ms print5 booklet

159 trình hệ phương trình dễ dàng giải Sau đây, xét ví dụ nhỏ nhằm làm sáng tỏ ý tưởng giải toán dạng Bài Giải phương trình 2x −x + 22+x−x = Giải Ý tưởng: Ta nhận thấy biểu thức x2 − x lặp lại phương trình Vì thế, ta có ý tưởng phải đặt ẩn thay cho biểu thức Lời giải: Đặt t = x2 − x, phương trình cho trở thành: 2t + 22−t = ⇔ 2t + t = ⇔ (2t )2 + = 3.2t Đến đây, ta lại thấy phương trình thu có biểu thức 2t lặp lại, ta đặt thêm ẩn Đặt u = 2t , ta : u2 − 3u + = Phương trình vơ nghiệm Do đó, ta có phương trình cho vơ nghiệm ✷ Bài Giải phương trình log2 x + 10 log2 x + = 128 √ ( 3x + + 1)2 + 3 ⇒ V T (∗) x = −2 √ Dấu xảy ⇔ x = −2 3x + + = Vậy tập nghiệm phương trình là: S = {−2; 1} ✷ Lại có (x + 2)2 + Bài 5: Giải phương trình: √ 162x3 + − √ 27x2 − 9x + = (1.5) Giải Viết lại (1.5) dạng (1.5) ⇔ √ 162x3 + − − ⇔ √ √ 27x2 − 9x + + = 162x3 − 3x (3x − 1) √ =0 − √ 27x2 − 9x + + 162x3 + + 162x3 + + ⇔ (3x − 1) (9x2 + 3x + 1) 3x √ − =0 √ √ 27x2 − 9x + + 162x3 + + 162x3 + + Xét phương trình (9x2 + 3x + 1) 3x =0 −√ √ 27x − 9x + + 162x3 + + 162x3 + + 3x (9x2 + 3x + 1) √ = ⇔ √ √ 3 162x3 + 162x3 + + 162x3 + + √ Giải Đặt t = log2 x, phương trình viết lại thành: t+ √ 10t + = ⇔ t ⇔t=3⇒x=8 10t + = t2 − 18t + 81 Đặt a = √ 162x3 + 2, suy a 2 3x + + = a + + ⇔ 3x + +1= + +1 3x a 3x a  a 3x =  ⇔ ⇔x= 3x = a Vậy phương trình cho có nhiệm x = ✷ Nhận xét: Ở hai toán trên, biểu thức lặp lại “phơi bày” trước mắt, dễ dàng nhận biết phương pháp đặt ẩn phụ toán Những toán sau đây, biểu thức chứa biến lặp lại bị giấu đi, từ đơn giản, đến tinh xảo, độ khó việc tìm quy tắc “bí ẩn” đấy, nấc thang để định mức độ khó tốn Bài Giải phương trình 34x+8 − 4.32x+5 + 27 = (∗) Giải Ý tưởng: Với toán này, ta nhận thấy hạng tử phương trình có lũy thừa 3, đó, ta triệt tiêu lũy thừa Lời giải: Ta có: (∗) ⇔ 34x+8 − 4.32x+5 + 33 = ⇔ 34x+5 − 4.32x+2 + = ⇔ 3.34x+4 − 4.32x+2 + = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 6: Giải phương trình: √ x2 + 12 + = 3x + ✷ √ x2 + (1.6) Giải Ý tưởng: Ta nhận thấy x = nghiệm phương trình Như phương trình cho phân tích dạng (x − 2) Q (x) = Lời giải: Điều kiện: x 129 Viết lại (1.6) dạng (1.6) ⇔ √ x2 + 12 − = 3x − + √ x2 + − x2 − x2 − = (x − 2) + √ ⇔√ x2 + 12 + x2 + + x+2 x+2 −√ −3 =0 ⇔ (x − 2) √ x2 + 12 + x2 + +  x=2 x+2 x+2 ⇔ √ −√ − = (∗) x2 + 12 + x2 + + 1 x+2 x+2 0, a = 1), ta có: • Nếu m > phương trình cho có nghiệm x = loga m • Nếu m phương trình cho vơ nghiệm Hàm số logarit: 2x − + x2 − 3x + = (1.7) • ac = b ⇔ c = loga b • aloga b = b Giải • loga (b1 b2 ) = loga b1 + loga b2 Ý tưởng: Nhẩm nghiệm ta thấy x = nghiệm phương trình Ta thử kĩ thuật tách số với phương trình này: (1.7) ⇔ √ 2x − − + x2 − 3x + = 2(x − 1) ⇔√ + (x − 1)(x − 2) = 2x − +  x=1 ⇔ √ = − x (∗) 2x − + Nhận thấy (∗) nghiệm Vậy việc thêm bớt số khơng thể tìm hết nghiệm Nếu √ quy đồng phương trình (∗), ta lại phải giải phương trình phức tạp x = (2 − x) 2x − Vậy ta cần suy nghĩ đến việc dùng ẩn để thay số Lời giải: Điều kiện: x Thật vậy, từ phương trình đầu ta có: (1.7) ⇔ √ 2x − − x + x2 − 2x + =  x=1 −(x − 1) + (x − 1)2 = ⇔  ⇔√ √ = 1(∗) 2x − + x 2x − + x • loga bα = α loga b • loga c = logb c logb a • logb c = logb a loga c • loga b = logb a • logaα c = loga c α Sau số phương pháp giải phương trình mũ - logarit PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp phổ biến tốn phương trình hệ phương trình Các tốn giải phương trình mà ta áp dụng phương pháp này, dễ, ta thấy dấu hiệu biểu thức chứa biến lặp lặp lại nhiều lần, khó hơn, ta cần phải có biến đổi khéo léo, chủ yếu để đưa hình dạng sơ khai tốn, phương trình với biểu thức chứa biến lặp lại Cũng có trường hợp, tốn u cầu ta phải đặt thêm nhiều ẩn phụ khác, nhằm tạo phương 158 157 • Với u − 2v =  3x − √ √ ⇒ + 6x − x2 + = ⇔ 3x − = x3 + ⇔ ⇔x=1 x2 + = (3x − 1)2  √ 3x − √ 7−3 • Với u − 2v = −3 ⇒ 3x + = x + ⇔ ⇔x= (3x + 2)2 = x2 + √ 7−3 ✷ Vậy phương trình có tập nghiệm S = 1; Bài 7: Giải phương trình √ √ 8x(1 − x2 ) 2x(x + 3) (∗) − = − (1 + x2 )2 + x2 130 Như cần giải (*):  1 − 2x + x2 = 2x − √ (∗) ⇔ − x = 2x − ⇔ 1 x  x2 − 4x + = √ ⇔ ⇔ x = − 1 x √ Kết luận: phương trình có tập nghiệm S = 1; − Bài 8: Giải phương trình: √ 12x2 + 46x − 15 − √ x3 − 5x + = 2x + (1.8) Giải Giải 2x − x2 Đặt a = ; b = + x2√ + x2 2x(x + 3) √ = 2(3a − b + 1) a2 + b2 = nên (*) trở thành: Ta tính + x2 √ √ 4ab − 2(3a − b + 1) = − √ ⇔ 4ab − 2(3a − b) = = + 2a2 + 2b2 √ ⇔ 2(a − b)2 + − 2(a − 3b) = √ ⇔ 2(a − b)2 − 2[2(a − b) − (a + b)] + = √ √ √ √ ⇔ [ 2(a − b)]2 − 2(a − b) + + 2(a + b + 2) = √ √ √ ⇔ [ 2(a − b) − 1]2 + 2(a + b + 2) = (∗∗) √ √ Ta có |a + b| 2(a2 + b2 ) = ⇒ a + b − Vậy (**) có V T = V P đẳng thức không xảy Do phương trình (*) vơ nghiệm ✷ Bài 8: Giải phương trình (4x3 − x + 3)3 − x3 = (∗) Giải Đặt t = 4x3 − x + = t ⇒ = t − 4x3 + x Phương trình (*) trở thành: t − 4x3 + x ⇔ 2t3 + 2x3 − t − x = ⇔ (t + x)(2t2 − 2tx + 2x2 − 1) = ⇔ t + x = t3 − x3 = Từ tìm x = −3 ✷ Viết lại (1.8) dạng √ √ 3 (1.8) ⇔ 12x2 + 46x − 15 − (2x + 1) − x3 − 5x + − = ⇔ −8x3 + 40x − 16 − x3 − 5x + =0 2 √ 2x + 3(2x + 1) 3 12x2 + 46x − 15 + + x2 − 5x + − + 4 3 x − 5x + 8x − 40x + 16 =0 ⇔ + √ 2 √ 3(2x + 1) 2x + 3 ( x − 5x + − ) + ) + ( 12x2 + 46x − 15 + 4 3 8(x − 5x + 2) x − 5x + ⇔ + =0 2 √ √ 2x + 3(2x + 1) 3 12x2 + 46x − 15 + + x2 − 5x + − + 4  x3 − 5x + =   + = (∗) ⇔ 2 √  √ 2x + 3(2x + 1) 3 12x2 + 46x − 15 + + x2 − 5x + − + 4 √  x=2 √  Do (∗) vộ nghiệm nên(1.8) ⇔ x − 5x + = ⇔  x = − √ x=− 2−1 √ √ Vậy tập nghiệm phương trình S = − − 1; − 1; ✷ Nhận xét: Câu hỏi đặt là: Tại xuất đại lượng x3 − 5x + = 0? Bằng cách thêm bớt ax + b vào phương trình đồng hệ số, ta làm xuất đại lượng Điển hình ta xét ví dụ sau: Bài 9: Giải phương trình: √ 3x2 − 6x − = (2 − x)5 + (2 − x)(2x2 − x − 10) (1.9) Giải √ √ Ý tưởng: Đầu tiên ta có (1.9) ⇔ 3x2 − 6x − = − x(3x2 − 5x − 6) Dùng máy tính bấm nghiệm ta thấy phương trình nghiệm xấu Chính thế, ta thêm bớt 131 ẩn cho phù hợp để nhân lượng liên hợp: √ √ Do giả thiết phương trình có − x nên ta thêm bớt α − x vào phương trình: √ √ 3x2 − 6x − − α − x = √ √ − α2 = ⇒a=1 + 2α2 = + α Lời giải:   x   √    3+2 ⇒  x 3√     −   x x2 + 21 = −x ⇔ x ⇒ 15(x + y) + 2002 > Vậy trường hợp loại 30060 15 2006 Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ 15 √ √ √ Bài 3: Giải phương trình − x = x + + − x + − x2 A B Bây ta thử tìm tam thức bậc tạo từ nghiệm Nghĩa ta cần tính A + B A.B Thu A + B = 1, AB = −1 Điều chứng tỏ A, B hai nghiệm phương trình: X − X − = Và từ đây, ta dự đoán x2 − x − nhân tử phương trình Ta viết phương trình cho lại thành: √ (1.10) ⇔ x3 − 3x + − (px + q) − − 3x2 + px + q = (px + q)2 − (8 − 3x2 ) ⇔ x3 − 3x + − (px + q) + √ = (2) − 3x2 + px + q (p2 + 3) x2 + 2pqx + q − √ =0 ⇔ x3 − (p + 3) x + − q + − 3x2 + px + q Đến đây, để xuất nhân tử x2 − x − (p2 + 3) x2 + 2pqx + q − = ∂ (x2 − x − 1) với ∂ hệ số Chọn ∂ = ta cặp (p, q) thỏa mãn (p, q) = (−1; 2) Lời giải: Viết lại (2) dạng Giải Đặt x = cos t; t ∈ [0; π] ta có phương trình √ √ + cos t = cos t + + − cos t + sin t √ √ t t t t ⇔ cos = cos t + + sin + sin cos 2 2 √ √ t t t t t ⇔ cos = − sin + sin + sin cos 2 2 √ √ t t t t ⇔ cos 2 − sin + sin2 − sin − = 2 2 √ √ t t t t √ ⇔ cos 2 − sin + sin − 2 sin + 2 2 √ t t √ t sin − cos + = sin − 2 2 √ t t t t ⇔ sin − cos + = ⇔ sin − cos = − √ 2 2   π t π t= − = − + k2π   t π   ⇔ sin − =− ⇔ ⇔  t π  7π t= − = + k2π 132 x2 − x − x3 − 2x − + √ =0 − 3x2 + − x ⇔ x2 − x − x + + √ − 3x2 + − x =0 =0 √ −3x −1 − 3x2 + − x, ta có: f (x) = √ − 3x2 −3x f (x) = ⇔ √ =1⇔x=− − 3x Ta có bảng biến thiên: Xét f (x) = √ π 17 π(l) √ π Đối chiếu với điều kiện t, phương trình có nghiệm x = cos = ✷ √ Bài 4: Giải phương trình (x3 − 3x + 1) x2 + 21 + x4 − 3x2 + x = 21 Giải −236 x f (x) f (x) + √ 6+4 √ 6+2 √ −236 − − √ 6+2 √ 6+4 ⇒ < f (x) 4 ⇒x+1+ √ =x+1+ f (x) − 3x + − x √ 12 √ >0 − +1+ +√ 1± Vậy phương trình cho tương đương x2 − x − = ⇔ x = ✷ Bây phối hợp kĩ thuật để giải tốn sau: Viết lại phương trình cho dạng √ (x2 + 21) − (x3 − 3x + 1) x2 + 21 − (x4 − 2x2 + x) = Đặt t = √ x2 + 21 > ta có phương trình t2 − (x3 − 3x + 1)t − (x4 − 2x2 + x) = (∗) (*) có ∆ = (x3 − 3x + 1)2 + 4.