GIAO AN ON DOI TUYEN HSG

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG TỔ TOÁN TIN ST T Buổi 6-10 11-14 15-17 18-20 21-25 26-28 29-30 1-5 PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH DẠY BỒI DƯỠNG HSG MƠN TỐN NĂM HỌC 2014 - 2015 Chuyên đề Ghi Hàm số đồ thị Phương trình, bất phương trinh, hệ phương trình Bất đẳng thức; GTLN-GTNN Tổ hợp, xác suất, nhị thức Niu Tơn Hình học giải tích mặt phẳng Hình học khơng gian tổng hợp Hình học giải tích khơng gian Ơn tập tổng hợp: Luyện giải đề NGƯỜI LẬP XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN LÊ DUY LỰC CẤU TRÚC ĐỀ THI HSG LỚP 12 CẤP TỈNH MÔN TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian giao đề Cấu trúc đề thi Câu Ý Nội dung I Hàm số: - Sự biến thiên hàm số - Cực trị hàm số 1|Page Điểm GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương II III IV V GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 - Đồ thị hàm số - GTLN GTNN hàm số khoảng, đoạn Áp dụng tính chất hàm số Phương trình: - Giải biện luận phương trình: đại số, mũ lơ ga rít - Giải PT lượng giác - Các Bài liên quan: Tìm ĐK để PT có nghiệm, vơ nghiệm, có nghiệm nhất,v v Hệ PT: - Giải hệ phương trình - Các Bài liên quan Bất đẳng thức, bất phương trình - Chứng minh bất đẳng thức - Giải biện luận bất PT - Các Bài liên quan Hệ bất phương trình: - Giải biện luận - Các Bài liên quan Tổ hợp xác suất - Giải Bài hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp quy tắc đếm - Giải Bài nhị thức Niu- tơn: khai triển, tìm hệ số, số hạng, số mũ lũy thừa, v v Hình học phẳng: - Các Bài hình học phẳng, phép dời hình mặt phẳng - Phương pháp tọa độ mặt phẳng: Vec tơ phép tốn vec tơ, đường thẳng, đường tròn, đường nic, - Các Bài liên quan Hình học khơng gian: - Các Bài hình học khơng gian: Điểm, đường, mặt, quan hệ song song, quan hệ vng góc, góc khoảng cách, diện tích thể tích hình - Các phép dời hình, biến hình không gian Phương pháp tọa độ không gian: - Vec tơ phép toán vec tơ - Mặt phẳng - Mặt cầu - Các Bài liên quan Cụ thể: A Chương trình chuẩn: I Giải tích: Hết tiết 64 II Hình học: Hết tiết 32 B Chương trình nâng cao: I Giải tích: Hết tiết 64 II Hình học: Hết tiết 32 BUỔI - CHUYÊN ĐỀ I HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ MỤC TIÊU: Chính xác hóa bước khảo sát hàm số Cung cấp dạng toán tập cụ thể liên quan đến đồ thị hàm số NỘI DUNG: 2|Page GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 Bài khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: Yêu cầu học sinh tự ôn tập Các tập liên quan đến đồ thị hàm số 2x  x  (1) có đồ thị (C) điểm P  2;5  BÀI Cho hàm số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) y Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d : y   x  m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B cho tam giác PAB Giải D  R \  1 * TXĐ: * Sự biến thiên hàm số + Giới hạn tiệm cận: lim y  2; lim y  x �� x �� suy đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị lim  y  �; lim  y  � x � 1 x � 1 suy đường thẳng x = -1 tiệm cận đứng đồ thị + Bảng biến thiên: y'  x �1  x  1 Ta có bảng biến thiên: x -� Hàm số đồng biến y’ � � khoảng (- ; -1) (-1;+ ) y +� -1 + + +� -� * Đồ thị hàm số �1 � � ;0� Đồ thị cắt trục Ox �2 �, cắt trục Oy (0;-1) Đồ thị nhận giao điểm I(-1; 2) hai tiệm cận làm tâm đối xứng y I -1O 1/2 x -1 Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng d đồ thị (C) là: 2x    x  m � x  (m  3)x  m     , với x �1 x 1 Đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt phương trình   có hai nghiệm phân biệt khác 1 3|Page GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 � m  2m  13  �� 0.m  �0 � (đúng m ) Gọi x1 , x nghiệm phương trình (1), ta có: Giả sử A  x1 ;  x  m  , B  x ;  x  m  Khi ta có: PA  AB   x1  x   x1   2    x1  m     x1   2   x2  2 ,    x  m     x     x1   Suy PAB cân P 2 Do PAB � PA  AB 2 2 �  x1     x     x1  x  �  x1  x    x1  x   6x1x   PB   x2  2 �x1  x  m  � �x1 x   m  2 �m  � m  4m   � � m  5 � y x  2m 2 Vậy giá trị cần tìm m  1, m  5  1 mx  BÀI Cho hàm số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m = Chứng minh m �0 , đồ thị hàm số cắt đường thẳng d : y  x  3m điểm phân biệt A, B Ox, Oy C, D Xác định m để đường thẳng d cắt trục cho S OAB  2SOCD Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 3x  y  1 x 1 Với m =1 hàm số trở thành D  �\  1 *) Tập xác định: *) Giới hạn tiệm cận: lim y  3; lim y  � y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số lim y  �; lim y  �� x  1 x �1 x�1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y'  0, x �1 x  1  *)  �; 1  1; � Hàm số đồng biến khoảng Bảng biến thiên: x �� Bảng x �� *) Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận I(-1; 2) làm tâm đối xứng (Hs vẽ xác đồ thị) 4|Page GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 Chứng minh m �0 , đồ thị hàm số cắt đường thẳng d : y  x  3m A, B Ox, Oy điểm phân biệt Xác định m để đường thẳng d cắt trục C, D cho diện tích OAB lần diện tích OCD Phương trình hồnh độ giao điểm d đồ thị: x  2m 1 2  x  3m � 3mx  3m x  m  0, x � m Vì m �0 nên phương trình � x  3mx   (*) Ta có �1 � f � �  �0, m �0 f  x   9m  12  0, m �0 �m � m (ở vế trái A , B (*)) nên d cắt đồ thị điểm phân biệt m �0 mx      A x1;3 x1  3m , B x2 ;3 x2  3m với x1 , x2 nghiệm (*) 3m OH  d  0; d   10 Kẻ đường cao OH OAB ta có 2 40 AB  x2  x1  x2  x1  10 x1  x2  40 x1x2  10m  (Định lý Viet (*)) �m  � m  4m   � � �  x1  x    x1  x   6x1x   m  5 � m  1, m   Vậy giá trị cần tìm Ta có       2x  x  có đồ thị (H) BÀI Cho hàm số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số y I  1;2  2.Tìm tọa độ điểm M đồ thị (H) cho khoảng cách từ đến tiếp tuyến đồ thị (H) điểm M lớn D  R \  1 * TXĐ: * Sự biến thiên +) Tiệm cận 2x  2x  lim  �; lim  � x �1 x  x �1 x  Đường thẳng có phương trình x  tiệm cận đứng 2x  2x 1 lim  2; lim 2 x �� x  x � � x  Đường thẳng có phương trình y  tiệm cận ngang y�  +) Bảng biến thiên: 3  x  1  0, x �1 nên hàm số nghịch biến tập xác định * Đồ thị 5|Page GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm I  1;2  làm tâm đối xứng   Max d I ;    IM d I ;   �IM Gọi  tiếp tuyến M đồ thị (H), dễ thấy Vì uu r uuur   IM hay u IM  ; uu r � � � 2t  � u  � 1;  k   � M� t; � �  t  1 � t  1  t  � � t � � � Gỉả sử với Khi nên uuur � � IM  � t  1; � � t 1� uu r uuur u IM  � t    � t 1� 3  t  1 Đáp số:  M  3;2   M   3;2   BÀI Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) a) Tìm điểm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M đến điểm uốn 2 b) Tìm m để đường thẳng d : y  mx   3m cắt (C) ba điểm phân biệt cho ba điểm trung điểm đoạn thẳng tạo hai điểm lại M � C  � M  a; a  3a   Khoảng cách từ M đến I là: MI   a  1   a  1  10  a  1 2 2 �� a  1  �� a  1   a  1  � �  a  1   0;  a  1   a  1     MI  2 � �� �  a  1   a  1   a  1   : phương trình vơ nghiệm M 3;  M  1; 2  a  1 Suy  x  x   mx   3m �  x  3  x  m   Phương trình hồnh độ giao