MS 4

Chương III: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Một số cách đặt ẩn phụ a b = p q đưa phương trình theo t Dạng 1: Phương trình có dạng ax2 + bx + c = px2 + qx + r, t Phương pháp: Đặt t = px2 + qx + r Dạng 2: Phương trình có dạng P (x) + Q(x) + ( P (x) ± Phương pháp: Đặt t = P (x) ± Từ đưa phương trình theo t Bài 1: Giải phương trình + Q(x)) ± P (x).Q(x) + α = (α ∈ R) Q(x) ⇒ t2 = P (x) + Q(x) ± P (x).Q(x) √ √ 2√ x − x2 = x + − x Giải ĐKXĐ: x √ √ √ t2 − Đặt t = x + − x x − x2 = Phương trình đầu trở thành 1+ t2 − = t ⇔ t2 − 3t + = ⇔ t = 1; t = √ √ • Nếu t = ⇔ x + − x = (vô nghiệm) √ √ • Nếu t = ⇔ x + − x = ⇔ x ∈ {0; 1} Vậy phương trình có tập nghiệm S = {0; 1} ✷ Bài tập tự luyện Giải phương trình sau: √ 1/(ĐH Ngoại Thương-2000) (x + 5)(2 − x) = x2 + 3x √ 2/(ĐH Ngoại ngữ 1998) (x + 4)(x + 1) − x2 + 5x + = 3/(ĐH Cần Thơ 1999) (x + 1)(2 − x) = + 2x − 2x2 √ 4/ 4x2 + 10x + = 2x2 + 5x + √ 5/ 18x2 − 18x + = 9x2 − 9x + √ 6/ 3x2 + 21x + 18 + x2 + 7x + = √ √ √ 7/(HVKTQS-1999) 3x − + x − = 4x − + 3x2 − 5x + 93 94 √ √ √ 8/ 2x + + x + = 3x + 2x2 + 5x + − 16 √ √ √ 9/ 4x + + 2x + = 6x + 8x2 + 10x + − 16 √ √ √ 10/(CĐSPHN-2001) x − − x + = x2 − − 2x + Đặt ẩn phụ đưa phương trình tích Xuất phát từ số đẳng thức đặt ẩn phụ: • x3 + = (x + 1)(x2 − x + 1) √ √ • x4 + = (x2 − 2x + 1)(x2 + 2x + 1) • x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) − x2 = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) • 4x4 + = (2x2 − 2x + 1)(2x2 + 2x + 1) Mục tiêu ta sau đặt ẩn phụ đưa dạng u + v = + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = hay au + bv = ab + vu ⇔ (u − b)(v − a) = Đối với phương trình đẳng cấp bậc hai ax2 + bxy + cy = đặt t = x (sau xét y = 0) y để đưa phương trình bậc hai theo t : at2 + bt + c = Xét trên, ta có cách đưa phương trình tích sau: Bài 1*: Giải phương trình + √ √ 2√ x − x2 = x + − x (∗) Giải √ √ Ý tưởng: Ta thấy ( x)2 + ( − x)2 = 1(**), mà từ phương trình đầu ta rút thức qua thức cịn lại Vậy ta có lời giải sau: Lời giải: √ √ 1−x−3 Xét (*) ta có: (∗) ⇔ x = √ 1−x−3 √ √ 3t − Do đặt t = − x ⇒ x = 2t − Thay vào (**) ta biến đổi thành t(t − 1)(2t2 − 4t + 3) = ⇔ t ∈ {0; 1} Từ suy x ∈ {0; 1} ✷ Ta xét tiếp ví dụ sau: Bài 2: Giải phương trình √ √ √ x + + x + = + x2 + 3x + 95 Giải Ta thấy (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + nên đặt u = √ x + 1; v = √ x + để có phương trình u + v = + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = Từ tìm nghiệm x ∈ {0; −1} ✷ Bài 3: Giải phương trình √ √ √ x2 + 3x + 2( x + − x + 2) = Giải √ √ Ý tưởng: Với hướng 2, ta chọn ẩn x + = a; − x + = b Việc lại phân tích VP theo a, b Dễ thấy = (x + 2) − (x + 1) nên ta có lời giải sau: Lời giải: Phương trình cho tương đương với (x + 1) − (x + 2) + Đặt √ √ √ √ x2 + 3x + 2( x + − x + 2) = √ x + = a; b = − x + ta có phương trình a3 + b3 − ab(a + b) = ⇔ (a + b)(a − b)2 = √ √ Dua phan bien a, b len dòng ⇔ a =trên ±b ⇔ x + = ± x + Dua phan biên x xuong dòng duoi ⇔x=− Vậy phương trình có nghiệm x = − ✷ Chúng ta có toán tương tự: √ √ √ Bài 4: Giải phương trình (x + 2)( 2x + − x + 1) + 2x2 + 5x + − = Giải ĐKXĐ:  x −1 √    √2x + = a Đặt x+1=b    a; b    x + = a2 − b  √ ⇒ 2x2 + 5x + = ab    1 = a2 − 2b2 Phương trình cho trở thành (a2 − b2 )(a − 2b) + ab = a2 − 2b2 ⇔ (a2 − b2 )(a − 2b) + b(a + b) − (a2 − b2 ) = ⇔ (a − b)(a − 2b) − (a − 2b) = (do a + b > 0) ⇔ (a − 2b)(a − b − 1) = √ √ • Với a = b + ⇔ 2x + = x + + (vô nghiệm) √ √ • Vớia = 2b ⇔ 2x + = x + ⇔ x = − (chọn) 96 Vậy phương trình có tập nghiệm S = Bài 5: Giải phương trình √ 2+ 2+ − ✷ √ x 2− √ +√ 2+ x 2− √ x √ = 2− x Giải √ √ Thoạt nhìnta đưa đánh giá + x + − x = nên ta đặt    a b√ Suy (∗) ab = − x    a2 + b = √ 2+ √ x = a; 2− √ x=b Ta viết lại phương trình sau: √ a2 b2 +√ = 2+a 2−b √ √ √ √ √ ⇔ a − a2 b + b2 + ab2 = 2(2 − b + a − ab) √ ⇔ 2(a2 + b2 + ab − 2) − ab(a − b) = 2(a − b) √ ⇔ 2(ab + 2) = (a − b)(ab + 2) √ ⇔ a − b = (do a, b ⇒ ab + > 0)  a2 + b = √ Kết hợp (*) ta có hệ phương trình ⇒ ab = ⇔ − x = ⇔ x = √ a − b = √ Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ √ √ √ Bài 6: Giải phương trình (13 − 4x) 2x − + (4x − 3) − 2x = + 16x − 4x2 − 15 Giải Nhận xét: Dễ thấy (2x − 3)(5 − 2x) = 16x − 4x2 − 15, cịn nhị thức ngồi ta biểu diễn hết theo ẩn phụ được, ta đặt hai ẩn phụ cố đưa phương trình tích Lời giải: ĐK x 2  u = √2x − u + v = Đặt ⇒ √ v = √5 − 2x uv = 16x − 4x2 − 15 Phương trình cho trở thành (2v + 3)u + (2u2 + 3)v = + 8uv = u2 + v + 8uv ⇔ 2uv(u + v) + 3(u + v) = (u + v)2 + 6uv ⇔ (u + v − 3)(2uv − u − v) = √ 16x − 4x2 − 15 = (vô nghiệm) √ • Nếu u + v = 2uv :⇔ 16x − 4x2 − 15 = ⇔ x = (chọn) • Nếu u + v = :⇔ 97 Vậy phương trình cho có nghiệm x = ✷ Bài 7: Giải phương trình x2 + √ x + = (∗) Giải ĐXKĐ: x −1 √ Đặt x + = t; t ta có phương trình ⇔ (t2 − 1)2 + t = ⇔ t(t − 1)(t2 + t − 1) = • Với t = x = −1 • Với t = x√= √ −1 + 1− • Với t = x = 2 √ 1− Phương trình có tập nghiệm S = {−1; 0; } ✷ √ Bài 8: Giải phương trình x4 + x2 + = Giải Đặt x2 = a, a ta có a2 + √ a + = (∗), ta đưa phương trình tích sau: √ √ √ √ (∗) ⇔ a2 −(a+3)+(a+ a + 3) = ⇔ (a+ a + 3)(a− a + 3+1) = ⇔ a+1 = a + (do a > 0) Từ tìm a = 1, suy x = ±1 nghiệm phương trình ✷ Bài 9: Giải phương trình (x2 + 2)2 + 4(x + 1)3 + √ x2 + 2x + = (2x − 1)2 + (∗) Giải Nhận xét: Bài có lũy thừa bậc cao 4, có bậc nên ta cố nhóm biểu thức lũy thừa giống để đặt ẩn phụ Lời giải: √ (∗) ⇔ x4 + 4x2 + + 4(x3 + 3x2 + 3x + 1) + x2 + 2x + = 4x2 − 4x + √ ⇔ (x2 + 2x)2 + 8(x2 + 2x) + x2 + 2x + + =  t √ Đặt t = x2 + 2x + ⇒ t2 − = x2 + 2x Ta viết lại phương trình dạng (t2 − 5)2 + 8(t2 − 5) + t + = ⇔ t4 − 2t2 + t − 10 = ⇔ (t − 2)(t3 + 2t2 + 2t + 5) = ⇔ t = (do t ⇒ t3 + 2t2 + 2t + > 0) 98 √ Suy x2 + 2x + = ⇔ x = −1 Vậy phương trình có nghiệm x = −1 ✷ Bài 10: Giải phương trình √ x2 − 2x + + √ x−1=2 Giải ĐKXĐ: x Viết lại phương trình cho dạng (x − 1)2 + = − √ Đặt t = x−1⇒  t √ x−1 t2 = x − Ta có phương trình √ t4 + = − t (t 2) ⇔ t4 − t2 + 4t = ⇔ t = (do t ∈ [0; 2]) Từ suy x = nghiệm phương trình ✷ √ : (4x2 + 1)x + (y − 3) − 2y = Bài 11: Giải phương trình với tham số y Giải Đặt a = 2x b = √ − 2y (b 0) ta có phương trình viết lại thành a3 + a − (b3 + b) + =0⇔a=b 2 Hay 2x = − 2y ⇔ x = − 4y 2 − 4y nghiệm phương trình ✷ Nhận xét: Câu hỏi đặt là: Làm đặt ẩn phụ trên? Trước tiên