại đưa phương trình bậc hai theo (ax + by) Để làm điều đó, ta nhân (1) cho α, (2) cho β cộng lại: (1).α + (2).β ⇔ α x2 + y − ⇔α 1+ 4β α x2 + + β 4x2 + 3xy + 3x + y − 57 25 =0 4β α x2 + 3β xy + y = k(3x + y)2 α Bài 1: Giải hệ phương trình sau: x2007 + y 2009 + z 2011 = (2) Giải ⇔ x6 − x2001 + y − y 2001 + z 10 − z 2001 = (3) Từ −1 x, y, z ta thấy: x6 − x2001 , y − y 2001 , z 10 − z 2001 Do đó: (3) ⇔ x=y=z=1 x=y=z=0  3x + y − 17 3x + y +  3x + y = =0⇔ −17 3x + y = Kết hợp với (1 )suy hệ có nghiệm là: (x; y; z) = (1; 0; 0) , (0; 1; 0) , (0; 1; 0) , (0; 0; 1) ✷ Bài 2: Giải hệ phương trình Nếu 3x + y = :   x = ; y =  x + y =  5 −17  Ta có hệ phương trình ⇔ Nếu 3x + = :    y = −3x + 11 x= ; y= 25 25   17   2 y = −3x − x + y = 5 ⇔ (vơ nghiệm) Ta có hệ phương trình 17 102x 284   y = −3x − 10x + + =0 5 25 11 Vậy (II) có nghiệm (x; y) = ; ; ; ✷ 5 25 25 Nhận xét: Những hệ phương trình chứa hạng tử x2 , xy, y phần lớn đưa phương trình bậc hai theo ax + by Bài hệ có cách giải khác, dùng phép đặt ẩn phụ tổng - hiệu Ta xem qua tương tự: Bài 4: Giải hệ phương trình x6 + y + z 10 = (1) x2007 + y 2009 + z 2011 = x6 + y + z 10 Vậy ta tìm α, β Lời giải: Lấy (1) + (2).2 ta 119 (3x + y) + 2(3x + y) − =0⇔ 25 Bài tập ví dụ Từ (1) ta có: −1 x, y, z Từ (1) (2) ta có: Đế ý hệ số y nên k = Khai triển đồng hệ số ta    1 + 4β = α = α ⇔  3β = 6α β =  α Về ý tưởng, dùng bất đẳng thức phương trình hệ phương trình tương tự Nhưng nhiều hệ, việc đánh giá ẩn phức tạp nhiều Ta xem qua số tập: α 57β 3β xy + y + β(3x + y) − − =0 α 25 Đã xuất hạng tử ax + by β(3x + y) Do ta hi vọng có 1+ 246 x2 + 2xy + 2y + 3x = (1) xy + y + 3y + = (2) Giải  3(a + b) = |ab + 1| 9(a3 + b3 ) = |a3 b3 + 1| Giải Ta có: a3 b3 + = (ab + 1)(a2 b2 − ab + 1) = |(ab + 1)| (a2 b2 − ab + 1) = |(ab + 1)| (ab + 1)2 − 3ab 9 ⇒ |(ab + 1)| (ab + 1)2 − 3ab = (a + b) (a + b)2 − 3ab = (a + b)(3a2 + 2ab + 3b2 ) Lại có: 5(a + b)(a − b)2 ⇒ 9(a3 + b3 ) (a + b)(3a2 + 2ab + 3b2 ) ⇒ 9(a3 + b3 ) |a3 b3 + 1| Đẳng thức xảy nên a = b √ 3+ Vậy hệ có nghiệm a = b = ✷  √  a + b = 24 Bài 3: Giải hệ phương trình √ √ 1  +√ =2 ( a + b) √ a + 3b b + 3a Giải 245 Lại có nữa: 2x − y = (a + b) − (a − b) a + 3b a+c b = = 2 Do đó, phương trình thứ hệ cho tương đương với: ab a + c3 b (a + b2 ) = ⇔ c(a2 + b2 ) = a + c3 b 2 234 Ý tưởng: Như ta biến đổi để đưa phương trình bậc hai theo mx + ny Để làm điều ta nhân phương trình thứ với α phương trình thứ cho β cộng lại: (1).