điểm : d cắt (C) điểm phân biệt m  0, m �9 Khi nghiệm là: x  3; x  � m  4  � a 3 Để thõa mãn điều kiện Bài m   m � m  Đáp số : m  BÀI Cho hµm số có đồ thị (C) 6|Page GV Lờ Duy Lc – THPT Quảng Xương GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GII MễN TON LP 12 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Biện luận theo m số nghiệm phơng trình: Với điểm M thuộc (C) kẻ đợc tiếp tuyến với (C)? Giai Tập xác định: R Sự biến thiên Bảng biến thiên x + - y,, - + y + -2 Đồ thị : y x Số nghiệm pt số giao điểm y = đths (C) ta có -1 < m < 0; < m Vậy * phơng trình có nghiệm * phơng trình có nghiệm * phơng trình có nghiệm M thuộc đồ thị (C) suy M.đờng thẳng (d) tiếp xúc với (C) T(x0;y0) (d) có phơng trình: TH1 có tiÕp tuyÕn nhÊt TH2 cã tiÕp tuyÕn BÀI Cho hàm số có đồ thị (C) đường thẳng d: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Chứng minh d cắt (C) hai điểm A, B phân biệt với số thực m Gọi hệ số góc tiếp tuyến (C) A B Tìm m để P = đạt giá trị nhỏ * Tập xác định: D= 7|Page GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 * Sự biến thiên: , , Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -2, tiệm cận ngang y =2 Bảng biến thiên x y’  -2 + + + y + - Hàm số đồng biến khoảng xác định * Đồ thị : Đồ thị cắt trục tung điểm (0;), cắt trục hoành (-;0) Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận I(-2; 2) làm tâm đối xứng Cho hàm số có đồ thị (C) đường thẳng d: Chứng minh d cắt (C) hai điểm A, B phân biệt với số thực m Gọi hệ số góc tiếp tuyến (C) A B Tìm m để P = đạt giá trị nhỏ Xét phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (C) d: Xét phương trình (*), ta có: x = -2 không nghiệm (*) nên d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B với m Hệ số góc tiếp tuyến A, B , , nghiệm phương trình (*), ta thấy (k1>0, k2>0) Có P = , dó MinP = 22014 đạt , phân biệt nên ta có x1 +2 = - x2 - x1 + x2 = - m = - Vậy m = - giá trị cần tìm BÀI Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số , gọi đồ thị (C) Cho đường thẳng d : Chứng minh d cắt (C) hai điểm A, B phân biệt với số thực m Gọi hệ số góc tiếp tuyến (C) A B Tìm m để biểu thức P =  k1    k2  đạt giá trị nhỏ Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (C) d: 2015 2015 Xét phương trình (*), ta có: x = -2 không nghiệm (*) nên d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B với m Hệ số góc tiếp tuyến A, B , , nghiệm phương trình (*), ta thấy (k1>0, k2>0) k  Có P = 2015   k2  2015 �2  k1k2  2015  22016 , dó MinP = 22016 đạt , phân biệt nên ta có x1 +2 = - x2 - x1 + x2 = - m = - Vậy m = - giá trị cần tìm BÀI Cho hàm sốCó đồ thị (C) 8|Page GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm giá trị m để đường thẳng (d)cắt đồ thị (C) hai điểm A, B cho trọng tâm OAB thuộc đường thẳng : x-2y-2=0 ( Với O gốc tọa độ ) Giải Tìm giá trị m PT hoành độ giao điểm: (2) D cắt (C) điểm phân biệt PT (2) có nghệm phân biệt khác Gọi nghiệm PT ta có : Gọi I trung điểm AB ta có: Gọi G trọng tâm ta có : G: y  x   m  1 x   m   x  BÀI Cho hàm số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m  b) Tìm để hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn x12   m  1 x2 �3m  24 y x  3x2  8x  Khi m  , - TXĐ: D = R - Sự biến thiên : + Giới hạn Ta có y '  x2  6x  x2 � y'  � � x  � + Bảng biến thiên + Đồng biến, nghịch biến + Cực trị - Vẽ đồ thị y '  x   m  1 x   m   �m � y '  Hàm số có điểm cực trị có nghiệm phân biệt m (*) , hàm số có điểm cực trị