Tự chọn TOÁN 12 − Chù đề : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Hồ Văn Hồng VẤN ĐỀ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Bài Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: Bài Tìm m để hàm số nghịch biến tập xác định a) y = x3 – 3x2 + b) y = − x4 + 4x2 – x3 + (m − 2) x + (m − 8) x + ĐS: −1 ≤ m ≤ a) y = − x +1 x − 5x + y = c) d) y = x−2 x−2 (m − 1) x3 + mx + (3m − 2) x + ĐS: m ≤ b) y = 3 e) y = x − 2x2 + x − f) y = 9x7 −7x6 + x5 + 12 * Bài Chứng minh bất đẳng thức: g) y = x − 2sinx ( 2x (0 < x < ) Bài Xét chiều biến thiên: x a) y = 2x − − x − ; b) y = x + − − x ; c) CMR x − < sinx, ∀ x > 3! c) y = + −2x2 +10x − ; d) y = x − 2x + ; x3 HD: ta cminh y = f(x) = − x + sinx > 0, ∀ x > x+1 2 e) y = ; f) y = x − g) y = x − x 3! x − x2 Bài Tìm m để hàm số đồng biến tập xác định f’(x) = − + cosx; f”(x) = x − sinx mx3 a) y = − ( m − 1) x + ( m − ) x + Do f”’(x) = − cosx ≥ ∀x > 3 ⇒ f”(x) đồng biến / [0;+∞) ⇒ f”(x) > f”(0) = 0, ∀x ⇒ f’(x) đồng biến / [0;+∞) ⇒ f’(x) > f’(0) = 0, ∀x b) y = x3 + mx2 + (m + 6)x − (2m + 1) ⇒ f(x) đồng biến / [0;+∞) ⇒ f(x) > f(0) = 0, ∀x > m x − m + 4x Bài Cho hàm số: y = 2x x − c) y = ; d) y = x + + x − x+3 a) CMR: Hàm số đồng biến khoảng (2; + ∞ ) e) y = x3 − 3mx2 + (m + 2)x – ĐS: −2/3 ≤ m ≤ b) CMR: ph trình 2x x − = 11 có nghiệm f) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m – ĐS: m = ½; VẤN ĐỀ II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 3/ Điều kiện để hàm số có cực tịểu x 0: a Quy tắc 1: y '(x ) = + Tìm f’(x) y '(x ) đổ i dấ u qua từ- sang+qua x0 + Tìm xi (i = 1,2,…) đạo hàm f’(x) = hàm số liên tục khơng có đạo hàm y '(x ) = + Xét dấu f’(x) Nếu f’(x)đổi dấu x qua điểm y ''(x ) > xi hàm số đạt cực trị xi b Quy tắc 2: 4/ Điều kiện để hàm bậc có cực trị : +Tính f’(x) a ≠ + Tìm nghiệm xi (i = 1,2,…) phương trình y’= có hai nghiệm phân biệt ⇔ f’(x)=0 ∆ > + Tìm f”(x)và tính f”(xi) 5/ Điều kiện để hàm hữu tỉ có cực trị(tham * Nếu f”(xi) < hàm số đạt đại điểm xi khảo) * Nếu f”(xi) > hàm số đạt tiểu điểm xi y’= có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm * Nếu f”(xi) ≠ hàm số đạt trị điểm xi mẫu Bài Tìm cực trị hàm số sau: 6/ Điều kiện để hàm y = ax + bx2 + c có a) y = 3x2 – 2x3 b) y = 2x3 + 3x2 − 36x − 10 cực trị : y/ = có nghiệm phân biệt hệ 2 số a, b trái dấu x − x −1 x − x − 15 x c) y = e) y = − x + d) y = (có cực trị a.b ≥ 0) x − x − Bài : Tìm m để hàm số sau có cực đại cực tiểu Bài Dùng quy tắc 2, tìm cực trị hàm số sau: a) y = x4 – 2x2 + b) y = 3x5 – 125x3 + 2160x 1) y = x3 + mx + (12 − m) x + ĐS: m < − ∨m > c) y = sin2x – x d) y= x3(x − 1)2 e) f(x) = sinx + cosx với x ∈ (−π ; π) 2) y = x3 − 2mx + ĐS: m ≠ Một số toán cực trị : 1/ Điều kiện để hàm số có cực trị x = x0 : 3) y = m x − x + (3m + 1) x − ĐS: − < m < 3 y '(x0 ) = y '(x ) = m 4) y = x + 3mx − (m − 1) x + ĐS: m < , m > i daá u qua x0 y ''(x ) ≠ y ' đổ 10 2/ Điều kiện để hàm số có cực đại x0: x − mx + x2 + x + m 5) y = ĐS: m < 3; 6) y = ĐS: m > y '(x0 ) = x −1 x+2 i dấ u qua từ + sang − qua.x0 y ' đổ mx + x + m − x + mx − m y '(x ) = 7) y = ĐS: m ;8) y = (m x+m x−m y ''(x ) < ≠0) Bài : Tìm m để hàm số: Tự chọn TOÁN 12 − Chù đề : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1) y = x4 – mx2 + có cực trị ĐS: m > 2) y = x4 – (m + 1)x2 – có cực trị ĐS : m < − 3) y = mx4 + (m – 1)x2 + – 2m có cực trị ĐS : < m < 4) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + đạt cực trị x = ĐS : m =1 5) y = mx3 + (m − 2) x + (2 − m) x + đạt cực trị x = −1 (m=3) 6) y = x3 – mx2 – mx – đạt cực tiểu x = ĐS : m = 7) y = x3 + (m +1)x2+ (2m –1)x + đạt cực đại x = −2 (m=7/2) 8) y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x + m đạt cực tiểu x = x + mx + 9) y = đạt cực đại x = x+m 10) y = mx3 + 3mx2 – (m – 1)x – khơng có cực trị -x + mx - m a) y = có cực đại cực tiểu x-m Hồ Văn Hồng Bài : Cmr hàm số ln có cực đại cực tiểu ∀a ∈ R x + a (1 − a ) x − a + x − (m − 1) 1) y = ; 2) y = x+a x−m x4 Bài Định a, b để y = − ax2 + b đạt cực trị −2 x = mx + 3mx + 2m + *Bài Tìm m để hàm số y = (m tham x −1 số) có cực đại, cực tiểu giá trị cực trị trái dấu x + 2x *Bài Cho y = x −1 a) Tìm cực trị hàm số; b) Tính khoảng cách điểm cực trị; c)Viết pt đường thẳng qua điểm cực trị VẤN ĐỀ III: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ π Bài a) y = cos2x + 4sinx 0; (M = 2 ; m = hàm số 2 1) Trên đoạn [a;b] ) Tìm điểm x1, x , , xn ∈ [a; b] hàm số f(x) π π π π (M = ;m=− ) có đạo hàm đạo hàm không xác b) y = sin2x − x − ; 2 2 định c) y= sin4x−4sin2x+5 (đặt t=sin2x, t∈[0 ;1]; M=5 ; m=2) Tính giá trị f ( x1 ) , f ( x1 ) , , f ( xn ) , f ( a) , f ( b) d) y = 2sinx − sin3x [0; π ] + So sánh giá trị tìm ⇒ Kết luận 2) Các trường hợp khác: Lập Bảng biến thiên e) y = cos3x – 6cos2x + 9cosx + Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f) y = sin3x – cos2x + sinx + Bài g) y = cos22x – sinxcosx a) y = x3 − 3x2 − 9x + 35 [−4; 4] (M = 40; m = −41) Bài a) y = x + x − b) y = x2.ex [−3;2] b) y = − 3x [−1 ; 1] (M = ; m = ) c) y = − 4x [−1 ; 1] (M = ; m = 1) c) y = x − x + [−3;2] d) y = 100 − x [−8;6] d) y = + − x [−3 ; 3] (M = ; m =1) e) y = + x − x + (M = khơng có ; m = 5) f) y = x + − x (M = ; m = − ) g) y = f(x) = |x – 4x − 5| [−5; 5] Xét hàm số g(x) = x2 – 4x − 5, x ∈ [−5; 5] ta có g’(x) = 2x – 4; g’(x) = ⇔ x = ∈ [−5; 5] Ta có: g(2) = − 9, g(−5) = 40, g(5) = ⇒ − ≤ g(x) ≤ 40 ⇒ ≤ |g(x)| ≤ 40 ⇒ ≤ f(x) ≤ 40 Giải pt f(x) = ⇔ x = −1 ∨x = Vậy: y = y (−1) = y (5) = ; max y = y (−5) = 40 [ −5,5] sin x + x2 + x + , x bậc mẫu khơng có x →−∞ Đường thẳng x = x0 đường tiệm cận đứng tcận ngang f (x ) = ±∞ đồ thị hàm số y = f(x) xlim → x 0− lim+ f (x ) = ±∞ x → x0 Cách tìm tiệm cận 1) Tiệm cận đứng: giải phương trình mẫu = tìm nghiệm Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang hàm số sau: 2x −1 − 3x x + ; d) y = a) y = ; b) y = ; c) y = x+2 − x2 x −1 x2 + x +1 Tự chọn TOÁN 12 − Chù đề : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM x−2 −2 x − ; b) y = ; 3x + x+3 2x d) y = + ; e) y = ; x x + 11x − 10 1 g) y = h) y= ; ; 4− x ( x − 3) a) y = c) y = – f) y = i) y = ; x ; x2 + −3 x x2 + j) y = Hồ Văn Hoàng x