giao an nguyen truong to

Tiết 24 - Đại số 10: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I CHỦ ĐỀ: Hệ phương trình bậc ba ẩn II MỤC TIÊU BÀI HỌC Mục tiêu: Học sinh nắm vững nội dung học biết vận dụng vấn đề để giải số toán thực tiễn sống Về kiến thức: - Biết nhận dạng nắm cách giải hệ phương trình bậc ẩn Về kĩ năng: - Giải hệ phương trình bậc ẩn - Biết sử dụng máy tính cầm tay để giải hệ phương trình Về thái độ: -Tích cực hoạt động, chủ động suy nghĩ vận dụng kiến thức - Cẩn thận, xác Các lực hướng tới hình thành phát triển học sinh: Năng lực tư suy luận toán học, lực giải vấn đề toán học, lực giao tiếp lực sáng tạo III BẢNG MÔ TẢ MỨC ĐỘ CÂU HỎI/BÀI TẬP Nội dung Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Hệ pt bậc Dạng hpt bậc - Giải hệ pt bậc - Biết vận dụng ba ẩn ba ẩn ẩn kiến thức - Giải học để giải  a1 x + b1 y + c1 z = d1  toán cách số  a2 x + b2 y + c2 z = d lập hệ phương toán thực tế a x + b y + c z = d 3  trình tốn phương trình Đi-ơ-Phăng Câu hỏi/ Bộ ba số (1; 2;3) có - Giải hệ phương - Một người có tập trình sau: tất có 51 tờ phải nghiệm 2 x − y + z = bạc, tổng số hệ phương trình  x + y + z =  2 x + y − z = ?  x − y − z = −8   − x + y − z = −6 x − y + 2z =  - Tìm ba số biết, tổng chúng một, hai lần số thứ trừ số thứ hai tiền giá trị 83.000 đ Hỏi người có tờ tiền 5.000đ, 2.000đ Vận dụng cao thứ ba hai, số thứ trừ hai lần số thứ hai cộng với hai lần số thứ ba 1.000đ Biết khơng có q tờ 5.000đ IV CHUẨN BỊ: • Học sinh: SGK, ghi, máy tính cầm tay Ơn tập kiến thức phương trình bậc nhiều ẩn phương pháp giải hệ phương trình bậc hai ẩn • Giáo viên: Giáo án, dụng cụ dạy học V PHƯƠNG PHÁP- KĨ THUẬT DẠY HỌC: VI TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: Hoạt động GV-HS Nội dung cần đạt Kĩ năng/năng lực cần đạt HOẠT ĐỘNG 1: KHỞI ĐỘNG Bài toán cổ: Quýt, cam mười bảy tươi Đem chia cho trăm người vui Chia ba quýt Còn cam chia mười vừa xinh Trăm người, trăm miếng lành Quýt, cam loại tính rành bao? - Năng lực giao tiếp Câu hỏi: - Nêu cách giải tập này? - Nêu cách giải hệ phương trình bậc hai ẩn? Học sinh nhớ lại cách giải hệ phương trình bước giải tốn cách lập hệ phương trình học cấp hai HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC Mục tiêu: Học sinh nắm khái niệm hệ ba phương trình bậc ba ẩn Phương thức: gợi mở vấn đáp Cách tiến hành Bài toán: Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần áo nam váy nữ Ngày thứ bán 12 áo 21 quần 18 váy, doanh thu 5.349.000 đồng Ngày thứ hai bán 16 áo, 24 quần 12 váy doanh thu 5.600.000 đồng Ngày thứ ba bán 24 áo, 15 quần 12 váy, doanh thu 5.259.000 đồng Hỏi giá áo, quần váy bao nhiêu? GV: Gọi giá áo, quần váy x, y, z, theo đề ta có phương trình gì? 12 x + 21 y + 18 z = 5.349.000  HS: 16 x + 24 y + 12 z = 5.600.000  24 x + 15 y + 12 z = 5.259.000  Gv nêu dạng hệ ba phương trình bậc ba ẩn, nghiệm hệ phương trình định hướng cách giải hệ pt cho hs - Năng lực tư Khái niệm hệ ba phương trình bậc ba ẩn - Dạng  a1 x + b1 y + c1 z = d1   a2 x + b2 y + c2 z = d a x + b y + c z = d 3  Trong x, y, z ẩn chữ số lại số - Nghiệm hệ pt - Phương pháp giải hệ phương trình - Năng lực giải vấn đề Củng cố: Bộ ba số (1; 2;3) có phải nghiệm hệ x + y + z =  phương trình 2 x + y − z = ?  