Báo cáo học viên bắc ninh

DÃY SỐ LỒI Kiều Đình Minh, THPT chuyên Hùng Vương, Phú thọ Dãy số lồi xuất năm 70 kỷ trước chưa quan tâm mức, dãy số có nhiều ứng dụng quan trọng toán học Ngày người ta nghiên cứu nhiều dãy số lồi mở rộng ĐỊNH NGHĨA  Định nghĩa Dãy số thực  an 1 gọi lồi ak 1  ak 1  2ak với k  gọi lõm thỏa mãn ak 1  ak 1  2ak với k   Định nghĩa Đặt  ak  ak , ak  ak 1  ak ,  m ak     m 1ak  Dãy số  an 1 gọi lồi bậc m  m an  0, với m  Như dãy lồi bậc dãy lồi  Định nghĩa Dãy số dương  an 1 gọi lồi lôgarit ak 1ak 1  ak2 , k  gọi lõm lôgarit ak 1ak 1  ak2 , k   Định nghĩa Cho k  , k  Dãy  an 1 gọi k  lồi với n  1, ta có an 1  an   k  1 an k  an  an  k  an an k 1  an  k k Nhận xét:  +) Nếu  an 1 k  lồi an k  an  k 1  an1  an +) Một dãy  lồi dãy lồi Ngồi khái niệm người ta đưa định nghĩa dãy lồi trung bình, dãy tựa lồi, dãy giả lồi TÍNH CHẤT Định lý Cho dãy số lồi  an  , với n  l  k  an l  an l  an k  an k Chứng minh: Đặt ai  1  , i  1, suy ai 1  ai , i  Ta có n  l 1 an l  an  k   n 1 k ai ; an  k  an l  ink n  l 1 Vì ai 1  ai , i  1, nên suy  i n k  a i i  n l n 1 k ai   a Do a i n l  an l  an  k  an  k i  n l Định lý Với dãy số lồi  an  , max a1 , a2 , , an   max a1 , an  Chứng minh - Nếu với k  1, ta có ak  ak+1, max{a1, a2, …, an} = a1 = max{ a1, an} - Nếu k min, k  thoả mãn ak < ak+1, ta có: ak + ak+2  2ak+1  ak+1  ak+2  ak < ak+1 < ak+2 < … < an, mặt khác ta có : a1  a2  …  ak Như vậy, ta suy max{ a1, a2, … , an} = max{ a1, an} Trong trường hợp, ta có điều phải chứng minh Định lý Dãy  an  lõm dãy  an  lồi Chứng minh Dễ dàng suy từ định nghĩa  Định lý Cho  an 1 dãy số lồi Khi  (a) Nếu c  0, d    can  d 1 dãy số lồi;  (b) Nếu c    an  cn 1 dãy số lồi;  (c) Nếu an  0, n   an2 1 dãy số lồi ;   (d) Nếu  bn 1 dãy số lồi  an  bn 1 dãy số lồi Chứng minh  a) Do giả thiết  an 1 lồi nên ak 1  ak 1  2ak , k  Suy   cak  d    cak 2  d   c  ak  ak    2d  c.2ak 1  2d   cak 1  d  , hay  can  d 1 lồi b) Chứng minh tương tự a) k k 2 c) Ta có a  a  a  ak    k 2  2ak 1    2ak21 d) Chứng minh tương tự a)  Định lý Cho  an 1 dãy số lồi Khi   a) Nếu  an 1 khơng giảm  nan 1 dãy số lồi;  a b) Nếu  n   n 1  a không tăng  n   n 1 dãy số lồi Chứng minh a) Từ giả thiết, ta có n  an  an    2an   2nan 1  2an 1  nan   n   an 2   n  1 an 1 an an     n   an  nan   n    n  1  n  an  n  n     n  1  an  n n2 a a a Suy  n  1  n   an  nan 2   n  n   an  an   n  n   2an1  n  n   n1 n n2 n 1  Định lý Cho  an 1 lồi bị chặn Khi b) Ta có a) a1  a2 ;  b)  an 1 hội tụ đến giới hạn hữu hạn a ; Chứng minh a) Đặt a1  a2  a1  t Giả sử t  Từ giả thiết ta có an 1  an  an  an 1  an 1  an   a2  a1  t , suy an 1  an  t  an1  2t   a1  nt  Do t  nên cho n  , an1  , mâu thuẫn với tính bị chặn  an 1 Vậy t  hay a1  a2   b) Theo dễ suy  an 1 giảm Lại  an 1 bị chặn nên có giới hạn hữu hạn Định lý    a) Nếu  xn 1 ,  yn 1 dãy lồi lơgarit dãy  xn  yn 1 lồi lôgarit    b) Nếu  xn 1 ,  yn 1 dãy lồi lơgarit dãy  xn yn 1 lồi lôgarit Chứng minh a) Theo bất đẳng thức Bunyakovski, ta có  xn 1  yn1  xn 1  yn1    xn 1 xn 1  yn 1 yn 1  2   xn  yn  , n  b) Chứng minh tương tự a) MỘT SỐ THÍ DỤ MINH HỌA  Thí dụ Cho  an 0 dãy số lồi Chứng minh a1  a3   a2 n 1 a0  a2   a2 n  n n 1 Lời giải -Cách : Theo định lý 1, với n > l > k  an-l + an+l  an-k + an+k Như vậy, với cặp ( a2k, a2l) , ta có : a2k + a2l  a2k+1 + a2l-1 ( n > l > k  )   (a2k + a2l)   (a2k+1 + a2l-1) ( n > l > k  )  n( a0 + a1 + … + a2n)  (n+1)(a1 + a3 + … + a2n-1) Ta có điều phải chứng minh -Cách : Ta chứng minh quy nạp Với n  1, kết luận Giả sử khẳng định với n, ta chứng minh với n  1, hay  n   a1  a3   a2 n1    n  1 a0  a2   a2 n 2  Do  n  1 a1  a3   a2 n1   n  a0  a2   a2 n  nên ta cần chứng minh a1  a3   a2 n1   n   a2 n 1  a0  a2   a2 n   n  1 a2 n Điều a1  a2 n 1  a0  a2 n  a  a  n 1  a2  a2 n   a  a  a2 n   a2 n   n 1 n 1 a2 n 1  a2 n1  a2 n  a2 n  Cộng theo vế bất đẳng thức chiều ta có điều phải chứng minh.■ n Thí dụ Cho  1 dãy lồi, đặt Ak  k n Chứng minh  Ak 1  k i 1 dãy lồi Lời giải -Cách1: Định nghĩa f  k   k  k  1 k  1 Ak  Ak 1  Ak 1  , k  2,3, , n  Từ giả thiết suy f  k   f  k  1  k  k  1 k  1 Ak  Ak 1  Ak 1    k  1 k  k   Ak 1  Ak  Ak   k k 1 k 1 k 1 k k 2   k  1 k  1   k  k  1   k  k  1   2k  k      k  1 k     k  k  1  i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  k  k  1 2ak  ak 1  ak 1   Tức f  k   f  k  1 , k  3, 4, , n  Vì f  k   f  k  1   f     2a2  a3  a1   0, suy Ak  Ak 1  Ak 1 , k  2, 3, , n  ■ -Cách : Chứng minh quy nạp : Với k=1 ta dễ dàng có đpcm dãy an lồi Giả sử khẳng định đến l, ta có : Ak-1 + Ak+1  2Ak ( k  l )  (k2 – k)ak+1 + 2( a1 + a2 + … + ak-1)  ( k2 + k -2)ak ( k  l ) Ta chứng minh Al + Al+2  2Al+1  (l2 + l)al+2 + 2( a1 + a2 +… + al)  (l2 + 3l)al+1 Thật vậy, giả thiết quy nạp : (l2 – l)al+1 + 2( a1 + a2 +…+ al-1)  (l2 + l -2)al  (l2 + 1)al+2 + 2( a1 + a2 +…+ al-1 + al) + (l2 – 1)al+1  (l2 + l)(al+2 + al)  ( 2l2 + 2l)al+1  (l2 + l)al+2 + 2( a1 + a2 + …+ al)  (l2 + 3l) al+1 Vậy có điều phải chứng minh n Thí dụ Cho dãy số lồi  ak 1  n  3 với a1  an  Chứng minh a1  a2   an  a1  a2   an Lời giải Đặt ah  max a1 , a2 , , an  Giả sử s số nhỏ mà as  ah Ta chứng minh s  Thật vậy, s  1, theo định nghĩa số s, ta có as 1  as Do as  max a1 , a2 , , an  , nên nói riêng ta có as 1  as  as 1  as 1  2as , điều vô lý (chú ý as  a1   an  n  s  s  n ) Vậy s  Suy a1  max a1 , a2 , , an  , suy ak  0, k  1, 2, , n Do a1  a2   an  a1  a2   an ■  Thí dụ (IMO SL 1975) Cho  an 1 dãy số lồi cho  an  Chứng minh   n  1 an  an 1   2, n  1, 2,3, Lời giải Từ giả thiết suy dãy an bị chặn, từ áp dụng định lý 6, ta suy ak  ak+1 với k  Do  n  1 an  an1   0, n Để ý n n n   ak  nan 1   k ak   1    n  an   k 1 n  n  1 k 1 an  n  n  1  an  an1  Vì  n  1 an  an1   ■  Thí dụ (IMO SL 1988) Cho  ak 1 dãy số thực lồi không âm cho k a j  1, k  1, 2, Chứng minh j 1   ak  ak 1   , k  1, 2, k2 Lời giải Từ giả thiết suy dãy an bị chặn, từ áp dụng định lý , ta suy ak  ak+1, k Vì ak  ak 1  0, k Giả sử ak  ak 1  Thế với i  k , ta có k2 2k 1 i  , i  1, 2, , k k2 Suy a1  a2   ak  2k k  k  1     , điều k k k k2 Vì ak  ak 1  , k ■ k2 n Thí dụ Cho dãy số  1 lõm lôgarit thỏa mãn a1  1, an  Chứng minh k 1 ak  n 1 , 1  k  n Lời giải ak Đặt bk  , b1  bn  bk2  bk 1bk 1 , 2  k  n  k 1 n 1 Rõ ràng max bi   max b1 , bn   nên suy bk  1, k ■ 1i  n n Thí dụ (IMO LL 1978) Tìm số c  cho với dãy lõm dương  ak k 1 ta có n  n  a  c n     ak2  k  k 0  k 0  Lời giải Bất đẳng thức đề tương đương với n n  ak2  k 0 Trong  1 i  j  n a j  c  n  1  ak2 k 0 a j chứa số có dạng  1 i  j  n   j   j  a  i j   j  2   j  ai2 j , i  j  2 Với i, ta xét có cặp dạng n +)  i    Có cặp  1 , 1  ,  2 ,   , ,  a0 , a2i  Suy 2 ai2   1  1     a0  a2 i   ai2   1 1  ai21   a02  a22i   ai2   a02  a12   a 2 n    2   2  2  n +)     i  n  Có cặp  an , a2i n  ,  an 1 , a2i n1  , ,  1 , 1  Suy 2 ai2   1  1     an  a2i  n   2   a2i  n   an2  2 Vậy n    n  n  n 2  2 a  a  a  a   a      a22i  n   an2    k   k  i   2 i   n  1 k 0 i 1   k 0       Nếu n chẵn ta có n VP  n 1 n n n n n2 n 2 2 2 a  a  a   a  a   a  ak  0  k 2   2i  n  ak    ak 2i  n k 0 i  n 1 k 0 k 0 i 1 k 0 Nếu n lẻ ta có n 1 n n n n 1 n n 1 n VP   ak2    a02  a12   a22i     a22i  n   an2    ak2  ak  ak   k 0 i 1 i  n 1 k 0 2 k 0 k 0 Do đó, ta chọn c  ■ Trên số thí dụ dãy số lồi Để hiểu thêm vấn đề xin mời bạn đọc luyện tập qua số tập sau BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Chứng minh f  x  hàm số lồi với x  dãy an  f  n  , n  0,1, , lồi n   Bài  an 1 Đặt an    n  k  1bk , n  1, 2, Chứng minh dãy  an 1 lồi k 1 bn  0, n  n ak , Bn   An , n  1, 2,  n k 1 n 1  Chứng minh  an 1 lồi Bn  Bn 1 , n  2,3, n2  Bài Cho  an 1 dãy lồi giảm lim an  Chứng minh  Bài Cho  an 1 dãy số thực Đặt An  n  lim   n  1 an 1  nan   n   Bài Cho  an 1 lồi bị chặn Chứng minh a) lim  nan   0; n  n b) lim   k  1  ak  lim an  a1 n  n  k 1 Bài (IMO SL 1976) Cho a0 , a1 , , an , an1 dãy số thực thỏa mãn điều kiện sau a0  an 1  ak 1  2ak  ak 1  1, k  1, 2, , n Chứng minh ak  k n 1 k  , k  0,1, , n  Bài (IMO LL 1978) Giả sử  bn  n  0,1,  dãy số dương cho  nbn   n  0,1,  lồi với cách chọn   tùy ý Chứng minh dãy  log bn  n  0,1,  lồi Bài (IMO LL 1978) Chứng minh c  số tốt thỏa mãn N  N    an   c  N  1  an với dãy dương lõm  an  n  0,1, , N  n 0  n0  n Bài Giả sử  uk 1 dãy số lồi Chứng minh n 1  n  1   .uk  n 1   k  1  n  k 1  n n  a  Tìm biểu thức f  n   f  n  max  a ; a  Bài 10 Cho dãy số lồi  ak 1  n  3 cho i bé i 1 cho với k  1, 2, , n , ta có ak n  Bài 11 Xét dãy số nguyên dương  an  n0 Giả sử với k  , đa thức Pk  x   ak x k  ak 1 x k 1   a1 x  a0 có k nghiệm thực phân biệt Chứng minh an  n với n    Bài 12 Cho  an 1 k  lồi chặt Khi trường hợp sau xảy  c)  an 1 giảm;  d)  an 1 tăng; N  e) Tồn N   cho  al 1 giảm  am  N  k 1 tăng n n Bài 13 Cho dãy số lồi (lõm)  ak 1 Chứng minh dãy số  ck 1 , với  n  1 tăng (giảm) với ck  ak  an 1 k giảm (tăng) với k  1, 2, ,     n  1 k , , n   n  1 n Bài 14 Cho  ak 1 dãy lồi đặt N   Chứng minh bất đẳng thức   aN  an 1 N n a a    n n i 1  Bài 15 Dãy số  un 0 gọi giả lồi thỏa mãn điều kiện uk 1  uk 1 , k  1, 2, ,  c số thực khác Cho dãy giả lồi  un 0 , chứng minh với uk  c  k  1, 2,3, , n, ta có ku  k u k  k  n  k  c     u0  n n  n  Bài 16 Cho dãy lõm lôgarit  un 0 gồm toàn số nguyên dương với u0  Hãy tính giới hạn sau lim n  1 n       n  u1 u2 u3 un  Chuyên đề: BÀI TỐN TƠ MÀU Tác giả: Trần Mạnh Sang; Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định; Địa email: manhsang12.1@gmail.com; Số điện thoại : 0972276698 Chuyên đề tập trung vào phần: Phần tô màu điểm mặt phẳng, không gian; phần tốn tơ màu đồ thị phần tốn tơ màu bảng vng số tốn ứng dụng phương pháp tơ màu Phần 1: Các tốn tơ màu điểm Bài Mỗi điểm đường thẳng tô màu Chứng minh tồn điểm tô màu mà có điểm trung điểm điểm lại Giải Nếu tất điểm tơ màu ta có điều phải chứng minh Ngược lại, xét điểm A, B tô màu, giả sử đỏ Điểm C trung điểm AB, C tơ xanh ta có điều phải chứng minh Nếu C tô đỏ, xét điểm D E tương ứng đối xứng với A qua B đối xứng với B qua A Nếu có điểm tơ xanh điểm với A, B thỏa mãn Nếu khơng điểm tơ đỏ, điểm với C thỏa mãn Vậy ta có điều phải chứng minh Một tốn có lời giải tương tự Bài Mỗi điểm đường tròn tơ màu Chứng minh tồn điểm tô màu mà điểm tạo dây cung Bài Mỗi điểm mặt phẳng tô màu số dương d Chứng minh tồn điểm có khoảng cách d tơ màu Giải Giả sử tô màu xanh đỏ Cách 1: Nếu tất điểm tô màu ta có điều chứng minh Ngược lại, xét điểm O tơ đỏ đường tròn tâm O bán kính d Nếu có điểm đường tròn tơ đỏ điểm với O thỏa mãn Ngược lại, tất điểm đường tròn tơ xanh, chọn điểm có khoảng cách d, hai điểm thỏa mãn điều kiện Vậy ta có điều chứng minh Cách 2: Xét tam giác ABC cạnh d Do điểm tô màu nên có điểm tơ màu, hai điểm thỏa mãn điều kiện Ta có điều chứng minh Bài Mỗi điểm mặt phẳng tô màu số dương d Chứng minh tồn điểm có khoảng cách d tơ màu Giải Giả sử có màu xanh, đỏ, vàng Xét điểm O tô màu xanh đường tròn tâm O bán kính A P d Nếu tất điểm đường tròn tơ màu xanh điểm đường tròn có khoảng cách d thỏa mãn điều kiện O B Ngược lại đường tròn có điểm tơ khác xanh, giả sử điểm P tô màu đỏ Xét điểm A, B cho tam giác OAB PAB có cạnh d Nếu điểm A B tơ đỏ xanh với O P thỏa mãn Ngược lại điểm tô vàng, hai điểm thỏa mãn Vậy có điều chứng minh Cách trình bày sách Geometric Etudes in Combinatorial Mathematics tác giả A Soifer nhà xuất Springer, 2010 (2nd, expanded edition) Xét điểm A, B, C, D, E, F, G cho tất đoạn AB, AC, AD, AE, BE, CD, FB, FD, GD, GC, FG d A (Dựng ngũ giác ABFGC, trung trực AB BF cắt E, trung trực AC CG cắt D) B C Giả sử A tơ xanh D Nếu có B E tơ xanh điểm với A thỏa mãn Nếu điểm tơ màu điểm thỏa mãn F E G Ngược lại điểm B E tô khác màu khác xanh, giả sử B tô đỏ E tô vàng Xét điểm F, tô đỏ vàng có điều chứng minh, ngược lại F tô xanh Xét tương tự với điểm lại ta có điều chứng minh Qua hai tốn nhận thấy tơ màu điểm mặt phẳng n màu  n  2,3 ln có điểm màu có khoảng cách d cho trước Vấn đề đặt có phải với n ta có điều hay không Gọi n số nhỏ mà tô màu điểm n màu cách khơng thu điểm màu có khoảng cách d cho trước Theo tốn dễ thấy n  Ta chứng minh n  Chứng minh Giả sử có màu 1, 2, 3, 4, 5, 6, Chia mặt phẳng thành lục giác đều, lục giác có cạnh a (như hình vẽ) Những lục giác đánh số i điểm tơ màu i Khi khoảng cách điểm tô màu lục giác không lớn 2a Khoảng cách điểm tô màu lục giác khác khơng nhỏ AB (hình vẽ dưới) Ta có AB  AC  BC  4a  3a  a  4a d d  a  khoảng cách điểm màu không d Ta cần chọn a cho 2a  d  7a  Bài Mỗi điểm mặt phẳng tô màu Chứng minh tồn tam giác mà đỉnh tơ màu Giải Giả sử có màu xanh đỏ Theo kết ta có điểm A, B, C tô màu mà B trung điểm AC, giả sử tô màu đỏ Xét điểm D, E, F hình vẽ Khi tam giác ABD, BCE, DEF, BDE, ACF Nếu có điểm D, E, F tơ đỏ với Một dạng đơn giản thông dụng đường lối kể chiến thuật chơi dạng “đối xứng”: Chia tập tất tình P thành cặp cho đối thủ gặp tình cặp người chơi ln đưa tình lại cặp Hoặc chí người chơi chơi giống hệt tương tự người chơi trước Bài 13: (Đề thi chọn học sinh giỏi Hải Phòng bảng A1 năm học 2008 – 2009) Số 102008 viết bảng Hai người A B chơi trò chơi mà hai người luân phiên thực hai cơng việc sau: i) xóa số x bảng thay vào hai số tự nhiên a, b > mà x = ab , ii) xóa số lượng tùy ý số bảng (nếu có số vậy) A người chơi trước chơi tiếp thua Hỏi