α + (2).β ⇔ (x2 + 2xy + 2y + 3x) + β(xy + y + 3y + 1) = ⇔ α x2 + β + xy + α β β + y + 3α x + y + β = α α Ta cần chọn α β cho: Ta có hệ là: c(a2 + b2 ) = a + c3 b ab = c x + c2 ⇒ c a2 + a c4 =a+ ⇔ ca4 + c3 = a3 + ac4 a ⇔ (ca − 1)(a3 − c3 ) = ⇔ a = Suy hệ có hai nghiệm là: (a, b) = (c, 1); Xét hai trường hợp: ∨a=c c ,c c √ √ 3 c+1 3+1 3−1 = ,y = Nếu a = c, b = x = 2 1 1 + c3 1 − c3 −1 Nếu a = , b = c2 x = + c2 = = √ , y = − c = = √ 3 c c 2c c 2c 3 √ √ 3 −1 3+1 3−1 Vậy hệ cho có hai nghiệm là: (x, y) = , , √ ,√ ✷ 2 33 Bài tập tự luyện Giải  hệ phương trình: x − y = y 1) x2 + xy + x =   =7 4(x2 + y ) + 4xy + (x + y) 2)  2x + =3 x+y   = 2(10 − xy) 3(x2 + y ) + (x − y)2 3)  2x + =5 x−y √  x2 + 2x + = y + 4) x2 + xy + y =  x2 − y = 4x + 6y − 5) x4 + y − 5x2 − 5y = 2x2 y − 10xy −  x + y = 6) 21x + 3y + 48x2 − 48y + 28xy = 69 ⇔ x2 + β + xy + α β + xy + α β + y2 = α β x+ y α β β β2 + y = x2 + xy + y α α α Đồng hệ số ta có:  β 2β   +2= α α ⇔ β = ⇔ β = 2α  α β +2= β α α Để cho đơn giản chọn α = β = Lời giải: Lấy phương trình thứ cộng với phương trình thứ hai nhân (2) ta được: x2 + 4xy + 4y + 3x + 6y + = ⇔ (x + 2y)2 + 3(x + 2y) + = ⇔ (x + 2y + 1)(x + 2y + 2) = ⇔ x + 2y + = x + 2y + = Nếu x + 2y + = ⇒ x = −2y − thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: √ √ y = + ⇒ x = −3 − 2 −y + 2y + = ⇔ √ √ y = − ⇒ x = −3 + 2 Nếu x + 2y + = ⇒ x = −2y − thay vào phương trình thứ hai hệ ta được:  √ √ 1+ y = ⇒ x = −3 +  2√ −y + y + = ⇔   √ 1− y= ⇒ x = −3 − √ √ √ √ Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x, y) (−3 − 2; + 2); (−3 + 2; − 2); √ √ √ 1+ √ 1− −3 + 5; , −3 − 5; ✷ 2 Nhận xét: Những hệ phương trình có chứa phần tử x2 , xy, y phần lớn đưa phương trình bậc hai theo mx + ny, từ tính x theo y y theo x ngược lai vào hai phương trình hệ nghiệm  x4 − 4x2 + y − 6y + = (1) Bài 5: Giải hệ phương trình x2 y + x2 + 2y − 22 = (2) 235 Giải Coi phương trình bậc theo x2 ta có: ∆ = y (a2 − 4) + y(−16a + 2a2 + 24) + a2 + 80a − 20 Để ∆ bình phương trước hết hệ số y phải số phương, nghĩa ta giải PT nghiệm nguyên a2 − = k     a − = Tìm nghiệm PT này, thử lại Dễ thấy a = −16a + 2a2 + 24 =    a2 + 80a − 20 = 144 Vậy ta chọn a = Lời giải: Xét (1) + (2).2 