ta đặt Vậy x = − 2y = b ⇒ y − = − b2 − (b2 + 1) −3= ⇒ (y − 3) 2 − 2y = − (b2 + 1) b Ta hi vọng có a (a3 + 1) 2 ⇔ 4x + 2x = a3 + a 4x2 + x = ⇔ 8x3 + 2x = a3 + a ⇔ a = 2x Vấn đề đề cập kĩ chương Sáng tạo phương trình - hệ phương trình Bài 12: Giải phương trình x+2 −1= 3(x − 3)2 + 9(x − 3) 99 Giải Điều kiện x −2  t3 + 27   x =     x+2 t3 + 45 Đặt t = (x − 3) ta có =  18    t   3(x − 3) = Phương trình cho trở thành t2 t3 + 45 −1= +t⇔ 18 Ta có t + 3t + = t+ 2 + t3 + 45 = t2 + 3t + (1) > nên phương trình (1) tương đương với t3 + 45 = (t2 + 3t + 3)2 ⇔ 2t4 + 11t3 + 30t2 + 36t − 27 = ⇔ (2t − 1)(t + 3)(t2 + 3t + 9) = ⇔ t ∈ { ; −3} t3 + 27 217 x = = 72 t3 + 27 • Với t = −3 x = =0 Các nghiệm thỏa mãn điều kiện tốn 217 ✷ Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = 72 • Với t = √ √ Bài 13: Giải phương trình x x + x x = Giải Phương trình cho tương đương với: Đặt:y = √ x2 với y 15 √ x6 + √ √ √ 15 15 x4 = ⇔ x + x4 = ta có: 5y + 3y − = ⇔ (y − 1)(5y + 8y + 8) = ⇔ y − = ⇔ y = √ 15 Do ta có x2 = ⇔ x2 = ⇔ x = ±1 Vậy tập nghiệm phương trình cho là:S = {−1; 1} ✷ Bài 14: Giải phương trình √ x4 − √ + =0 x2 x Giải 100 ĐK x = Ta có phương trình cho tương đương với √ √ √ 5 x4 − √ +√ = ⇔ x9 − x3 + = (∗) 5 x x Đặt:y = √ x3 , y = 0, phương trình (*) trở thành: y − 7y + = ⇔ (y − 1)(y + y − 6) =    √ x=1 y=1 x3 = √    √ ⇔ x=234 ⇔ y=2 ⇔  x3 = √ √ x3 = −3 x = −3 y = −3 √ √ Vậy tập nghiệm phương trình cho 1; 4; −3 ✷ Bài 15: Giải phương trình √ 4x − + √ 4x2 − = Giải ĐK  4x − 4x2 − ⇔x Bình phương hai vế phương trình cho, ta có: (4x − 1) + (4x2 − 1) + (4x − 1)(4x2 − 1) = ⇔ (4x − 1) (4x2 − 1) = − 4x2 − 4x = − (2x + 1)2 (∗) Đặt y = 2x + ⇒ 4x − = 2y − 3, 4x2 − = y − 2y Phương trình (*) trở thành: ⇔ (2y − 3)(y − 2) = − y  4 − y 4(2y − 3)(y − 2)y = (4 − y )2    −2 y   ⇔ y−2=0      4(2y − 3)y = (y + 2)2 (y − 2)    −2 y   ⇔ y=2      y − 6y + 8y − = (vô nghiệm [−2; 2]) Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ √ Bài 16: Giải phương trình 2x − + x2 − 3x + = Do ta có 2x + = ⇔ x = Giải ⇔y=2 101 ĐKXĐ: x √ Đặt t = 2x − t2 + Phương trình cho tương đương 0⇒x=  t=1  √ t − 4t + 4t − = ⇔ (t − 1) (t + 2t − 1) = ⇔  t = 2−1  √ t = − − (loại t 2 0) • Với t = ⇔ x = √ √ √ • Với t = − ⇔ x = − Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1; − 2} ✷ √ Nhận xét: Đối với có dạng ax + b + cx2 + dx + e = cách giải đặt √ ax + b = t, sau đưa phương trình bậc 4, dùng đồng thức để phân tích nhân tử Nhưng có số khơng giải cách đó, ta nhắc lại vấn đề phần sau √ √ Bài 17: Giải phương trình (x − 2) x − − 2x + = Giải √ Ý tưởng: Ta thấy có x − 1, nên ta cố gắng thêm bớt tách phương trình theo ẩn Lời giải: √ ĐKXĐ: x Đặt x − = t Ta biến đổi phương trình sau : √ √ √ √ [(x − 1) − 1] x − − 2[(x − 1) − 2] − = √ √ ⇔ t3 − 2t2 − t + − = √ √ ⇔ (t + − 2)(t2 − t − 2) = √ √ √ 2−1⇒ x−1= 2−1⇒x=4−2 √ √ √ 1+ 1+4 1+ 1+4 2 • Với t − t − = 0, t > ta chọn t = ⇒x= 2   √  √ 1+ 1+4  ✷ Kết luận: Phương trình có tập nghiệm S = − 2;   • Với t = √ +1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp √ Bài 18: Giải phương trình 2(x2 + 2) = x3 + Giải Ý tưởng: Đối với tốn ta phân tích nhân tử x3 + = (x + 1)(x2 − x + 1) biến đổi vế trái thành tổng hiệu hai thừa số 102 Lời giải: Viết lại phương trình dạng 2(x2 + 2) = 2(x2 − x + 1) + 2(x + 1)  a = 2b √ √ 2  Đăt x − x + = a; x + = b ta có phương trình 2a + 2b = 5ab ⇔ b a= √ ± 37 Từ tìm nghiệm x = ✷ √ √ √ Bài 19: Giải phương trình 5x2 − 14x + − x2 − x − 20 = x + Giải ĐKXĐ: x Đầu tiên bình phương hai vế phương trình: 2x2 − 5x + = (x2 − x − 20)(x + 1) (∗) Ta khơng thể tìm hai số α, β cho α(x2 − x − 20) + β(x + 1) = 2x2 − 5x + √ √ Nên đặt a = x2 − x − 20; b = x + ví dụ Ở này, ý x2 −x−20 = (x−5)(x+4) (∗) ⇔ 2x2 −5x+2 = (x  − 4x − 5)(x + 4) α = 2 Như ta tìm α, β thỏa α(x − 4x − 5) + β(x + 4) = 2x − 5x + ⇔ β = Lời giải: Ta biến đối lại phương trình sau (∗) ⇔ 2(x2 − 4x − 5) + 3(x + 4) = (x2 − 4x − 5)(x + 4) √ √ Đặt a = x2 − 4x − 5; b = x + ta có phương trình  a=b 2a2 + 3b2 = 5ab ⇔  3b a= √ + 61 • Với a = b ⇒ x = (x 5) • Với a = b ⇒ x = 8; x = − √ + 61 Đối chiều với điều kiện ta nhận x = 8; x = nghiệm phương trình.✷ Nhận xét: Ta có tốn tương tự: √ Bài 19*: Giải phương trình 3x2 − 2x − = √ x + 3x2 + 4x + 30 Sau ví dụ khó hơn: √ √ Bài 20: Giải phương trình (x2 − 6x + 11) x2 − x + = 2(x2 − 4x + 7) x − 106 Có ∆ = (10x − 3)2 nên nghiệm  (*) t1 = x; t2 = − 3x x √ • Nếu t = x ⇔ 2x2 + = x ⇔ (vô nghiệm) 2x2 + = x 9 x √ • Nếu t = − 3x ⇔ 2x2 + = = 3x ⇔ ⇔x=0 7x2 − 6x = Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ √ √ √ Bài 25: Giải phương trình 2x + + − x = 9x2 + 16 Giải ĐKXĐ: |x| Bình phương vế ta có 4(2x + 4) + 16 2(4 − x2 ) + 16(2 − x) = 9x2 + 16 ⇔ 8(4 − x2 ) + 16 2(4 − x2 ) = x2 + 8x Ta thấy hai vế có dạng đẳng thức, cố đưa A2 = B Để làm điều ta thêm 16 vào vế để (2 2(4 − x2 ) + 4)2 = (x + 4)2 Viết lại phương trình dạng 8(4 − x2 ) + 16 Đặt t = 2(4 − x2 ) = x2 + 8x 2(4 − x2 ) ta có phương trình 4t2 + 16t − x2 − 8x = −x x Giải phương trình theo ẩn t ta t1 = ; t2 = −4 2 Vì |x| nên t2 khơng thỏa điều kiện √ x x Với t = 2(4 − x2 ) = ⇔⇒ x = (thoả |x| 2) 2 Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ √ Bài 26: Giải phương trình (3x + 2) 2x − = 2x2 + 3x − Giải Điều kiện x √ Đặt t = 2x − 3; t ⇒ t2 + = 2x Ta thêm bớt theo ẩn phụ để đưa phương trình theo t x tham số Phương trình cho tương đương t2 − (3x + 2)t + 2x2 + x − = (∗) (*) có ∆ = 9x2 + 12x + − 4(2x2 + x − 3) = (x + 4)2 nên có nghiệm t = 2x + t = x − √ • Với t = 2x + ⇔ 2x − = 2x + (vơ nghiệm) √ • Với t = x − ⇔ 2x − = x − ⇔ x = (chọn) Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ √ √ √ Bài 27: Giải phương trình x + − = 3x + − x + − x2 107 Giải ĐKXĐ: −1 x √ Đặt − x = t ta có phương trình 3t2 − (2 + √ √ − x)t + 4( x + − 1) = (∗) √ √ (*) có ∆ = (2 + − x)2 − 48( x + − 1) khơng có dạng bình phương phương nên khơng thể làm thường Ở đây, lưu ý phân tích 3x theo − x + x nên ta tìm cách phân tích thích hợp để ∆ bình phương: Ta tìm α β cho  α = −1 √ √ 3x + = α( − x)2 + β( + x)2 ⇔ β = Như viết lại (*) dạng t2 − (2 + √ √ x + 1)t − 2(x + 1) + x + = (∗∗) √ √ √ (**) có ∆ = 9x + 13 − 12 x + = 9(x + 1) − 12 x + + = (3 x + − 2)2 Từ dễ dàng tìm nghiệm x ∈ − ; ✷ Nhận xét: Vấn đề phải tinh ý tách 3x thành hai dạng có biểu thức căn, đến toán thực giải √ √ √ Bài 