người thắng hai người chơi thông minh? Giải: Ta chiến thuật thắng A Đầu tiên A thay số 102008 số 22008 52008 Sau đó: Nếu B thay số 2n thành số 2i 2j A thay số 5n thành số 5i 5j Nếu B thay số 5n thành số 5i 5j A thay số 2n thành số 2i 2j Nếu B xóa m số 2n A xóa m số 5n Nếu B xóa m số 5n A xóa m số 2n Với chiến thuật dạng “đối xứng” A B chắn người khơng nước thua Bài 14: A, B tô màu bảng 20 × 11 ô vuông Mỗi lượt người chơi quyền tơ màu hình vng kích thước tùy ý gồm ô vuông chưa tô màu Ai tô ô vng cuối thắng Hỏi có chiến thuật thắng cuộc? Giải: Ta chiến thuật thắng A Đầu tiên A tơ màu hình vng kích thước 10 × 10 hình vẽ Tiếp theo B tơ màu hình vng A tơ màu hình vng đối xứng hình vng qua trục đối xứng thẳng đứng bảng 20 × 11 vng Khi chắn A người tô ô vuông cuối thắng Bài 15: (Russia 2014) A B chơi trò chơi Có bảng n × n , ban đầu tất ô bảng màu trắng trừ góc có màu đen đặt quân xe A chơi trước Trong lượt chơi mình, người chơi di chuyển quân xe đến ô trắng tô lại thành màu đen cho Q trình tiếp tục Ai không chơi thua Biết hai người chơi thông minh, hỏi thắng cuộc? Giải: Nếu n lẻ B thắng Chiến thuật B: Trừ góc màu đen ban đầu, B chia bảng thành hình chữ nhật × Mỗi A di chuyển quân xe vào ô hình chữ nhật × B di chuyển qn xe vào lại hình chữ nhật × B thắng Nếu n chẵn A thắng Chiến thuật A: Đầu tiên A di chuyển quân xe đến ô bên cạnh lặp lại chiến thuật giống B thắng Bài 16: (Baltic Way 2015) A B chơi trò chơi Có hai đống sỏi, đống chứa 10000 20000 viên sỏi A chơi trước Trong lượt chơi mình, người chơi lấy số tùy ý viên sỏi từ đống lấy từ hai đống, đống tùy ý viên cho tổng số viên lấy chia hết cho 2015 Ai không chơi thua Biết hai người chơi thông minh, hỏi thắng cuộc? Giải: Ta chiến thuật thắng A Ban đầu, A lấy tổng cộng 28210 = 14 × 2015 viên sỏi, 9105 viên từ đống 10000 viên 19105 viên từ đống 20000 viên Như đống lại 895 viên Tiếp theo tổng số sỏi lại 2015 viên nên B lấy sỏi từ hai đống Khi B lấy sỏi đống A lấy viên sỏi đống lại thắng Bài 17: (British 2017) A B chơi trò chơi A chơi trước Trong lượt chơi mình, người chơi chọn số nguyên dương không 100 cho số chưa chọn trước (của hai người) tổng tất số chọn (của hai người) viết dạng hiệu hai số phương Q trình tiếp tục Ai khơng chơi thua Biết hai người chơi thông minh, hỏi thắng cuộc? Giải: Ta chiến thuật thắng A Chú ý số viết dạng hiệu hai số phương khơng có dạng 4k + Ban đầu A chọn số 100 Tiếp theo A chia 99 số lại thành cặp (1;99 ) , ( 2;98 ) , , ( 49;51) số 50 Mỗi B chọn số, A chọn số lại cặp tổng mà A tạo chia hết cho Cuối B bắt buộc phải chọn số 50 tổng chia dư thua Bài 18: (Malaysia 2013) A B thi nhảy Pseudo – Gangnam Style Cho trước số nguyên dương n Ban đầu, hai người chơi quay mặt hướng Bắc Với k ≥ , vào thời điểm 2k − giây sau bắt đầu, A chọn đứng yên quay 900 theo chiều kim đồng hồ, B bắt buộc phải làm theo A; vào thời điểm 2k giây sau bắt đầu B lựa chọn đứng n quay 900 theo chiều kim đồng hồ, A bắt buộc phải làm theo B Quá trình tiếp tục Sau n giây, nhạc tắt trò chơi kết thúc Khi hai quay mặt hướng Bắc hướng Đơng A thắng, ngược lại B thắng Biết hai người chơi thông minh, hỏi thắng nếu: a) n = 20132012 b) n = 20132013 Giải: a) Ta chiến thuật thắng A Ta có 2013 ≡ ( mod8 ) , ta có 20132012 ≡ 52012 ≡ ( mod8 ) , sau lượt chơi đầu tiên, lại 52012 − = 8k lượt chơi Khi A đứng yên lượt Trong 8k lượt chơi lại, mục tiêu A sau hai lượt chơi hai người khiến hai người quay 900 cách B đứng n A quay 900 , B quay 900 A đứng n Khi sau hai người chơi quay mặt hướng Bắc ban đầu A thắng b) Ta chiến thuật thắng B Bây ta có 20132013 ≡ 52013 ≡ ( mod8 ) Trong 20132013 − lượt chơi đầu tiên, mục tiêu B sau hai lượt chơi hai người khiến hai người quay 900 cách A đứng yên B quay 900 , A quay 900 B đứng yên Khi sau 20132013 − lượt chơi hai người chơi quay mặt hướng Nam Lượt chơi cuối cùng, A đứng yên hay quay 900 hai người chơi quay mặt hướng Nam hướng Tây, B thắng Bài 19: (Iran 2016) A B chơi trò chơi Có bảng 100 × 100 , ban đầu tất ô bảng đánh số A chơi trước Trong lượt chơi mình, người chơi chọn cột dòng cộng thêm theo mod vào tất Quá trình tiếp tục kết thúc người chơi 100 lượt A thắng bảng có nhiều 5000 đánh số B thắng bảng có nhiều 5000 đánh số Còn lại hòa Biết hai người chơi thông minh, hỏi thắng cuộc? Giải: Trò chơi hòa Ta chiến thuật không thua hai Chiến thuật A: A chọn tất dòng, dòng lần Vì kết cuối ô phụ thuộc vào số lần lựa chọn mà khơng phụ thuộc vào thứ tự