ta có: (1) + (2).2 ⇔ x4 − 4x2 + y − 6y + + 2(x2 y + x2 + 2y − 22) = ⇔ (x2 + y + 5)(x2 + y − 7) = Nếu y = −x2 − 5, thay vào (1) ta có phương trình x4 − 4x2 + (x2 + 5)2 + 6(x2 + 5) + = ⇔ x4 + 6x2 = −32(vô nghiệm) Nếu y = −x2 + 7, thay vào (1) ta có phương trình  6x2 y + 2y + 35 = (1) Bài 5: Giải hệ phương trình 5x2 + 5y + 2xy + 5x + 13y = (2) Giải Ý tưởng: Theo nhận xét 4, phương trình đầu có 2y +6x2 y nên ta đặt x = a+b; y = a−b Lời giải: Đặt x = a + b; y = a − b ta có (1) trở thành: 6(a + b)2 (a − b) + 2(a − b)3 + 35 = ⇔ a2 + 2ab + b2 (a − b) + a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 + 35 = 35 ⇔ a3 − a2 b + 2a2 b − 2ab2 + ab2 − b3 + 2a3 − 6a2 b + 6ab2 − 2b3 + 35 = ⇔ a3 − b3 + =0 Tương tự, (2) trở thành: 6a2 + 9a + 4b2 − 4b = Vậy ta có hệ phương trình  a3 − b3 = − 35 6a2 + 9a + 4b2 − 4b = Giải hệ hệ số bất định, ta tìm (a; b) = √ x4 − 4x2 + (x2 − 7)2 + 6(x2 − 7) + = ⇔ x4 − 6x2 + = ⇔ x ∈ {±2; ± 2} √ √ Từ ta tìm nghiệm hệ (x; y) = (2; 3), (−2; 3), (− 2; 5), ( 2; 5) ✷ x3 + 3xy = −49 (1) −5 −5 ; ; ; 2 2 Như hệ có nghiệm (x; y) = (−1; 4), (−1; −4) ✷ Nhận xét: Từ rút kinh nghiệm nhỏ phương trình có mx3 3mxy , my 3mx2 y ta đặt x = a + b; y = a − b.Sau ta xét tương tự: Từ tìm (a; b) = ý tưởng: Hệ phương trình có bậc cao (bậc 4) giảm bậc cách đặt t = x2 Vậy cách tự nhiên ta đưa phương trình bậc Để đảm bảo ∆ phương ta dùng hệ số bất định sau: Ta có: (1) + (2).a ⇔ x4 + x2 (−4 + ay + a) + y − 6y + + 22ay − 22a = Bài 6: Giải hệ phương trình 244 x − 8xy + y = 8y − 17x (2) −1; ; −3 ;1 −5 −1 −5 ; ; ; ✷ 2 2 Nhận xét: Nếu biết nghiệm hệ, ta trình bày ngắn gọn hệ số bất định sau: (1) + 3.(2) ⇔ (6y + 15)x + 3(2y + 5)x + 2y + 15y + 39y + 35 = ⇔ (2y + 5) x + + y+ 2 Vậy ta có (x; y) = Bài 6: Giải hệ phương trình Giải x4 − 2x = y − y (x2 − y ) = (Đề kiểm tra đội dự tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) Ý tưởng: Do phương trình thứ nhât hệ có bậc cao nên ta để nguyên, nhân phương trình thứ hai cho α cộng với phương trình thứ ta : Giải 2 x + 3xy + 49 + α(x − 8xy + y + 17x − 8y) = (1) Mặt khác ta nhẩm nghiệm hệ (x; y) = (−1, 4), ta mong muốn (1) phân tích thành: Đặt x + y = a, x − y = b, = c3 Từ phương trình thứ hai hệ, ta có: (ab)3 = c3 ⇔ ab = c a−b a+b Ta có: x = ,y = Suy ra: 2 (x + 1)(ax2 + bx + cy + dy + 49) = (dễ thấy hệ số xy ngoặc 0) 2 2 ⇔ ax + bx + cxy + dxy + 49x + ax + bx + cy + dy + 49 = 2 x − y = (x − y)(x + y)(x + y ) = ab a+b 2 + a−b 2 = ab (a + b2 ) 2 =0 243 Đặt a = x + 2y, b = 2x − y ta có hệ đối xứng :    a2 + b = a=  ⇔  a + b + ab − 47 = a= 25 ⇔ ax3 + (a + b)x2 + cxy + dxy + cy + (b + 49)x + dy + 49 = (2) ;b = ;b = 5 11 ; ); ( ; ✷ 5 25 25 Nhận xét: Bài tốn giải hệ số bất định Cụ thể ta xét Vậy ta tìm (x; y) = (1).25 + (2).50 ⇔ 25(3x + y)2 + 50(3x + y) − 119 = ⇔ 3x + y ∈ −17 ; 5 Từ dễ dàng làm tiếp  x3 + 3xy = −49 Bài 4: Giải hệ phương trình x2 − 8xy + y = 8y − 17x Từ (1) (2) đồng hệ số ta được:   a=1       a+b=α   a=1        c=3  c=α=3 ⇒ d = −8α   b=2     c = α     d = −24   b + 49 = 17α     d = −8α Lời giải: Nhân phương trình thứ hai hệ cho cộng với phương trình thứ : x3 + 3xy + 49 + 3x2 − 24xy + 3y − 24y + 51x = ⇔ (x + 1)(x2 + 2x + 3y − 24y + 49) = ⇔ (x + 1)((x + 1)2 + 3(y − 4)2 ) = Giải Ý tưởng: Thử xét hạng tử bậc trước, ta thấy phân tích x2 −8xy+y thành nhân tử khơng có cách biến đổi biểu thức Đến hạng tử bậc 3, dù x3 +3xy = x(x2 +3y ) không dễ đưa bậc theo a, b với phép đặt (∗) Vậy ta chuyển qua phép đặt (∗∗) Trước tiên ta thử cách đặt x = ua + vb; y = va − ub mục đích ta khử ab, a2 b, ab2 sau đưa hệ bậc theo a, b Giờ ta tìm u, v: x = ua + vb Đặt thay vào hệ ta được: y = va − ub a3 (u3 + 3uv ) + b3 (v + 3u2 v) + a2 b(3v − 3u2 v) + ab2 (3u3 − 3uv ) = −49 a2 (u2 − 8uv + v ) + b2 (v + 8uv + u2 ) + 8ab(u2 − v ) = −9ua − 25vb 236 Ta đồng hệ số cho hệ số a b, ab ab :   3v − 3u2 v =   u=v 3u3 − 3uv = ⇔  u = −v   u2 − v = Do u = v hay u = −v có cách đặt nên ta chọn u = v = (thật lấy u, v tuỳ ý, vế trái phương trình đầu nhất) Lời giải: Đặt x = a + b, y = a − b ta có hệ: ⇔ x+1=0 x + = 0, y − = ⇔ x = −1 x = −1, y = Nếu x = −1 thay vào phương trình thứ hệ y = 16 ⇔ y = ±4 Nếu x = −1, y = thay vào hệ thấy thỏa Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x, y) (−1, 4), (−1, −4) ✷ Ta xem qua cách giải khác cho tốn: Ý tưởng: Để ý hệ có bậc ba bậc ba theo x, có bậc hai theo y Vậy ta lấy (1) cộng với (2).a đưa phương trình bậc hai theo y: y (3x + a) + y(−8ax − 8a) + x3 + ax2 + 17ax + 49 = Ta cần chọn a để ∆ bình phương biểu thức theo x Cụ thể ta có: ∆ = −3x4 + x3 (−4a) + x2 (15a2 − 51a) + x(15a2 − 147a) + 16a2 − 49a Nếu ∆ bình phương phải có dạng −3[f (x)]2 Muốn trước hết 16a2 − 49a phải (−3) lần số phương Để đơn giản ta chọn a ∈ Z trước, nghĩa cần phải giải phương trình nghiệm nguyên 16a2 − 49a = −3b2 Tới giải tiếp hệ số bất định Cụ thể, lấy phương trình thứ cộng phương trình thứ hai nhân (-6) ta có Dễ thấy có 16a2 − 49a ⇔ a(16a − 49) ⇔ a ∈ {0; 1; 2; 3} Lần lượt thử ta thấy a = ∆ = −3(x + 1)4 Lại để ý ∆ ⇔ x = −1 Vậy ta có nghiệm x = −1 (trường hợp tổng qt ta phải tính y theo x) Lời giải: Xét (1) + 3.(2) ta có phương trình (2a − 3)3 = (−2b − 5)3 ⇔ 2a − = −2b − ⇔ a = −b − y (3x + 3) − 24y(x + 1) + x3 + 3x2 + 51x + 49 = (∗) 4a3 + 4b3 = −49 − 6a2 + 10b2 = −9a − 25b ⇔ 8a3 + 8b3 = −98 6a2 − 9a = 10b2 + 25b 237 (∗) có ∆ = −3x4 − 12x3 − 18x2 − 12x3 − = −3(x + 1)4 ⇔ x = −1 Vậy ta có hệ phương trình    x = −1 x = −1 x = −1 ⇔ ⇔ x3 + 3xy = −49 y = 16 y = ±4 Do hệ có nghiệm (x; y) = (1; 4), (−1; −4) ✷ Nhận xét: Hai cách xét (1) + (2).a a = ý tưởng khác Cách hiệu tìm nghiệm Cách mang tính tổng quát , ý tưởng giải phương trình nghiệm nguyên thú vị Bài cách giải khác phương pháp đặt ẩn phụ tổng - hiệu Sau ta khai thác sâu cách Lưu ý với đốn nhiều nghiệm dễ dùng hệ số bất định  x4 + 2(3y + 1)x2 + (5y + 4y + 11)x − y + 10y + = (1) Bài 7: Giải hệ phương trình y + (x − 2)y + x2 + x + = (2) Giải Ý tưởng: Để giải ta tiến hành bước: Bước 1: tìm nghiệm hệ Nếu biết nghiệm ý tưởng ta rõ ràng nhiều Ở thử x = −2, −1, 0, 1, 2, 3, ta tìm nghiệm hệ (x; y) = (−1; 1), (2; −2) ✷ Tuy nhiên lưu ý bậc hai phương trình cao (4 3) Nếu phân tích ta phải giải hệ phương trình hai ẩn bậc (sau giảm bậc) Vì đây, biết nghiệm, ta tiến hành bước 2: Bước 2: tìm quan hệ tuyến tính nghiệm này: Dễ thấy y = −x Bước 3: thay vào hệ phân tích thành nhân tử: Ta thay x y y x (tùy trường hợp xem cách có lợi), với ta thay y = −x vào hai phương trình hệ thu   x4 + 2(−3x + 1)x2 + (5x2 − 4x + 11)x − x2 − 10x + = (x + 1)2 (x − 1)(x − 2) = ⇔ −x3 − (x − 2)x + x2 + x + = (x + 1)2 (x − 2) = Việc phân tích khơng khó ta biết trước nghiệm Bước 4: Lựa chọn biểu thức thích hợp: Như thế, so với phương trình thứ vừa nhận phương trình thứ hai thiếu biểu thức x − , ý biểu thức tương đương với −y − Ta chọn hai biểu thức để nhân vào Rõ ràng chọn −y − việc nhân tạo đa thức có chứa biến y đồng bậc với đa thức phương trình thứ ban đầu Vậy ta nhân phương trình sau cho −y − Lời giải: Nhân phương trình thứ hai cho y + 1, lấy phương trình thứ nhất, trừ phương trình vừa nhận được, ta có: (x + y)(x − y + 2)(x2 − 2x + y + 3y + 5) = 0] 242 Như hệ tương đương −9 b = ; a =    b = −1; a =    b = 0; a = −3   b = 3; a = Từ tìm nghiệm −11 17 (x; y) = ; , (1; 1), (−2; −1), (1; −1), 10 10 √ √ −1 − 14 + 14 ; 5 , √ √ −1 + 14 − 14 ; 5 Nhận xét: Như từ hệ dùng phép thế, qua phép đặt ẩn phụ đưa hệ giải phép Dù phương trình bậc có hệ số cao ý tưởng giải rõ ràng Hệ (∗) giải hệ số bất định Cụ thể, lấy phương trình đầu nhân với cộng với phương trình sau ta thu 3x2 − x(y − 2) + y − = ⇔ (x − 1)(3x − y + 5) =   x2 + y = (1) Bài 3: Giải hệ phương trình 4x2 + 3x − 57 = −y(3x + 1) (2)  25 Giải Ý tưởng: Xét hạng tử bậc hai phương trình, ta thấy khơng thể phân tích thành nhân tử Tuy nhiên lưu ý ta thay đổi hệ số x2 y (2) phép (1) Như ta hướng tới cách đặt (∗), khó khăn ta khơng biết biểu thức cần phân tích Tiếp tục khai thác toán: Ta (1) vào (2) để biến đổi biểu thức bậc Nghĩa ta xét: (1).α + (2) ⇔ x2 (4 + α) + 3xy + αy + 3x + y = 57 α + 25 Mục đích ta phân tích f (x) = x2 (4 + α) + 3xy + αy thành nhân tử Muốn ∆ f (x) phải bình phương Ta xét ∆ = 9y − 4α(4 + α)y = y (9 − 16α − 4α2 ) Như ta phải tìm α để − 16α − 4α2 số phương, nói cách khác giải phương trình nghiệm nguyên − 16α − 4α2 = k Từ tìm α ∈ {−4; −2; 0} (thật cần tìm nghiệm nguyên − 16α − 4α2 thử lại) Dễ thấy nhận α = −2 Khi ta có phân tích 2x2 + 3xy − 2y = (2x − y)(x + 2y) Vậy đặt a = 2x − y; b = x + 2y Lời giải: Lấy (2) − 2.(1) ta có hệ tương đương   x + y = 47  2x + 3xy − 2y + 3x + y = 25 ✷ 241 238 - Với x = −y, ta đưa phương trình thứ hai hệ (y + 2)(y − 1)2 = - Với x = y − 2, ta đưa phương trình thứ hai hệ (y − 1)2 (y + 4) = Dễ thấy không xảy x2 − 2x + y + 3y + = Thử lại ta thấy hệ có nghiệm (x, y) = (−1, 1), (2, −2), (−6, −4) ✷ Giải ĐKXĐ: x + y = Phương trình (2) tương đương: (x + y − 1) x2 − 4y + x + y + 2xy + = ⇔ x3 − 4y − 4xy + x2 y − x2 + 4y + x + y + 2xy − = ⇔ (x + 2y) x2 − xy − 2y + xy + x + 2y + 2y − x2 − xy − 2y + y + = ⇔ (x + 2y) x2 − xy − 2y + (x + 2y) (y + 1) − x2 − xy − 2y + y + = Nhận xét: Vận dụng linh hoạt bước cho ta lời giải đẹp ngắn gọn Ta xem qua tương tự:  (x − y)2 + x + y = y (1) Bài 8: Giải hệ phương trình x4 − 4x2 y + 3x2 = −y (2) ⇔ (x + 2y − 1) x2 − xy − 2y + y + = ⇔ x + 2y = Giải x − xy − 2y + y + = Nếu x + 2y = thay vào phương trình (1) ta    √ √ x = − 2y   + 14 −1 − 14   √   ;x = + 14 y = x = − 2y 5√  y = √ ⇔  ⇔   − 14 −1 + 14 √ 5y − 6y − =    y= ;x =  − 14   y= 5 Nếu x2 − xy − 2y + y + = ta có hệ phương trình: (∗)  x + y + x = Như ta phải nhân x(x − 2) y(y − 2) vào (1) Để ý chọn x(x − 2) ta làm bậc Vậy khâu chuẩn bị hoàn tất Lời giải: Xét x = x = ta thấy hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0), (2; 2) Với x ∈ / {0; 2} xét (1).[x(x − 2)] + (2) ta có phương trình x(x − 2)(x2 − 2xy + x + y) + (x4 − 4x2 y + 3x2 + y ) = ⇔ (x − y)(2x3 − x2 + x − y) = x2 − xy − 2y + y + = Như mấu chốt toán lại hệ phương trình (∗) Ý tưởng: Để sử dụng phép thế, ta phải đưa phương trình dạng p.ab + q.a + r.b = m (ẩn a, b) Như hạng tử bậc phương trình phải đưa tích a b (để ý a, b bậc nhất) Nghĩa ta phải phân tích x2 − xy  − 2y thành nhân tử a = x + y Dễ thấy x2 − xy − 2y = (x + y)(x − 2y), ta đặt b = x − 2y Nếu x = y thay vào (1) ta có 2x − x2 = Trường hợp loại x ∈ / {0; 2} Nếu 2x − x + x − y = ta có hệ phương trình  2x3 − x2 + x − y = (∗) x2 − 2xy + x + y = Cộng hai phương trình ta có 2x3 − 2xy + 2x = ⇔ 2x(x2 + − 2y) = ⇔ x2 + = 2y (do x = 0) Lời giải:   x = 2a + b Đặt a = x + y; b = x − 2y ⇒ a−b  y = Ta có HPT:  (2a + b)2 + (a − b)2 + 3(2a + b) = 27 (1) 3ab + a − b + = (2) Từ (2) có a = Ý tưởng: Đầu tiên ta thấy (1) ⇔ x2 − 2xy + x + y = Có thể tìm nghiệm nguyên  hệ (x; y) = (0, 0), (2; 2), (1; 2) Từ nghiệm đầu x2 − 2x = ta thấy x = y Thay vào hệ ta [x(x − 2)]2 = b−3 Thế vào (1) phương trình bậc theo b: 3b + 54b4 + 135b3 − 648b2 − 729b = ⇔ b ∈ −9 ; −1; 0; Thay vào (1) ta có phương trình −2x3 + x2 + = ⇔ x = Từ tìm (x; y) = (1; 2) Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (1; 2), (0; 0), (2; 2) ✷ MỞ RỘNG: Ý tưởng: Như đề cập, biết nhiều nghiệm ta có lời giải đẹp Sau cách phân tích ta biết nghiệm Ta lập quan hệ tuyến tính x 239     y = x y Trong này, y = 2x    y = KĨ THUẬT ĐẶT ẨN PHỤ TỔNG - HIỆU Lý thuyết Do (2) có bậc cao nên ta xét (1).α + (2) ⇔ x4 + x2 (−4y + α + 3) + x(α − 2αy) + αy + y = (3) Ta chọn quan hệ dễ sử dụng nhất, y = Như (3) có nghiệm y = 2, nghĩa x4 + x2 (α − 5) + x(−3α) + 2α + = ⇔ α = −x4 + 5x2 − = −(x + 1)(x + 2) x2 − 3x + Khi (3) trở thành 2x3 + x2 + x + y = Ta tiếp tục khai thác hai quan hệ lại, để ý phân tích trên, với α = x(x − 2) ta thu 2x3 − x2 + x − y = Vậy ta đến lời giải ngắn gọn sau: Lời giải: Thử với x ∈ M = {0; 2; −1; −2} ta tìm nghiệm (x; y) = (0; 0), (2; 2), (1; 2) Xét x ∈ / M ta có (1).