TICH VO HUONG CUA HAI VECTO

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Bài soạn Tổ Tốn – Tin, Trường THPT Ngơ Sĩ Liên I Định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ * Hoạt động khởi động Mục đích: - Tạo tò mò, gây hứng thú cho học sinh khái niệm tích vơ hướng - Biết khái niệm tích vơ hướng vật lý môn học khác Nội dung: Giáo viên sử dụng khái niệm “Công lực” vật lý để đặt vấn đề Cách thức: Trả lời câu hỏi r Câu hỏi 1: Một vật chuyển động tác động lực F theo phương ngang với quãng đường dịch chuyển từ điểm M tới điểm N Hỏi r công lực F bao nhiêu? r r A = F MN HS trả lời: Công lực F là: 1 r Câu hỏi 2: Một vật chuyển động theo phương ngang tác động lực F theo phương xiên với quãng đường dịch chuyển từ điểm r M tới điểm N Hỏi công lực F bao nhiêu? ur r r A = F1 MN = F MN.cos α HS trả lời: Công lực F là: 2 GV tổng kết hai trường hợp, công lực là: r uuuu r r uuuu r A = F MN cos F, MN ( ) * Hoạt động hình thành kiến thức - Mục đích: + Phát biểu định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ + Biết ý nghĩa vật lý tích vơ hướng hai vectơ + Phát biểu tính chất tính vơ hướng + Biết số ứng dụng tích vơ hướng để tính góc, khoảng cách - Nội dung: + Thực nhiệm vụ học tập GV yêu cầu + Phát biểu định lý, làm ví dụ GV yêu cầu - Cách thức: + Giáo viên phát phiếu học tập cho nhóm thực hiện, nhóm thảo luận trình bày bảng GV nhận xét yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa tích vơ hướng + Giáo viên chiếu hình ảnh, câu hỏi tình yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi tương ứng + Giáo viên đưa ví dụ để học sinh làm, sau lên bảng trình bày I Định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ GV nêu định nghĩa tích vơ hướng hai véc tơ 3 Định nghĩa: r r r r b a a Tích vơ hướng hai véc tơ số, kí hiệu b , xác định công thức: rr r r r r a.b = a b cos a, b ( ) r r GV đặt câu hỏi: Trong ĐN tích vơ hướng hai véc tơ ta thay b = a có kết nào? r2 r rr r r r r r2 r2 r r a =a a a = a a cos a , a = a cos = a HS trả lời: Nếu ta thay b = a , ta có hay ( ) r r2 a a GV: Khi ta gọi bình phương vơ hướng véc tơ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh a có trọng tâm G Tính tích vô hướng sau đây: uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r AB AC ; AC.CB; AG AB; GB.GC ; BG.GA; GA.BC GV chia lớp thành nhóm giao việc: Nhóm Giao việc uuu r uuur uuur uuu r AB AC ; AC CB ; Tính Nhóm uuur uuu r uuu r uuur AG AB ; GB GC ; Tính Nhóm uuur uuu r uuu r uuur BG GA ; GA BC Tính Kết 4 uuu r uuur AB AC = a.a.cos60o = a ; uuur uuu r AC.CB = a.a.cos120o = − a ; GV chốt uuur uuu r a AG AB = a cos30o = a ; uuu r uuur a a a2 o GB.GC = cos120 = − ; 3 uuur uuu r a a a2 o BG.GA = cos60 = ; 3 uuu r uuur a GA.BC = a .cos90o = - Giao việc: + Dựa vào ví dụ trên, em cho biết hai vectơ vng góc với nhau? Hs trả lời, GV tổng hợp, nhận xét câu trả lời HS chốt tính chất: rr r r a.b = ⇔ a ⊥ b II Các tính chất tích vơ hướng GV nêu số tính chất Với ba vector a , b, c tùy ý số thực k, ta có 1) a.b = ⇔ a ⊥ b 2) a.b = b.a 3) ( k a ).b = k ( a.b) = a.( k b) 4) a.( b ± c ) = a.b ± a.c r r r2 r2 rr a ± b = a + b ± 2a.b 5) r r r r r r2 a +b a −b = a −b 6) ( ) ( )( ) 5 - Giao việc: GV yêu cầu HS giải tốn: Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a Tính tích vơ hướng sau: uuu r uuur AB AE B A - GV: Nếu tính trực tiếp định nghĩa gặp khó khăn gì? - HS: Việc xác định góc hai vectơ khó khăn uuur - GV: Hãy tách vectơ AE thành tổng (hiệu) vectơ khác sử dụng tính chất - HS: uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuuruuur AB AE = AB AB + AC = AB + AB AC 2 ( ) ( O D E C ) III Biểu thức toạ độ tích vơ hướng GV nêu tính chất: Cho hai vector a = ( x; y ), b = ( x ' ; y ' ) Khi 1) a.b = x x '+ y y ' 2) a = x + y 3) cos(a, b ) = x x '+ y y ' x + y x'2 + y'2 ( a ≠ 0, b ≠ 0) ) a ⊥ b ⇔ x x ' + y y ' = 6 Hệ quả: Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách hai điểm M ( x M , y M ), N ( x N , y N ) MN = MN = ( xN − xM ) + ( y N − yM ) 2 GV giao việc: Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ cho tam giác ABCcó đỉnh A(-4;1), B(2;4), C(2;-2) a Tính chu vi diện tích tam giác ABC b Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC Hãy kiểm tra tính thẳng hàng ba điểm G, H, I GV đặt câu hỏi: ? Nếu H trực tâm tam giác, ta phái có đk nào? Yêu cầu HS thực hiện, GV giám sát ? Nếu I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta phái có đk nào? Yêu cầu HS thực hiện, GV giám sát ? Với ba điểm G, H, I tìm được, cách ta chứng tỏ chúng thẳng hàng? Trên sở HS đưa lời giải: 7 a) Chu vi bằng: + b) Toạ độ trọng tâm G G(0;1) uuur uuur  HA.BC =  HA ⊥ BC ⇔  uuur uuur  HB ⊥ AC   HB AC = Gọi H trực tâm tam giác, ta phải có: uuur uuur AH ( x + 4; y − 1) , BH ( x − 2; y − ) uuur uuur BC ( 0; −6 ) , AC ( 6; −3 ) ( *) Giả sử H(x;y) ta có:   y −1 = x = ⇔  1  H  ;1÷ 2 x − y =  y =  2  Thay vào (*) ta có hệ pt: 8 Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có: Giả sử I(x; y) ta có: (**) ⇔  IA = IB ( **)   IB = IC ( x + ) + ( y − 1) = ( x − ) + ( y − )  2 2 ( x − ) + ( y − ) = ( x − ) + ( y + )  x = −    I  − ,1÷  ⇔ y =1   uuur   uur   GH  ;0 ÷, GI  − ;0 ÷ 2    Ta có uuur uur Do GH = −2GI nên ba điểm G, H, I thẳng hàng Luyện tập: - Mục đích: + Làm số dạng tập tích vơ hướng ứng dụng: Tính góc, độ dài, chứng minh vng góc, … - Nội dung: + Học sinh làm tập - Cách thức: + Giáo viên phát tập, học sinh làm nhà 9 - Sản phẩm: Giải số dạng toán tính liên tục hàm số: Xét tính liên tục điểm, khoảng, chứng minh phương trình có nghiệm Bài Bài Bài Bài Bài Cho ∆ABC vng A có AB = a, BC = 2a Tính tích vơ hướng uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r AB.AC AC.CB AB.BC a/ b/ c/ Cho ∆ABC cạnh a Tính tích vơ hướng uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r AB.AC AC.CB AB.BC