lựa chọn nên để đơn giản ta xét A trước 100 lượt, sau B tiếp 100 lượt Sau A trước 100 lượt bảng chứa tồn số Để đưa số số 0, B cần lần cộng thêm, để có nhiều 5000 số bảng, B cần có nhiều 10000 lần cộng thêm Trong B có 100 lượt chơi, lượt chơi cộng thêm 100 lần, nên có tổng cộng 10000 lần cộng thêm Vậy B chiến thắng Chiến thuật B: Chơi giống hệt A chơi, tức A chọn dòng cột B chọn dòng cột Như ô A chọn k lần tổng cộng hai người chơi chọn 2k lần Để có kết cuối ta phải có 2k ≡ ( mod 3) ⇔ k ≡ ( mod 3) , tức k ≥ , hay A phải chọn lần Như để có nhiều 5000 số bảng, A cần có nhiều 10000 lần cộng thêm Trong A có 100 lượt chơi, lượt chơi cộng thêm 100 lần, nên có tổng cộng 10000 lần cộng thêm Vậy A khơng thể chiến thắng Do trò chơi hòa Bài 20: (Mở rộng Belarus 2017) A B chơi trò chơi Có đường tròn A chơi trước Trong lượt chơi mình, người chơi tơ màu điểm đường tròn, A tô màu trắng, B tô màu đen (mỗi điểm tơ tối đa lần) Q trình tiếp tục Khi hai người tô tổng cộng n điểm, điểm lại đường tròn tự động tô màu với điểm gần n điểm (nếu tồn hai điểm gần khác màu điểm lại khơng tơ màu) Sau người chơi tính tổng độ dài cung tròn có màu mình, có tổng lớn thắng cuộc, hai tổng hòa Biết hai người chơi thơng minh, hỏi thắng cuộc? Giải: Với n = 2k + , ta chiến thuật thắng A Do A tô màu điểm điểm cuối 2k + điểm nên A tơ k + điểm màu trắng cho 2k + điểm đó, khơng có hai điểm màu đen cạnh nhau, ngồi ln có hai điểm màu trắng cạnh Gọi hai điểm màu trắng cạnh A1 A2 k +1 đặt tên điểm lại A2 , A3 , , A2 k theo thứ tự kim đồng hồ, điểm màu trắng A1 , A3 , , A2k −1, A2k +1 , điểm màu đen A2 , A4 , , A2 k Gọi X trung điểm cung tròn A2i −1 A2i , X khơng tơ màu, điểm lại cung tròn A2i −1 X có màu trắng điểm lại cung tròn XA2i có màu đen Tương tự suy tổng độ dài cung tròn đen, trắng nằm cung tròn A1 A2k +1 Còn lại tồn điểm cung tròn A2 k +1 A1 có màu trắng Như A thắng Với n = 2k , ta chiến thuật không thua B Mỗi A tô màu trắng điểm, B cần tô màu đen điểm đối xứng với điểm qua tâm đường tròn Khi dễ dàng thấy tổng độ dài cung tròn đen, trắng ln Như trò chơi hòa Bài 21: (Benelux 2017) A B chơi trò chơi Một đất nước bao gồm n ≥ đảo, có hai đảo có nhà máy Ban đầu khơng có cầu nối đảo A chơi trước Trong lượt chơi mình, người chơi xây dựng cầu nối hai đảo I1 , I tùy ý thỏa mãn: i) I1 , I chưa có cầu nối với ii) Ít hai đảo I1 , I có nhà máy nối liền (thông qua chuỗi cầu) đến đảo có nhà máy Quá trình tiếp tục Ai xây dựng cầu làm cho hai đảo có chứa nhà máy nối liền với (thông qua chuỗi cầu) trước thua Biết hai người chơi thông minh phép xây dựng cầu giao (hoặc nhau), hỏi thắng cuộc? Giải: Nếu n chẵn B thắng cách sử dụng chiến thuật đối xứng B chia đảo thành cặp: hai đảo có nhà máy thành cặp, đảo lại hai đảo thành cặp Mỗi A xây cầu nối hai đảo B xây cầu nối hai đảo tương ứng theo cặp với hai đảo A Như B chắn thắng Nếu n lẻ, người chơi thua việc xây dựng cầu tạo thành hai đồ thị đầy đủ liên thông, đồ thị đầy đủ liên thông có chứa đảo có nhà máy, người chơi bắt buộc phải xây dựng cầu nối đảo bên đồ thị đầy đủ liên thơng với đảo bên đồ thị đầy đủ liên thông thua Nếu đồ thị đầy đủ liên thơng có k n − k đỉnh (hòn đảo) tổng số cạnh (cây cầu) k ( k − 1) ( n − k )( n − k − 1) n − n n2 − n Ck2 + Cn2−k = + = + k (n − k ) ≡ ( mod ) 2 2 Khi n ≡ ( mod ) Còn n ≡ ( mod ) n2 − n chẵn B thắng giống trường hợp n2 − n lẻ A thắng chiến thuật đối xứng tương tự Vậy A thắng n ≡ ( mod ) , lại B thắng Bài 22: (Hong Kong 2016) A B chơi trò chơi Có n ≥ đường tròn phân biệt mặt phẳng cho hai đường tròn ln cắt khơng có ba đường tròn đồng quy Ban đầu giao điểm hai đường tròn đặt đồng xu A chơi trước Trong lượt chơi mình, người chơi lấy đồng xu khơng nằm đường tròn mà đối thủ vừa lấy đồng xu trước Ai khơng chơi thua Biết hai người chơi thơng minh, với giá trị n B thắng cuộc? Giải: B thắng với n ≥ Rõ ràng A thắng n = 2,3 Ta viết lại toán dạng: A B chơi trò chơi A chơi trước Trong lượt chơi mình, người chơi chọn hai số nguyên dương phân biệt không vượt n cho số trùng với hai số mà đối thủ vừa chọn trước đó, ngồi cặp số chọn tối đa hai lần Ai không chơi thua Chứng minh B có chiến thuật thắng với n ≥ Thật vậy, ta chia cặp số thành hai nhóm, cho A chọn cặp số B chọn cặp số lại -) Với n = , cặp số {(1; ) ; ( 3;4 )} , {(1;3) ; ( 2; )} {(1; ) ; ( 2;3)} -) Với n = , cặp số {(1; ) ; ( 3;4 )} ,{(1;3) ; ( 2;5)} ,{(1; ) ; ( 3;5)} ,{(1;5) ; ( 2;4 )} {( 2;3) ; ( 4;5)} {(1;3) ; ( 