28: Giải phương trình 2(2 + x2 − − x2 ) − − x4 = 3x2 + Giải Lời giải: Điều kiện −1 x √ √ Đặt a = + x2 ; b = − x2 ⇒ 3x2 + = 2(1 + x2 ) − (1 − x2 ) = 2a2 − b2 Khi phương trình trở thành 2(2a − b) − ab = 2a2 − b2 ⇔ 2a2 + a(b − 4) + 2b − b2 = (∗) b (*)c ó ∆a = (b − 4)2 − 8(2b − b2 ) = (3b − 4)2 nên suy a = a = − b √ √ b • Với a = ⇔ + x2 = − x2 (vô nghiệm) √ √ • Với a = − b ⇔ x2 + = − − x2 Giải phương trình tìm x = Vậy tập nghiệm phương trình S = {0} ✷ Bài tập tự luyện Giải phương trình sau: √ 1/6x2 − 10x + − (4x − 1) 6x2 − 6x + = √ 2/(x + 3) 10 − x2 = x2 − x − 12 (ĐH Dược-1999) √ 3/2(1 − x) x2 + 2x − = x2 − 2x − (ĐH Dược 1997) 108 √ 4/(4x − 1) x2 + = 2x2 + 2x + √ 5/2(1 − x) x2 + x + = x2 − 3x − √ 6/(x + 1) x2 − 2x + = x2 + (Chú ý thêm bớt để có ∆ phương) √ 7/(4x − 1) x3 + = 2x3 + 2x + Phương pháp sử dụng hệ số bất định √ Bài 29: Giải phương trình 2x2 − 11x + 21 − 3 4x − = Giải Ta cần tìm a, b, c cho: 2x2 − 11x + 21 = a(4x − 4)2 + b(4x − 4) + c ⇔ 2x2 − 11x + 21 = 16ax2 + (4b − 32a)x + (16a − 4b + c) Đồng hệ số ta thu a = ; b = − ; c = 12 Ta viết lại PT sau: √ (4x − 4)2 − (4x − 4) + 12 − 4x − = Đặt u = √ 4x − 4, PT trở thành u6 − 14u3 − 24u + 96 = ⇔ (u − 2)2 (u4 + 4u3 + 18u + 24) = Dễ thấy u4 + 4y + 18u + 24 = vô nghiệm vì: • Nếu u u6 − 14u3 − 24u + 96 > • Nếu u > u4 + 4u3 + 18u + 24 > Vậy u = ⇒ x = 3✷ √ √ √ Bài 30: Giải phương trình − x − x + + − x2 = − x Giải ĐK −1 x √ √ Ta tìm α; β cho −x + = α( − x)2 + β( x + 1)2 ⇔ −x + = (β − α)x + α + β Giải ta α = 2; β = √ √ √ Ta viết lại phương trình thành + x + 2(1 − x) − − x + x + − − x2 = √ √ Đặt u = + x; v = − x u, v 0, phương trình trở thành u2 + 2v − 2v + u − 3uv = ⇔ u2 + (1 − 3v)u + 2v − 2v = 109 ∆ = (1 − 3v)2 − 4(2v − 2v) = (v + 1)2 Nên u = 2v u = v − √ √ • u = 2v ⇒ x + = − x ⇔ x =  −1 x − • u=v−1⇒ 4x2 = √ Nên phương trình có nghiệm x = ; x = − √ Vậy S = ;− ✷ √ √ √ Bài 31: Giải phương trình − x = x + − − x2 + + x Giải √ √ Ta làm cách nhé, biểu diễn x + = α( − x)2 + β( x + 1)2 Giải ta α = ; β = , thay vào PT đầu ta khơng nhận ∆ phương 2 Lời giải: √ √ Đặt a = + x b = − x √ √ √ PT ⇔ 2x + + − x + + x − − x2 − − x + = ⇔ 2a2 + b2 − 3ab + 5a − 4b + = Bây ta cố ý nhóm cho đặt nhân tử chung, thường nhóm dạng a = b P T ⇔ (a − b)(2a − b) + 3(a − b) + (2a − b) + = ⇔ (a − b + 1)(2a − b + 3) = • Nếu a + = b : ⇔ √ x+1+1= √ √ √ − x ⇔ x + = −(2x + 1) ⇔ x = − • Nếu 2a + = b ta suy phương trình vơ nghiệm Ví dụ tương tự sau xin dành cho bạn đọc √ √ √ Bài 32: Giải phương trình + − x = −3x + x + + − x2 √ 24 Đáp số: Phương trình có nghiệm S = 0; ; ✷ 25 Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình √ Dạng 1: Phương trình có dạng xn + a = b n bx − a √ Cách giải: Đặt y = n bx − a ta có hệ đối xứng loại II xn − by + a = y n − bx + a = 110 Ta xét toán sau: √ Bài 33: Giải phương trình x3 + = 2x − Giải √ 2x − ⇒ y = 2x − x3 + = 2y Ta có hệ PT sau y + = 2x Đây hệ đối xứng loại II, trừ vế theo vế ta có: Đặt y = x3 − y = 2(y − x) ⇔ (x − y)(x2 + y + xy + 2) = √ 2x − = x√⇔ x3 − 2x + = (x − 1)(x2 + x − 1) = −1 ± Vậy x = 1; x = y 3y Ta có x2 + y + xy + = x + + + > 0, ∀x, y √ −1 ± ✷ Vậy phương trình có tập nghiệm S = 