x2 − ; l) y = x x2 + ; m) y = ; n) y = − x2 x − 3x − x2 ; VẤN ĐỀ IV: PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ Công thức chuyển hệ toạ độ: Tịnh tiến theo a) Tìm giao điểm I tiệm cận đứng tiệm cận ngang uuu r (H) OI b) Viết công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo uur M(x; y) hệ toạ độ Oxy M( X; Y) vectơ OI viết phương trình ( H )đối với toạ độ IXY x = X + x x −1 hệ toạ độ IXY Với I( x0;y0) Cho ( H ):y = y = Y + y x+2 M ∈ (C) ⇔ y = f(x) hệ toạ độ a) Tìm giao điểm I tiệm cận đứng tiệm cận ngang Oxy (H) b) CMR (H) có tâm đối xứng M ∈ (C) ⇔ Y + y0 = f( X + x0 ) hệ toạ Cho hàm số : f(x) = x3 – 6x2 + 9x – ( C ) độ IXY a) Xác định điểm uốn I đồ thị ( C ) 2x +1 Cho ( H ):y = b) CM điểm I tâm đối xứng đường cong ( C ) x +1 VẤN ĐỀ V: KHẢO SÁT HÀM SỐ A Hàm bậc ba: 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm phtrình: x3 − 6x2 + 9x + − Bài 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m=0 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 – 3x2 + m = 3) Tìm tất tâm đối xứng đồ thị (C) 4) Viết pt tiếp tuyến (C) điểm có hệ số góc nhỏ 3) Viết pttt (C) biết tt song song với đt y = − 9x − 2011 4) Vẽ đồ thị hàm số y = |x3 – 3x2 + 2| 7 tiếp xúc Bài 2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m – m tham số 5)*Viết pt đường thẳng qua điểm M 4; ÷ 1) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu (C) 2) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = Bài 11: Cho hàm số y = ( − x ) ( x + 1) (C) Bài Cho hàm số y = − x3 + 3x2 + có đồ thị (C) 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Dùng đồ thị (C) định k để phương trình x3 – 3x2 + k = có 2) Tìm m để (C’): y = (2−x)(m−2) cắt (C) điểm phân biệt nghiệm phân biệt 3) Viết pt tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến //d1: 3) Vẽ đồ thị hàm số y = − | x|3 + 3x2 + y = x + 2010 Bài 4: Cho hàm số y = x3 – 3x + có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 4)*Tìm m để d2: y = |m|(x+1) cắt (C) điểm phân biệt 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm M (0; 2) Viết pt parabol qua điểm cực đại, cực tiểu M(−3;4) Bài 5: Cho hàm số y = x3 + 3x2 − 2, có đồ thị (C) Bài 12: 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = (x + 1)3 (C) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết ptttuyến d với (C) tâm đối xứng ĐS: d:y = 2./ Viết ptttuyến với (C) điểm thuộc (C) có hồnh độ xo = Bài 13: 1) Khảo sát hàm số y = -x + 3x - 4x + (C) −3 2) Viết pttt d với (C) giao điểm cùa (C) với Oy Bài : Cho hàm số y = x3 + 3x2, có đồ thị (C) ĐS:y=−4x+2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 3 2) Tìm điều kiện m để phương trình y = x + 3x – – m Bài 14: Cho hàm số y = x – 2x + (1 – m)x + m (1), m số thực (K.A 2010) = có ba nghiệm phân biệt 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 3/ Tìm điểm thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến với (C) 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm điểm có hệ số góc nhỏ phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3 thỏa điều kiện: Bài 7: Cho hàm số : y = − x + x − , đồ thị ( C ) x12 + x22 + x23 < 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Viết phương trình tíếp tuyến ∆ với (C ) điểm A( 0; − 2) B Hàm trùng phương: 3/ d đường thẳng qua K(1; 0) có hệ số góc m Tìm giá trị m Bài 1: 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y =4 − x 2+ 2x 2) Dùng đồ thị biện luận số nghiệm ph trình: x − 2x + m = để đường thẳng d cắt (C ) điểm phân biệt Bài 8: Cho hàm số y = x − (2m − 1)x2 + (2 − m)x + (1) 3) Vẽ đồ thị hàm số y = |− x + 2x | 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Bài 2: 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = −x4 + 2x2 + m 2 2)Tìm giá trị m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu 2) Dùng đồ thị biện luận số nghiệm ph trình ( x − 1) + = điểm cực trị đồ thị hàm số (1) có hồnh độ dương Bài 3: 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = x4 – 2x2 + Bài 9: 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = (x + 1)3 (C) 2) Viết ph trình tiếp tuyến với ( C ) giao ( C ) với trục 2) Viết ptttuyến d với (C) tâm đối xứng ĐS: d:y = Oy x3 3) Tìm m để ph trình − x4 + 2x2 + m = có nghiệm phân Bài 10: Cho hàm số y = − x + 3x + (C) biệt 3 Tự chọn TOÁN 12 − Chù đề : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Hồ Văn Hồng 4) Viết ph trình tiếp tuyến với (C) điểm cực đại (C) − 2x Bài 2: 1) Khảo sát hàm số y = , có đồ thị (C) x4 x −1 Bài 4: 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = (1) - 3x + 2) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng 2 2) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = d: y = mx + cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt 3) Viết pttt ( C) giao điểm (C) với trục tọa độ Bài 5: Cho y = x + 2(m+1)x + (1) 2x −1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) m = Bài 3: 1) Khảo sát hàm số y = (C) x−2 Tìm m để hàm số có cực trị Bài 6: 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 −1 (C) 1) Tìm (C) điểm có tọa độ nguyên 2) Biện luận theo m số nghiệm thực ph trình x4 – 2x2 = m 2) Tìm pttt với (C) điểm M thuộc (C) có hồnh độ xo= 2x −1 Bài 7: 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = (x2 – 1)2 (C) 3) Vẽ đồ thị hàm số y = 2) Biện luận theo m số nghiệm pt : x – 2x + − m = x−2 3)* Viết pt tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua A(0; 1) x +1 Bài 8: 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : y = x4 – 2x2 Bài 4: 1) Khảo sát hàm số y = ( 1) có đồ thị (C) x −1 2)* Định m để ph trình |x – 2x | = m có nghiệm phân biệt 2) Viết pt tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc −2 Bài9: 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y = x − 3x + 2x +1 2 Bài 5: 1) Khảo sát hàm số y = có đồ thị (C) x −1 (C) 2) Viết PTTT với (C) điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = 2) Viết pt tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có tung độ 3) Tìm điều kiện m để pt x4 – 6x2 + + m = có Bài 6: 1) Khảo sát hàm số y = x + x −3 nghiệm 2 2) Tìm đồ thị điểm M cho khoảng cách từ M đến Bài 10: 1) Cho hàm số : y = x (m – x ) đường tiệm