x1 ; x2 , x1 ; x2 nghiệm pb pt y’=0 Khi � �x1  x2   m  1 �� �x1.x2  m  � + x1 �+  x1 x2  x2 3m2 gt 24 m �3 � � m �� ;3� �2 � Kết hợp với điều kiện (*), BÀI 10 Cho hàm số y  x  (m  1) x  x  2m  , với m tham số thực, có đồ thị Tìm m để đường thẳng d : y  x  m  cắt đồ thị ba điểm phân biệt A, B, C cho tổng hệ số góc tiếp tuyến với A, B, C 12 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d là: x   m  1 x  x  2m   x  m  9|Page GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương � x   m  1 x  m  GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 12 (1) �  x  1  x  mx  m   x 1 � � �2 x  mx  m    � d cắt (C) điểm phân biệt phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác � m  4m  �   m  m  � � � �2 �� (*) m�  m.1  m �0 � � � Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (2) Tổng hệ số góc tiếp tuyến với (C) A, y '  1  y '  x1   y '  x2   12 B, C là: �  2m   x12  x22    m  1  x1  x2   12 �  x1  x2   x1 x2   m  1  x1  x2    2m (3) 2 Theo định lí Viet ta có: x1  x2  m, x1 x2   m , thay vào (3) ta m  2m   Giải ta m  4 (loại) m  (thỏa mãn) Vậy m  giá trị cần tìm Cho hàm số , có đồ thị Tìm hai nhánh đồ thị hai điểm A,B cho đội dài AB nhỏ Do hai điểm A,B nằm hai nhánh đồ thị nên giả sử với Dấu “=” xảy ( Loại) Vậy AB nhỏ với Câu I (4.0 điểm) Cho hàm số ( C ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ nhỏ Nhận xét cần xét trên [-1/2; 1/2] Tìm kết M(0; -1/2) BÀI 11 2x 1 x 1 1)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị(C) hàm số: 2x 1 y x  cho tiếp tuyến (C) 2)Tìm hai điểm M,N thuộc đồ thị (C) hàm số: y M N song song với độ dài đoạn MN = 10 Giải Hàm số viết lại: y  2 x 1 � � � � M �m;2  , N �n;2  � � n 1� � n  �là cặp điểm đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu toán � Gọi Với điều kiện: m �n, m �1, n �1 ( x  1) nên hệ số góc tiếp tuyến với (C) M N là: Ta có: 3 y '(n)  y '(m)  (n  1) (m  1)2 y'  10 | P a g e GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TỐN LỚP 12 BUỔI 29; 30 ƠN LUYỆN: GIẢI ĐỀ HSG THEO CẤU TRÚC ĐỀ THI HSG CỦA SỞ GD&ĐT THANH HÓA ĐỀ SỐ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG GV LÊ DUY LỰC ĐỀ ÔN THI HSG KHỐI 12 - NĂM HỌC: 2014-2015 Câu ( 4, điểm) Cho hàm số: y   x  x  có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo giá trị tham số m số nghiệm phương trình: x  x  m  2m Câu ( 2, điểm) Giải phương trình: sin x  cos x sin x  cos x  2(sin x  sin x)  tan xdx I �x e 1   Câu ( 2, điểm) Tính tích phân: Câu ( 2, điểm) Cho hình chóp S.ABC có độ dài cạnh SA  x (x>0) , cạnh lại Tính thể tích khối chóp S.ABC theo x Tìm giá trị x để thể tích khối chóp S.ABC lớn Câu ( 2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) có phương trình: x  y  z   hai điểm A( 1; 1;3) , B (1;0; 4) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A B, đồng 117 | P a g e GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 (  ) thời tạo với mặt phẳng góc nhỏ Câu ( 2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình: ( x  4)  y  điểm I (8;5) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung cho từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C ) (A, B tiếp điểm), đồng thời đường thẳng AB qua điểm I Câu ( 2,0 điểm).Tìm m để bất phương trình ( x  2)2  x  m �3 có nghiệm với x �� � y2 1 2 �2 y   (4 y  y x)  x  y � ( x, y ��) � y3  y  y  � �   2x  y 1 Câu ( 2,0 điểm) Giải hệ phương trình: � Câu ( 2,0 điểm) Cho x, y , z số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức P x  y z 4 2  ( x  y ) ( x  z )( y  z ) …………… Hết …………… TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ÔN THI HSG KHỐI 12 Nội dung Điểm a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y   x  x  (2,0 điểm)  TXĐ: D  �  Sự biến thiên lim y  m� +Các giới hạn: x ��� + Bảng biến thiên: 0,5 x0 � y'  � � x  �1 y '  4 x  x  x(1  x ) ; � 0,5 Hàm số đồng biến khoảng (�; 1) (0;1) , nghịch biến khoảng (1;0) (1; �) Hàm số đạt cực đại x  �1; ycd  Hàm số đạt cực tểu x  0; y ct   118 | P a g e Đồ thị: Đồ thị cắt trục Ox hai điểm (- ;0) ( ;0) ; cắt Oy điểm GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương 0,5 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 (0;3 (4,0điểm) 0,5 NX: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo giá trị tham số m số nghiệm phương trình: x  x  m  2m 4 4 Ta có x  x  m  2m �  x  x   m  2m  (1) Số nghiệm pt(1) số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng 1,0 y   m  2m  (d), Đặt f (m)   m4  2m  , pt (1) � f ( x)  f (m) d  + Nếu + Nếu + Nếu f (m)  � m  �1 pt(1) có nghiệm  f (m)  � m �( 2; 2) \  0; � 1 pt(1) có nghiệm f (m) �α m  0; 1 pt(1) có nghiệm � m f (m )  � � m � + Nếu pt(1) có nghiệm 119 | P a g e GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương 1,0 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 Giải phương trình: sin x  cos x sin x  cos x  2(sin x  sin x) (1) 3sin x  sin x pt (1) � sin x  (sin 3x  s inx)  cos x  2(sin x  ) � s in3x+ 3cos3 x  2sin x (2,0điểm) � sin x  cos3 x  sin x 2  � sin(3 x  )  sin x  2 � �  x  x   k 2 x  k � � �� �� (k ��)  2 2 � � x    x   k 2 x k � � 15 � � I 1,0 1,0  tan xdx x �  (e  1)  Tính tích phân: Đặt t   x � dx  dt  =>  tan �    tan tdt I   � t   (e  1) � 2I  (2,0điểm)  6  xdx � I   e tan t e x tan x dt  � x dx t � e 1  e 1   t  tan �   1,0 xdx tan x  (tan x  tan x)  (tan x  tan x)  (tan x  1)  6  tan x(tan x  1)  tan x(tan x  1)  (tan x  1)  1  (tan x  tan x  1)  cos x �I    (tan �   x  tan x  1)d (t anx)   1,0 dx �    tan x tan x 13  (   t anx  x)   15   13  I  15 Vậy Cho hình chóp S.ABC có độ dài cạnh SA  x (x>0) , cạnh lại Tính thể tích khối chóp S.ABC theo x Tìm giá trị x để thể tích khối chóp S.ABC lớn Gọi M, H trung điểm cạnh SA BC SBA SCA tam giác cân SBA  SCA � BM  CM ; SA  BM , SA  CM � SA  ( BMC ) � SM đường cao khối chóp S.MBC 120 | P a g e GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương 0,5 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 (2,0điểm) � VS ABC  2VS MBC  .SM S MBC Vì MB = MC nên tam giác MBC cân M � MH  BC x2 x2  x2 MB  MC   � MH     4 với  x  với  x  0,5 S x/2 1 M C 1 H A B x  x2 � VS ABC   x  x 2 12 cos i x   x 1 � VS ABC  x  x �  12 12 Ta có x  3 x � x  Dấu “=” xảy x VS ABC  Vậy max 0,5 0,5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) có phương trình: x  y  z   hai điểm A(1; 1;3) , B(1;0; 4) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B đồng thời tạo với mặt phẳng ( ) góc nhỏ (2,0điểm) Giả sử mp(P) cắt (  ) theo giao tuyến d, Gọi H hình chiếu A mp (  ) (H cố định ), K  AB �( ) (K cố định) K thuộc đường thẳng d Gọi M hình chiếu A d � d  ( AMH ) � Góc hai mp (P) ( ) góc �AMH (00  � AMH  900 ) 121 | P a g e GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương 0,5 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 P A B d H M K AH AH sin � AMH  � sin � AKH sd � AMH sd � AKH AM AK (Cố định), dấu “=” xảy K �M Góc �AMH nhỏ góc �AKH K �M hay AB  d 0,5 r