1; x=y⇒ Dạng 2: Phương trình có dạng n Cách giải: Đặt u = Ta có hệ sau n a − f (x) + a − f (x); v = m m b + f (x) = c b + f (x) u+v =c u + vm = a + b n Bài 34: Giải phương trình √ x+8+ √ x−7=3 Giải √ Đặt u = x + ⇔ u4 = x + ⇒ x = u4 − √ ⇒ x = v4 + v = x −7 ⇒ v = x −    u + v =     v = − u Ta có hệ u, v ⇔ (u2 − v )(u2 + v ) = 15       u4 − v = 15 u, v         v = − u v = − u ⇔ (u − v)(u + v)(u2 + v ) = 15    u, v  0 u ⇔ (2u − 3) u2 + (3 − u)2 = ⇔ u    (u − v)(u2 + v ) =  0 u ⇔ (2u − 3)(2u2 − 6u + 9) = 111 ⇔  0 u ⇔  0 u 4u3 − 18u2 + 36u − 32 = u = √  4x+8=2 x + = 16 ⇔ √ ⇔ ⇔x=8 4x−7=1 x − = Vậy phương trình cho có nghiệm x = ✷ √ √ Bài 35: Giải phương trình 3x − + − 5x = Giải √ √ u3 = 3x − v = − 5x ⇒ 5u3 + 3v = 5(3x − 2) + 3(6 − 5x) = 8(1) Mặt khác ta lại có 2u + 3v − = 0(2) Từ (1) (2) ta có hệ sau: Đặt u = 3x − 2; v = − 5x 0⇒ 5u3 + 3v = ⇒ 5u3 + 2u + 3v = 8 − 2u Phương trình có nghiệm u = −2 nên Bài 36: Giải phương trình 1+ √ − x2 = ⇔ 15u3 + 4u2 − 32u + 40 = √ 3x − = −2 ⇒ x = −2✷ (1 + x)3 − (1 − x)3 = + √ − x2 Giải ĐK −1 x √ √ Đặt + x = a; − x = b với a, b Ta có hệ sau √ ⇒ a2 + b2 = (*) a2 + b2 = (1) + ab(a3 − b3 ) = + ab (2) Ta có √ 1 1 + ab = (2 + 2ab) = (a2 + b2 + 2ab) (do (*)) ⇒ + ab = √ (a + b) (do a, b 2 Vậy từ (2) có 1 √ (a + b)(a − b)(a2 + b2 + ab) = + ab ⇔ √ (a2 − b2 ) = 2 Kết hợp với (1) ta có hệ √ a2 − b = a2 + b = √ 1 ⇔ a2 = + √ ⇒ + x = + √ ⇒ x = √ ✷ 2 √ √ Bài 37: Giải phương trình (x + 5) x + + = 3x + Cộng vế ta có 2a2 = + 0) 112 Giải ĐK x −1 √ √ Đặt a = x + 1; b = 3x + ⇒ x = a2 − 3a2 + = b3 Thay vào phương trình ta có hệ sau (a2 + 4)a + = b 3a2 + = b3 Cộng vế theo vế ta có a3 + 3a2 + 4a + = b3 + b ⇔ (a + 1)3 + (a + 1) = b3 + b Xét hàm số đặc trưng f (t) = t3 + t √ √ Ta có f (t) = 3t2 + > 0, hàm số đồng biến.⇒ f (a + 1) = f (b) nên x + + = 3x + √ √ Đặt u = x + 1; v = 3x + Ta có hệ sau u+1=v u=v−1 ⇔ 3 v − 3u = v − 3u2 = Sử dụng phép ta có v − 3(v − 1)2 = ⇔ v − 3v + 6v − = ⇔ (v − 1)(v − v + 4) = √ Phương trình có nghiệm v = ⇒ 3x + = ⇒ x = −1 Vậy phương trình có nghiệm x = −1 ✷ √ Dạng 3: Phương trình dạng ax + b = cx2 + dx + e √ Ta gặp dạng toán ax + b = cx + d số ví dụ nêu cách bình phương bậc đồng hệ số để tìm nghiệm, tốn khơng dùng phương pháp sao? Chúng ta làm rõ vấn đề Xét ví dụ sau: Bài 38: Giải phương trình 2x2 − 6x − = √ 4x + Giải Ta biến đổi phương trình sau Lời giải: ĐK x − √ √ 4x2 − 12x − = 4x + ⇔ (2x − 3)2 = 4x + + 11 Đặt 2y − = √ 4x + ta hệ phương trình sau: (2x − 3)2 = 4y + (2y − 3)2 = 4x + ⇒ (x − y)(x + y − 1) = √ √ Với x = y ⇒ 2x − = 4x + ⇒ x = + 113 Với x + y − = ⇒ y = − x ⇒ x = − Nhận xét: Bài tốn tổng qt có dạng sau √ √ 2✷ ax + b = cx2 + dx + e, (a = 0, c = 0, a = ) c Xét f (x) = cx2 + dx + e ⇒ f (x) = 2cx + d √ Giải phương trình f (x) = 0, phép đặt ax + b = 2cy + d, ta đưa hệ đối xứng loại II (trừ số trường hợp đặc biệt) Có thể thấy rõ ràng qua ví dụ trên, ta xét ví dụ Bài 39: Giải phương trình x2 − 4x − = √ x+5 Giải Ý tưởng: Xét f (x) = x2 − 4x − có f (x) = 2x − = ⇔ x = Vậy đặt Lời giải: ĐKXĐ: x −5 Viết lại phương trình đầu dạng √ Đặt √ √ x + = y − x + = (x − 2)2 − (∗) x + = y − ⇒ (y − 2)2 = x + Thay vào (*) ta có  (x − 2)2 = y + (y − 2)2 = x + Trừ vế theo vế ta có (x − y)(x + y − 3) =  √ √  x = (5 + 29) • Nếu x = y ⇔ x + = x − ⇔  √ x = (5 − 29) √ x = −1 • Nếu x + y = ⇔ − x = x + ⇔ x=4 √ Đối chiếu với điều kiện ta nhận x = −1; x = (5 + 29) √ Vậy PT cho có tập nghiệm S = −1; (5 + 29) Bài 40: Giải phương trình x2 + + √ 3x + = 13x Giải √ Ý tưởng: Ta viết lại phương trình dạng 3x + = −4x2 + 13x − đặt f (x) = −4x2 + 13x − Có f (x) = −8x + 13 ta giải đặt phương pháp tương tự không thu hệ đối xứng loại II Vậy ta hi vọng tìm hướng khác, phương pháp tự nhiên 114 hệ số bất định Lời giải: ĐK x − √ Đặt 3x + = −(2y − 3); y  (2x − 3)2 = 2y + x + Ta có hệ phương trình sau (2y − 3)2 = 3x + Trừ vế theo vế ta có (x −√y)(2x + 2y − 5) = 15 − 97 • Với x = y ⇒ x = √ 11 + 73 • Với 2x + 2y − = ⇒ x = √ √ 15 − 97 11 + 73 ; Vậy tập nghiệm phương trình S = 8 ✷ Nhận xét: Ta thấy cách giải tốn khác so với ví dụ đưa hệ "gần đối xứng" loại II giải cách dễ dàng Bài toán có dạng sau:  u = ar + d √ ax + b = r(ux + v)2 + dx + e v = br + e  uy + v = r(ux + v)2 + dx + e √ Cách giải: Đặt uy + v = ax + b ta có hệ ax + b = (uy + v)2 √ Ta viết lại phương trình sau 3x + + (2x − 3)2 − x − = Dễ dàng ta kiểm tra √ hệ số thỏa mãn, đặt 3x + = 2y − ta thu hệ phương trình khơng dễ dàng để giải chút nào, chuyển vế đổi dấu đưa hệ gần đối xứng giải tốn Tổng kết lại, ta có đạo hàm áp dụng hệ số d = 0, cịn khơng dùng cách thêm bớt √ a2 c c ax + b = x2 +cx+d(a = 0) thỏa mãn b+ad = 1+ a 2 2 Cách giải: Xét hàm số f (x) = x + cx + d có f (x) = x + c a a √ ac ac Cho f (x) = ta thu x = − Từ đặt ax + b = y+ ta thu hệ đối xứng loại II 2 Dạng 4: Phương trình dạng Bài 41: Giải phương trình 3x2 + x − 29 = 12x + 61 36 Giải Ý tưởng: Xét f (x) = 3x2 + x − 29 ⇒ f (x) = 6x + = ⇔ x = − 6 Lời giải: 12x + 61 1 Đặt = y + (y − ) 36 6 12x + 61 1 ⇔ =y + y+ ⇔ 12x + 61 = 36y + 12y + ⇔ 3y + y = x + 36 36 115 Mặt khác từ phương trình đầu ta có 3x2 + x − Nên ta có hệ sau: 29 = y + ⇔ 3x2 + x = y + 6  3x2 + x = y + 3y + y = x + Trừ vế theo vế ta có (x − y)(3x + 3y + 2) = ⇔ x = y ∨ y = − 3x + ;y − 3x + 3x + 2 ⇒ 3x + x = + ⇔ 9x2 + x − 13 = • Với y = − 3 √ −3 ± 126 ⇒x= Từ tìm y kết luận nghiệm ✷ • Với x = y ⇒ 3y = ⇒ x = y = √ √ 2−1−x+ 4x= √ Bài 42: Giải phương trình Giải √ 2−1 Điều kiện x  √ √ 0 u  2−1−x=u 2−1 ⇔ Đặt √ √ 0 v 4x=v 2−1     −v u + v = √1 u = √ 4 2 Như ta có hệ ⇔ √ √   4  + v = 2−1 u +v = 2−1  √ 2−v Từ phương trình thứ hai ta có: (v + 1)2 = √ +v ⇔ v2 − v + − √ =0⇔v= 4 √ − 3  ✷   1 ± Vậy phương trình có nghiệm x =   Bài 43: Giải phương trình √ 1− x2 = √ − x Giải − x2 ĐKXĐ: ⇔ x Viết lại hệ dạng −1 x x ⇔0 x 1±    − x2 = − u 2 √  − x = v2  √ −3 (chọn) 116 Đặt u = √ x; v = √ − x với u 0, v Do ta có hệ     2  u+v =  u+v =   u+v = u+v = ⇔ ⇔ ⇔ √1 − u4 = v u + v = (u2 + v )2 − 2u2 v =  (u + v)2 − 2u.v =    u+v =  √3    − 194    u+v =   u + v = 23 u.v = 18  ⇔ ⇔ ⇔ 65 16   − 2u.v − 2u2 v = 2u2 v − u.v − =0   u + v = 81  √5  + 194  u.v = 18 Nên u, v nghiệm phương trình √  − 194 = 0(a) y − y + 18 √  + 194 y2 − y + = 0(b) 18 Chỉ có (a) có nghiệm nên y= Do Vì u u2 = y2 v2 = y1 2+ nên ta chọn u = 6 2± √ 2(2 194 − 6) u1 = y ∨ v1 = y2 √ 2(2 194 − 6) Vậy phương trình có nghiệm x = ⇒ −2 + √ x= 2+ √ 2( 194 − 6) + √ 2(2 194 − 6) 97 ✷ √ Bài 44: Giải phương trình 4x2 − 11x + 10 = (x − 1) 2x2 − 6x + Giải Ý tưởng: Ngoài cách dùng ẩn phụ khơng hồn tồn, ta đưa phương trình hệ đối xứng loại II Lời giải: Phương trình cho tương đương ⇔ (2x − 3)2 + x + = (x − 1) (x − 1)(2x − 3) − x − Đặt u = 2x − 3; v = (x − 1)(2x − 3) − x − ta có hệ phương trình  u2 + x + = (x − 1)v v + x + = (x − 1)u Trừ vế theo vế ta có u2 − v = (x − 1)(v − u) ⇔ (u − v)(u + v + x − 1) = 117 • Nếu u = v : ⇒ u2 + x + = (x − 1)u ⇔ (2x − 3)2 + x + = (x − 1)(2x − 3) ⇔ 2x2 − 6x + = (vơ nghiệm) • Nếu u + v + x − = : √ ⇔ 2x − + 2x2 − 6x + + x −1=0  √ x ⇔ 2x2 − 6x + = − 3x ⇔ (vô nghiệm) 7x2 − 18x + 14 = Vậy phương trình cho vơ nghiệm.✷ Nhận xét: Cách giải toán xuất phát từ cách làm nêu Dạng tổng quát f n (x) + b = a n af (x) − b Ta dự đoán f (x) = (2x + c)2 Đến ta đồng hệ số để tìm c : 4x2 + 4cx + c2 + (−11 − 4c)x + 10 − c2 = (x − 1) (x − 1)(2x + c) − (−11 − 4c)x − 10 + c2 ⇔ b = (11 − 4c)x + 10 − c2 Đối chiếu với toán đồng hệ số suy x = −3 Phương pháp lượng giác hóa √ • Nếu tốn chứa a2 − x2 π t Đặt x = |a| sin t với − √2 • Nếu toán chứa x2 − a2 π π |a| với t ∈ − ; Đặt x = sin t 2 |a| Hoặc x = với t ∈ [0; π] \ cos t √ • Nếu tốn chứa a2 + x2 π x = |a| cos t với t π \ {0} π π π có thể: Đặt:x = |a| tan t với t ∈ − ; 2 Hoặc x = |a| cot t với t ∈ (0; π) a+x a−x • Nếu tốn chứa có thể: đặtx = a cos 2t a−x a+x • Nếu tốn chứa (x − a) (b − x) đặt x = a + (b − a) sin2 t Lợi phương pháp đưa phương trình ban đầu phương trình lượng giác biết cách giải phương trình đẳng cấp, đối xứng Và điều kiện nhận loại nghiệm dễ dàng nhiều Vì lượng giác hàm tuần hoàn nên ta ý đặt điều kiện biểu thức lượng giác cho khai khơng có dấu trị tuyệt đối, có nghĩa ln dương Bài 45: Giải phương trình x3 + (1 − x2 )3 = x Giải 2(1 − x2 ) 118 ĐK −1 x √ Từ điều kiện toán ta đặt ẩn phụ x = cos t, − x2 = |sin ϕ| Chỉ cần chọn ϕ mà ϕ π −1 cosϕ = x sin ϕ |sin ϕ| = sin ϕ Phương trình cho biến đổi dạng √ √ cos3 ϕ + sin3 ϕ = 2cosϕsinϕ ⇔ (cosϕ + sinϕ) (1 − cosϕsinϕ) = 2cosϕsinϕ √ π Đặt u = cosϕ + sinϕ = sin ϕ + π π 5π Do x π ⇒ ϕ+ 4 √ √ π ⇒− sin ϕ + 1, ta − u 2 Phương trình đại số với ẩn u có dạng √ u2 − u2 − u 1− = 2 √ √ ⇔ u + 2u − 3u − = √ √ ⇔ u − u2 + 2u + =  √ u= √  ⇔ u=− 2+1 √ √ u=− 2−10 x2 + 5x +     x   x = Phương trình viết lại thành ĐKXĐ: √ x+3 (x + 2)(x + 3) + x + = 2x + x x √ x+3 ⇔ (x − x + 2)( − 2) = x  √ x− x+2=0 x=2  ⇔ x+3 ⇔ x=1 −2=0 x x Vậy tập nghiệm phương trình S = {1; 2} ✷ ... cho 1; 4; −3 ✷ Bài 15: Giải phương trình √ 4x − + √ 4x2 − = Giải ĐK  4x − 4x2 − ⇔x Bình phương hai vế phương trình cho, ta có: (4x − 1) + (4x2 − 1) + (4x − 1)(4x2 − 1) = ⇔ (4x − 1) (4x2 −... = 16ax2 + (4b − 32a)x + (16a − 4b + c) Đồng hệ số ta thu a = ; b = − ; c = 12 Ta viết lại PT sau: √ (4x − 4) 2 − (4x − 4) + 12 − 4x − = Đặt u = √ 4x − 4, PT trở thành u6 − 14u3 − 24u + 96 = ⇔... − 14u3 − 24u + 96 = ⇔ (u − 2)2 (u4 + 4u3 + 18u + 24) = Dễ thấy u4 + 4y + 18u + 24 = vơ nghiệm vì: • Nếu u u6 − 14u3 − 24u + 96 > • Nếu u > u4 + 4u3 + 18u + 24 > Vậy u = ⇒ x = 3✷ √ √ √ Bài 30: