Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài - Lý mặt lý luận Một mục tiêu nhà trường đào tạo xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển tồn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thời đại Muốn giải thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết phải tạo tiền đề vững chắc, lâu bền phương pháp học tập học sinh phương pháp giảng dạy giáo viên mơn nói chung mơn Tốn nói riêng Là giáo viên cấp trung học sở, ý thức trách nhiệm thân tầm quan trọng mơn học đảm nhiệm Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn, tơi nhận thấy mơn khoa học có tác dụng phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát huy tính tích cực học tập học sinh, giúp học sinh trở thành người chủ nghĩa xã hội Ngoài ra, việc học tốt mơn Tốn cịn giúp cho học sinh học tốt mơn học khác Vì vậy, góc độ giáo viên dạy Tốn tơi thấy việc hướng dẫn em nắm vững dạng toán cần thiết - Lý mặt thực tiễn Qua nhiều năm giảng dạy môn Tốn 8, tơi nhận thấy nhiều học sinh lúng túng, thường mắc phải sai lầm thực tốn phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt học sinh trung bình, học sinh yếu, từ em gặp khơng khó khăn việc giải tốn ứng dụng có liên quan Ngược lại, học sinh khá, giỏi tốn phân tích đa thức thành nhân tử làm cho em thích thú, say mê học tập Xét thấy dạng tốn Phân tích đa thức thành nhân tử có vị trí quan trọng chương trình Đại số 8, việc nắm vững dạng tốn giúp cho em nhiều việc giải tốn khác, chẳng hạn: giải phương trình, rút rọn phân thức, tính giá trị biểu thức, chứng minh, tìm x, Thực tế sách giáo khoa giới thiệu số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung; dùng đẳng thức; nhóm hạng tử; phối hợp phương pháp Do đó, gặp tập phức tạp phương pháp chưa thể áp dụng để giải được, làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn trình giải tốn, chưa đáp ứng nhu cầu tìm tòi, học tập học sinh giỏi Chính lí đó, nên tơi chọn để tài: " Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử" để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Dạng tốn Phân tích đa thức thành nhân tử có vị trí quan trọng chương trình Đại số 8, việc nắm vững dạng toán giúp cho em nhiều việc giải toán khác, chẳng hạn: giải phương trình, rút rọn phân thức, tính giá trị biểu thức, chứng minh, tìm x, Thực tế sách giáo khoa giới thiệu số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung; dùng đẳng thức; nhóm hạng tử; phối hợp phương pháp Do đó, gặp tập phức tạp phương pháp chưa thể áp dụng để giải được, làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn q trình giải tốn, chưa đáp ứng nhu cầu tìm tịi, học tập học sinh giỏi Khách thể đối tượng nghiên cứu Học sinh khối trường THCS …… - Lục Ngạn - Bắc Giang Giả thuyết khoa học Để việc bồi dưỡng đạt kết giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống phương pháp đại; lấy học sinh làm trung tâm trình dạy học; phát huy khả tự học, tính tích cực, sáng tạo tự giác học sinh Nhim v nghiờn cu Nghiên cứu sở lý luận phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tö Phạm vi nghiên cứu Ý tưởng đề tài phong phú, đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng, nên thân nghiên cứu qua bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử chương trình SGK, SBT Tốn hành số phương pháp phân tích khác (năm phương pháp) sách tham khảo số tập ứng dụng có liờn quan Phng phỏp nghiờn cu - Phơng pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu sách báo, tạp chí, công trình nghiên cứu có liên quan - Phơng pháp điều tra quan sát - Phơng pháp tổng kết kinh nghiÖm Cấu trúc đề tài Chương I Cơ sở lý luận vấn đề nghiên cứu Chương II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Chương III Đề xuất số biện pháp thực a Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thông thường: a.1 Phương pháp đặt nhân tử chung a.2 Phương pháp dùng đẳng thức a.3 Phương pháp nhóm hạng tử b Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác b.1 Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử b.2 Phương pháp thêm, bớt hạng tử b.3 Phương pháp đặt ẩn phụ b.4 Phương pháp dùng hệ số bất định II NỘI DUNG Chương I Cơ sở lý luận vấn đề nghiên cứu Muốn phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo nhanh chóng trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử phân tích đa thức cho thành tích đa thức, sau nắm phương pháp phương