a/ b/ c/ AB = AC = a Cho ∆ABC vng cân có có AH đường cao Tính tích vơ hướng sau uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r a/ AB.AC b/ AH.BC c/ AC.CB AB.BC uuur uuu r uuur uuur Cho ∆ABC vng A, có AB.CB = AC.BC = a/ Tính cạnh ∆ABC uur uur r uur uur r uu r IA + 2IB = , 2J B J C = b/ Gọi I, J điểm thỏa đẳng thức véctơ Tính IJ theo uuu r uuu r hai véctơ BA,BC Cho ∆ABC vng A có AB = 3, AC = uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AB.BC, BC.CA, CA.AB a/ Tính tích vơ hướng: BC = 5( cm) , CA = 7( cm) , AB = 8( cm) b/ Nếu uuu r uuu r BC,BA µ  Tính B ( ) 10 10  Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = 3( cm) uuur uuu r AD,AC Hãy tính ( ( ) ) uuur uuu r a2 AM.BC = Bài Cho ∆ABC vng A có BC = a 3, M trung điểm BC Biết Hãy tính AB, AC Bài Cho ∆ABC cạnh a AM trung tuyến tam giác Tính tích vơ hướng sau uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r AC 2AB - 3AC AC AC - AB a/ b/ uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r AB - AC AB + AC c/ AM.AB d/ uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r CA + BC CA + CB e/ f/ m = AB.BC + BC.CA + CA.AB Bài Cho ∆ABC có BC = a, CA = b, AB = c Tính tích vơ hướng sau theo a, b, c uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r a/ BA.BC b/ CB.CA c/ AC.AB uuu r uuur µ = 600 AB = 3a, AC = a, A Bài Cho ∆ABC có Tính AB.AC Suy độ dài cạnh BC độ dài đường trung tuyến AM Bài 10 Cho ∆ABC có µ a/ AB = 2, AC = 3, A = 60 Hãy tính độ dài cạnh BC µ b/ AB = 3, BC = 4, B = 45 Hãy tính độ dài cạnh AC µ c/ CA = 5, BC = 6, C = 120 Hãy tính độ dài cạnh AB ( ) ( ( )( )( ) ) 11 11 Bài 11 Cho ∆ABC có BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng: ( 1) : a ( 2) : b ( 3) : c = b2 + c2 - 2bccosA = a2 + c2 - 2accosB = a2 + b2 - 2abcosC (Định lý hàm cos) Bài 12 Cho ∆ABC có AB = 5, BC = 7, CA = a/ Tính cosA, cosB, cosC uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AB.BC + BC.CA + CA.AB b/ Tính c/ Tính độ dài ba đường trung tuyến AM, BN, CP tam giác ABC Bài 13 Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = uuur uuur AB.AC a/ Tính uuu r uuu r , suy giá trị góc A b/ Tính CA.CB uuu r uuu r c/ Gọi D điểm CA cho CD = Tính CD.CB Bài 14 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính giá trị biểu thức sau uuur uuu r uuur uuu r uuur AC AB + AD a/ AB.AC b/ uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r AB + AD BD + BC c/ AB.BD d/ uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AC - AB 2AD - AB AB + AC BC + BD + BA e/ f/ ( ( )( ) ( ( ) )( )( ) ) 12 12 ( g/ uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur AB + AC + AD DA + DB + DC )( ) uuur uuu r h/ OA.AB Bài 15 Cho ∆ABC có AB = c, AC = b, AB = a Gọi G trọng tâm D, E, F chân đường phân giác góc A, B, C Tính uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r AG.BC, BG.AC, CG.AB a/ Tích vô hướng véctơ: b/ Độ dài cạnh AG, BG, CG uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r S = GB.GC + GC.GA + GA.GB c/ Tính giá trị AB = , BC = 4, CA = Bài 16 Cho tam giác ABC có uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r a/ Tính AB.AC, BC.BA, CA.CB , suy cosA, cosB, cosC uuur uuu r AG.BC b/ Gọi G trọng tâm ∆ABC Tính uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur c/ Tính giá trị biểu thức S = GA.GB + GB.GC + GC.GA uuu r uuu r uuur AB,AC d/ Gọi AD phân giác góc Tính AD theo , suy AD uuu r uuu r u u u r u u u r 29 AB.AC = cosA = AG.BC = S=2, HD: a/ b/ c/ uuur AB uuur uuur uuu r uuur 54 DB = DC AD = AB + AC AD = AC 5 d/ Đường phân giác ⇒ , Bài 17 Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 60 Gọi M trung điểm BC · BAC, ( D Ỵ BC) a/ Tính BC, AM 13 13 b/ Tính IJ, I, J xác định bởi: uur uur r uur uur 2IA + IB = 0, J B = 2J C 133 HD: a/ b/ AB = 2a, BC = 3a, đáy nhỏ AD = 2a Bài 18 Cho hình thang vng ABCD, đường cao đáy lớn uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r a/ Tính tích vơ hướng: AB.CD, BD.BC, AC.BD uur uuur uur uuu r b/ Gọi I trung điểm CD, tính AI.BD Suy góc hai véctơ AI BD BC = 19, AM = IJ = Bài 19 Cho hình thang vng ABCD có đường cao AB = a , canh đáy AD = a, BC = 2a uuur uuu r a/ Tính AC.BD Suy góc nhọn tạo hai đường AC BD uuur uuu r AG.AB b/ Gọi G trọng tâm ∆BCD tính AB = a, AD = b Tính theo a, b tích vơ hướng Bài 20 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I, cạnh uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur AB.AC, BD.AC, AC - AB AC + AD a/ uuur uuur uuur uuur b/ MA.MC + MB.MD với M điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD A ( 1;2) , B ( - 2;6) , C ( 9;8) Bài 21 Cho tam giác ABC có ( )( ) uuur uuur AB.AC a/ Tính Chứng minh tam giác ABC vng A b/ Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c/ Tìm toạ độ trực tâm H trọng tâm G tam giác ABC d/ Tính chu vi, diện tích tam giác ABC 14 14 e/ f/ g/ h/ Tìm toạ độ điểm M Oy để B, M, A thẳng hàng Tìm toạ độ điểm N Ox để tam giác ANC cân N Tìm toạ độ điểm D để ABDC hình chữ nhật Tìm toạ độ điểm K Ox để AOKB hình thang đáy AO uuur uuu r uuu r r T A + 2T B 3T C = i/ Tìm toạ độ điểm T thoả k/ Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B l/ Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác đỉnh C ∆ABC A ( 0;2) , B ( 6;9) , C ( 4;1) Bài 22 Cho tam giác ABC có Câu hỏi tương tự 302 Bài 23 Xác định hình dạng tam giác ABC biết A ( 1;0) , B ( 5;0) , C ( 3;4) A ( 1;2) , B ( - 2;6) , C ( 9;8) a/ b/ ( ) A ( - 1;0) , B ( 3;0) , C 1;2 A ( 5;7) , B ( 8;- 5) , C ( 0;- 7) c/ d/ Bài 24 Xác định hình dạng tứ giác biết A ( 2;6) , B ( 3;3) , C ( - 3;1) , D ( - 4;4) A ( - 2;- 2) , B ( - 1;3) , C ( 3;2) , D ( 2;- 2) a/ b/ A ( - 2;- 6) , B ( 4;- 4) , C ( 2;- 2) , D ( - 1;- 3) A ( 2;1) , B ( 3;6) , C ( - 2;5) , D ( - 3;0) c/ d/ r r r a = ( 1;3) , b = ( 6;- 2) , c = ( x;1) Bài 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho r r r r a/ Chứng minh a ^ b b/ Tìm x để a ^ c r r r r r rr a c d a ^ d b.d = 20 c/ Tìm x để phương với d/ Tìm tọa độ véctơ để r A ( 1;4) ,B ( - 3;2) v = ( 2m + 1;3 - 4m) Bài 26 Trong mặt phẳng Oxy, cho véctơ 15 15 Bài 27 Bài 28 Bài 29 Bài 30 Bài 31 Bài 32 r uuu r r uuu r v AB v ^ AB a/ Tìm m để phương với b/ Tìm m để A ( 2;3) ,B ( 9;4) ,C ( 5;y) ,D ( x;- 2) Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm: a/ Tìm y để ∆ABC vng C b/ Tìm x để điểm A, B, D thẳng hàng A ( - 3;3) ,B ( 4;4) Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm · a/ Tìm M Ỵ Oy để AMB = 90 b/ Tìm N Ỵ Ox để A, B, N thẳng hàng r r Tính góc hai véctơ a b trường hợp sau r r r r a = ( 4;3) ,b = ( 1;7) a = ( 2;5) ,b = ( 3;- 7) a/ b/ r r r r a = ( 6;- 8) ,b = ( 12;9) a = ( 2;- 6) ,b = ( - 3;9) c/ d/ A ( 1;6) ,B ( 2;6) ,C ( 1;1) Cho ∆ABC với a/ Tìm tọa độ trực tâm H b/ Vẽ AK ^ BC Xác định tọa độ điểm K A ( 1;–1) , B ( 5;–3) , C ( 2;0) Cho tam giác ABC có a/ Tính chu vi nhận dạng tam giác ABC uuur uuur uuur CM = 2AB 3AC b/ Tìm toạ độ điểm M biết c/ Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A ( 4;3) ,B ( 0;- 5) ,C ( - 6;- 2) Cho ∆ABC cso a/ Chứng minh ∆ABC vng B b/ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c/ Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 16 16 A ( 1;2) ,B ( - 3;- 4) Bài 33 Cho ∆ABC biết a/ Tìm tọa độ hình chiếu A lên BC b/ Tìm diện tích tam giác ABC A ( 7;4) ,B ( 0;3) ,C ( 4;0) Bài 34 Cho ba điểm Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H A lên BC Từ suy tọa độ điểm A1 điểm đối xứng với A qua BC A ( 1;2) ,B ( - 1;1) ,C ( 5;- 1) Bài 35 Cho ∆ABC, biết uuu r uuur a/ Tính AB.AC b/ Tính cos sin góc A c/ Tìm tọa độ chân đường cao A1 ∆ABC d/ Tìm tọa độ trực tâm H ∆ABC e/ Tìm tọa độ trọng tâm G ∆ABC f/ Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ∆ g/ Chứng minh I, H, G thẳng hàng Ứng dụng, tìm tòi mở rộng - Mục đích: + Vận dụng kiến thức học để tổng hợp ứng dụng tích vơ hướng hai vectơ - Nội dung: Học sinh tìm hiểu trình bày dạng tốn ứng dụng tích vơ hướng dạng chuyên đề - Cách thức: + GV giao tập (chưa phân dạng) + Học sinh giải tập phân chia tập theo dạng Từ đưa phương pháp giải - Sản phẩm: Là chuyên đề phương pháp giải toán dạng viết tay đánh máy 17 17 ... sau lên bảng trình bày I Định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ GV nêu định nghĩa tích vơ hướng hai véc tơ 3 Định nghĩa: r r r r b a a Tích vơ hướng hai véc tơ số, kí hiệu b , xác định công thức:... F là: 2 GV tổng kết hai trường hợp, công lực là: r uuuu r r uuuu r A = F MN cos F, MN ( ) * Hoạt động hình thành kiến thức - Mục đích: + Phát biểu định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ + Biết ý... cho biết hai vectơ vng góc với nhau? Hs trả lời, GV tổng hợp, nhận xét câu trả lời HS chốt tính chất: rr r r a.b = ⇔ a ⊥ b II Các tính chất tích vơ hướng GV nêu số tính chất Với ba vector a ,