r r uuu r uuu r � vtcp : u d  � n  ; AB � � (1; 1; 1) 3� Vtpt n  (1; 2; 1) , AB  (2;1;1) r r r uuu nP  � u d ; AB � � (0; 1;1) 3� Do VTPT mp(P) � ( P ) : ( y  1)  ( z  3)  � y  z   0,5 0,5 Vậy (P): y - z + 4=0 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình: ( x  4)  y  điểm I (8;5) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung cho từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A,B tiếp điểm) đến đường tròn (C ) , đồng thời đường thẳng AB qua điểm I 2 M �Oy � M (0; m) Đường tròn (C): ( x  4)  y  (1) có tâm K (4; 0) bán kính R=2 ,vì MA,MB tiếp tuyến suy tứ giác MAKB nội tiếp đường tròn (C’) đường kính 2 KM = m  16 1,0 y M I (2,0điểm) B x K A O ( x  2)  ( y  m m  16 )  Pt(C’): (2) Lấy (2) trừ (1) theo vế ta phương trình đường thẳng AB là: x  my  12  Vì đường thẳng Ab qua điểm I (8;5) � m  Vậy M (0; 4) 122 | P a g e GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương 1,0 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 ( x  2)  x  m �3 x �� Tìm m để bất phương trình ( x  2)  x  m �3 � x  m � (2,0điểm) Parabol(P): y có nghiệm với x2  2x  2 x2  2x  2 có bề lõm hướng xuống d : y  xm Đường thẳng m có đồ thị hình vẽ chữ V có đỉnh M (m; 0) gồm nửa 0 đường thẳng nằm phía trục Ox tạo với trục Ox góc 45 135 Nhánh trái (P) tiếp xúc với ( dm ) hệ phương trình sau có nghiệm   � x2 �x  �x  m    x  � d0 : y  x 2�� � m0 � �  x  � Nhánh phải (P) tiếp xúc với ( dm ) hệ phương trình sau có nghiệm � x2 �x   x  m    2x  � � d4 : y  x  2�� � m  � �1   x  � Nhìn vào đồ thị ta có : BPT với x ��� đỉnh M (m;0) (d m ) nằm bên trái đỉnh O(0;0) (d ) nằm bên phải đỉnh (4;0) (d ) ‫ۣڳڳڳڳڳڳڳڳ‬ ۣ ‫ڳڳڳڳڳڳ‬m 0 m m Vậy : m ‫�ڳ‬ � y2 1 2 y   (4 y  y x)  x  � y � ( x, y ��) � 3 y  y  y  � �   2x  y 1 Giải hệ phương trình : � 1 y �0; y � ;  �x � 2 Đk: Với đk y �0 chia hai vế pt cho y ta Phương trình tương đương với: 0,5 123 | P a g e GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương (2,0điểm) GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12   (4  x)  x   y y y 3 1 �       (1   x)  x y y y y 1 � (1  )3  (1  )  (  x )3   x (*) y y Xét hàm số f (t )  t  t , f '(t )  3t   với t ��� f (t ) hàm số đồng biến � 1 f (1  )  f (  x ) �    x y y PT(*): �   2x   y 0,5 (  y �1 ) Thế xuống pt hai ta được: y 1  y y3  y  y  � (2 y  1)   y 1 y y3  y  y  � 1 2 � (2  )      � � �1  y y y y y � 0,5 � � 2� 1   �  1 � � � � � y � y� y � Xét hàm số tương tự ta 2 1 3   � (1  )3  (1  ) � y  �x y y y y (TMĐK) �3  5  � ( x; y )  � � ; � � � � Vậy hệ phương trình có nghiệm: Cho x, y , z số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức 1 P x2  y2  z   0,5 ( x  y ) ( x  z )( y  z ) Áp dụng bất dẳng thức Co-Si, ta có: (2,0điểm)  1 x  y  z  � ( x  y )  ( z  2) � ( x  y  z  2) 2 1 ( x  y ) ( x  z )( y  z ) � ( x  y )( x  y  z )  (3 x  y )( x  y  z ) � ( x  y  z )2 27 P�  t  2t Đặt t  x  y  z; t  Kho 27 P x  y  z  2( x  y  z )2 27 f (t )   t  2t , với t>0 Xét hàm số 27 f '(t )    ; f '(t )  � t  (t  2) t 124 | P a g e GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương 0,5 0,5 0,5  GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 f ( t ) Hàm số đồng biến khoảng (0;6) nghịch biến khoảng (6; �) 5 f(t ) f (6) �P f (t ) 8 Dấu “=” xảy x  y  z  Vậy max P  x  y  z  0,5 ĐỀ SỐ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG GV LÊ DUY LỰC 125 | P a g e ĐỀ ÔN THI HSG KHỐI 12 - NĂM HỌC: 2014-2015 GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 