cận đứng khoảng cách từ M đến tiệm cận 1) Tìm điều kiện m để hàm số có ba cực trị ngang 2) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m=4 2x + 3)Viết pt tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ Bài 7: 1) Khảo sát hàm số y = x − có đồ thị (C) x0 = −1 2) Tìm m để (C) cắt đường thẳng (d): y = m( x + 1) + Bài 11: 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : y = (1 – x2)2 − (C) điểm phân biệt A,B nhận I(−1;3) làm trung điểm AB 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: m – x4 + 2x2 = 3( x + 1) Bài 8: 1) Khảo sát hàm số y = (C ) 3) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết song song 2− x với đường thẳng d: y = 24 x + 10 2) Viết pt tiếp tuyến với (C ) giao điểm (C) trục Bài 12: Cho y = x4 – mx2 – (m + 1) (Cm), (m tham số) tung 1) Tìm m biết đồ thị hàm số qua diểm M (−1; 4) 3) Tìm tất điểm (C ) có toạ độ nguyên 2) Khảo sát hàm số m = − Bài 9: 1) Khảo sát hàm số y = + Bài 13: Cho hàm số y = −x4 + 2mx2 (Cm), ( m tham số) x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết pttt với với đồ thị (C) giao điểm (C) trục Ox m =1 3) Tìm m để d : y = − x + m cắt (C) hai điểm phân biệt 2) Lập phương trình tiếp tuyến (C) điểm A( ; 0) 4) Tiếp tuyến M ∈ (C ) cắt hai tiệm cận ( C) A , B 3) Xác định m để hàm số (Cm) có cực trị a/ CMR : M trung điểm AB Bài 14: 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = − x − x + b/ Tính diện tích ∆IAB với I giao điểm hai tiêm cận 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến (C) 2x + vng góc với đường thẳng y = x − Bài 10: 1) Khảo sát hàm số y = có đồ thị (C) x +1 Bài 15: 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = 2x4 – 4x2 (1) 2) Tìm (C) điểm có tổng khoảng cách từ đến hai 2 2) Với giá trị m, phương trình x x − = m có tiệm cận (C) nhỏ 3) Lập phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến song nghiệm thực phân biệt? song với đường phân giác góc phần tư thứ Bài 16 Cho y = x – (3m + 2)x + 3m có đồ thị (Cm) 4) Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) hai 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho m = điểm phân biệt A, B cho diện tích ∆OAB = (O gốc 2) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ tọa độ) Bài 17 Cho hàm số y = x4 – mx2 + m − (1) với m tham số x+2 ( 1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Bài 11 1) Khảo sát hàm số y = 2x + 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (1), biết tiếp tuyến 2) Tìm m để đồ thị cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, 3) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị A(1;0), B(−1;0) B tam giác OAB cân gốc toạ độ O vng góc 2x −1 Bài 12 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số : y = 1− x C Hàm biến: 2) Đường thẳng (d) qua I(1; −2) có hệ số góc k 3x − Bài : 1) Khảo sát hàm số y = , có đồ thị (C) a) Biện luận theo k số giao điểm (d) (C) x +1 b) Trong trường hợp (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A B 2) Viết ph trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ Chứng minh tiếp tuyến với (C) A B song