2;5)},{(1; ) ; ( 2;6 )} ,{(1;5) ; ( 3;6 )} ,{(1;6 ) ; ( 4;5)}, {( 2;3) ; ( 4;6 )} ,{( 2; ) ; ( 3;5)} {(1;2 ) ; ( 3; ) ; ( 5;6 )} -) Với n = , cặp số Với cặp số cuối, để chiến thắng, B không chọn cặp số hai lần liên tiếp lượt chơi cuối cùng, chẳng hạn A chọn (1; ) , B chọn ( 3;4 ) A lại chọn (1; ) B phải chọn ( 5;6 ) (không trùng với ( 3;4 ) B chọn trước đó) {(1;3) ; ( 4;6 )},{(1; ) ; ( 5;7 )} ,{(1;5) ; ( 4;7 )} ,{(1;6 ) ; ( 2;7 )}, {(1;7 ) ; ( 3;5)},{( 2;3) ; ( 4;5)} ,{( 2; ) ; ( 6;7 )} ,{( 2;5) ; ( 3;6 )} ,{( 2;6 ) ; ( 3;7 )} {(1;2 ) ; ( 3; ) ; ( 5;6 )} -) Với n = , cặp số -) Tiếp theo giả sử B thắng với số n , ta chứng minh B thắng với số n + Từ n + đến n + ta chia thành hai nhóm giống n = , cụ thể {( n + 1; n + ) ; ( n + 3; n + )} ,{( n + 1; n + 3) ; ( n + 2; n + )} {( n + 1; n + ) ; ( n + 2; n + 3)} {( n + 1;1) ; ( n + 2; )} ,{( n + 1;2 ) ; ( n + 2;3)},…,{( n + 1; n ) ; ( n + 2;1)} {( n + 3;1) ; ( n + 4; )} , {( n + 3; ) ; ( n + 4;3)} ,…,{( n + 3; n ) ; ( n + 4;1)} Còn lại ta chia thành Như B thắng với n ≥ Các toán khác: Bài 23: (Argentina TST 2010) A B chơi trò chơi Một hình thoi cạnh n , với góc đỉnh 600 1200 , chia thành 2n tam giác (hình vẽ minh họa với n = ) A chơi trước, sử dụng đồng xu màu đỏ, B sau, sử dụng đồng xu màu xanh, ban đầu hai đồng xu đặt hai góc 600 đối diện hình thoi Trong lượt chơi mình, người chơi di chuyển đồng xu sang chung cạnh với đặt Q trình tiếp tục Ai đặt đồng xu vào chứa đồng xu đối thủ đưa đồng xu sang góc 600 đối diện trước thắng Biết hai người chơi thông minh, hỏi thắng cuộc? Giải: Tô màu hình thoi hai màu xanh, đỏ xen kẽ, tam giác có đỉnh quay lên màu đỏ, tam giác có đỉnh quay xuống màu xanh (ban đầu đồng xu màu xanh đặt ô xanh, đồng xu màu đỏ đặt ô đỏ) Sau lượt A, hai ô chứa hai đồng xu hai ô màu, sau lượt B, hai ô chứa hai đồng xu hai ô khác màu, A đặt đồng xu vào ô chứa đồng xu đối thủ Bây A ln ln đưa đồng xu xuống đứng đặt đồng xu vào chứa đồng xu B đưa đồng xu sang góc 600 đối diện trước thắng Bài 24: (India 2014) A B chơi trò chơi Trên bảng viết đa thức x + x + 2014 A chơi trước Trong lượt chơi mình, A tăng giảm hệ số x lên xuống 1, B tăng giảm hệ số tự lên xuống Quá trình tiếp tục A thắng đến lúc đó, đa thức bảng có nghiệm nguyên, ngược lại B thắng Chứng minh A có chiến thuật thắng Giải: Với i ≥ , ký hiệu fi ( x ) đa thức bảng sau B chơi Khi A giảm hệ số x xuống fi +1 ( ) fi ( ) − fi ( ) − tùy thuộc vào việc B tăng hay giảm hệ số tự A tiếp tục đến ≤ fi ( ) ≤ Nếu fi ( ) = A thắng Nếu fi ( ) = A tiếp tục giảm hệ số x xuống thêm lần fi ( ) = A lại thắng Nếu fi ( ) = fi +1 ( ) = A thắng, fi +1 ( ) = −2 A tăng hệ số x lên đưa fi +1 ( ) = thắng Bài toán chứng minh Bài 25: (Taiwan TST 2014) A B chơi trò chơi A chơi trước Trong lượt chơi mình, người chơi chọn chữ số nguyên dương khác từ đến Quá trình tiếp tục đến tạo số nguyên dương gồm chữ số khác (theo thứ tự lựa chọn A1B2 A3 B4 A5 B6 A7 ) A thắng số tạo chữ số cuối lũy thừa bậc 7, ngược lại B thắng Biết hai người chơi thông minh, hỏi thắng cuộc? Giải: Ta chiến thuật thắng A Ta chứng minh mod 107 ánh xạ x → x7 song ánh ( ) Nếu x − y ≡ mod107 ord 10 x x 7   | , mà ord107   | ϕ 10 ϕ 10 nguyên  y  y ( ) ( )  x   = , x ≡ y mod10  y Từ số có chữ số mà khơng chia hết cho khơng chia hết cho số chữ số cuối lũy thừa bậc Vậy A cần chọn A7 = 1,3,7,9 , B chọn chữ số nên A ln ln tố với nên ord 107 ( ) chọn chữ số thắng Bài 26: (Paraguay TST 2015) A B chơi trò chơi A chọn trước số nguyên dương m ≤ 2016 Trong lượt chơi, B chọn số nguyên dương n tùy ý, A cho B biết số m + n có phải số ngun tố hay khơng Q trình tiếp tục B thắng đoán số m khơng q 2015 lượt chơi, lại A thắng Biết hai người chơi thông minh, hỏi thắng cuộc? Giải: Ta chứng minh B có chiến thuật thắng A chọn số m Ta có 2016!+ 2, 2016!+ 3, , 2016!+ 2016 2015 hợp số liên tiếp Với p số nguyên tố lớn nhỏ 2016!+ rõ ràng số nguyên tố lớn 2016!