Nguyễn Đức Điệp ***&*** THPT Kinh Mơn Giải tốn tổhợp I Kiến thức n! k * Công thức tổ hợp: C n = k!.(n − k )! * Tính chất : C nk = C nk−−11 + C nk−1 ; C nk = C nn−k n n k n−k k * Khai triển nhị thức Newton : (a + b) = ∑ C n a b k =0 * Một số trường hợp đặc biệt : n = (1 + 1) n = C n0 + C n1 + C n2 + + C nk + + C nn = (1 − 1) n = C n0 − C n1 + + (−1) k C nk + + (−1) n C nn II Các toán minh hoạ Bài toán Với n số nguyên dương ,tính tổng sau S = C 20n + C 22n + C 24n + + C 22nk + + C 22nn Giải Ta thấy số hạng liên tiếp khai triển tổhợp có số k cách đơn vị Khi ý tới số hạng tổng quát với số nguyên k 0< k + + + 2009 = C 2009 C 2009 C 2009 2009 C 2008 C 2008 C 2008 C 2008 Bài toán Với n số nguyên dương ,tính tổng sau: A = C n1 + 2.C n2 + 3.C n3 + + k C kn + + n.C nk Giải Trong số hạng tổng A ta thấy hệ số tổhợp có tính chất tăng dần Khi sử dụng khai triển Newton ta thay giá trị tương ứng cho a,b để có kết thuận lợi Khi để ý tới số hạng tổng quát ,ta có khai triển SHTQ : k C nk = k n! n.(n − 1)! = k = n.C nk−−11 [ ] k!.(n − k )! k ( k − 1)! (n − 1) − (k − 1) ! ( với k > 0, k số tự nhiên) Vậy A = n[C + C n1−1 + C n2−1 + + C nn−−11 ] = n.2 n−1 Trong toán ta khai thác số hạng tổng quát cách đưa giá trị biến đổi k biểu thức tổhợp làm dư giá trị n số cho trước Với cách suy nghĩ tương tự ta giải toán sau n −1 * Bài toán tổng quát Với n số nguyên dương ta có C n1 + 2.x.C n2 + 3.x C n3 + + k x k −1 C nk + + n.x n −1 C nn = n(1 + x) n −1 (*) * Bài tập áp dụng( Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2005) Tìm số tự nhiên n cho C21n+1 − 2.2.C22n +1 + 3.22.C23n+1 − 4.23.C24n+1 + + (2n + 1).22 n.C22nn++11 = 2005 (**) Khi thay x = vào (*) Ta có (**) ⇔ (2n + 1).(1-2)2n = 2005 ⇔ n = 1002 Bài toán Với n số nguyên dương ,tính tổng sau B = Cn0 + 2.Cn1 + 3.Cn2 + + (n + 1).Cnn Giải Khai thác SHTQ ta có : (k + 1).C nk = C nk + kC nk Nên B = [Cn0 + Cn1 + + Cnn ]+[C1n + 2.Cn2 + + n.Cnn ]=2n + n.2n−1 = 2n−1 (n + 2) Bài toán Với n số nguyên dương ,tính tổng sau E = 2.1 Cn2 + 3.2.Cn3 x + 4.3.Cn4 x + + n.(n − 1).Cnn x n−2 ( n ≥ 3) -2- Nguyễn Đức Điệp ***&*** THPT Kinh Môn Giải toán tổhợp Giải Xét số hạng tổng quát ta có n.(n − 1).(n − 2)! k k −2 k (k − 1).Cn = k (k − 1) k (k − 1).(k − 2)!.[(n - 2) -(k - 2)]! = n.(n − 1).Cn− Vậy E = n(n-1)[ Cn0− + Cn1− x + + Cnn−−22 x n −2 ] = n(n - 1)(1 + x )n-2 Bài toán Với n số nguyên dương ,tính tổng sau S = C n1 + 2.C n2 + 32.C n3 + + k C nk + + n C nn Giải Khi khai thác SHTQ ta có : với k >1,k số tự nhiên Tk = k C nk = [ k (k − 1) + k ].C nk = k (k − 1).C nk + k C nk = n(n − 1).C nk−−22 + n.C nk−−11 C n1 = n.C n0−1 Vậy : [ ] [ S = n(n − 1) C n0− + C n1− + + C nn−−22 + n C n0−1 + C n1−1 + + C nn−−11 n −2 = n( n − 1).2 + n.2 = n( n + 1).2 n −2 ] n −1 Bài tốn Với n số ngun dương ,tính tổng sau 2010 2009 2008 k 2010 − k 2010 C 2011 + C 2011 C 2010 + C 2011 C 2009 + + C 2011 C 2011 S = C 2011 − k + + C 2011 C1 Giải Ta xét số hạng tổng quát: 2011! (2011 − k )! k!(2011 − k )! (2010 − k )! 2011! 2010! k = = 2011 = 2011 C 2010 k!(2010 − k )! k!(2010 − k )! 2010 + C 2010 + + C 2010 = 2011 2010 Vậy S = 2011 C 2010 k 2010 − k C 2011 C 2011 −k = [ ] Bài tốn Với k số ngun ,tính tổng sau 1000 999 998 k 1000 − k 1000 1010 C 2010 − C 2010 C 2009 + C 2010 C 2008 − + ( −1) k C 2010 C 2010 S= C 2010 − k + + C 2010 C1010 Giải Khai thác SHTQ ta có : 2010! (2010 − k )! k!(2010 − k )! (1000 − k )!1010! 1000! 2010! k 1000 = = C1000 C 2010 k!(1000 − k )! 1000!.1010! 1000 k 1000 1000 C1000 − C1000 + + (−1) k C1000 + + C1000 = C 2010 (1 − 1)1000 = S = C 2010 k 1000 − k C 2010 C 2010 −k = Vậy Bài toán [ ] Chứng minh rằng, với số nguyên dương n ta có 1 2n +1 − Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = n +1 n +1 -3- Nguyễn Đức Điệp ***&*** THPT Kinh Mơn Giải tốn tổhợp 1 n! (n + 1)! Cnk = = k +1 k + k !(n − k )! (n + 1).(k + 1)![(n+1) - (k+1)]! Cnk++11 n +1 Giải Vậy [ C n1+1 + C n2+1 + C n3+1 + + C nn++11 n +1 n +1 − = n +1 − C n0+1 = n +1 n +1 S= [ ] ] * Bài tốn tổng qt, Tính tổng: S= b − a b2 − a b3 − a b n +1 − a n +1 n Cn + Cn + Cn + + Cn n +1 Giải Xét Số hạng tổng quát sau 1 n! (n + 1)! Cnk = = C k +1 = k +1 k + k !(n − k )! (n + 1).(k + 1)![(n+1) - (k+1)]! n + n +1 [(b - a)C1n +1 + (b − a ).Cn2+1 + + (b n +1 − a n +1 ).Cnn++11 ] Vậy S = n +1 [(C0n+1 + Cn1+1.b + Cn2+1.b + + Cnn++11.b n +1 ) − (Cn0+1 + Cn1+1.a + Cn2+1.a + + Cnn++11.a n +1 )] = n +1 (1+b) n+1 − (1 + a) n +1 [(1+b) n+1 − (1 + a ) n +1 ] = = n +1 n +1 * Khi cho a ,b giá trị thích hợp ta có tốn thường gặp sau ( −1) n n Cn = ( Với a = -1 , b = ) (HSG tỉnh 95-96) n +1 n +1 2 − 1 23 − 2n +1 − n 3n +1 − 2n +1 C + C + C + + C b /(ĐTTS- KB-2003) n n n n = n +1 n +1 a/ Cn0 − Cn1 + Cn2 − + ( Với a = , b = ) Bài toán 10 Với số tự nhiên n , Chứng minh :(Đề thi tuyển sinh A 2007) 1 22 n − C2 n + C2 n + C2 n + C22nn −1 = (*) 2n 2n + Giải Theo SHTQ tốn ta có 1 C2kn = C2kn++11 k +1 2n + 1 [C 22n+1 + C24n +1 + C26n +1 + + C22nn+1 ] Khi ta có VT(*) = 2n + Mặt khác ta có , theo khai triển new tơn : (1 - )2n+1 = C20n+1 − C21n +1 + C22n+1 − C23n+1 + C24n+1 − + C22nn+1 − C22nn++11 (1 + )2n+1 = C20n+1 − C21n +1 + C22n+1 + C23n+1 + C24n+1 + + C22nn+1 + C22nn++11 Cộng vế với vế ta : 22n+1 = 2( C20n+1 + C22n+1 + C24n +1 + C26n+1 + + C22nn+1 ) Hay : C22n+1 + C24n +1 + C26n +1 + + C22nn+1 = 22n - -4- = Nguyễn Đức Điệp ***&*** THPT Kinh Mơn Giải tốn tổhợp Vậy VT(*) = 22 n − ( Ta có đpcm) 2n + Bài toán 11.Với n số nguyên dương ,tính tổng sau 1 1 S = 1.2 C 2010 + 2.3 C 2010 + 3.4 C 2010 + + (k + 1)(k + 2) C 2010 + + 2011 2012 C 2010 k 2010 Giải Khi ý khai thác số hạng tổng quát ta nhận thấy: 1 2010! k C 2010 = (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) k!.(2010 − k )! 2012! = 2011 2012 (k + 2)!(2012 − (k + 2))! k +2 C 2012 = 2011 2012 Vậy [ 2012 C 2012 + C 2012 + C 2012 + + C 2012 2011 2012 1 = (1 + 1) 2012 − C 2012 − C 2012 2011 2012 2012 − = 2011 2012 2012 S= [ ] ] Bài toán 12 Với n số nguyên dương ,tính tổng sau S= 1 1 1 C n + C n + C n + + C nk + + C nn k+2 n+2 Giải Để phân tích số hạng tổng quát ta áp dụng tính chất sau: 1 1 1 = − ⇒ = − (k + 1)(k + 2) k + k + k + k + (k + 1).(k + 2) Khi SHTQ khai triển sau k 1 C nk = − .C n k+2 k + (k + 1)(k + 2) 1 = C nk − C nk k +1 (k + 1).(k + 2) 1 = C nk++11 − C nk++22 n +1 (n + 1).(n + 2) 1 n +1 n+2 Vậy S = n + C n +1 + C n +1 + C n+1 + + C n+1 − (n + 1)(n + 2) C n + + C n+ + C n+ + + C n + 1 = (1 + 1) n +1 − C n0+1 − (1 + 1) n + − C n0+ − C n1+ n +1 (n + 1)(n + 2) [ [ ] ] [ [ ] -5- ] Nguyễn Đức Điệp ***&*** THPT Kinh Mơn Giải tốn tổhợp = [ ] [ ] n+ n +1 1 n +1 − − n+2 − n − = − − − n +1 (n + 1).(n + 2) n+2 n +1 Bài tốn 13 Tính tổng sau: 4 + C 2010 + C 2010 + C 2010 + + S = C 2010 2010 C 2010 1006 Giải Khai thác SHTQ ta có: 2k 1 2k 2k C 2010 = .C 2010 = 2 − .C 2010 k +1 2k + 2k + (2k + 1)(2k + 2) 1 2k 2k = 2 C 2010 − C 2010 (2k + 1)(2k + 2) 2k + k +1 2k + = 2 C 2011 − C 2012 2011 2012 2011 1 2011 2012 C 2011 + C 2011 + + C 2011 − C 2012 + C 2012 + C 2012 => S = 2 2011 2012 2011 ( ) ( ) Mặt khác ta có : 2011 (1 + 1) 2011 = C 2011 + C 2011 + C 2011 + + C 2011 2011 (1 − 1) 2011 = C 2011 − C 2011 + C 2011 − − C 2011 ( 2011 ⇒ 2011 = C 2011 + C 2011 + + C 2011 ⇒C 2011 +C 2011 + + C 2011 2011 =2 ) 2010 Ta lại có : 2012 (1 + 1) 2012 = C 2012 + C 2012 + C 2012 + + C 2012 2012 (1 − 1) 2012 = C 2012 − C 2012 + C 2012 − + C 2012 ( 2012 ⇒ 2012 = C 2012 + C 2012 + C 2012 + + C 2012 ⇒C 2012 +C 2012 + C 2012 2012 =2 2011 −1 ) 2010 2011 − − Vậy S = 2 2011 2011 2012 Bài toán 14 Cho n số nguyên dương, tính tổng sau : S= 1 2 3 k n C n + C n + C n + + C nk + + C nn k +1 n +1 Giải Phân tích số hạng tổng quát ta có : k (k + 1) − k 1 C nk = C n = C nk − C nk = C nk − C nk++11 k +1 k +1 k +1 n +1 n n 1 k C nk++11 = n − − (2 n +1 − n − 2) = n − (2 n +1 − 1) Vậy S = ∑ C n − ∑ n + k =1 n +1 n +1 k =1 -6- Nguyễn Đức Điệp ***&*** THPT Kinh Mơn Giải tốn tổhợp Bµi tËp vËn dơng n Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức: + x ữ , x n 20 biÕt r»ng: C2 n +1 + C2 n+1 + + C2 n+1 = − 26 n +1 n+ 2n n +1 20 (HSG tỉnh năm 2008).Cho C n +1 + C n +1 + + C n +1 + C n +1 = BiÕt r»ng sè h¹ng thø khai triÓn x − x log ( ) log x −3 A= x + n b»ng 45 T×m x? 3.(HSG tØnh 2010).T×m hƯ sè cđa x7 khai triÓn P(x) = (5x-3)n , biÕt C 21n +1 + 2.C 22n +1 + + (2n + 1).C 22nn++11 = 21.2 20 4.KÝ hiƯu PN=1+a+a2 +…+an vµ Sn = 1+ + a (1 + a ) (1 + a) n + + + 22 2n n +1 n CMR: C n +1 + C n +1 P1 + + C n +1 Pn = S n (HSG tỉnh 94-95) 5.Cho n số tự nhiên CMR với x ta cã: 2008 C 2008 x.(1 − x) 2007 + 2C 2008 x (1 − x) 2006 + + 2008.C 2008 x 2008 = 2008 x 2008 Cho hµm sè f(x) = ∑ (k − 2008x) k =0 k C 2008 x k (1 x ) 2008 k Tìm giá trị lớn f(x) [0;1] 7.Tìm tất số nguyên dơng n cho : 1 (−1) n n C n − C n + + Cn = n+2 42 C 20n + 3.C 22n + + n C 22nn 8.CMR n chẵn 2n chia hết: 9.Tính tổng hệ số bậc lẻ đa thức (HSG tØnh 2009) 2009 + 2C 2009 (2 x ) + 3C 2009 (2 x) + + 2009C 2009 (2 x) 2008 P(x) = C 2009 10.Cho n số tự nhiên , n > CMR: n C n0 + (n − 1) C n1 + (n − 2) C n2 + + 2 C nn − + 12 C nn −1 = n(n + 1).2 n − 2005 2007 + 2009 2004 C 2008 + + 2009 2.C 2008 + C 2008 11.Tìm giá trÞ cđa biÕu thøc A = 2009 2006.C 2008 12.CMR: C n1 + 2C n2 + + nC nn < n! với n số tự nhiên n > n ( ) + (C ) + (C ) 13 CMR: C n0 ( 14 CMR: C 20n +1 n 2 n ( ) + + C nn ) − (C ) + (C ) 2 n +1 2 n +1 = C 2nn ( − + (−1) n +1 C 22nn++11 -7- ) =0 Nguyễn Đức Điệp ***&*** THPT Kinh Mơn Giải tốn tổhợp 1 n −1 n 15.CMR: C n C n + C n C n + + C n C n = n +1 C 2( n +1) − C 2nn n 16.Tìm hệ số không chứa x khai triĨn x + x + ÷ biết n số tự nhiên thỏa x mãn ®¼ng thøc: 1 1 1 C n − C n + C n − + C 22nn = 2n + 462 17 -8- ... n.2 n−1 Trong to n ta khai thác số hạng tổng quát cách đưa giá trị biến đổi k biểu thức tổ hợp làm dư giá trị n số cho trước Với cách suy nghĩ tương tự ta giải tốn sau n −1 * Bài to n tổng quát... = -1 , b = ) (HSG tỉnh 95-96) n +1 n +1 2 − 1 23 − 2n +1 − n 3n +1 − 2n +1 C + C + C + + C b /(ĐTTS- KB-2003) n n n n = n +1 n +1 a/ Cn0 − Cn1 + Cn2 − + ( Với a = , b = ) Bài to n 10 Với số... n+ 2n n +1 20 (HSG tỉnh năm 2008).Cho C n +1 + C n +1 + + C n +1 + C n +1 = BiÕt r»ng sè h¹ng thø khai triÓn x − x log ( ) log x −3 A= x + n b»ng 45 T×m x? 3. (HSG tØnh 2010).T×m