THỂTÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Phương php: Sử dụng cơng thức thểtích �Thể tích khối lăng trụ: V B.h �Thể tích khối hộp chữ nhật cĩ cc cạnh a, b, c : V abc �Thể tích khối lập phương cạnh a : V a3 Để tính thểtích khối lăng trụ A1 A2 An A1' A2' An' ta cần tính chiều cao lăng trụ v diện tích đy Cc tính chất lăng trụ: a) Hình lăng trụ �Cc cạnh bn hình lăng trụ song song v �Cc mặt bn hình lăng trụ l cc hình bình hnh �Hai đy hình lăng trụ l hai đa gic v nằm hai mặt phẳng song song với �Lăng trụ cĩ cc cạnh bn vuơng gĩc hai đy gọi l lăng trụ đứng * Cc cạnh bn lăng trụ đứng l đường cao nĩ * Cc mặt bn lăng trụ đứng l cc hình chữ nhật �Lăng trụ đứng cĩ đy l đa gic gọi l lăng trụ Cc mặt bn lăng trụ l cc hình chữ nhật b) Hình Hộp : L hình lăng trụ cĩ đy l hình bình hnh �Hình hộp đứng cĩ cc cạnh bn vuơng gĩc với đy �Hình hộp đứng cĩ đy l hình chữ nhật gọi l hình hộp chữ nhật �Hình hộp chữ nhật cĩ ba kích thước gọi l hình lập phương �Đường cho hình hộp chữ nhật cĩ ba kích thước a, b, c l d a2 b2 c2 �Đường cho hình lập phương cạnh a l d a Ví dụ 1.3 Cho hình lăng trụ tam gic ABC A ' B ' C ' cĩ AB a , gĩc hai mặt phẳng ( A ' BC ) v ( ABC ) 600 Gọi G l trọng tm tam gic A ' BC Tính thểtích khối lăng trụ đ cho v tính bn kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Lời giải 53 Gọi H l trung điểm BC, theo giả thuyết ta cĩ : � A ' HA 600 Ta cĩ : AH a , A ' H 2AH a 3a v AA ' Vậy thểtích khối lăng trụ V a2 3a 3a3 (đvtt) Gọi I l tm tam gic ABC , suy GI / / AA ' � GI ( ABC ) Gọi J l tm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC suy J l giao điểm GI với đường trung trực đoạn GA ; M l trung điểm GA , nn cĩ: GM GA GA 7a GI 2GI 12 Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' cĩ đy ABC l tam gic vuơng, AB BC a , cạnh bn AA ' a Gọi M l trung điểm cạnh BC Tính theo a thểtích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' v khoảng cch hai đường thẳng AM , B ' C Lời giải GM GA GJ GI � R GI Từ giả thiết suy tam gic ABC vuơng cn B Thểtích khối lăng trụ l: VABC A ' B ' C ' AA '.S ABC a (đvtt) Gọi E l trung điểm BB ' Khi đĩ mặt phẳng ( AME ) / / B ' C nn d AM , B ' C d B ' C, ( AME ) d C , ( AME ) Nhận thấy d C, ( AME ) d B, ( AME ) h Do tứ diện BAME cĩ BA, BM , BE đơi vuơng gĩc nn: h2 BA BM BE a2 �h a 7 Vậy khoảng cch hai đường thẳng AM v B ' C l a 54 Ví dụ 3.3 Cho hình lăng trụ tam gic ABC.A ' B ' C ' cĩ BB ' a , gĩc đường thẳng BB ' v mặt phẳng ( ABC ) 600; tam gic ABC vuơng � C v BAC 600 Hình chiếu vuơng gĩc điểm B ' ln mặt phẳng ( ABC ) trng với trọng tm tam gic ABC Tính thểtích khối tứ diện A '.ABC theo a Lời giải Gọi D l trung điểm AC , G l tm ABC �' BG 600 � B ' G ( ABC ) � B �' BG a ; � B ' G BB '.sin B a 3a BG � BD Trong ABC , ta cĩ: BC AB , AC AB � CD AB BC CD2 BD2 � 2 3AB AB 9a 16 16 3a 13 3a 13 9a2 , AC ; SABC 13 26 104 Thểtích khối tứ diện A '.ABC : � AB 9a3 VA ' ABC VB ' ABC B ' G.SABC 208 Ví dụ 4.3 Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' cĩ độ di cạnh bn 2a, đy ABC l tam gic vuơng A , AB a, AC a v hình chiếu vuơng gĩc đỉnh A ' trn mặt phẳng ABC l trung điểm cạnh BC Tính theo a thểtích khối chĩp A '.ABC v tính cosin gĩc hai đường thẳng AA ', B ' C ' Lời giải Gọi H l trung điểm BC � A ' H ( ABC ) v 55 AH 1 BC a 3a2 a 2 A ' H A ' A AH 3a2 � A 'H a VA ' ABC a3 A ' H SABC 3 (đvtt) Trong tam gic vuơng A ' B ' H cĩ: A ' B '2 A ' H 2a nn tam gic B ' BH cn B ' �'BH Vậy Đặt l gĩc hai đường thẳng AA' v B'C' thì: B HB ' cos a 2.2a Ví dụ 5.3 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 cĩ đy ABCD l hình chữ nhật AB a , AD a Hình chiếu vuơng gĩc điểm A1 trn mặt phẳng ( ABCD) trng với giao điểm AC v BD Gĩc hai mặt phẳng ADD1 A1 v (ABCD) 600 Tính thểtích khối lăng trụ đ cho v khoảng cch từ điểm B1 đến mặt phẳng A1BD theo a ĐH Khối B – 2011 Đề thi Lời giải Gọi O AC �BD, I l trung điểm cạnh AD Ta cĩ AD ( AOI ) � �� A1I O ( ADD1 A1), ( ABCD) 600 Vì OI a , suy A1I 2OI a � A1O OI tan 600 a a 3a3 A O S a a ABCD 1B1C1D1 2 Gọi B2 l điểm chiếu B1 xuống mặt phẳng ABCD Do đĩ VABCD.A B1C / / A1D � B1C / /( A1BD) � d B1, ( A1BD) d C, ( A1BD) CH 56 Trong đĩ CH l đường cao tam gic vuơng BCD Ta cĩ: CH CD.CB CD2 CB a Vậy d B1, ( A1BD) a CC BI TỐN LUYỆN TẬP Bi 1 Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' Biết mặt phẳng ( A ' BC ) tạo với mặt phẳng ( A ' B ' C ') gĩc 600 v khoảng cch từ A đến mặt phẳng 3a Tính thểtích khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' 2 Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' cĩ đy ABC l tam gic vuơng A với AB a, AC a Tính thểtích khối lăng trụ biết mặt phẳng ( A ' BC ) ( A ' BC ) tạo với đy gĩc 300 Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' cĩ cạnh đy a Gọi M l trung điểm cạnh CC ' , biết AM B ' M Hy tính thểtích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' v sin gĩc hợp hai mặt phẳng ( AMB ') với ( ABC) Cho lăng trụ đứng tam gic ABC.A ' B ' C ' , cĩ cạnh đy a , đường cho BC ' mặt bn BCC ' B ' tạo với mặt phẳng ABB ' A ' gĩc 300 Tính thểtích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' theo a Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' cĩ đy ABC l tam gic vuơng B , AB a, AA ' 2a, A ' C 3a Gọi M l trung điểm đoạn thẳng A ' C ' , I l giao điểm AM v A ' C Tính theo a thểtích khối tứ diện I ABC v khoảng cch từ điểm A đến mặt phẳng I BC Bi B C cĩ độ di cạnh bn 2a, đy ABC l Cho khối lăng trụ ABC.A��� tam gic vuơng A, AB a, AC a v hình chiếu vuơng gĩc đỉnh A ' trn mặt phẳng ( ABC ) l trung điểm cạnh BC Tính theo a thểtích ABC v tính cosin gĩc hai đường thẳng AA ' v B ' C ' khối chĩp A� Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' cĩ đy l tam gic cạnh a, cạnh bn a v hình chiếu A ' ln mp( ABC ) trng với trung điểm BC Tính thểtích khối lăng trụ đĩ Cho lăng trụ tam gic ABC.A ' B ' C ' cĩ đy l ABC l tam gic cn A , � AB AC a, BAC 1200 , hình chiếu A ' ln mặt phẳng ( ABC) trng 57 với trọng tm tam gic ABC Tính thểtích khối lăng trụ biết cạnh bn AA ' 2a B C cĩ độ di tất cc cạnh a v hình Cho hình lăng trụ ABC.A ��� A ) l tm hình bình hnh ABB�� chiếu đỉnh C trn mặt phẳng ( ABB�� A Tính thểtích khối lăng trụ B C cĩ chiều cao h Cho khối lăng trụ tam gic ABC.A ��� ,BC�vuơng gĩc với Tính thểtích khối v hai đường thẳng AB � lăng trụ v diện tích xung quanh nĩ Bi B C cĩ đy l tam gic cạnh Cho hình lăng trụ tam gic ABC.A ��� a,A � A A� B A� C b Tìm b để gĩc mặt bn (ABB �� A ) v mặt đy 60 v tính thểtích khối lăng trụ đĩ ) Cho hình lăng trụ tam gic ABC.A ��� B C cĩ cạnh đy a Mặt phẳng (ABC� B ) gĩc Tính thểtích v diện tích xung quanh hợp với mặt phẳng (BCC�� khối lăng trụ B C , cĩ đy ABC l tam gic cn Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ��� � Gọi M l trung điểm A � A Tính thểtích khối A,AB AC a,BAC lăng trụ biết tam gic C� MB vuơng Cho lăng trụ tam gic ABC.A ��� B C cĩ đy l tam gic vuơng � AB),(A � BC),(A � CA ) nghing A,BC a,ABC Cc mặt phẳng (A � trn đy gĩc Hình chiếu điểm A �ln mặt phẳng (ABC) thuộc miền tam gic ABC Chứng minh thểtích khối lăng 2.a3.sin2 2.tan V trụ ABC.A ��� B C tính theo cơng thức � � 32cos cos � � �4 � B C cĩ đy ABC l tam gic vuơng A Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ��� C C) a, khoảng cch Khoảng cch từ đường thẳng AA �đến mặt phẳng (BB �� AB) b, mặt phẳng (C� AB) tạo với đy gĩc Tính từ C đến mặt phẳng (C� thểtích khối lăng trụ Bi Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' cĩ đy ABCD l hình thoi cạnh 2a Mặt phẳng (B ' AC ) tạo với đy gĩc 300 , khoảng cch từ B đến mặt a Tính thểtích khối tứ diện ACB ' D ' 2 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' , AB a, AD a Tính phẳng (D ' AC) thểtích khối hộp biết khoảng cch từ A đến mặt phẳng ( A ' BD) Bi 58 a � B C D cĩ cc cạnh a, BAD Cho hình hộp ABCD.A���� 600, � � 900, DAA � � 1200 Tính thểtích khối hộp BAA Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' cĩ tất cc mặt l hình thoi cạnh a , � ' BAD � � ' 600 Tính thểtích khối hộp cc gĩc BAA DAA ABCD.A ' B ' C ' D ' theo a B C D cĩ tất cc cạnh Cho hình hình hộp ABCD.A ���� � � � DAA � � a,BAA BAD ,(0 900 ) Tính thểtích khối hộp theo a v Bi B C cĩ đy l tam gic vuơng Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ��� B,AB a,BC 2a,AA � 3a Mặt phẳng ( ) qua A v vuơng gĩc với CA �lần lượt cắt cc đoạn thẳng CC�v BB �tại M,N Tính diện tích tam gic AMN Cho hình lăng trụ tứ gic ABCD.A ’B’C’D’ cĩ cạnh bn l h Từ đỉnh vẽ hai đường cho hai mặt bn kề Gĩc giửa hai đường cho đĩ cĩ số đo l � � � � Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ đ cho 2� � Bi Cho hình lăng trụ tam gic ABC.A ��� B C cĩ cạnh đy a Gọi M l trung ) biết điểm cạnh AA � Tính khoảng cch từ C đến mặt phẳng (BMC� BM AC� Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ , cạnh đy a Mặt phẳng ABC’ hợp với � � mặt phẳng BCC’B’ gĩc cĩ số đo l �0 � � Gọi I,J l hình 2� � chiếu vuơng gĩc A ln BC v BC’ a) Chứng minh � AIJ b) Tính thểtích khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ v diện tích xung quanh hình lăng trụ đĩ � 1200 Gọi B C cĩ AB a,AC 2a v BAC Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ��� � � M l trung điểm cạnh CC�thì BMA 900 Tính khoảng cch từ A đến mặt ) phẳng (BMA � � � Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ��� B C cĩ BC a,BA C 900 Cc đường thẳng BA � ,CA �tạo với mặt phẳng đy cc gĩc tương ứng , ( ) Tính thểtích ) lăng trụ v khoảng cch từ B �đến (BCA � Bi c Gọi M B C D cĩ AB a,BC b, AA � Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ���� l điểm chia đoạn AD theo tỉ số 3 Tính khoảng cch từ điểm M đến mặt C) phẳng (AB � 59 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ’B’C’ , đy ABC l tam gic cn A Gĩc hai đường thẳng AA ’ v BC’ l 300 v khoảng cch chng l a Gĩc hai mặt phẳng chứa hai mặt bn qua AA ’ l 600 Tính thểtích khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ B C D cạnh a Gọi K l trung điểm DD� Cho khối lập phương ABCD.A ���� Tính khoảng cch CK v A � D CC BI TỐN DNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bi B C cĩ đy l tam gic vuơng Cho khối lăng trụ đứng tam gic ABC.A ��� � C C) gĩc A,AC a,ACB Đường thẳng BC�tạo với mặt phẳng (AA �� Tính thểtích khối lăng trụ đĩ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ��� B C cĩ đy l tam gic vuơng thỏa mn AB AC a Gĩc hai đường thẳng AC�v A � B Tính thểtích khối lăng trụ theo a v Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ cĩ đy ABC l tam gic vuơng A , AB a,BC 2a Mặt bn ABB’A ’ l hình thoi , mặt bn BCC’B’ nằm mặt phẳng vuơng gĩc với đy , hai mặt ny hợp với gĩc a)Tính khoảng cch từ A đến mặt phẳng BCC’B’ Xc định gĩc b)Tính thểtích khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ Cho hình hộp ABCD.A ’B’C’D’ cĩ đy ABCD l hình thoi cạnh a , gĩc A 600 Chn đường vuơng gĩc hạ từ B’ xuống mặt phẳng ABCD trng với giao điểm hai đường cho đy ABCD Cho BB’ a a)Tính gĩc cạnh bn v đy b) Tính thểtích v diện tích xung quanh hình hộp Bi 10 Cho hình lăng trụ AB A ' B ' C ' cĩ đy ABC l tam gic cạnh a , � � Tính thểtích khối lăng trụ A� A A� B A� C , BAA B C cạnh đy a, đường cho BC� Cho khối lăng trụ tam gic ABC.A ��� A ) gĩc Tính thể tích, diện tích xung quanh v diện hợp với mặt bn (ABB �� tích tồn phần khối lăng trụ Xc định gĩc để hình lăng trụ đĩ tồn Bi 11 Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi M l trung điểm CN Mặt phẳng ( A ' MN ) chia khối BC , N thuộc cạnh CD thỏa CD lập phương thnh hai khối, gọi (H ) l khối chứa điểm A Tính thểtích khối (H ) theo a 60 B C D cĩ đy l hình thoi cạnh Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A ���� � (0 �900 ) Tính thểtích khối lăng trụ biết hai đường a,BAD thẳng AB �v BD�vuơng gĩc Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' , đy l hình thoi Biết diện tích hai � ' D 900 Tính thểtích khối mặt cho ACC ' A ' v BDD 'B ' l s1, s2 , gĩc BA hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' theo s1 v s2 Bi 12 B C D cĩ cc mặt bn hợp v mặt A ' BD với đy Cho hình hộp ABCD.A ���� gĩc 600 , biết gĩc � BAD 600, AB 2a, BD a Tính VABCD A ���� BC D Cho hình lăng trụ tam gic ABC.A ’B’C’ Mặt phẳng A ’BC cch A a 15 v hợp với BC’ gĩc biết sin Tính thểtích 10 khối lăng trụ đ cho Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ cĩ đy l tam gic cạnh a Hình chiếu vuơng gĩc vủa A ’ ln mặt phẳng ABC trng với tm O đường trịn ngoại tiếp tam gic khoảng cch ABC Cho � BAA ' 450 a)Tính thểtích khối lăng trụ đ cho b)Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ Bi 13 Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' , cĩ đy ABC l tam gic vuơng A Khoảng cch từ AA ' đến BCC ' B ' a , khoảng cch từ C đến ABC ' b, gĩc hai mặt phẳng ABC ' v ABC băng a) Tính thểtích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' theo a,b v b) Khi a b khơng đổi, hy xc định để thểtích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' nhỏ Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ cĩ đy l tam gic nội tiếp đường trịn O tm O Hình chiếu vuơng gĩc C’ ln mặt phẳng ABC l O Khoảng cch AB v CC’ l d Gĩc hai mặt phẳng chứa hai mặt bn ACC’A ’ v BCC’B’ l 2 2 a) Tính thểtích khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ b) Gọi �90 l gĩc hai mặt phẳng ABB’A ’ v ABC Tính biết 900 Bi 14 61 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' , gĩc đường cho AC ' v mặt đy ABCD 300 v AC ' a , � AC ' B Tính thểtích khối hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' theo a v Giả sử a khơng đổi, tìm để thểtích khối hộp lớn B C D , đy ABCD cĩ BD a khơng đổi v Cho hình lăng trụ ABCD.A ���� � � � � C C) l hình thoi, BAD DCB 90 ,ABD ,CBD Mặt phẳng (AA �� �� vuơng gĩc với đy v A BCD v AC 600 Tính thểtích khối lăng trụ ABCD.A ���� , tìm để thểtích đĩ lớn B C D , cĩ đường cho AC� Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ���� d hợp với đy (ABCD) gĩc , hợp với mặt bn (BCC�� B ) gĩc Tìm hệ thức lin hệ , để tứ gic A �� D CB l hình vuơng v tìm gi trị lớn thểtích khối hộp chữ nhật đĩ Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ Tam gic ABC’ cĩ diện tích Q v hợp với � � mặt phẳng đy gĩc cĩ số đo �0 � 2� � a) Tính thểtích V khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ theo Q v b) Cho Q khơng đổi v thay đổi Tính để thểtích V lớn Gọi , , ,1 ,1 , 1 l cc gĩc đường cho hình hộp chữ nhật với ba cạnh cng pht xuất từ đỉnh v ba mặt cng pht xuất từ đỉnh Chứng minh : cos2 cos2 cos2 1; sin2 1 sin2 1 sin2 62 ... ' C ' theo a Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' cĩ đy ABC l tam gic vuơng B , AB a, AA ' 2a, A ' C 3a Gọi M l trung điểm đoạn thẳng A ' C ' , I l giao điểm AM v A ' C Tính theo a... BAA DAA ABCD.A ' B ' C ' D ' theo a B C D cĩ tất cc cạnh Cho hình hình hộp ABCD.A ���� � � � DAA � � a,BAA BAD ,(0 900 ) Tính thể tích khối hộp theo a v Bi B C cĩ đy l tam gic... điểm B ' ln mặt phẳng ( ABC ) trng với trọng tm tam gic ABC Tính thể tích khối tứ diện A '.ABC theo a Lời giải Gọi D l trung điểm AC , G l tm ABC �' BG 600 � B ' G ( ABC ) � B �' BG a