+ 2016 , p + 1, , p + 2015 hợp số Bây B chọn n = p − Nếu m + n ngun tố m = Nếu khơng B chọn n = p − Nếu m + n nguyên tố m = Quá trình tiếp tục Cuối B chọn n = p − 2015 Nếu m + n nguyên tố m = 2015 Nếu khơng m = 2016 Như B thắng Bài 27: (Hong Kong TST 2016) A B chơi trò chơi i) A viết 2015 số nguyên tố phân biệt thành hàng theo thứ tự tăng dần bảng Tích số điểm số A ii) B viết số nguyên dương tùy ý iii) A chọn k số nguyên tố (từ trái sang phải) hàng bảng (với k tùy ý, ≤ k ≤ 2015 ) tính tích k số nguyên tố iv) B cộng kết bước iii) với số B viết bước ii) Tổng điểm số B Nếu điểm số A B nguyên tố B thắng, ngược lại A thắng Biết hai người chơi thông minh, hỏi thắng cuộc? Giải: Ta chiến thuật thắng B, tức cách để B ln chọn số nguyên dương n cho với 2015 số nguyên tố phân biệt p1 < p2 < < p2015 , tất số n + p1 , n + p1 p2 , , n + p1 p2 p2015 nguyên tố với m = p1 p2 p2015 B cần xác định n theo mod pi ,1 ≤ i ≤ 2015 , sau sử dụng định lý thặng dư Trung Hoa Như theo mod pi , B cần có n, n + p1 , n + p1 p2 , , n + p1 p2 pi −1 ≠ ( mod pi ) Với X = {1;2; ; pi − 1} ( mod pi ) ký hiệu { X − a} = {1 − a; − a; ; pi − − a} , B có X ∩ { X − p1} ∩ { X − p1 p2 } ∩ ∩ { X − p1 p2 pi −1} ≠ ∅ Do { X − a} = pi − nên S ∩ { X − a} ≥ S − , từ suy X ∩ { X − p1} ∩ { X − p1 p2 } ∩ ∩ { X − p1 p2 pi −1} ≥ X − ( i − 1) = pi − i ≥ cần Đó điều cần phải chứng minh Bài 28: (IMO Shortlist 2015) A B chơi trò chơi Cho trước số nguyên dương n A chơi trước Trong lượt chơi mình, người chơi chọn số nguyên dương không vượt n cho không trùng với số mà đối thủ chọn không liên tiếp với số mà thân người chơi chọn Q trình tiếp tục Trò chơi hòa tất số nguyên dương không vượt n chọn, khơng khơng chơi thua Biết hai người chơi thông minh, hỏi thắng cuộc? Giải: Ta chiến thuật khơng thua B Do tính đối xứng n từ “liên tiếp” nên ta giả sử lượt chơi A chọn n +1 số nguyên dương không vượt Khi lượt chơi B chọn số n Tiếp theo, A chơi k lượt trừ k số A chọn ra, số lại tập {1; 2; ; n} chia thành k tập khác rỗng, tập gồm số liên tiếp (nếu A chọn số khơng chọn số n số lại tập {1; 2; ; n} chia thành k tập, khơng chọn số số n chia thành k + tập) Khi B chọn k − số nên ln tập B chưa chọn số để lựa chọn Số thỏa mãn điều kiện khơng trùng với số mà A chọn không liên tiếp với số mà B chọn Với chiến thuật B không thua n +1 Cụ thể hơn, n > lẻ, B hòa A chơi đến lượt thứ , tức chọn tất số lẻ từ đến n , vơ lý B chọn số n Tức trường hợp B thắng Khi n > chẵn, B hòa A chọn tất số lẻ từ đến n − Khi n ≥ dễ thấy B chọn số lẻ lượt chơi thứ hai Và trường hợp B thắng Kiểm tra chi tiết trường hợp lại, ta có kết hòa xảy n ∈ {1; 2;4;6} Bài 29: (Argentina TST 2012) A B chơi trò chơi A tơ màu đỏ 46 bảng × Nếu B tìm hình vng × có màu đỏ B thắng, ngược lại A thắng Biết hai người chơi thông minh, hỏi thắng cuộc? Giải: Ta chứng minh B thắng Bổ đề 1: Nếu tô màu đỏ ô bảng × cho hình vng × có nhiều màu đỏ góc tơ màu đỏ Chứng minh: Đặt tên vng hình vẽ Ký hiệu = tơ màu đỏ, ngược lại = Ta có 9 ∑ ≥  i =1 a1 + a2 + a4 + a5 ≤  a2 + a3 + a5 + a6 ≤ a + a + a + a ≤  a5 + a6 + a8 + a9 ≤     Cộng bất đẳng thức cuối vào ta có  ∑  + a2 + a4 + a6 + a8 + 3a5 ≤  i =1  Do a2 + a4 + a6 + a8 + 3a5 ≤ Suy a5 = có nhiều số a2 , a4 , a6 , a8 Mà bảng có tơ màu đỏ nên góc a1 , a3 , a7 , a9 phải tô màu đỏ ô a2 , a4 , a6 , a8 tô màu đỏ Bổ đề 2: Với n nguyên dương lẻ, để bảng n × n hình vng × có nhiều n màu đỏ phép tơ nhiều n   ô (ở  x  số nguyên nhỏ 2 không nhỏ x ) Chứng minh: Ta chứng minh bổ đề quy nạp theo n Với n = hiển nhiên Giả sử ta có kết với n = 2k − , tức số ô nhiều tơ màu đỏ bảng 2k −  = ( 2k − 1) k ( 2k − 1) × ( 2k − 1) ( 2k − 1)    Chia bảng ( 2k + 1) × ( 2k + 1) thành bảng ( 2k − 1) × ( 2k − 1) , 2k − bảng × bảng × bị khuyết góc Theo bổ đề quy nạp ta có số nhiều tơ bảng ( 2k + 1) × ( 2k + 1) 2k +  , điều cần phải   ( 2k − 1) k + ( 2k − ) + = ( 2k + 1)( k + 1) = ( 2k + 1)  chứng minh Áp dụng: Theo bổ đề rõ ràng B thắng Bài 30: (IMO Shortlist 2013) A B chơi trò chơi Có trục số thực màu trắng A có bình mực đen với đơn vị thể tích mực x ∈ R đơn vị thể tích mực tơ đen vừa đủ đoạn thẳng (đóng) độ dài x trục số thực A chơi trước Trong lượt chơi, A lấy m đơn vị k thể tích mực với m nguyên dương tùy ý, B tô màu đen đoạn thẳng từ số m đến số k +1 với k nguyên tùy ý (đoạn thẳng tơ đen số phần trước đó) 2m Quá trình tiếp tục A thắng hết mực, đoạn thẳng [ 0;1] chưa tô đen hồn tồn, ngược lại B thắng Hỏi có tồn chiến thuật để A thắng không? Giải: Ta chứng minh không tồn chiến thuật thắng A  k k + 1 Chiến thuật B: B chọn số k nguyên nhỏ cho đoạn  m ; m  hoàn toàn  2 màu trắng Giả sử tồn chiến thuật để A thắng cuộc, chẳng hạn chọn m = m1, , mn với n nhỏ có thể, B chọn k = k1, , kn tương ứng Gọi m p > số lớn số m1 , , mn , số phải xuất hai lần m p = mq với q > p (để tổng số có dạng ngun) 2m Ngồi số k p tương ứng B chọn phải chẵn kp +1 kp +  Hơn kq > k p B chọn k p nhỏ  m ; m  phải hoàn toàn trắng p   p Do kq = k p + , điều tương đương với việc thay m p m p − bỏ mq Như A có chiến thuật thắng với n nhỏ hơn, mâu thuẫn Cuối cùng, thay cho lời kết, xin gửi đến độc giả số tập khác để rèn luyện thêm: Bài 31: (RMM 2015) A B chơi trò chơi Có n − giác với n ≥ Ban đầu đặt viên sỏi đỉnh liên tiếp n − giác A chơi trước Trong lượt chơi mình, người chơi di chuyển viên sỏi dọc theo cạnh n − giác để đến đỉnh tùy ý cho viên sỏi không nhảy qua viên sỏi khác diện tích tam giác tạo viên sỏi phải lớn diện tích tam giác tạo viên sỏi cũ Quá trình tiếp tục Ai không chơi thua Biết hai người chơi thông minh, hỏi với giá trị n A thắng cuộc? Bài 32: (Baltic Way 2013) A B chơi trò chơi Có số nguyên dương viết bảng A chơi trước Trong lượt chơi mình, người chơi thay số n có bảng số n − m với m ước nguyên dương tùy ý khác n n Quá trình tiếp tục Ai khơng chơi thua Biết hai người chơi thông minh, hỏi với giá trị n B thắng cuộc? Bài 33: A B chơi trò chơi Có 2014 quân bàn, quân viết số khác số 20 , 21 , 22 , , 22013 A chơi trước Trong lượt chơi mình, người chơi lấy quân tùy ý Quá trình tiếp tục Đến hết bài, người tính tổng số quân lấy Nếu hai tổng nguyên tố B thắng, ngược lại A thắng Biết hai người chơi thông minh, hỏi thắng cuộc? Bài 34: (Saudia Arabia TST 2014) A B chơi trò chơi A nghĩ số nguyên dương lớn 100 Rồi B nói số nguyên dương lớn Nếu số A nghĩ chia hết cho số B nói B thắng, khơng A trừ số nghĩ cho số B nói (ko nói cho B số mới), B lại nói số nguyên dương lớn (không trùng với số nói nào) Q trình tiếp tục Nếu đến số A nghĩ trở thành số âm B thua Biết hai người chơi thơng minh, hỏi B có chiến thuật thắng khơng? Bài 35: (Turkey TST 2014) A B chơi trò chơi Có đồ thị đầy đủ gồm 2014 đỉnh A chơi trước Trong lượt chơi mình, A định hướng cho cạnh tùy ý chưa có hướng đồ thị, B định hướng cho không 1000 (và một) cạnh tùy ý chưa có hướng đồ thị Quá trình tiếp tục kết thúc tất cạnh định hướng Khi đồ thị cuối có chu trình (định hướng) A thắng, ngược lại B thắng Biết hai người chơi thơng minh, hỏi A có chiến thuật thắng hay khơng? Bài 36: A B chơi trò chơi A chơi trước Trong lượt chơi mình, người chơi viết chữ số vào bên trái bên phải dãy chữ số có bảng (ban đầu bảng khơng có chữ số nào) Q trình tiếp tục B thắng sau lượt chơi số tạo bảng số phương Chứng minh A có chiến thuật để B thắng Bài 37: (Italia 2015) A B chơi trò chơi Có số nguyên dương n > viết bảng A chơi trước Trong lượt chơi mình, người chơi thay số n có bảng i) ước nguyên dương tùy ý khác n n ii) số n + Quá trình tiếp tục Ban đầu người chơi có 1000 điểm, người chơi chọn i) cộng thêm điểm, chọn ii) bị trừ điểm Trò chơi kết thúc có người chơi điểm thua Biết hai người chơi thông minh, hỏi với giá trị n B thắng cuộc? Bài 38: (Finland 2011) A B chơi trò chơi A chơi trước Trong lượt chơi mình, người chơi chọn số từ tập {0;1; ;10} cho số chưa chọn trước Quá trình tiếp tục Đến cuối A chọn số thắng số có số tạo thành cấp số cộng, ngược lại B thắng Biết hai người chơi thông minh, hỏi thắng cuộc? Bài 39: (Baltic Way 2012) A B chơi trò chơi Ban đầu A chọn 1000 số nguyên tố lẻ khơng thiết phân biệt, B chọn 500 số viết lên bảng Trong lượt chơi mình, người chơi xóa số tùy ý (khác 0) số nguyên tố p1, p2 , , pn bảng thay vào tất ước nguyên tố số p1 p2 pn − (nếu ước nguyên tố xuất dạng p k phân tích nhân tử p1 p2 pn − số p viết k lần bảng) Quá trình tiếp tục Sau lượt chơi mà bảng bị xóa hết thua Chứng minh hai người chơi có chiến thuật thắng Xác định người chơi Bài 40: (Japan 2012) A B chơi trò chơi Có viên sỏi đặt gốc tọa độ ( 0;0 ) A chơi trước Trong lượt chơi mình, A đánh dấu điểm ngun, B di chuyển viên sỏi từ điểm nguyên ( x; y ) đến điểm nguyên ( x + 1; y ) ( x; y + 1) cho viên sỏi không đặt vào điểm nguyên mà A đánh dấu Quá trình tiếp tục Sau người chơi không k lần, A thắng B chơi Ai không chơi thua Biết hai người chơi thông minh, hỏi với giá trị k A thắng cuộc? ... có 1003 viên bi x x x x x x x x x Nhận thấy lần đặt bi có nhiều ô số ô đánh dấu có bi Giả sử hình chữ nhật đặt k viên bi, suy số lượng bi tối thiểu 1003.1003.4k Bên cạnh có 2005.2006k viên bi... 3x3 Bài (VMO – 2006) Xét bảng ô vuông m  n  m, n  3 Thực trò chơi sau: lần đặt viên bi vào ô bảng, ô viên bi, cho tạo thành hình đây: Hỏi sau số lần ta nhận bảng mà số bi ô không nếu: a)... chữ nhật  nên nhận trạng thái mà số bi ô b) Tô màu ô hình vẽ Dễ thấy, lần đặt bi có viên đặt vào ô màu đen viên đặt vào màu trắng Do đó, gọi S  n  số bi ô màu đen T  n  số bi ô màu trắng