α + (2) ⇔ y + y(α − 2αx − 4x2 ) + αx + x2 (α + 3) + x4 = (∗∗) Chọn α = x(x − 2) ta có 2x3 − x2 + x − y = Chọn α = −(x + 1)(x + 2) ta có 2x3 + x2 + x + y = Cộng lại ta có 4x3 + 2x = (sai x ∈ / M ) Vậy trường hợp loại Tóm lại hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0), (2; 2), (1; 2) ✷ Bài tập tự luyện Giảicác hệ phương trình sau: x3 + y = (1) 1) x2 + 2y = x + 4y (2) 2) x3 − y + 3y + 2x − 5y + = 0(1) 4) 5) Trong việc giải hệ phương trình đặt ẩn phụ cách hiệu đa dạng Phương pháp đặt ẩn phụ tổng - hiệu cách đặt dễ nhận biết, tối ưu đưa hệ phương trình giải phương pháp Nội dung phươngpháp là, từ hệ phương trình theo ẩn x, y ta đặt  a = mx + ny x = ma + nb (∗) (∗∗) (a, b ẩn mới) b = ux + vy y = ua + vb Hai phép đặt thực tương đương, ta tính x, y theo a, b ngược lại Lưu ý rằng: Phép đặt (∗) dùng với hệ mà ta nhóm hạng tử cách thích hợp để tạo phương trình đơn giản theo mx + ny ux + vy Phép đặt (∗∗) dùng với hệ phương trình mà ta hi vọng khử hay số hạng tử sau khai triển (lưu ý hệ phương trình hữu tỉ mà ẩn tách biệt giải hệ số bất định) Khi gặp toán ta nên thử (∗) trước, vì phép đặt cho hệ đơn giản a = mx + ny Một trường hợp đặc biệt phép đặt dùng cho hệ phương trình có b = nx − my phương trình đối xứng, đưa số hệ đối xứng loại I Phương pháp giải nhiều hệ phương trình hữu tỉ, đặc biệt hệ bậc hai Vì từ phương trình bậc hai ẩn m1 x2 + m2 xy + m3 y + m4 x + m5 y + m6 = ta đưa dạng n1 ab + n2 a + n2 b + n3 = 0, từ tính a theo b Sau ví dụ cụ thể: Bài tập ví dụ  x2 + y = xy + x + y Bài 1: Giải hệ phương trình x − y = Giải x + 2y = 1(2) 3) 240 x2 + y = 21x + 3y + 96x2 + 28xy = 117 6x2 y + 2y + 35 = 5x2 + 5y + 2xy + 5x + 13y = x4 − y = 1215 2x3 − 4y = 9(x2 − 4y ) − 18(x − 8y) Ý tưởng: Dễ thấy đặt a = x + y, b = x − y từ phương trình sau có ab = nên mục tiêu dùng phép thành cơng Việc lại đưa phương trình đầu biến a, b (dễ thấy x2 − xy + y = [3(x + y)2 + (x − y)2 ] ) Lời giải: Đặt a = x + y; b = x − y ta có hệ phương trình     3a2 + b2 = 4b a = b = ⇔ 27 b ⇔ ab =  a =  + b2 = 4b b Từ tìm (x; y) = (2; 1) ✷   x + y2 + x = Bài 2: Giải hệ phương trình sau 2xy  x2 − 4y + = −1 x+y−1