12 Câu I(4,0 điểm): Cho hàm số: y = x – 3x + có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Chứng minh với m đường thẳng d: y = (m + 2)x – 2m – cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt Tìm m để tổng hệ số góc tiếp tuyến với (C) giao điểm 27 Câu II (4,0 điểm) Giải phương trình:  � � cos �  x �  3cos4 x  cos x  �4 �    �xy 1 1 x2 4 y  y  � � (x, y��) � 28 �x3   14x  3x  2x2y  5x  11 y Giải hệ phương trình : � Câu III (4,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c đôi khác thỏa mãn điều kiện 2a �c ab  bc  2c a b c P   a b bc c a Tìm giá trị lớn biểu thức  x  x  3x  Giải bất phương trình sau:  x2  x  1 Câu IV (4,0 điểm) Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A, tính xác suất để chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị I ( 4;2) Cho tam giác ABC có góc A nhọn, điểm trung điểm đoạn BC , điểm A nằm đường thẳng d : 2x - y - = Dựng bên ngồi tam giác ABC tam giác ABD, ACE vng cân A Biết phương trình đường thẳng DE : x - 3y + 18 = BD = điểm D có tung độ nhỏ Xác định tọa độ điểm A, B,C Câu V (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng với AB  2a Tam giác SAB vuông S, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết góc tạo đường thẳng SD mặt sin   Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ C đến phẳng (SBC)  với a mặt phẳng (SBD) theo Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), M(1; 1; 1) Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt Oy, Oz B  bc  0; b;0  , C( 0;0;c ) với b  0, c  Chứng minh rằng: bc Từ đó, tìm b, c cho diện tích tam giác ABC nhỏ ………………………….Hết………………………… 126 | P a g e GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ÔN THI HSG KHỐI 12 Đáp án Câu I.2 HS tự trình bày Câu I.2.Xét phương trình hồnh độ giao điểm (C) d là: x - 3x + = (m + 2)x - 2m - (1) x=2 � � x  x   m2=(2) �  =17+m2>0 � � ■ Xét (2) ta có: �-2-m2?0 với m  (2) ln có hai nghiệm phân biệt khác  (1) ln có nghiệm phân biệt  (C) cắt d điểm phân biệt với m (đpcm) ■ Gọi x1, x2, x3 nghiệm (1), x = 2; x , x nghiệm (2) Và hệ số góc tiếp tuyến với (C) giao điểm là: f '(2), f '(x ), f '(x ) Yêu cầu toán  f '(2)+ f '(x ) + f '(x ) = 27 với f '(x) = 3x - 6x  + 3x 2 - 6x + 3x - 6x = 27  (x 2 + x ) - 2(x + x ) =  S - 2P - 2S =  m =  m =  (nhận) Vậy m =  thỏa yêu cầu tốn Câu II.1.Phương trình cho tương đương với phương trình:  � 2� 2 cos �  x � 3cos4 x  cos x  �  sin x  cos x   cos x  cos x  �4 � �  x   k � � � 12 � sin x  3cos4 x  cos x � cos � x  � cos2 x � �  k 6� � � x  � 36 Câu II.2.ĐK: y �0  y  y  y  y  từ phương trình (1) suy x>0; y>0 Ta có  1 � xy    x2     � xy   x  4 y  y    4 y  y 8   y  y � x  x 1 x2  4 y  y 2  y y  1 y �2 � �2 � �2 � � x  x  x  � � � �  � � � y �� y � � y � � � � � � � (3) 0; � Xét hàm số  Có 0; � Suy hàm số f(t) đồng biến  f  t   t  t 1 t2 Mà phương trình (3) có dạng 127 | P a g e f ' t   1 1 t  t2 1 t2  0t � 0; � �2 � f  x   f � �� x  � y �y� x y � � GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 Thế vào (2) ta được: Suy nghiệm hệ phương trình (3;4/9) (4;1/4) Câu III.1 Theo giả thiết: 2a �c nên a a b b a 2c � ab  bc  2c �   �  1 c 2; c c c c b a b � � Vì c nên c c t 0t � b Đặt a b 2t  t 1 P c  c      1  a b b a 2t  t  1  t 2(1  t ) 2t  6(1  t )  1 1 c c c c � 3� f (t )    , t �� 0; � 2t  6(1  t ) � 4� Xét hàm số Ta có: � 3� � 3� f '(t )  0, t �� 0; � 0; � � � �, f (t ) đồng biến � � 27 t max P  , suy Do GTLN hàm số đạt Đẳng thức xảy � ab  bc  2c � 8a  3b  4c � 2a  c � , chẳng hạn chọn (a,b,c)=(3,8,6) Câu III.2 �x �0 �2 3x �x �۳ �  x  x  �0 Điều kiện: � x � 1� x  x   �x  � �  (x �0) � 2� Ta có suy  x  x   BPT � x  x  x   x  3x  128 | P a g e GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 � 1 x  1 1  x   x x (Vì x = khơng thỏa mãn bất phương trình) x   t t x Đặt Ta có x  1 t 1  t  � t 1  � t  13 13 13  t � x x Suy � x  �2 � �  x  1 �0 13  105 13  105 � x � �� �� � x 8 x  13 x   �x   13 � � x Câu IV.1 Số số tự nhiên có chữ số 99999  10000   90000 Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho chữ số hàng đơn vị là: abcd1 Ta có abcd1  10.abcd   3.abcd  7.abcd  chia hết cho 3.abcd  chia hết cho Đặt h 1 số nguyên h  3t  1000 7t 9999 3.abcd   h � abcd  2h  t Khi ta được: abcd �7 998 ��� t ۣ 9997  143, 144, , 1428 t suy số cách chọn t cho số abcd1 chia hết cho chữ số hàng đơn vị 1286 1286 �0, 015 Vậy xác suất cần tìm là: 90000 Câu IV.2 Ta có uuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur 2AI DE = AB + AC AE - AD uuur uuur uuuu r uuur = AB AE - AC AD � - AC AD.cosCAD � =0 = AB AE cosBAE � AI ^ DE ( )( ) Phương trình đường thẳng AI : 3( x - 4) + y - = � 3x + y - 14 = � 3x + y - 14 = � x=3 � �� � A ( 3;5) � � � � 2x - y - = y=5 � � Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ D ( 3a - 18;a) BD = � AD = 10 Gọi ta có � 38 � a = ( loai ) AD = 10 � ( 3a - 21) + ( a - 5) = 10 � 10a - 136a + 456 = � � & � a=6 � � a = � D ( 0;6) 129 | P a g e 2 GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 a = � D ( 0;6) Đường thẳng AB qua A ( 3;5) , vtpt uuur AD = ( - 3;1) - 3( x - 3) + y - = � 3x - y - = Gọi tọa độ điểm B ( b;3b- 4) ta có � b= 2 AB = 10 � ( b - 3) + ( 3b - 9) = 10 � � � b= � � b = � B ( 4;8) � C ( 4;- 4) � BAC Với Với có phương trình b = � B ( 2;2) � C ( 6;2) , loại góc tù , thỏa mãn Câu V.1 BC  AB; (SAB)  (ABCD) � BC  (SAB) � BC  SA Mà SA  SB � SA  (SBC) Gọi d khoảng cách từ D đến (SBC) SD Mặt khác : AD //(SBC) � d(D,(SBC))  d(A,(SBC)) SD � d  SA � SA  � AD  SA Xét tam giác SAD Do AD//BC vuông A có AD = 2a S � d  SD.sin   SA  AD  SD � AD  8SA � SA  A D=D H C B a a 14 � SB  2 Kẻ SH  AB H � SH  (ABCD) a3 VS.ABCD  SH.dt(ABCD)  3 Vậy AB.SH  SA.SB � SH  a 3VSCBD a3 d(C;(SBD))  VS.ABCD  dt(SBD) (1) Mà Ta có a 14 3a SB  SD  3SA  , , BD  2a � BD  SB2  SD � tam Tam giác SBD có: 3a dt(SBD)  SB.SD  giác SBD vuông S 2a d(C;(SBD))  Thay vào (1) có Câu IV.2 VSBCD  bc  M thuộc (P), suy 130 | P a g e bc (1) GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12 uuu r uuur uuur uuur � AB AB   2; b;0  , AC   2;0; c  � � � , AC �  bc;2b;2c  Ta có r uuur uuu 2 2 � � AB , AC bc  c  b  b  c  b  c ,  1     � S ABC  � Sử dụng bất đẳng thức Côsi, suy S � 6bc Mà bc  2� b c  bc bc 16 S 96 S  96 � b  c  Vậy b  c  131 | P a g e GV Lê Duy Lực – THPT Quảng Xương ... quan Hình học khơng gian: - Các Bài hình học khơng gian: Điểm, đường, mặt, quan hệ song song, quan hệ vng góc, góc khoảng cách, diện tích thể tích hình - Các phép dời hình, biến hình khơng gian... Chứng minh bất đẳng thức - Giải biện luận bất PT - Các Bài liên quan Hệ bất phương trình: - Giải biện luận - Các Bài liên quan Tổ hợp xác suất - Giải Bài hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp quy tắc đếm... ga rít - Giải PT lượng giác - Các Bài liên quan: Tìm ĐK để PT có nghiệm, vơ nghiệm, có nghiệm nhất,v v Hệ PT: - Giải hệ phương trình - Các Bài liên quan Bất đẳng thức, bất phương trình - Chứng