song −2 Tự chọn TOÁN 12 − Chù đề : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x + y + 2010 = 4) Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm pt mx + 2x − 1− m =0 2x + Bài 13 Cho hàm số y = (C) x +1 Khào sát vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C) a) biết hệ số góc k = 1 b) điểm có hồnh độ x = c) điểm có tung độ y = − 2 Tìm m để ( d ) : y = mx + − 2m cắt (C) điểm phân biệt 3x + Bài 14 1.Khào sát vẽ đồ thị hàm số y = (C) 1− x 2.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác góc phần tư thứ 3.Tìm m để đường thẳng d1: y = mx −2m − cắt đồ thị (C) hai điểm A, B phân biệt Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng AB 4.Viết pttt (C), biết tiếp tuyến ⊥ d2: x + y − = 5.Tìm điểm ∈ (C) có toạ độ số nguyên 2x − Bài 15 Khào sát vẽ đồ thị hàm số y = (C) x +1 2.Biện luận theo m số giao điểm (C) đường thẳng y = m 3.Viết pttt (C) giao điểm (C) đường y = − x 2sin 2t − π 4.Tìm GTLN GTNN g (t ) = 0; sin 2t + 2 5.Tìm đồ thị (C) hai điểm đối xứng qua d2:y = −x − 2x − Bài 16 Khào sát vẽ đồ thị hàm số y = (C) x+2 Bài 1) Khảo sát hàm số y = − x + x − (C) 2) Tìm đường thẳng (d): y = điểm mà từ kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) 2) Gọi M(m; 2) ∈ d Phương trình đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) + Từ M kẻ tiếp tuyến với (C) ⇔ Hệ phương trình sau có nghiệm phân biệt: − x + 3x − = k ( x − m) + (1) m < −1 hay m > ⇔ (2) −3x + x = k m ≠ 2.Tìm toạ độ điểm M cho Hồ Văn Hoàng d [ M , Ox ] d [ M , Oy ] = 3.Viết pt tiếp tuyến (C) điểm tìm câu 4.Chứng tỏ giao điểm hai tiệm cận tâm đối xứng (C) x −2 = m có nghiệm phân biệt 5.Tìm m để phương trình x +2 -3x -1 (C) x -1 2) Viết ph trình tiếp tuyến d với (C) điểm có hồnh độ 2x -1 Bài 18 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = (C) x -1 Viết pttt với (C) giao điểm cùa (C) với Ox ĐS: y = −4x+2 x +3 Bài 19 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = (C) x+2 Viết pttt với (C) điểm có hồnh độ −3 ( y = −x + 3) 2x Bài 20 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = (C) x +1 Viết pt tiếp tuyến d với (C ) điểm có hồnh độ Bài 21 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số | x + 1| x +1 1/ y = x3 − 3x; 2/ y = x4 − 2x2 + 1; 3/ y = ; 4/ y = | x−2| x−2 Bài 22 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2x −1 a/ y = x3 − x ; b/ y = x − x ; c/ y = ; d/ x−2 | x | +1 y= | x | −2 Bài 23: Biện luận theo m số nghiệm PT: x3 − 3x − m = x −1 Bài 24: CMR: Đồ thị (C) hàm số y = cắt x +1 đường thẳng (d) : y = m − x với giá trị m Bài 17 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = Bài KS hàm số y = x − x + có đồ thị (C) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = 2) Giả sử A(a; a − 3a + 1), B(b; b − 3b + 1) (a ≠ b) Vì tiếp tuyến (C) A B song song suy y′ (a) = y′ (b) ⇔ (a − b)(a + b − 2) = ⇔ a + b − = ⇔ b = – a ⇒ a ≠ (vì a ≠ b) AB = (b − a) + (b − 3b + − a + 3a − 1) = 4(a − 1)6 − 24(a − 1) + 40(a − 1) AB = ⇔ 4(a − 1) − 24(a − 1) + 40(a − 1) = 32 ⇔ a = ⇒ b = −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = ⇒A(3; 