(x4 − 2x2 + x) = x6 − 2x4 + 2x3 + x2 − 2x + = (x3 − x + 1)2 t = −x(1) nên có nghiệm t = x3 − 2x + 1(2) Bài 11: Giải phương trình √ (x − 1) 2x2 − 5x − 15 + √ 2x3 − 7x2 + 19 = 2x3 − 7x2 − 12x + 17 + 7x (1.11) Giải Ý tưởng: Ta nhận xét thấy hệ số có số mũ thức giống Điều gợi cho ta ý tưởng thêm bớt ẩn số cho phù hợp nghiệm Để khơng q phụ thuộc vào việc đốn nghiệm nên ta thêm bớt αx + β để tìm hệ số tách 133 √ hợp lý Để (x − 1) 2x2 − 5x − 15 có dạng bậc ba giống thức ngồi thức (vì hệ số số mũ lớn giống nhau) ta thêm bớt α(x − 1) Việc 2x3 − 7x2 + 19 đồng hệ số cho ta biết nên tách √ √ 2x3 − 7x2 + 19 (1.11) ⇔ (x−1)( 2x2 − 5x − 15−α)+ = 2x3 −7x2 −(12+α)x+17+α+ 7x 2 √ 2x − 7x + 19 (x − 1)(2x − 5x − 15 − α ) √ + = 2x3 − 7x2 − (12 + α)x + 17 + α + 7x ⇔ 2x2 − 5x − 15 + α 2 √ 2x − 7x − (10 + α )x + 15 + α 2x3 − 7x2 + 19 √ ⇔ = 2x3 −7x2 −(12+α)x+17+α+ 7x + 2x2 − 5x − 15 + α Đồng hệ số, ta có: 10 + α2 = 12 + α α = −1 ⇒ α2 − α − = ⇒ 15 + α = 17 + α α=2 √ Do nhân lượng liên hợp với ax + b − c nên ta nhận nghiệm dương Vậy ta chọn α = Lời giải:  √   x + 145 Điều kiện:   x3 − x2 + 19 2 Viết lại (1.11) dạng 2x − 7x − 14x + 19 (1.11) ⇔ √ + 2x2 − 5x − 15 + √ 2x − 7x + 19 = 2x3 − 7x2 − 14x + 19 + 7x 2x3 − 7x2 − 14x + 19 2x3 − 7x2 + 19 √ ⇔ √ + − 7x = 2x3 − 7x2 − 14x + 19 2 2x − 5x − 15 + 3 2x − 7x2 − 14x + 19 2x − 7x − 14x + 19 + = 2x3 − 7x2 − 14x + 19 ⇔ √ √ 2x2 − 5x − 15 + 2x − 7x + 19 + 7x  2x − 7x2 − 14x + 19 =  1 ⇔  √2x2 − 5x − 15 + + 2x3 − 7x2 + 19 √ = 1(∗) + 7x  x=1 √   x = + 177   √  − 177  x= ⇔     1  √ = 1(∗) +  2x2 − 5x − 15 + 2x3 − 7x2 + 19 √ + 7x Dễ thấy √ VT phương trình (∗) hàm nghịch biến Mặt khác theo điều kiện xác định + 145 x > Vậy phương trình (*) vơ nghiệm √ + 177 Xét với điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ Nhận xét: Có thể nhẩm nghiệm x = Từ việc tách ẩn dễ dàng Nhưng cách tổng quát ta làm trường hợp có khả dùng lượng liên hợp Tuy nhiên khuyết điểm phương pháp gặp phương trình khơng có nghiệm 154 √ √ √ √ Bài 2: Giải phương trình x2 − 6x + 11 + x2 − 6x + 13 + x2 − 4x + = + √ √ √ Bài 3: Giải phương trình 19 x−1 + x −1 + 95 x −3x+2 = Bài 4: Giải phương trình x2 − 3x + 3.5 = (x2 − 2x + 2)(x2 − 4x + 5) √ x2 Bài 5: Giải phương trình 5x3 + 3x2 + 3x − = + 3x − 2 Bài 6: Giải phương trình √ √ √ √ x x x2 − 8x + + x2 − 8x − 9) + ( x2 − 8x + − x2 − 8x − 9) = 2x+1 ( Bài 7: Giải phương trình 8x2 + = x 2 Bài 8: Giải phương trình (3x + x + 9x − 7) = (x2 + 2) + (x3 + 3x − 3) 10 MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC Bài 1: Giải phương trình √ √ √ 7x + − x2 − x − + x2 − 8x + = Giải √ √ √ Đặt a = 7x + 1; b = + x − x2 ; c = x2 − 8x + Ta có hệ   a + b + c = (a + b + c)3 = ⇔ a3 + b + c = a3 + b + c = ⇒ (a + b)(b + c)(c + a) = • a = −b ⇒ x = −1 ∨ x = • b = −c ⇒ x = • c = −a ⇒ x = ∨ x = Vậy phương trình có nghiệm S = {−1; 1; 0; 9} ✷ √ √ √ √ Nhận xét: Ta có tương tự: 3x + + − x + 2x − − 4x − = √ Bài 2: Giải phương trình 5(30x2 − 4x) = 1336( 30060x + + 1) Giải −1 ĐKXĐ: x √ 30060 √ 30060x + + Đặt y = ⇒ 15y − = 30060x + ⇒ 15y − 2y = 2004x 15 2 Mặt khác từ phương trình  đầu ta có 30x − 4x = 4008y ⇔ 15x − 2x = 2004y 15x2 − 2x = 2004y Ta có hệ phương trình 15y − 2y = 2004x Trừ vế theo vế ta có (x − y)[15(x + y) + 2002] = √ • Với x = y ⇒ 15x − = 30060x + 2006 ⇔x=0∨x= 15 153 Giải Với x > 0, V T > = V P (vô lý) ⇒ x ⇒ |x| = −x Áp dụng bất đẳng thức AM-GM có:  √ x3000 + 2999 = x3000 + + + + 3000 3000 x3000 1.1 = 3000 |x| = −3000x (1) √ x3000 + 999 = x3000 + + + + 1000 1000 x3000 1.1 = 1000 |x3 | = −1000x3 (2) 134 hữi tỉ sau thêm bớt αx + β ta khơng tìm α; β gặp hệ phương trình phức tạp đồng hệ số việc tách ẩn dùng lượng liên hợp khó đạt hiệu Nhưng lượng liên hợp lại mạnh số tốn xét điều kiện phức tạp Điển hình phương trình vô tỷ chứa trị tuyệt đối: Bài 12: Giải phương trình: √ √ − x + + x = x3 + x2 − 4x − + |x| + |x − 1| (1.12) Giải Lấy (1)+(2) ta có: 2x3000 + 3998 −(1000x3 + 3000x) ⇒ x3000 + 500x3 + 1500x + 1999 Đẳng thức xảy ⇔ 0⇒VT VP Điều kiện: −2 x √ √ (1.12) ⇔ − x − |x − 1| + + x − |x| = x3 + x2 − 4x − −x2 + x + −x2 + x + +√ = (x + 2) (x + 1) (x − 2) ⇔√ − x + |x − 1| + x + |x| 1 +√ ⇔ (2 − x) (x + 1) √ + (x + 2) = − x + |x − 1| + x + |x| x3000 = ⇔ x = −1 x Vậy phương trình có nghiệm S = {−1} ✷ x = −1 x=2 Vậy phương trình có tập nghiệm S = {−1; 2} ✷ Nhận xét: Với này, việc xuất thêm đa thức chứa trị tuyệt đối tưởng chừng gây cho ta thêm khó khăn việc giải Nhưng nhờ sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, toán giải nhanh chóng! Khi ấy, ta cần chuyển lượng vị trí sử dụng phương pháp nhân liên hợp đủ ⇔ Bài 14: Giải phương trình sau: a) 32x4 + (4x − 1)4 = 27 (1 + x)8 + 16x4 = b) (1 + x2 )4 Giải (x + y + z)4 27 1 (x + y + z) = (x + y + z)4 3 27 a) Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau: x4 + y + z Thật vậy: x4 + y + z ⇒ x4 + y + z (x + y + z )2 (x + y + z)4 27 kĩ thuật ghép hạng tử Bài 1: Giải phương trình: Áp dụng ta có 10x + + √ 3x − = √ 9x + + √ 2x − (2.1) Giải 32x4 + (4x − 1)4 = (2x)4 + (2x)4 + (1 − 4x)4 1 (2x + 2x + − 4x) = 27 27 Do phương trình tương đương 2x = − 4x ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ b) Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau: A4 + B Với A = (x + 1)2 B = −2x ta có: (A2 + B )2 (A + B)4 (1 + x)8 + 16x4 (1 + x2 )4 (1 + x2 )4 = (1 + x ) √ Dấu “=” xảy (x + 1)2 = −2x ⇔ x = −2 + √ Vậy phương trình có nghiệm x = −2 + ✷ Bài tập tự luyện√ Bài 1: Giải phương trình √ 3x2 + 6x + + √ 5x2 + 10x + 14 = − 2x − x2 Ý tưởng: Đối với kĩ thuật áp dụng vào số tập, việc đốn nghiệm khơng cần thiết ta nhóm hạng tử vế với để tạo nhân tử chung Thật vậy, ta thấy: 10x + − 9x − = x − 3x − − 2x + = x − Vậy ta dễ dàng thấy nhân tử chung cần nhóm x − không cần nhẩm nghiệm Do ta giải phương trình sau: Lời giải: Viết lại (2.1) dạng √ √ √ √ (2.1) ⇔ 10x + − 9x + + 3x − − 2x − = x−3 x−3 √ √ ⇔√ +√ =0 3x − + 2x − 10x + + 9x +  x=3 1 ⇔ ⇔ x = (chọn) √ √ √ +√ = (vô nghiệm) 3x − + 2x − 10x + + 9x + Điều kiện: x 135 Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3} ✷ 152 trường hợp quan trọng giải hệ phương trình MỞ RỘNG: Sau ta xét hệ số thức Nếu thay đổi hệ số thức trên, ta ví dụ khác khó hơn: Bài 1*: Giải phương trình √ √ 26 √ 28 √ √ 26 10x + + 3x − = √ 9x + − √ 2x − (2.1∗) 31 26 806 Bài 11: Giải phương trình √ 1−x 3x = (x − 1) − √ x + 4x + − x +x+1 x2 + x + Giải ĐK: x Phương trình cho tương đương với: √ 1−x x2 − 2x + = (x − 1) − √ (x + 2) + x +x+1 x2 + x + Giải Đối với này, ý tưởng ta đồng hệ số để tạo nhân tử chung: Quan sát phương trình này, ta thấy có khả ghép đối xứng phương trình vế tạo nhân tử chung x − Nhưng hệ số phức tạp, ta cần phải đồng hệ số để ghép cho phù hợp √ √ Ta thêm bớt α 9x + β 2x − để tìm hệ số α; β phù hợp: Điều kiện: x √ √ √ 26 10x + 1−α 9x + 4+ Ta dự đoán α = √ 26, β = √ 26 √ 3x − 5−β 2x − = 31 √ √ 28 √ −α 9x + 4− √ +β 2x − 26 806 26 VT xuất nhân tử chung x − Để kiểm chứng 31 lại, ta làm sau: Để xuất nhân tử chung x − VP sau nhân liên hợp phải xuất x − − x Vậy để tìm số α; β nhanh gọn, ta tìm a, b thoả √ √ a 9x + − b 2x − = x − √ √ a 9x + − b 2x − = − x Ta đưa giải hệ phương trình:     9a2 − 2b2 =   a=   a2 =      13 13  4a2 + 2b2 = −3  ⇒ ⇒    9a2 − 2b2 = −1    31    b2 =   b = 31 2 4a + 2b = 26 26   √ 28    √ −α=  α = 26 13 ⇒ 26 Từ tìm hệ số α, β:   β = 26 31   √ +β = 31 26 806 Điều ta dự đoán, làm tương tự ta có nghiệm x = Vậy ta tự hỏi tìm hệ số cho phương trình hay khơng? Sau ta xét điều đó: Bài 2*: Tìm mối quan hệ hệ số để phương trình sau có nghiệm nhất: √ √ √ √ a 10x + + b 3x − = c 9x + + d 2x − hay √ 1−x (1 − x)2 √ −1 − x +x+1 x2 + x + (x + 2)2 = (1 − x) √ √ Đặt y = − x, z = x2 + x + (y 0, z 0), phương trình trở thành: (x + 2)2 = y Dễ thấy V T y4 2y −1 − z z Ta có: V P = y2 Từ suy V T 2y y4 y 2y − − = y2 − + −1 z z z z = −y y −1 z V P phương trình tương đương với: x+2=0 x+2=0 ⇔ ⇔ x = −2 (chọn) y −1 =0 y y =0∨y =z z Vậy phương trình có nghiệm x = −2 ✷ Bài 12: Giải phương trình 2 13 (x2 − 3x + 6) + (x2 − 2x + 7)2 = (5x2 − 12x + 33) Giải Ý tưởng: Để ý thấy 13 = 22 + 32 nên VT có dạng (a2 + b2 )(x2 + y ), từ ta nghĩ tới việc sử dụng BCS để chứng minh V T V P Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức BCS có: V T = (22 + 32 ) (x2 − 3x + 6) + (x2 − 2x + 7) 2(x2 − 3x + 6) + 3(x2 − 2x + 7) 2 Đẳng thức xảy = ⇔x=1∨x=4 − 3x + x − 2x + Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1; 4} ✷ ⇔ x2 Bài 13: Giải phương trình = (5x2 − 12x + 33) = V P x3000 + 500x3 + 1500x + 1999 = 151 Bài 9: Giải phương trình √ √ √ 3x2 − + x2 − x − x x2 + = √ (7x2 − x + 4) 2 136 Giải Ta biến đổi phương trình sau: √ √ √ √ √ √ a( 10x + − 9x + 4) + b( 3x − − 2x − 2) = (c − a) 9x + + (d − b) 2x − Giải Ý tưởng: Dự đốn phương trình có nghiệm x = −1, từ ta nghĩ tới dùng bất đẳng thức VT có nhiều thức phức tạp Lời giải: −1 Điều kiện x x √ Áp dụng bất đẳng thức BCS: √ √ √ 3x2 − + x2 − x − x