Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 25 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
25
Dung lượng
1,88 MB
Nội dung
Nhóm Tốn VD - VDC Đề thi học sinh giỏi SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn: TỐN 12 BÀI TỔ HỢP Thời gian: 60 phút (Khơng kể thời gian phát đề) MÃ ĐỀ 209 Họ tên thí sinh: .SBD: Phần I: Trắc nghiệm lựa chọn (Thí sinh ghi đáp án vào tương ứng tờ giấy thi) Câu 1: S : x y z x y 0 điểm A 0; 2;0 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S Mặt phẳng tiếp xúc với S A có phương trình thuộc A x y 0 B y 0 C x y 0 Câu 2: D x y z 0 Cho tam giác ABC cân A biết AB 2a góc ABC 30 , cho tam ABC (kể điểm trong) quay xung quanh đường thẳng AC khối tròn xoay Khi thể tích khối trịn xoay A 2 a Câu 3: 2 a C B 6 a D 2a P Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng có phương trình: x y z 0 hai điểm A(1; 2; 0); B(0; 0; 2) Gọi A ', B ' hình chiếu vng góc A, B mặt phẳng P Tính độ dài đoạn thẳng A ' B ' B A Câu 4: Tích nghiệm phương trình A 18 Câu 5: log x 9 B ; B 4 C 45 2;0 Cho khối trụ có bán kính đáy bằng A Câu 7: C D D 45 y f x f x x x x y 2019 f x Cho hàm số có đạo hàm , Hàm số đồng biến khoảng A Câu 6: 28 175 cm3 B 175 cm3 Tìm tập xác định hàm số A 5;0 C ( ; 5) 0; B C cm 0; , chiều cao D cm 175 cm3 C f ( x) = ( x + x) ; 5 0; D Trang 0; Khi thể tích khối trụ D 245 cm3 Nhóm Tốn VD - VDC Câu 8: Tìm tất số thực x thỏa mãn (2 x 1) (2 x 6) (2 x 11) (2 x 96) 980 biết 1, 6, 11, ,96 theo thứ tự lập thành cấp số cộng A Câu 9: Đề thi học sinh giỏi x x 1 x B C Hàm số y x 15 x 27 x đạt cực đại điểm A x 15 B x 1 C A(1;14) D x 2 D x 9 4;1 Câu 10: Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x) x x 10 A Câu 11: Cho hàm số B y f x C D 10 liên tục thỏa mãn f x dx 2; f t dt 10 0 Tính tích f x dx phân A Câu 12: Cho hàm số C B 12 y f x D 12 liên tục có đồ thị hình vẽ Có tất giá trị f sin x m nguyên tham số m để phương trình có nghiệm? A B A 5 B C D Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C ( 1;0;3) Điểm M di động mặt phẳng Oxy Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 3 MB MC MA 2MB C Câu 14: Có tất điểm M (a; b) thuộc đồ thị hàm số nguyên? A B C D y x x cho a b số D M x; y Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tập hợp A gồm điểm thỏa mãn x 2, y 2 x ; y , lấy ngẫu nhiên ba điểm tập hợp A Tính xác suất để ba điểm ba đỉnh tam giác Trang Nhóm Tốn VD - VDC Đề thi học sinh giỏi 13 A 14 45 B 56 33 C 35 129 D 140 x Câu 16: Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đường y x e , y 0, x 0, x 2 quay xung quanh trục Ox A (e 1) 2 B (e 1) C (e 1) D e Câu 17: Cho hình chóp tứ giác S ABCD , điểm O tâm đáy, góc mặt phẳng ( SAB ) mặt phẳng đáy 60 , khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SAB) 2a Thể tích khối chóp S ABCD 256a A 64 3a3 B 1024a C 81 256a D Câu 18: Số đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y x x x A B C D ln 2019 Câu 19: Cho hàm số ln 2018 I y f x liên tục thỏa mãn ex f ln e x 1 1 dx e x 1 A I ln 2019 ln f x dx 5 ln Tính tích phân B I 5 ln 2019 ln C I 5 ln 2019 ln D I 6 Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a, AD a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Cơsin góc đường thẳng SC mặt phẳng ( SAD) A B D C 13 Câu 21: Cho hàm số I ln y f x liên tục thỏa mãn f x dx 1 Tính tích phân f (e x ) dx ex A I B I ln C I 1 D I e Câu 22: Xét x, y hai số thực không âm thỏa mãn x y 2 Giá trị nhỏ biểu thức P x x y x A B C Câu 23: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số x [ 6; 2] A m 3 B m D f ( x) log ( x 2m) C m 3 Trang xác định với D m Nhóm Tốn VD - VDC Đề thi học sinh giỏi Câu 24: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' biết AB a, AC 2a AA ' 2a , tam giác ABC vuông A Khi thể tích lăng trụ ABC A ' B ' C ' 3 a 3 A 3a B C 3a D 3a Phần II: Thi sinh ghi câu trả lời vào giấy thi theo hàng dọc Câu 25: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B Biết AB SD 3a, AD SB 4a , đường thẳng AC vng góc với mặt phẳng SBD Tính thể tích khối chóp S ABCD Câu 26: Cho hàm số y f ( x) thỏa mãn f ( x) x hàm số y f ( x) có đồ thị hình vẽ f ( x ) 1 4.2 f ( x ) có điểm cực trị? Hỏi hàm số y e Câu 27: Cho mặt cầu ( S ) có bán kính R 3a hình nón ( N ) thay đổi nội tiếp mặt cầu ( S ) (đỉnh hình nón thuộc mặt cầu điểm đường tròn đáy thuộc mặt cầu) Tính thể tích lớn khối nón ( N ) y x9 (m m) x (m3 5m 4m) x m Tính tổng tất giá trị thực Câu 28: Cho hàm số tham số m để hàm số cho đồng biến S mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh tứ Câu 29: Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh a Gọi diện ABCD M điểm thay đổi mặt cầu 2MA2 MB MC MD S y Tìm giá trị lớn x 1 x m có đường tiệm cận Câu 30: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số đứng Câu 31: Cho đa giác 32 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác đó, tính xác suất để đỉnh chọn đỉnh tam giác vuông không cân Câu 32: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm cấp hai y '' = f ''( x ) liên tục [ 0;1] thỏa mãn 1 ị x f ¢¢( x) dx = 20 ò f ( x) dx =10 f ( 1) - f ¢( 1) Tính x y x y (5 1) 5 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu 33: Xét số thực x, y thoả mãn P x xy y x 2 sin x 9cos x m.10cos Câu 34: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình với x Trang x nghiệm Nhóm Tốn VD - VDC Đề thi học sinh giỏi Câu 35: Cho hàm số y x ax 3bx c (b 0; a 0) Biết đồ thị hàm số cho cắt trục hồnh điểm phân biệt có điểm đối xứng qua gốc tọa độ Tính giá trị biểu thức S 6ab 2c Câu 36: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB 3a, CD a, AD 2a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA 3a Gọi M trung điểm SB, N điểm cạnh SD cho SN 2 ND Tính thể tích khối đa diện ACMN 2 x mx m x mx 1 x 4mx m Tìm tất giá trị thực tham Câu 37: Cho phương trình số m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt A( 3; - 1; 4) , B ( 2;5;3) Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho điểm đường thẳng d1 , d2 , d3 ( P ) qua A cắt d1 , d2 , d3 qua điểm B song song với Ox, Oy, Oz Mặt phẳng A ', B ', C ' cho A trực tâm tam giác A ' B ' C ' Viết phương trình mặt phẳng ( P) Câu 39: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x mx 5m có hai điểm cực trị A, B thỏa mãn góc đường thẳng AB trục Oy 45 ( x Câu 40: Cho tích phân x x 1) 2019 ln(x 4) dx a ln b biết a, b số nguyên Tính S a b - HẾT - HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 - 2019 Mơn: TỐN 12 BÀI TỔ HỢP Thời gian: 60 phút (Không kể thời gian phát đề) BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.A 3.A 4.D 5.B 6.A 7.C 8.B 9.B 10.A 11.C 12.C 13.C 14.D 15.D 16.C 17.D 18.D 19.B 20.B 21.C 22.A 23.B 24.D Câu 1: S : x y z x y 0 A 0; 2;0 Oxyz Trong không gian , cho mặt cầu điểm S Mặt phẳng tiếp xúc với S A có phương trình thuộc A x y 0 B y 0 C x y 0 D x y z 0 Lời giải Trang Nhóm Tốn VD - VDC Đề thi học sinh giỏi Chọn C Mặt cầu Gọi ( S ) có tâm I ( - 2;1; 0) bán kính R = 13 ( P) mặt phẳng cần tìm uu r ( P) tiếp xúc với ( S ) điểm A nên IA = ( 2; - 3; 0) véctơ pháp tuyến ( P) Do Þ PT mặt phẳng ( P ) là: ( x - 0) - 3( x + 2) = Û x - y - = Câu 2: Cho tam giác ABC cân A biết AB 2a góc ABC 30 , cho tam ABC (kể điểm trong) quay xung quanh đường thẳng AC khối trịn xoay Khi thể tích khối trịn xoay A 2 a B 6 a 2 a C Lời giải D 2a Chọn A Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AC ta khối trịn xoay hình vẽ bên Tính R = HB = a Gọi V1 , V2 thể tích khối nón đỉnh C khối nón đỉnh A có đáy hình trịn tâm H bán kính R 1 V = V1 - V2 = pR CH - pR AH 3 Thể tích khối trịn xoay cần tìm là: 1 V = pR AC = p.3a 2a = 2pa 3 Trang Nhóm Tốn VD - VDC Câu 3: Đề thi học sinh giỏi P : x y z 0 Trong không gian vơi hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng hai điểm A 1; 2;0 ; B 0;0; P Gọi A, B hình chiếu A, B mặt phẳng Tính độ dài đoạn thẳng AB 28 A B C D Lời giải Chọn A d B; P 3; ; AB 3 Ta có P Nhận thấy A, B phía so với Gọi H hình chiếu B lên AA 1 80 80 cos AB; nP sin AB; nP sin BAA AB 1; 2; , nP 1; 2; 9 suy d A; P 3 80 AB BH AB sin BAA Từ ta có Câu 4: Tích nghiệm phuong trình A 18 B log x 9 4 C 45 Lời giải D 45 Chọn D ĐKXĐ: x x 4 x 36 x 18 x 45 0 x 15 Vậy tích hai nghiệm 45 log Câu 5: x 9 y f x f x x x x y 2019 f x Cho hàm số có đạo hàm , Hàm số đồng biến khoảng A ; B 2;0 C 0; D Lời giải Chọn B Ta có: y 2019 f x y 2019 f x 2019 x x Trang 0; Nhóm Toán VD - VDC Hàm số Câu 6: Đề thi học sinh giỏi y 2019 f x y x x x 2;0 cm , chiều cao Khi thể tích khối trụ 175 cm3 175 cm3 245 cm3 B C D Cho khối trụ có bán kính A 175 cm3 cm Lời giải Chọn A Ta tích khối trụ V .r h .52 175 cm f x x x Câu 7: Tìm tập xác định hàm số A 5; C ; 0; B ; 5 0; D Lời giải Chọn C x5 Điều kiện x x x Câu 8: x 1 x x 11 x 96 980 Tìm tất số thực x thỏa mãn biết , , 11 , …, 96 theo thứ tự lập thành cấp số cộng A x B x C Lời giải x D x Chọn B Dãy số , , 11 , …, 96 cấp số cộng với số hạng đầu u1 1 , công sai d 5 số hạng cuối un 96 Ta có n 96 20 x 1 x x 11 x 96 980 20.2 x 11 96 980 40 x Câu 9: 96 1 20 980 40 x 970 980 40 x 10 x Hàm số y x 15 x 27 x đạt cực đại điểm A x 15 B x 1 C Lời giải Trang A 1;14 D x 9 Nhóm Tốn VD - VDC Đề thi học sinh giỏi Chọn B x 1 2 Ta có y 3x 30 x 27 y 0 x 30 x 27 0 x 9 Bảng biến thiên Vậy hàm số đạt cực đại x 1 Câu 10: Tìm giá trị nhỏ hàm số A f x x x 10 đoạn 4;1 C Lời giải B D 10 Chọn A f x Ta có x x x 10 0 với x 4;1 Suy hàm số nghịch biến Câu 11: Cho hàm số y f x 4;1 ò f ( x)dx = 2; ò f (t )dt =10 liên tục R thỏa mãn 0 Tính ị f ( x)dx A B 12 D 12 C Lời giải Chọn C Ta có: 5 ò f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx Û ò f ( x)dx =ò f ( x)dx - ò f ( x)dx =10 (Vì 1 Câu 12: Cho hàm số 0 ò f (t)dt =ò f ( x)dx =8 y f x ) liên tục R có đồ thị hình vẽ Có giá trị ngun f 2sin x m m tham số để phương trình có nghiệm? Trang Nhóm Tốn VD - VDC Đề thi học sinh giỏi A B C Lời giải D Chọn C Đặt t = 2sin t Þ £ t £ Khi phương trình cho tương đương với phương trình f (t ) = m (1) Dựa đồ thị ta thấy để phương trình (1)có nghiệm 0;2 m 3 , m 0;1; 2;3 m nguyên nên Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn toán A 1; 1; 1 B 1; 2; 1 C 1; 0;3 Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC , biết , , Điểm M di động mặt phẳng Oxy Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 3 MB MC MA 2MB A 5 B C D Lời giải Chọn C I 0;1;1 Gọi I điểm thỏa mãn IB IC 0 suy J 1;1; 1 Gọi J điểm thỏa mãn JA JB 0 suy P 3 MI IB MI IC MJ JA MJ JB 3 MI 3MJ 6 MI MJ Ta có: Oxy Nhận xét: hai điểm I J nằm khác phía khơng gian mặt phẳng bờ P 6 MI MJ 6.IJ M IJ Oxy Do Dấu xảy I , M , J thẳng hàng IJ 1;0; IJ P 6 Có Vậy GTNN P M a ;b Câu 14: Có tất điểm nguyên ? A B thuộc đồ thị hàm số C Lời giải Chọn D Ta có : y 1 x Trang 10 y x x cho a b số D Nhóm Tốn VD - VDC Điểm M a ; b Đề thi học sinh giỏi thuộc đồ thị hàm số nên b 1 a 1 Vì a , b số nguyên nên a số nguyên Suy a ước a 1 a Vậy a 2 a 0 Với a 2 b 2 Với a 0 b 0 M a ; b Vậy có điểm thỏa mãn yêu cầu toán Câu 15: Trong mặt phẳng Oxy , cho tập hợp A gồm điểm M ( x; y ) thỏa mãn x 2 , y 2 x ; y , lấy ngẫu nhiên ba điểm tập hợp A Tính xác suất để ba điểm ba đỉnh tam giác 13 A 14 45 B 56 129 D 140 33 C 35 Lời giải Chọn D Ta có: Số phần tử không gian mẫu là: n() C16 Gọi A biến cố: “ Ba điểm lấy ba đỉnh tam giác” n( A) C163 10.C43 (10 đoạn màu đỏ đoạn có điểm thẳng hàng lấy điểm không tạo thành tam giác, tương tự đoạn màu xanh đoạn có điểm) n( A) C163 10.C43 129 P( A) n() C163 140 Xác suất để ba điểm lấy ba đỉnh tam giác là: Câu 16: Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng x y x e , y 0, x 0, x 2 quay xung quanh trục Ox Trang 11 giới hạn đường Nhóm Tốn VD - VDC Đề thi học sinh giỏi B (e 1) A e C (e 1) Lời giải D e Chọn C x Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số y x e , y 0 là: x x e 0 x 0 2 x V xe dx x.e x dx 0 Vậy thể tích phải tìm bằng: u x du dx x x Đặt e dx dv v e x 2 x V x.e dx x.e e dx (e 1) 0 Suy ra: x SAB Câu 17: Cho hình chóp tứ giác S ABCD , điểm O tâm đáy, góc mặt phẳng SAB mặt phẳng đáy 60 , khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng 2a Thể tích khối chóp S ABCD 256a A 64 3a B 1024a C 81 256a D Lờigiải ChọnD S K D A E O C B Gọi E trung điểm AB Ta có OE AB SE AB nên SEO 60 AB SOE SAB SOE OK SE OK SAB Do nên kẻ d O, SAB OK 2a Trong tam giác vng OEK ta có sin OEK OK OK OE OE sin 60 Trang 12 SAB , ABCD SEO 2a 4a Nhóm Tốn VD - VDC Đề thi học sinh giỏi Trong tam giác vng SOE ta có SO OE tan 60 4a 8a 256a V SO.dt ABCD 4a Thể tích khối chóp S ABCD Câu 18: Số đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y x x 3x A B C D Lờigiải ChọnD Tập xác định D lim y lim x x x x x x x 3x xlim lim y xlim x 4x 1 x x 3x Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y 3 I 0;1;1 Gọi I điểm thỏa mãn IB IC 0 suy 1 J 1;1; Gọi J điểm thỏa mãn JA JB 0 suy P 3 MI IB MI IC MJ JA MJ JB 3 MI 3MJ 6 MI MJ Ta có: Oxy Nhận xét: hai điểm I J nằm khác phía khơng gian mặt phẳng bờ 1 1 J 1;1; J 1;1; điểm đối xứng với qua Oxy Vì M Oxy MJ MJ Gọi P 6 MI MJ 6.IJ Vậy MI MJ MI MJ Do Dấu xảy I , M , J thẳng hàng 2 13 IJ 1;0; IJ P 6 10 Có Vậy GTNN P 10 ln 2019 Câu 19: Cho hàm số ln 2018 y f x liên tục thỏa mãn f x dx 5 ln ex f ln e x 1 1 dx x e 1 A I ln 2019 ln C I 5 ln 2019 ln B I 5 ln 2019 ln D I 6 Lời giải Chọn B Trang 13 Tính tích phân Nhóm Tốn VD - VDC Đề thi học sinh giỏi ex t ln e 1 dt x dx e 1 Đặt t ln x 0 Đổi cận : x ln 2018 t ln 2019 x ln 2018 I ln 2019 ex f ln e x 1 1 dx e x 1 ln ln 2019 f t 1 dt ln 2019 f x dx ln dt ln 5 ln 2019 ln Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a , AD a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy.Cosin góc đường SAD thẳng SC mặt phẳng A 13 B D C Lời giải Chọn B S F E A D H B C Gọi H , E trung điểm cạnh AB , SA SAB ABCD SAB ABCD AB SH ABCD SH AB Ta có : AD AB AD SAB AD BE AD SH Ta có : Mà BE SA BE SAD , SAD CSF F SC CF SAD BCFE Dựng hình chữ nhật , ta có : a a CF BE , HC BH BC a 2 Ta có : Trang 14 a 13 Nhóm Tốn VD - VDC Đề thi học sinh giỏi 2 a a 13 SC SH HC 2a 2 2 a 13 CF 13 sin CSF SC 2a Xét tam giác SCF vng F ,ta có : Vậy : sin SC , SAD 13 Câu 21: Cho hàm số I f e x ex ln y f x liên tục thỏa mãn f x dx 1 Tính tích phân dx B I 0 A I C I 1 D I e Lời giải Chọn C Đặt t e x dt e x dx dt Khi dx e x Khi x ln t 2 x 0 t 1 I f t dt f x dx 1 Câu 22: Xét x, y hai số thực không âm thỏa mãn x y 2 Giá trị nhỏ biểu thức P x x y x A B C D Lời giải Chọn A x y 2 x , y Ta có: y 2 x 0 x 0 y 2 x 0 x 2 Do đó: Xét P x4 x2 x x x x 8x f x x x x 6, x 0; 2 hàm liên tục đoạn nên tồn giá trị nhỏ x 1 f ' x 4 x x 8, f ' x 0 x x 0 Ta có: Xét f 6, f 1 1, f 14 Do f x 1 x 1 y 1 x 0;2 Trang 15 Nhóm Toán VD - VDC Đề thi học sinh giỏi f x log x 2m Câu 23: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số x 6; 2 A m 3 B m xác định với C m 3 D m Lời giải Chọn B Điều kiện: x 2m x 2m x 6; 2 Do để hàm số cho xác định với 2m m Câu 24: Cho lăng trụ đứng ABC AB C , biết AB a, AC 2a AA 2a tam giác ABC vuông A Khi thể tích lăng trụ ABC AB C A 3a 3 a B C 3a D 3a Lời giải Chọn D C' A' B' A C B S ABC AB AC a 2 Tam giác ABC tam giác vuông A nên ta có: Do ABC AB C lăng trụ đứng nên h AA 2a Vậy: VABC ABC h.B AA S ABC 2 3a Câu 25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B Biết AB SD 3a , AD SB 4a , đường thẳng AC vng góc với mặt phẳng SBD Tính thể tích khối chóp S ABCD Lờigiải Trang 16 Nhóm Tốn VD - VDC Đề thi học sinh giỏi S D A H O C B Theo giả ABCD hình thang vuông A , B AB 3a , AD 4a Xét tam giác vuông 2 ABD ta có BD AB AD 5a 2 SB SD 