x − y − z = −8  2 x − y + z =  Giải hệ phương trình  x − y − z = −6  −3 x + y − z = −3  Gv hướng dẫn học sinh giải hệ MTCT - Năng lực thực hành tính tốn - Năng lực sử dụng MTCT HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP Mục tiêu: Rèn kĩ giải hệ phương trình Phương thức: Giáo viên tập để học sinh thực hành Cách tiến hành: học sinh giải tập Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau: x − y = 2 x + y = a  x − y +1 = 3 x + y = b  Bài tập 2: Giải hệ phương trình sau: - Học sinh giải - Năng tập thực sách giáo khoa tính đề lực hành toán giải vấn 2 x − y + z =  a − x + y − z = −6 x − y + 2z =  x + 3y − 2z =  b −2 x − y + z = −17 3 x + y − z = 31  Bài tập 3: Hai người thợ sơn cửa cho ngơi nhà hai ngày xong công việc, người thứ làm ngày nghỉ, người thứ hai làm tiếp ngày xong cơng việc Hỏi người làm xong cơng việc? Bài tập 4: Tìm ba số biết, tổng chúng một, hai lần số thứ trừ số thứ hai thứ ba hai, số thứ trừ hai lần số thứ hai cộng với hai lần số thứ ba HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG Mục tiêu: Khuyến khích học sinh nghiên cứu, sáng tạo, tìm theo hiểu biết mình; tìm phương pháp giải vấn đề đưa cách giải vấn đề khác nhau; góp phần hình thành lực học tập với gia đình cộng đồng Phương thức: Giáo viên đưa tập cho học sinh suy luận giải vấn đề Cách tiến hành Bài tập 1: Một người có tất có 51 tờ bạc, tổng số tiền giá trị 83.000 đ Hỏi người có tờ tiền 5.000đ, 2.000đ 1.000đ Biết khơng có q tờ 5.000 đ Bài tập 2: HOẠT ĐỘNG 5: TÌM TỊI MỞ RỘNG Mục tiêu: Giúp học sinh tiếp tục mở rộng kiên thức, kĩ Phương thức: Học sinh tìm tòi tài liệu phương trình Diophantine Cách tiến hành Phương trình Đi-Ơ-Phăng (Diophantine) - Năng lực sáng tạo Trong tốn học, phương trình Diophantine phương trình đa thức khơng xác định mà ẩn số hệ số số ngun dương hay âm Các tốn Diophantine có số phương trình số ẩn số nghiệm số phải số nguyên dương hay âm, nên goi Phương trình vơ định nghiệm ngun Trong chương tình tiểu học THCS, HS chưa học lí thuyết dạng PT này, gặp số toán giải theo cách “giả sử…” “Gà chó 100 chân”…Gần số đề thi HSG có liên quan Vì mời bạn tham khảo tài liệu để giải tốn tổng qt I.- Một số dạng phương trình Diophantine: * Phương trình Diophantine tuyến tính (hay bậc nhất) với ẩn số/ ax + by = c phương trình [1] * Phương trình Diophantine bậc hai với ẩn số Đó phương trình Pythagore, có vơ số lời giải, lời giải hợp thành ba số Pythagore x2 + y2 = z2 Thí dụ: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (12,35,37), … *Phương trình Ferma xn + yn = zn với n > Đó định lýcuối Fermat, Sau 300 năm khơng có lời giải, tới 1994 có nhà tốn học chứng minh điều tiên đốn Ferma *Phương trình Pell, đặt theo tên nhà toán học người Anh John Pell x2 – ny2 = với n bình phương số nguyên Thật ra, phương trình thuộc loại khảo sát từ xưa nhà toán học cổ Ấn độ Brahmagupta kỹ thứ 6; Jayadeva (thế kỹ thứ 9) Bhaskara (thế kỹ 12) tìm lời giải đầy đủ phương trình 61x2 + = y2 Đó x = 226153980 y = 1766319049 Có nhiều toán Diophantine chưa giải kỷ nhà tốn học để ý tới II.