x2 + (x2 + 2)(3x2 − + x2 − x + x2 + 1) √ √ √ (x2 + 2)(5x2 − x) (1) ⇒ 3x2 − + x2 − x − x x2 + Theo Ví dụ (*) ta có hệ phương  trình sau:   2      c−a= a=c−    (c − a)2 =       13 13 13 ⇒ ⇒       31     (d − b)2 =    d − b = − 31  b = d + 31 26 26 26√ √ Ta chọn hệ số để nhân lượng liên hợp cho a 9x + b 2x −     a=c− 13 hệ số chuẩn để phương trình có nghiệm ✷ Vậy  31   b=d+ 26 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: 1 √ (7x2 − x + 4) = √ [5x2 − x + 2(x2 + 2)] √ (5x2 − x).2(x2 + 2) 2 2 2 (5x2 − x)(x2 + 2) (2) ⇒ √ (7x2 − x + 4) 2 √ √ √ Từ (1) (2) ta có 3x2 − + x2 − x − x x2 + = √ (7x2 − x + 4) = (x2 + 2)(5x2 − x) 2 Dấu “=” xảy x = −1 (thỏa điều kiện) Vậy nghiệm phương trình x = −1 ✷ Bài 10: Giải phương trình 1−x 2x + x2 = x + x2 Giải Bài 2: Giải phương trình √ 3x2 − 5x + − √ x2 − = (x2 − x − 1) − √ x2 − 3x + (2.2) Giải Ý tưởng: Trước hết, kiểm tra ta thấy phương trình cho có nghiệm x = nên ta cố gắng đưa phương trình phương trình tích xuất nhân tử (x − 2) Ta có nhận xét rằng: (3x2 − 5x + 1) − (3x2 − 3x − 3) = −2 (x − 2) (x2 − 2) − (x2 − 3x + 4) = (x − 2) Ta đến lời giải sau: Lời giải: Viết lại (2.2) dạng √ Nhận thấy x = √ √ 3x2 − 5x + − (x2 − x − 1) = x2 − − x2 − 3x + −2x + 3x − √ ⇔√ =√ x2 − + x2 − 3x + 3x2 − 5x + + (x2 − x + 1) * Nếu ⇔ (x − 2) √ 3x2 − 5x + + Điều kiện: x Để dễ dàng việc đánh giá ta viết lại phương trình: * Nếu 2x − −1=1+ x + x2 nghiệm phương trình Ta chứng minh nghiệm nhất: VT >1 x < , , phương trình vơ nghiệm VP y ( x < y) Giải Ý tưởng: Để ý ta thấy phải áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho (x − 2)(4 − x) √ √ √ 6x 3x bất đẳng thức BCS cho ( x − + 4 − x) Ở việc khó khăn phải dùng √ AM-GM để 6x 3x nhỏ biểu thức dạng x3 + a cho phù hợp Lời giải: Điều kiện: x Ap dụng bất đẳng thức AM-GM:    (x − 2)(4 − x)  6x√3x = 2√27x3 x−2+4−x = (1) x3 + 27 (2) √ 4−x √ √ 2( x − + − x) 2(x − + − x) = (3) Cộng theo vế (1), (2) (3) ta có: √ √ √ (x − 2)(4 − x) + x − + 4 − x + 6x 3x   x−2=4−x   Đẳng thức xảy ⇔ x3 = 27 ⇔ x = (thỏa)  √ √   x−2= 4−x Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ Bài 7: Giải phương trình √ 10 27x − 5x + √ Giải 864 = x3 + 30 ⇔ V T Vận dụng linh hoạt định lý trên, từ phương trình ẩn x, ta đưa hai vế dạng f (g(x)) = f (h(x)) với f (t) hàm đơn điệu miền D xét Thông thường ta dự đốn h(x) bậc g(x), từ đồng hệ số để tìm g(x) (ưu tiên hệ số nguyên) Các toán sau làm rõ ý tưởng trên: Bài tập ví dụ Bài 1: Giải phương trình: √ 3x + + x+ √ 7x + = (1.1) Giải Áp dụng bất đẳng thức BCS: x−2+ Trong toán giải phương trình vơ tỷ dùng đơn điệu hàm số phương pháp mạnh thường cho ta lời giải đẹp Bài viết giới thiệu số ứng dụng phương pháp Mỗi tốn điều trình bày theo thứ tự Ý tưởng - Lời giải – Nhận xét, với mong muốn cho bạn đọc có nhìn sâu cách tư kinh nghiệm giải toán Lý thuyết   1−x=1+x   ⇔ x = ( thỏa) Đẳng thức xảy ⇔ + x =   1 − x = √ 138 VP Ý tưởng: VT toàn dấu cộng nên ta hi vọng hàm đồng biến theo x Khi theo định lý 1, (1.1) có nghiệm (dễ thấy x = 1) Lời giải:  x > −1 ĐKXĐ: (∗) x + √7x + > Đặt VT (1.1) f(x) Ta có + (1 + √ ) > ∀x thoả (*) f (x) = √ √ 3x + 7x + 2 x + 7x + Vậy f (x) = = f (1) ⇔ x = Thử lại ta thấy x = thoả phương trình.Vậy (1.1) có tập nghiệm S = {1} ✷ Nhận xét: Đây ứng dụng phương pháp đơn điệu Ta việc đưa biến vế xét đạo hàm Chúng ta không sâu vào dạng này, mà tập trung nhiều cách xây dựng hàm số √ Bài 2: Giải phương trình với a > (x ẩn): x3 − b = a ax + b (2.1) Giải 139 Ý tưởng: Ta nghĩ tới việc đưa hai vế dạng f (g(x)) = f (h(x)) f (t) = mt3 + nt √ Có thể xác định h(x) VP ax + b, g(x) VT có bậc nên g(x) = px + u Để ý tiếp, ta thấy VT(2.1) sau biến đổi trở thành: m(px + u)3 + n(px + u) Như hạng tử bậc ba mp3 x3 , phương trình ban đầu x3 Do mp3 = √ Vì ưu tiên số nguyên nên ta lấy m = p = Tương tự, VP hạng tử bậc a ax + b, tương ứng với nh(x) f (h(x)), nên n = a Vậy f (t) = t3 + at Do ta cần đưa (2.1) dạng √ 148 Mặt khác: √ √ √ V P − x = x2 − x + − x = (x − 1)2 + ( x − 1) 0⇒VP  2   x + x − = −x + x +  ⇔ x = (thoả ĐKXĐ) Đẳng thức xảy ⇔ (x − 1)2 =   x = √ x VT Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ (x + u)3 + a(x + u) = ax + b + a ax + b (2.2) Tiếp tục phân tích, ta thấy VT khơng xuất x2 nên có u = 0, u = ta khử hạng tử 3ux2 Nghĩa √ (2.2) ⇔ x3 + ax = ax + b + a ax + b Dễ thấy cần cộng ax + b vào vế (2.1) ta có (2.2) Cơng việc đến trở nên đơn giản Lời giải: √ (2.1) ⇔ x3 − b + ax + b = ax + b + a ax + b √ ⇔ f (x) = f ( ax + b) với f (t) = t3 + at √ ⇔ x = ax + b ⇔ x3 = ax + b Bài 4: Giải phương trình x= x− + x 1− x Giải Đây tốn kỳ thi vơ địch tốn cộng hòa Yugoslavia (Nam Tư) năm 1977, đa số lời giải thực phép biến đổi tương đương giải phương pháp đưa hệ phương trình.Sau lời giải khác sử dụng bất đẳng thức AM-GM: Điều kiện x Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: Đây phương trình bậc dạng ✷ Nhận xét: Bài toán cho ta cách nhìn sơ lược đơn điệu hàm số, phần quan trọng xây dựng hàm dùng đánh giá thích hợp để tìm hệ số Chúng ta mở rộng chút: √ Bài 2*: Giải phương trình xn − b = a n ax + b (n ∈ N ), n lẻ a > Sau ví dụ khó hơn: 1 (x − ).(1) + (x − 1) x x   x − = x Vậy phương trình cho tương đương:  x − = x √ 1+ Kết hợp với điều kiện ta tìm x = ✷ x− + x 1− = x Bài 5: Giải phương trình √ Bài 3: Giải phương trình 8x3 − 36x2 + 53x − 25 = 3x − (3.1) √ − x2 + 1 (x − + + x − + ) = x x x √ √ 1+x+ 41−x=3 Giải Giải Ý tưởng: Ta cần đưa vế biểu thức dạng f (g(x)) = f (h(x)) f (t) = mt3 + nt √ Để ý hạng tử 3x − VP có bậc thấp nên tương ứng với nh(x) f (h(x)), n = Như 2, ta xác định g(x) = px + u VT sau biến đổi m(px + u)3 + n(px + u) Xét hạng tử bậc ta mp3 x3 = 8x3 Như mp3 = Tuy nhiên đến lại có trường hợp mà ta phải xét: m = 8, p = m = 1, p = Nếu m = :⇒ f (t) = t3 + t Do cần đưa (3.1) dạng (2x + u)3 + (2x + u) = 3x − + √ 3x − ⇔ 8x3 + x2 (12u) + x(6u2 − 1) + u3 + u + = √ 3x − √ Ý tưởng: Ở ta thấy VT tổng biểu thức có dạng A, VP số Do ta nghĩ tới việc sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho biểu thức VT để chứng minh V T V P Lời giải: Điều kiện: −1 x Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :  √ √ √ 1+x+ 1−x  4   (1) − x = (1 − x)(1 + x)   √  √ 1+ 1+x 1+x (2)  √2    √   − x + − x (3) 147 Điều kiện: x Áp dụng bất đẳng thức BCS: √ √ √ √ V T = ( 13 13x − 13 + 3 3x + 3) (13 + 27)(13x − 13 + 3x + 3) = 40(16x − 10) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: 10 + 16x − 10 ) = (16x)2 = V P 2 √ √ − 13 3x +   13x √ √ = 13 3 ⇔x∈∅ ⇒ V T V P Đẳng thức xảy ⇔   10 = 16x − 10 Vậy phương trình vơ nghiệm ✷ Nhận xét: Ta có tốn tương tự: √ √ Bài 1*: Giải phương trình 13 x2 − x4 + x2 + x4 = 16 Ta xem qua ví dụ tiếp theo: 40(16x − 10) = 4.10.(16x − 10) 4.( 140 Đồng hệ số với VT (3.1) ta     12u = −36 6u2 − = 53    u3 + u + = −25 Vậy trường hợp m = cho kết quả, khơng cần xét m = Lời giải: √ (3.1) ⇔ 8x3 − 36x2 + 54x − 27 + 2x − = 3x − + 3x − √ ⇔ (2x − 3)3 + 2x − = 3x − + 3x − √ ⇔ f (2x − 3) = f ( 3x − 5)(2.2) với f (t) = t3 + t Ta cóf (t) đồng biến R √ x2 + 4x + = 2x + Giải Ý tưởng: Như trên, VT có bậc lớn VP nên nhiều khả dùng bất đẳng thức AM-GM Lời giải: −3 Điều kiện x Từ phương trình, áp dụng bất đẳng thức AM-GM: √ (2x + 3) + 2x + = x2 + 4x + ⇒ 2x + ⇔ (x + 1)2 2 x + 4x + ⇔ x + 2x + 0 ⇔ x = −1 (chọn) Vậy phương trình có nghiệm x = −1 ✷ Bài 3: Giải phương trình √ x2 + x − + √ −x2 + x + = x2 − x + √ 3x − ⇔ (2x − 3)3 = 3x −  x=2  √ ⇔ 8x − 36x + 51x − 22 = ⇔  5± x= √ 5± }✷ Vậy (3.1) có tập nghiệm S = {2; Nhận xét: Đôi ta cần tinh ý việc xây dựng hàm, hệ số bậc cao Một ví dụ khác: (3.2) ⇔ 2x − = Bài 2: Giải phương trình ⇔ u = −3 Bài 3*: Giải phương trình 4x3 + 18x2 + 27x + 14 = √ 4x + Lưu ý 4x3 = 4(x3 ) = (2x)3 ta cần xét trường hợp √ Bài tốn giải cách đặt 4x + = 2y + để đưa hệ đối xứng loại II Những bước phân tích nhìn dài quen ta tính nhanh.Tuy nhiên, số tốn, hàm f (t) ta khơng đồng biến R ta cần xét đơn điệu miền xác định D Bài 4: Giải phương trình 9x2 − 28x + 21 = √ x − (4.1) Giải √ √ Ý tưởng: Để ý VT có dạng A + B nên ta nghĩ tới việc sử dụng bất đẳng thức BCS để tìm giá trị lớn Rồi sau ta chứng minh VP lớn giá trị Lời giải: x2 + x − Điều kiện: − x2 + x + Áp dụng bất đẳng thức BCS có: VT Giải √ Ý tưởng: Ta xây dựng hàm f (t) = mt2 +nt Để ý hạng tử x − VP có bậc thấp nên tương ứng với nh(x) f (h(x)), n = Như 3, xác định g(x) = px + u mp2 = 9, ta thử xét trường hợp: m = 9, p = m = 1, p = Nếu m = :⇒ f (t) = 9t2 + t Vậy cần đưa (3.1) dạng 9(x + u)2 + x + u = 9(x − 1) + √ 2(x2 + x − − x2 + x + 1) = x √ x−1 ⇔ 9x2 + x(18u − 8) + u2 + u + = √ x−1 141 Đồng hệ số ta 146 PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC  18u − = −28 u2 + u + = 21  u = −10 ⇔ u ∈ {−4; 3} Lý thuyết ⇔u∈ Nếu m = :⇒ f (t) = t2 + t Vậy cần đưa (3.1) dạng (3x + u)2 + 3x + u = x − + √ x − ⇔ 9x2 + x(6u + 2) + u2 + u + = √ x−1 Nghiệm phương trình giá trị x thỏa mãn f (x) = g(x) = a 2) Biến đổi phương trình dạng h(x) = m ( m số) mà ta ln có h(x) m h(x) m nghiệm phương trình giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy Đồng hệ số ta  6u + = −28 u2 + u + = 21 ⇔ u = −5 Đến có lẽ tốn giải thật “chơng gai” phía trước Thử làm tiếp ta có √ (4.1) ⇔ x2 − 30x + 25 + 3x − = x − + x − √ ⇔ f (3x − 5) = f ( x − 1) (4.2) với f (t) = t2 + t −1 −1 (!) Lưu ý f (t) = t2 + t đồng biến ( ; +∞) nghịch biến (−∞; ), 2 √ −1 x − √ −1 Như từ (4.2) ta suy 3x − = x − 3x − ⇔x 2 Còn x ∈ [1; ] sao? Lại để ý hàm số bậc có hay nó, t2 = (−t)2 Ở trên, dựa vào hệ số x2 , ta xét g(x) = px + u với mp2 = p ∈ N∗ , thực trường hợp m = 1, p = −3 Ta xét tiếp trường hợp này: Cần đưa (4.1) dạng (u − 3x)2 + u − 3x = x − + Ta giải phương trình, hệ phương trình bất đẳng thức dựa hai ý tưởng sau:  1) Biến đổi phương  trình dạng f (x) = g(x) mà f (x) a f (x) a hay với a số g(x) a g(x) a √ √ x − ⇔ 9x2 + x(−6u − 4) + u2 + u + = x − Một số phương pháp hay sử dụng đưa bình phương đúng, sử dụng tính đơn điệu hàm số để đánh giá cách hợp lý, sử dụng số bất đẳng thức bất đẳng thức AM-GM, BCS bất đẳng thức Holder √ Bất đẳng thức AM-GM : x1 + x2 + + xn n n x1 x2 xn , với xi Đẳng thức xảy x1 = x2 = = xn n n a2i Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (BCS): i=1 Đẳng thức xảy (i = 1, n) n b2i i=1 b i i=1 a2 an a1 = = = b1 b2 bn Bất đẳng thức Holder: (dạng mở rộng BCS): cho m n số dương (m, n 2): (a11 , a12, , a1n ) (a21 , a22, , a2n ) ; ; (am1 , am2, , amn ) Ta ln có: (a11 a21 am1 + a12 a22 am2 + a1n a2n amn )m (a11 m + a12 m + + a1n m )(a21 m + a22 m + + a2n m ) (am1 m + am2 m + + amn m ) Đồng hệ số ta  −6u − = −28 Đẳng thức xảy số tỷ lệ với ⇔u=4 u + u + = 21 Bài tập ví dụ −1 Kiểm tra lại: Có x < ⇔ − 3x > Vậy chọn u = 2 Đến toán thực giải Lời giải: ĐKXĐ: x −1 Nếu x ⇒ 3x − 2 Ta có (4.1) ⇔ (3x − 5)2 + (3x − 5) = (x − 1) + Bài 1: Giải phương trình √ √ 13 x − + x + = 16x Giải √ x−1 √ √ ⇔ f (3x − 5) = f ( x − 1) (với f (t) = t2 + t) ⇔ 3x − = x − Ý tưởng: Ta thấy VT có bậc thấp nên nghĩ tới việc sử dụng bất đẳng thức BCS để chứng minh V T V P Ở để ý kỹ ta cần chọn điểm rơi cho xuất (16x − a) để từ tiếp tục sử dụng bất đẳng thức AM-GM Lời giải: 145 142 Như kinh nghiệm 7, ta phân tích biểu thức bậc lớn theo biểu thức bậc nhỏ Ta có V P (8.2) = −3x(2 + (−3x)2 + 3) nên hi vọng V T (8.2) đưa √ f (t) = t(2 + t2 + 3) Và để xuất số f (t) ta biến đổi: √ V T (8.2) = (2x + 1)( 4x2 + 4x + + 2) Nếu Dễ thấy 4x2 + 4x + = (2x + 1)2 + Vậy ta xây dựng hàm thành công 2t3 + 3t Tuy nhiên hàm số f (t) có f (t) = + √ nên đổi chiều đơn điệu, ta phải t4 + 3t2 −1 có thêm nhận xét: (8.1) có nghiệm [ ; 0] Đến tốn thực giải Lời giải: −1 −1 (8.1) vơ nghiệm Vậy ta xét x ∈ [ ; 0] Nếu x > x < 2 Ta có (8.1) ⇔ (8.2) ⇔ (2x + 1)(2 + (2x + 1)2 + 3) = (−3x)(2 + ⇔ f (2x + 1) = f (−3x) (8.3) với f (t) = t(2 + (−3x)2 + 3) √ t2 + 3) −1 −1 2t3 + 3t > ∀t ∈ [ ; 0] nên (8.3) ⇔ 2x + = −3x ⇔ x = (chọn) Do f (t) = + √ 2 t + 3t −1 Vậy (8.1) có tập nghiệm S = ✷ Nhận xét: Đây tốn hay khó, đòi hỏi phải có kĩ biến đổi linh hoạt Ta có lời giải gần gũi hơn, khơng cần dùng đạo hàm sau: (8.1) ⇔ (2x + 1)(2 + (2x + 1)2 + 3) = (−3x)(2 + (−3x)2 + 3) (∗) −1 −1 ; : ⇒ 3x < −2x − < ⇒ (3x)2 > (2x + 1)2 ⇒ + (3x)2 + > + (2x + 1)2 + ⇒ V T (∗) < V P (∗) −1 ; : Chứng minh tương tự ta có (∗) vơ nghiệm Nếu x ∈ −1 Nếu x = : Ta có (∗) nghiệm −1 Vậy (8.1) có tập nghiệm S = ✷ Nếu x ∈ Bài tập tự luyện Giải phương trình sau √ Bài 1) x3 − 15x2 + 78x − 141 = 2x − (1) Bài 2) 2x−1 − 2x −x = (x − 1)2 (2) 2x − Bài 3) log3 ( ) = 3x2 − 8x + (3) (x − 1)2 π Bài 4) sin 2x + cos x = + log2 sin x với x ∈ 0; (4) √ √ Bài 5) Chứng minh phương trình x − 18 + x − = ⇔ x<  3x − (3x − 5)2 = x − ⇔   x  x ∈ 2; 13 ⇔x=2 −1 :⇒ − 3x > 2 Ta có √ (4.1) ⇔ (4 − 3x)2 + − 3x = x − + x − √ √ ⇔ f (4 − 3x) = f ( x − 1) (với f (t) = t2 + t) ⇔ − 3x = x −    √  4 − 3x x 25 − 13 √ ⇔ ⇔ ⇔x= (chọn) 25 ± 13 (4 − 3x)2 = x −  18  x ∈  √ 25 − 13 Vậy (3.1) có tập nghiệm S = 2; ✷ 18 Nhận xét: Cần linh hoạt việc xây dựng hàm số, hàm bậc chẵn √ Ta giải tốn cách đặt x − = 3y − để đưa hệ đối xứng loại Bài 5: Giải phương trình 3x3 − 6x2 − 3x − 17 = 3 9(−3x2 + 21x + 5) (5.1) Giải Ý tưởng: Như trước, ta thử đưa vế biểu thức dạng f (t) = 3t3 + 3t (5.1) trở thành: 3(x − u)3 + 3(x − u) = 9(−3x2 + 21x + 5) + 3 9(−3x2 + 21x + 5) ⇔ 3x3 + x2 (−9u + 27) + x(9u2 − 186) + (−3u3 − 3u − 45) = 3 9(−3x2 + 21x + 5)     −9u + 27 = −6 Đồng hệ số với VT(5.1) ta 9u2 − 186 = −3    −3u3 − 3u − 45 = −17 Dễ thấy hệ vô nghiệm Vậy ta khơng thể xây dựng hàm bình thường Để ý nguyên nhân dẫn đến việc hệ số 9(−3x2 + 21x + 5) lớn, cản trở việc đồng hệ số Vậy ta thử xây dựng hàm theo hướng khác: Nhân cho vế (5.1) ta được: (5.1) ⇔ 27x3 − 54x2 − 27x − 153 = 27 9(−3x2 + 21x + 5) (5.2) Bây ta đưa vế biểu thức dạng f (t) = t3 + 27t (cách tìm hàm số tương tự trên) (5.2) trở thành: x− √ (5) có nghiệm (3x − u)3 + 27(3x − u) = 9(−3x2 + 21x + 5) + 27 9(−3x2 + 21x + 5) ⇔ 27x3 + x2 (−27u + 27) + x(9u2 − 108) − 27u − u3 − 45 = 27 9(−3x2 + 21x + 5) 143     −27u + 27 = −54 Đồng hệ số ta 9u2 − 108 = −27    −27u − u3 − 45 = −153 ⇔u=3 Bài toán giải Lời giải: Nhân vào vế ta có phương trình: (3x − 3)3 + 27(3x − 3) = 9(−3x2 + 21x + 5) + 27 9(−3x2 + 21x + 5) ⇔ f (3x − 3) = f ( 9(−3x2 + 21x + 5)) (với f (t) = t3 + 27t) ⇔ 3x − = 9(−3x2 + 21x + 5) ⇔ (3x − 3)3 = 9(−3x2 + 21x + 5) ⇔ 3(x − 1)3 = (−3x2 + 21x + 5) ⇔ 3x3 − 6x2 − 12x − = √ ⇔ x = (1 + 2)2 (tham khảo cách giải PT bậc tổng quát) Nhận xét: Một câu hỏi đặt là: Tại lại nhân mà số khác? Thật điều đề cập đến Khi xây dựng hàm f (t) = mt3 +3t, ta thường nghĩ tới g(x) = px+q nên mp3 = 3, m = 3, p = mà quên có m = , p = (trường hợp thật t3 gặp, trừ hệ số lớn này) Như f (t) + 3t (và vậy) Việc nhân đơn giản khử mẫu số Lưu ý với dạng phương trình trên, ta khai triển đồng hệ số bậc 3, 2, 1, Nghĩa ta hệ phương trình, số ẩn tối đa Ở trên, ta đặt f (t) = mt3 + t, q trình đồng hệ số xuất thêm ẩn m p giải Ta xem qua tương tự: Bài 6: Giải phương trình x3 − 6x2 + 12x − = √ −x3 + 9x2 − 19x + 11 (6.1) Giải Ý tưởng: Ta đưa hai vế hàm số f (t) = mt3 + t Hệ số bậc 1, tương ứng với −x3 + 9x2 − 19x + 11 VP Ở VT hạng tử bậc x3 nên ta nghĩ tới m = 1, việc đồng hệ số không thành công (ở nguyên nhân VP có x3 căn) Vậy, với nhận xét VT t = g(x) = px + u, ta tìm p, u m Cần đưa hai vế dạng √ m(px + u)3 + (px + u) = m(−x3 + 9x2 − 19x + 11) + −x3 + 9x2 − 19x + 11 √ ⇔ x3 (mp3 + m) + x2 (3mup2 − 9m) + x(3u2 mp + p + 19m) + mu3 + u − 11m √ = −x3 + 9x2 − 19x + 11 (6.2) 144 Lời giải: Ta viết (6.1) dạng (x − 1)3 −x3 + 9x2 − 19x + 11 √ + (x − 1) = + −x3 + 9x2 − 19x + 11 2 √ t3 ⇔ f (x − 1) = f ( −x3 + 9x2 − 19x + 11) (với f (t) = + t) √ 3 ⇔ x − = −x + 9x − 19x + 11 (do f(t) đồng biến R)  x=1  ⇔ (x − 1)3 = −x3 + 9x2 − 19x + 11 ⇔  x = x=3 Vậy (6.1) có tập nghiệm S = {1; 2; 3} ✷ Chúng ta làm quen với số phương trình tổng Hãy xem qua phương trình có tích √ Bài 7: Giải phương trình x3 + 3x2 + 4x + = (3x + 2) 3x + (7.1) Giải Ý tưởng: nhìn VT có bậc 3, VP có bậc nên khó dùng đơn điệu Nhưng √ VP ta coi y = 3x + ẩn VP bậc theo y Như cần phân tích 3x + = m(3x + 1) + n(∗), VP có dạng my + ny Dễ thấy từ (*) có m = n = Cơng việc lại đưa VT dạng (x − u)3 + x − u ta dùng đơn điệu Đồng hệ số ta u = −1 Lời giải: −1 ĐKXĐ: x Ta có: √ √ √ (7.1) ⇔ (x + 1)3 + x + = (3x + + 1)( 3x + 1) = ( 3x + 1)3 + 3x + √ ⇔ f (x + 1) = f ( 3x + 1) (với f (t) = t3 + t) √ ⇔ x + = 3x + ⇔ x ∈ {0; 1} (thoả ĐKXĐ) Vậy (7.1) có tập nghiệm S = {0; 1} ✷ Nhận xét: Với phương trình tích cần linh hoạt việc đổi biến xây dựng hàm để đưa hai vế hàm đặc trưng Một số nhìn vào phức tạp đòi hỏi ta phải bình tĩnh phân tích Hãy nhớ ta ln cố gắng phân tích biểu thức bậc lớn theo biểu thức bậc nhỏ Bài 8: Giải phương trình 3x(2 + Đồng hệ số VT (6.1) (6.2) ta có   mp3 + m =     3mpu2 − 9m = −6   3u2 mp + p + 19m = 12     mu + u − 11m = −7 √ √ 9x2 + 3) + (4x + 2)( + x + x2 + 1) = (8.1) Giải    m=   ⇔ p=1    u = −1 Ý tưởng: Nhìn qua xếp toán, ta thấy hai biểu thức VT giống hi vọng tìm hàm đặc trưng phương trình từ Đầu tiên đưa biểu thức vế: √ √ (8.1) ⇔ (4x + 2)( + x + x2 + 1) = −3x(2 + 9x2 + 3) (8.2)