3a 4a 5a BD Mặt khác xét tam giác SBD ta có tam giác SBD vuông S Trong mặt phẳng SH SBD kẻ SH BD SH đường cao tam giác SBD Ta có SB.SD 3a.4a 12 a BD 5a AC SBD nên AC SH SH đường cao hình chóp S ABCD AC SBD Gọi O AC BD , theo giả thiết nên AC BD AD AB 12 AO AO a BD Xét tam giác vng ABD ta có Mặt khác Mặt khác BC Vậy AD 16 DO a BO a DO DO.DB AD 5 DB Do DO AD BO BC BO AD BC a DO thể tích khối chóp S ABCD 1 AD BC VS ABCD S ABCD SH AB.SH 3 1 3a 12 15a 4a a a 3 Câu 26: Cho hàm số y f x vẽ Hỏi hàm số y e thỏa mãn f x 1 f x x y f x , hàm số có đồ thị hình 4.2 f x có điểm cực trị? Lời giải Trang 17 Nhóm Tốn VD - VDC Ta có: y e Đề thi học sinh giỏi f x 1 y 2 f x e Cho 4.2 f x f x 1 f x y 0 f x e f x 1 f x ln f x f x ln 0 f x 0 f x 1 4.2 f x ln 0 2e + x f x 0 x 1 x 4 + 2e f x 1 4.2 f x f x ln 0 e đổi dấu qua nghiệm Hàm số có điểm cực trị f x 1 2.2 f x ln f x ln 2.ln f x ln f x Vậy hàm số y e f x 1 f x ln 2.2 f x ln ln ln 0,515 ln (vơ lí) 4.2 f x có điểm cực trị S N S Câu 27: Cho mặt cầu có bán kính R 3a hình nón thay đổi nội tiếp mặt cầu (đỉnh hình nón thuộc mặt cầu điểm đường tròn đáy thuộc mặt cầu) Tính thể tích lớn khối nón N Lời giải O I H M Ta ln có tồn hai hình nón có bán kính đáy nội tiếp mặt cầu, nhiên khối nón có chiều cao lớn bán kính mặt cầu tích lớn Vì ta xét khối nón thỏa mãn điều kiện Trang 18 Nhóm Tốn VD - VDC Giả sử Đề thi học sinh giỏi N r r 3a có bán kính đáy , chiều cao khối nón V r 3a 9a r OH 3a IH 3a 9a r ; suy thể tích khối nón Xét 3r 9a r 2a a r 6a r Từ suy f r 0 r 2a f r 0; r Vì liên tục nên f r r 3a 9a r ; r 3a hàm f r Từ suy max f r 32a Vậy thể tích lớn khối cầu V max f r 32a r 0;3 a r 2a r 3a 32 a 3 bán kính đáy r 2a x m m x m 5m 4m x y m Câu 28: Cho hàm số Tính tổng tất giá trị thực tham số m để hàm số cho đồng biến Lời giải TXĐ: y x x m m x m3 5m 4m x f x f x 0, x 0 f x 0, x 0 Từ suy ra, hàm số cho đồng biến dấu xảy hữu hạn điểm Do ta phải có f x phải đổi dấu từ âm sang dương qua x 0 m 0 f 0 m 5m 4m 0 m 1 m 4 f x hàm số liên tục x 0 suy Với m 0 : y x 0, x Dấu " " xảy x 0 Thỏa mãn Do y x x 0; x m Với : Dấu " " xảy x 0 Thỏa mãn y x x 20 0; x Với m 4 : Dấu " " xảy x 0 Thỏa mãn Vậy có ba giá trị m để hàm số cho đồng biến Tổng S mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh Câu 29: Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh a Gọi S Tìm giá trị lớn tứ diện ABCD M điểm thay đổi mặt cầu 2MA2 MB MC MD Lời giải Trang 19 Nhóm Tốn VD - VDC Đề thi học sinh giỏi A H K I D B O C Gọi O trọng tâm BCD Gọi H trung điểm cạnh AB Trong mặt phẳng AO ABO , gọi I giao điểm đường trung trực đoạn thẳng AB I tâm mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh tứ diện ABCD , đồng thời tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Ta có: AB a , BO a a AO 3 BO a AH AO Mặt khác: IH AH tan HAI KA KB KC KD KA 3KO 0 K Gọi điểm thỏa mãn: AK a 2a OK , 15 5MK a Khi đó: MA MB MC MD 5MK KA KB KC KD 2 5 R IK 2 2 2 2 9a ( R bán kính mặt cầu S ) a a 9a 10 a 5 20 4 Câu 30: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số đứng Lời giải Trang 20 y x 1 x m có đường tiệm cận