- Phương trình Diophantine đơn giản Tài liệu xin giới thiệu cách giải tổng quát phương trình hay hệ thống phương trìng Diophantine đơn giản lại có nhiều áp dụng thực tiển Đó phương trình Diophantine tuyến tính có ẩn số x y: ax + by = c [2] hệ thống phương trình Diophantine có ẩn số x, y z ax + by + cz = u mx + ny + pz = v [3] [4] Bài tốn giải phương trình [2] hay giải hệ thống phương trình [3] & [4] gọi chung toán Diophantine Các ẩn số x, y, z hệ số a, b, c, m, n, p, u, v số nguyên dương hay âm Điều kiện gọi chung điều kiện Diophantine Bài toán Diophantine có tính chất chung số phương trình số ẩn số Khái quát: Nếu ẩn số tốn Diophantine, thí dụ y phương trình [2] hay z hệ thống phương trình [3] & [4], có trị số đó, tốn rút lại có số phương trình số ẩn số, theo lý thuyết giải Tuy nhiên, ẩn số phải thoả mãn điều kiện khác điều kiện Diophantine, điều kiện chia đúng, điều kiện chẳn lẻ số hạng, vv… Nếu giải được, tốn có: (i) (ii) (iii) nghiệm số nhất, nhiều nghiệm số, vô số nghiệm số, tuỳ theo điều kiện toán Trong phương trình [2], c = 0, phương trình ax + by = có vơ số nghiệm số có dạng: ax + by = [5] => x = bt, y = – at [6] với t số nguyên Trong hệ phương trình [3] & [4], u = v = 0, hệ giải sau: Nhân vế PT [7] cho p PT [8] cho c trừ vế để loại z: (pa – cm) x + (bp – nc) y = [9] Theo phương trình [5] nghiệm số [9] là: x = (bp – nc) t , y = (cm – pa) t [10] với t số nguyên Thay trị số x y vào phương trình a(bp – nc) t + b(cm – pa) t + cz = triển rút gọn: z = (an – mb) t [7] Khai [11] Như vậy, vế thứ hai toán Diophantine 0, tốn Diophantine có vơ số nghiệm số có dạng [6] hay [10] & [11] Bài tốn Diophantine đưa dạng có vế thứ hai ta biết nghiệm số tốn Thí dụ tốn Diophantine có nghiệm số (x0, y0) cho phương trình [2] ax0 + by0 = c [12] (x0,y0,z0) cho hệ thống [3] & [4]: ax0 + by0 + cz0 = u [13] mx0 + ny0 + pz0 = v [14] Trừ vế [2] với [12]: a(x – x0) + b(y – y0) = => Nghiệm số: x = x0 + bt, y = y0 – at theo [6] Trừ vế [3] với [13] [4] với [14]: a (x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = m(x – x0) + n(y – y0) + p(z – z0) = => Nghiệm số, theo [10] [11]: => x = x + (bp – nc) t , y = y + (cm – pa) t, z = z0 + (an – mb) t Tóm lại, biết nghiệm số đặc biệt tốn Diophantine, ta biết dạng tổng qt nghiệm số Nhưng tìm nghiệm số đặc biệt toán? Thường thường cách dò dẫm bước một! Trong trường hợp đơn giản phương trình [2], tác giả có tìm cách sau đây, phát biểu dạng định lý Định lý nầy cần định nghĩa phép chia liên tiếp sau: Giả sử a > b Chia a cho b, ta có dư số r1; tiếp tục chia b cho r1, ta có dư số r2; chia r1 cho r2, ta có dư số r3, … tiếp tục, lấy dư số phép chia trước chia cho dư số phép chia dư số a = b q1 + r1 b = r1 q2 + r2 r1 = r2 q3 + r3 r2 = r3 q4 + r4 ……… rn = rn+1 qn+2 + [15] ]16] r1, r2, r3, … gọi dư số phép chia liên tiếp a cho b Các dư số nầy giảm dần đến Định lý: Một nghiệm số phương trình tuyến tính Diophantine ax + by = c với a > b c ≠ 0, Để đơn giản, giả sử c = r2, xem phương trình [16] Bằng cách ngược từ phương trình [16] trở lên phương trình [15] thay dư số giá trị chúng suy từ phương trình , ta được: Từ [16], suy b – r1q2 Thay r1 suy từ [15] – bq1) q2 => c = r2 = => c = b – (a Khai triển rút gọn b(1 + q1q2) => c = – aq2 + Hay a(– q2) + b(1 + q1q2) = c Suy ra, nghiệm số phương trình x = – q2 y = + q1q2 Thí dụ: Xét phương trình Diophantine: 28x + 15y = [17] Bằng cách chia liên tiếp 28 cho 15, ta được: 28 = 15*1 + 13 15 = 13*1 + 13 = 2*6 + = 1*2 + [18] [19] [20] Vế thứ hai phương trình [17] dư số phép chia liên tiếp 28 cho 15, nên phương trình [17] có nghiệm số tìm cách ngược từ phương trình [20] trở lên phương trình [18]: Từ [20], suy => = 13 – 2*6 Thay suy từ (19) => = 13 – (15 – 13*1)*6 = – 15*6 + 13*7 Thay 13 suy từ (18) => = – 15*6 + (28 – 15*1)*7 Khai triển rút gọn => 28*7 – 15*13 = Suy ra: x = 7, y = –13 đặc biệt phương trình [17] nghiệm Theo trên, phương trình [17] có vơ số nghiệm số có dạng: x = + 15 t , y = – (13 + 28 t) Nếu khơng tìm nghiệm số đặc biệt tốn Diophantine sao? Trong trường hợp nầy, tốn giải điều kiện suy từ điều kiện Diophantine Phương pháp tổng quát hệ phương trình [3] & [4] với hệ số cho sẵn sau (để tránh phức tạp): 27x + 9y + 22z = 2578 [21] x+ y + z = 119 [22] với x, y z số nguyên dương Trừ ẩn số, thí dụ z, cách nhân (22) với 22, trừ vế: => => Hay 5x – 13y = – 40 x = (13y – 40) / [23] [24] x = (2*5 + 3) y / – x = 2y – + 3y / [25] Vì x, y số nguyên, nên 3y/5 phải bội số hay y phải bội số Đặt y/5 = t với t số nguyên dương hay => y = 5t [26] Thay y = 5t vào PT [25] : x = 2*5t – + 3t = 13t – [27] Vì x > => 13t – > => t > 8/13 [28] Thay trị số x y vào 22, suy ra: z = 119 – x – y = 119 – (13t – 8) – 5t = 127 – 18t [29] 127/18 Vì z > => 127 – 18t > => t < [30] Theo điều kiện (28) (30), thì: 8/13 < t < 127/18 hay < t < Tóm lại, hệ thống phương trình [21] & [22] có nghiệm số cho cơng thức: x = 13t – y = 5t z = 127 – 18t với < t < hay t có trị số 1, 2, 3, 4, 5, Với t = => x = 5, y = 5, z = 109 Với t = => x = 83, y = 35, z = II.- Vài nét lịch sử PT Diophantine Phương trình Diophantine nghiên cứu từ lâu nhà toán học Ân Độ trung cổ Họ người nghiên cứu cách có hệ thống phương pháp tìm nghiệm nguyên phương trình Diophantine - Aryabhata (499) người tìm dạng nghiệm tổng qt phương trình Diophantine tuyến tính (ax + by = c) , ghi Aryabhatiya ơng Thuật tốn kuttaka xem cống hiến quan trọng Aryabhata tốn học lý thuyết, tìm nghiệm PT Diophantine liên phân số Aryabhata dùng kĩ thuật để tìm nghiệm nguyên hệ phương trình Diophantine, tốn có ứng dụng quan trọng thiên văn học Ơng tìm nghiệm tổng qt PT tuyến tính vơ định PP - Brahmagupta vào năm 628 nắm phương trình Diophantine phức tạp Ơng sử dụng phương pháp chakravala để giải phương trình Diophantine bậc hai, bao gồm dạng phương trình Pell Cuốn Brahma Sphuta Siddhanta ông dịch sang tiếng Ả Rập vào năm 773 sau dịch sang tiếng Latin vào năm 1126 - Phương trình sau chuyển thành toán vào năm 1657 nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat Leonhard Euler 70 năm sau tìm nghiệm tổng quát trường hợp riêng phương trình Pell, nghiệm tổng quát phương trình Pell tìm 100 năm sau Joseph Louis Lagrange vào 1767 - Trong đó, nhiều kỉ trước, nghiệm tổng quát PT Pell ghi lại Bhaskara II vào 1150, sử dụng dạng khác phương pháp chakravala Ông sử dụng để tìm nghiệm tổng qt PT vơ định bậc hai phương trình Diophantine bậc hai khác Phương pháp chakravala Bhaskara dùng để tìm nghiệm PT Pell đơn giản nhiều so với phương pháp mà Lagrange sử dụng 600 năm sau Bhaskara tìm nghiệm PT vô định bậc hai, bậc ba, bốn cao VII HƯỚNG DẪN HỌC SINH TỰ HỌC ... cz = triển rút gọn: z = (an – mb) t [7] Khai [11] Như vậy, vế thứ hai to n Diophantine 0, tốn Diophantine có vơ số nghiệm số có dạng [6] hay [10] & [11] Bài tốn Diophantine đưa dạng có vế thứ... này, gặp số to n giải theo cách “giả sử…” “Gà chó 100 chân”…Gần số đề thi HSG có liên quan Vì mời bạn tham khảo tài liệu để giải to n tổng quát I.- Một số dạng phương trình Diophantine: * Phương... lịch sử PT Diophantine Phương trình Diophantine nghiên cứu từ lâu nhà to n học Ân Độ trung cổ Họ người nghiên cứu cách có hệ thống phương pháp tìm nghiệm ngun phương trình Diophantine - Aryabhata