1) B(–1; –3) m Tìm để (Cm) cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh a = −1 ⇒ b = độ lập thành cấp số cộng Bài KS hàm số y = x − x + 4, có đồ thị (C) 2) Pthđgđ (Cm) trục hoành: x − 3mx + x − = (1) Gọi hoành độ giao điểm x 1; x2; x3.Ta có: x1+ x2+ x3 = Tìm m để phương trình x − x + = log m có 3m nghiệm x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng ⇔ x1 + x3 = 2x2 2) x − x + = log m có nghiệm ⇔ ⇒ x2 = m nghiệm (1) ⇒ − 2m3 + 9m – = 9 m = log12 m = ⇔ m = 12 = 144 12 −1 − 15 ⇔ m= −1 ± 15 Thử lại ta : 2x + m= Bài Ks hàm số y = có đồ thị (C) x −1 Bài Cho hàm số y = x − 3mx + x − có đồ thị (Cm) Tự chọn TỐN 12 − Chù đề : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Với điểm M thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến M cắt tiệm cận Avà B Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm vị trí M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ 2) Gọi M x0 ; + ÷ ∈(C) x0 − Tiếp tuyến d M có dạng: y = −3 ( x − x0 ) + + ( x0 − 1)2 x0 − Các giao điểm d với t cận: A 1; + ÷ , B(2x0 –1; x −1 2) S∆IAB = (không đổi) ⇒ chu vi ∆IAB đạt GTNN IA= IB x0 = + M1 (1 + 3; + 3) = x0 − ⇒ ⇔ ⇒ x0 − x0 = − M (1 − 3; − 3) Bài KS hàm số y = x3 – 3x (1) 2) Cm m thay đổi, đường thẳng (d): y = m(x +1) + cắt đồ thị (C) điểm M cố định xác định giá trị m để (d) cắt (C) điểm phân biệt M, N, P cho tiếp tuyến với đồ thị (C) N P vng góc với 2) M(–1;2) (d) cắt (C) điểm phân biệt ⇔ m>− ;m≠0 Tiếp tuyến N, P vng góc ⇔ y’(xN).y’(xM) = − ⇔m= −3 ± 2 3 Bài Cho hàm số y = x + 2mx + (m + 3) x + đồ thị (Cm) Hồ Văn Hồng điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ 2) AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) ⇒AB ngắn ⇔ AB2 nhỏ ⇔ m = Khi AB = 24 Bài tự luyện Cho hàm số y = −(m2 +5m)x3 + 6mx2 + 6x − (Cm) Tìm tất điểm cố định mặt phẳng tọa độ mà (Cm) qua với giá trị m Tiếp tuyến (Cm) điểm có cố định hay không m thay đổi, sao? ĐS: điểm cố định A(0; –6) Vì y’(0) = ∀m nên tiếp tuyến (Cm) điểm cố định A cố định m thay đổi Cho hàm số: y = mx3 + (2m + 1)x + − m (Cm) Tìm tất giá trị m cho hàm số có cực đại, cực tiểu Chứng minh đường thẳng d nối hai điểm cực đại, cực tiểu (Cm) qua điểm cố định −2 m + 10 − m x+ ĐS: d: y = qua I (− ;3) cố định 3 x −1 Cho hàm số: y = CMR tiếp tuyến đồ thị (C) x +1 lập với hai đường thẳng tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi ĐS: S =4 (const) x +1 Chứng tỏ đường cong y = có điểm uốn x +1 nằm đường thẳng − x2 − 2x + 2( x − 1)( x + x + 1) ′′ y = HD: y ′ = ; ( x + 1) ( x + 1)3 Đồ thị có điểm uốn A1 ( x1 ; y1 ); A2 ( x2 ; y2 ); A3 ( x3 ; y3 ) uuuuu r uuuur ⇒ A3 A2 / / A3 A1 , điểm uốn thẳng hàng với 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C1) hàm số m = x+2 2) Cho (d) đường thẳng có phương trình y = x + điểm Cho hàm số: y = (C) Tìm điểm M ∈ (C) cho x −3 K(1; 3) Tìm giá trị tham số m cho (d) cắt (C m) khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho S∆KBC = khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang 2) xB, xC nghiệm phương trình: x + 2mx + m + HD: Có điểm thỏa mãn tốn có hồnh độ x = ± =0 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m S ∆KBC = ⇔ BC d ( K , d ) = ⇔ BC = 16 ⇔ Tìm m để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài −3 + ∆ ′ −3 − ∆ ′ HD: Ycbt ⇔ x2 − x1 = ⇔ ± 137 − =1⇔ m = m= 3 Cho y = x + mx − m −1 Viết phương trình tiếp tuyến 2 Bài Cho f ( x ) = x + 2(m − 2) x + m − 5m + (Cm) điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với giá trị 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số với m m Tìm quỹ tích giao điểm tiếp tuyến m thay đổi =1 2) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành HD: y’ = 3x + 2mx Dễ thấy đồ thị qua điểm cố định A1 (1; 0), A2 (−1; −2) tam giác vuông cân 2) Hàm số có CĐ, CT m < Toạ độ điểm cực trị là: tiếp tuyến A1 (1; 0) có PT d: y = (2m + 3)( x − 1) A(0; m − 5m + 5), B( − m ;1 − m), C ( − − m ;1 − m) tiếp tuyến A2 (−1; −2) có PT d’: y = (−2m + 3)( x + 1) − Tam giác ABC cân A ⇒ ∆ABC vuông A m = Toạ độ giao điểm M = d ∩d’ nghiệm hệ phương trình y = (2 m + 3)( x − 1) 3x − x − y = Khử m ta có: , Bài Cho y = x + (1 – 2m)x + (2 – m)x + m + (1) x y = (−2m + 3)( x + 1) − 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = quỹ tích cần tìm −2 x − 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực Cho y = Biện luận theo m số giao điểm đồ thị x +1 đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ đường thẳng 2x − y + m = Trong trường hợp có hai giao quỹ tích trung điểm I MN 2) YCBT ⇔ phương trình y' = có hai nghiệm phân biệt x 1, điểm M,N tìm HD: PThđgđ 2x2 + (m − 4)x + m + = có ∆ = m2 − 16 − < m < 4: khơng có giao điểm x2 thỏa mãn: x1 < x2 < ĐS: < m < m = ± 4: có giao điểm 2x + m < −4 V m > có giao điểm Khi trung điểm E có đồ thị (C) x+2 x +x −m − MN có tọa độ thoả : xE = = yE = x + m 2) Cm đường thẳng d: y = –x + m luôn cắt (C) hai Bài 10 1) KS hàm số y = Tự chọn TOÁN 12 − Chù đề : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Rút m từ phương trình vào phương trình lại ta có y = −2x −4, với điều kiện m4 ⇔ x< −2 V x > Vậy quỹ tích phải tìm phần đường thẳng y = −2x −4 ứng với x ∈ (−∞; −2) U (0; +∞) 2m Cho hàm số y = x − + (C) x −1 a Định m để hàm số đồng thời có cực đại cực tiểu b Tìm quĩ tích điểm cực đại cực tiểu đồ thị HD a m > b Với m > từ bảng biến thiên ta có 2m tọa độ điểm cực đại: xI = − m, yI = xI − + xI − Biến đổi ta có: yI = 4xI − 3, xI < Vậy quỹ tích điểm cực đại nửa đường thẳng có phương trình y = 4x − với x < Hồ Văn Hoàng Tương tự quỹ tích điểm cực tiểu nửa đường thẳng có phương trình y = 4x − với x > 10 Cho hàm số y = x3 −(3+m)x2 + mx + m + 5.Với giá trị m để đồ thị có điểm đối xứng qua gốc O HD: Đồ thị có điểm đối xứng qua gốc O tức phải tồn x, y cho điểm (x; y) (− x; − y) thuộc đồ thị tương đương hệ gồm phương trình sau nghiệm khác (0;0) y = x3 −(3+m)x2 + mx + m + (1); − y = –x3 −(3+m)x2 – mx + m + (2) Lấy (1) cộng với (2) ta được: −2(m+3)x2 + 2(m+5) = 0, phương trình phải có nghiệm khác m+5 ⇔ > ⇔ m < −5 ∨ m > − m+3 11 Cho y = 2x3 – (2+m)x2 + (1) Tìm m để đồ thị có điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ.ĐS: m > −2