pháp nâng cao để phân tích, là: 1) Phương pháp đặt nhân tử chung 2) Phương pháp dùng đẳng thức 3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử 4) Phối hợp phương pháp 5) Phương pháp tìm mghiệm đa thức 6) Phương pháp thêm, bớt hạng tử 7) Phương pháp tách hạng tử 8) Phương pháp đặt biến phụ 9) Phương pháp hệ số bất định Chương II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn 8, tơi nhận thấy nhiều học sinh lúng túng, thường mắc phải sai lầm thực tốn phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt học sinh trung bình, học sinh yếu, từ em gặp khơng khó khăn việc giải tốn ứng dụng có liên quan Ngược lại, học sinh khá, giỏi tốn phân tích đa thức thành nhân tử làm cho em thích thú, say mê học tập Xét thấy dạng tốn Phân tích đa thức thành nhân tử có vị trí quan trọng chương trình Đại số 8, việc nắm vững dạng toán giúp cho em nhiều việc giải toán khác, chẳng hạn: giải phương trình, rút rọn phân thức, tính giá trị biểu thức, chứng minh, tìm x, Chương III Đề xuất số biện pháp thực Trong phạm vi kinh nghiệm này, tập trung nghiên cứu vấn đề sau đây: a Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thông thường: Sách giáo khoa sử dụng tập cụ thể để đưa đến phương pháp phân tích, học sinh gặp khơng khó khăn để nắm vững phương pháp Chính cần có cách khái qt cho phương pháp phân tích điểm lưu ý dễ gặp sai sót q trình phân tích a.1 Phương pháp đặt nhân tử chung Học sinh cần nắm được: Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta xác định A B nhân tử chung C, đó: A + B = C.A1 + C.A2 = C.(A1 + A2) Cách làm gọi phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ 4xy2 + x2y = xy(4y + x) b/ 10x – 5y = 5(2x – y) c/ 5x(x – 1) – 3y(x – 1) = (x – 1)(5x – 3y) d/ 2x(x – 3) – 5(3 – x) = 2x(x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(2x + 5) Đây tập khơng khó, chủ quan học sinh dễ bị mắc phải sai lầm Chẳng hạn ví dụ a, dễ dàng học sinh thấy nhân tử chung hai hạng tử xy, học sinh thực cách nhanh chóng Tuy nhiên ví dụ b, số học sinh khẳng định khơng có nhân tử chung (vì x  y) trọng quan sát phần biến mà quên hệ số hạng tử, trường hợp ví dụ c, học sinh gặp khó khăn khơng hiểu nhân tử chung đa thức (x – 1) Riêng ví dụ d, học sinh dễ mắc sai lầm chọn nhân tử chung x – Vì thế, việc hướng dẫn cho học sinh tìm nhân tử chung giáo viên cần hướng dẫn thật kĩ lưu ý trường hợp thường mắc sai sót Để tránh sai sót trường hợp d, cần hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất đổi dấu A = -(-A) a.2 Phương pháp dùng đẳng thức Trước tiên để sử dụng tốt phương pháp này, học sinh phải nắm vững bảy đẳng thức đáng nhớ:   A  B   A2  AB  B 2   A  B   A2  AB  B 2  A2  B   A  B   A  B    A  B   A3  A2 B  AB  B 3   A  B   A3  A2 B  AB  B 3  A3  B3   A  B   A2  AB  B   A3  B3   A  B   A2  AB  B  (Với A, B hai biểu thức khác 0) Giáo viên lưu ý học sinh, thông thường đề cho có dạng vế phải đẳng thức: bình phương tổng, hiệu; lập phương tổng, hiệu cho vế trái đẳng thức lại Việc sử dụng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử thường theo hai hướng: *Hướng 1: Biến đổi đa thức ban đầu dạng quen thuộc đẳng thức Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ x2 + 6x + = x2 + 2.3.x + 32 = (x + 3)2 b/ x2 – = (x + )(x - ) c/ – 27x3 = 13 – (3x)3 = (1 – 3x)[12 + 1.3x + (3x)2] = (1 – 3x)(1 + 3x + 9x2) d/ (x – y)2 – 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 = [(x – y) – (x + y)]2 = (x – y – x – y)2 = (-2y)2 = 4y2 Ở ví dụ đẳng thức khai triển, việc phân tích cách viết theo chiều ngược lại đẳng thức em học sinh dễ dàng thực em thuộc biết cách vận dụng đẳng thức Thế như, chủ quan học sinh dễ bị mắc sai lầm, chẳng hạn: ví dụ b, học sinh gặp khó khăn nhận dạng đẳng thức, hạng tử thứ hai (5) chưa có dạng bình phương, để có dạng đẳng thức giáo viên phải nhắc lại khái niệm bậc hai số (5 =( )2), ví dụ c học sinh thường gặp khó khăn viết 27x = (3x)3 Riêng ví dụ d, học sinh khó nhận dạng đẳng thức, thông thường tập hay cho dạng hạng tử đơn thức, gặp hạng tử đa thức học sinh chưa hình dung nhận diện *Hướng 2: Sử dụng đẳng thức để làm xuất nhân tử chung xuất đẳng thức Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ 4x(a2 – b2) + 8(a + b) = 4x(a – b)(a + b) + 8(a + b) = 4(a + b) [x(a – b) + 2] = 4(a + b) (ax – bx + 2) 2 b/ x - 2xy + y – z = (x2 - 2xy + y2) – z2 = (x – y)2 – z2 = (x – y – z)(x – y + z) Ở ví dụ này, phân tích đa thức thành nhân tử không riêng dùng đẳng thức đủ mà phải có phối hợp tốt phương pháp : đặt nhân tử chung nhóm hạng tử Do việc nhóm hạng tử thích hợp góp phần thuận lợi cho phân tích đa thức thành nhân tử a.3 Phương pháp nhóm hạng tử Chúng ta biết, để phân tích đa thức thành nhân tử công việc quan trọng tạo nhân tử chung Do đó, nhiều trường hợp khơng thể áp dụng trực tiếp phương pháp đặt nhân tử chung hay đẳng thức việc nhóm hạng tử để làm xuất nhân tử chung lại cần thiết Tuy nhiên, phương pháp giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh nhóm thích hợp ý đến dấu trước ngoặc đặc biệt dấu trừ “ – ” Ta tổng quát phương pháp sau: “Cho đa thức A + B + C + D (A,B,C,D biểu thức) Nếu A, B, C, D khơng có nhân tử chung thử với (A + B) (C + D) phép giao hốn khác Tức nhóm hạng tử có nhân tử chung lại với tạo thành đẳng thức để làm xuất nhân tử chung đa thức” Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ x2 – 3x + xy – 3y = (x2 + xy) – (3x + 3y) = x(x + y) – 3(x + y) = (x + y)(x – 3) b/ 2xy + 3z + 6y + xz =(2xy + 6y) + (3z + xz) =2y(x + 3) + z(3 + x) =(x + 3)(2y + z) 2 c/ x – x – y – y =( x – y2 ) – (x + y) = (x + y) (x – y) – (x +y) =(x + y) (x – y – 1) Các ví dụ mức độ khơng khó lắm, cần nhóm hợp lí áp dụng phương pháp đặc nhân tử chung đẳng thức dễ dàng thực Tuy nhiên ví dụ câu a c khơng để ý dấu học sinh mắc sai lầm nhóm hạng tử đằng trước dấu ngoặc dấu trừ ‘‘ –’’ mà không đổi dấu hạng tử ngoặc Đây sai lầm mà phần lớn học sinh mắc phải Ngồi có số tốn phân tích đa thức phân tích đa thức thành nhân tử mà áp dụng trình tự phương pháp biết, địi hỏi tư linh hoạt học sinh để biến đổi đa thức vài bước, sau áp dụng phương pháp biết để phân tích Chẳng hạn tập ví dụ sau : Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b) Đối với đa thức dạng phương pháp chung khai triển hai số ba hạng tử cịn giữ ngun hạng tử thứ ba để từ làm xuất nhân tử chung chứa số hạng tử thứ ba Do đó, ta khai triển hai hạng tử đầu giữ nguyên hạng tử thứ ba để làm xuất nhân tử chung a + b: bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b) = b2c + bc2 + c2a – ca2 – ab(a + b) = (b2c – ca2) + (bc2+ c2a) – ab(a + b) = c(b2 – a2) + c2(b + a) – ab(a + b) = c(b – a)(b + a) + c2(b + a) – ab(a + b) = (b + a)(cb – ca + c2) – ab(a + b) = (a + b)(cb – ca + c2 – ab) = (a + b)[(cb + c2) – (ca + ba)] = (a + b)[c(b + c) – a(c + b)] = (a + b)(b + c)(c – a) Với cách làm đó, ta khai triển hai hạng tử cuối nhóm hạng tử để làm xuất nhân tử chung b + c, khai triển hai hạng tử đầu cuối để có nhân tử chung c – a riêng tập này, ta hướng dẫn sau: Vì (c – a) + (a + b) = (b + c) nên ta có: bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b) = bc[(c – a) + (a + b)] + ca(c – a) – ab(a + b) = bc(c – a) + bc(a + b) + ca(c – a) – ab(a + b) = [bc(c – a) + ca(c – a)] + [bc(a + b) – ab(a + b)] = (c – a)(bc + ca) + (a + b)(bc – ab) = c(c – a)(a + b) + b(a + b)(c – a) = (a + b)(b + c)(c – a) Đây dạng tập thú vị khơng phức tạp ta nên giới thiệu cho đối tượng học sinh khá, giỏi nhằm nâng cao hiểu biết kích thích tính tích cực em Nhìn chung, tốn phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm cuối phải đạt mục đích có nhân tử chung vận dụng đẳng thức Như vậy, đòi hỏi học sinh phải nắm vững hai phương pháp (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức) Trên vừa xem xét ví dụ phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thông thường nêu sách giáo khoa Tuy nhiên, dừng lại phương pháp thích hợp cho đối tượng học sinh trung bình, yếu cịn học sinh khá, giỏi làm cho em dễ nhàm chán Mặt khác, có tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà phương pháp chưa thể áp dụng để phân tích Vì lí nên giới thiệu thêm cho em số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác để giúp em có điều kiện tìm hiểu tốt dạng tốn b Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác b.1 Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Phương pháp áp dụng cho đa thức chưa phân tích thành nhân tử Ta tách hạng tử đa thức thành nhiều hạng tử để vận dụng phương pháp biết Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ x2 + 4x + b/ x2 – 7x + 12 Đối với ví dụ a, ta làm theo số cách sau: *Cách 1: Tách hạng tử 4x = x + 3x Ta có x2 + 4x + = x2 + x + 3x + = (x2 + x) + (3x + 3) = x(x + 1) + 3(x + 1) = (x + 1)(x + 3) *Cách 2: Tách hạng tử x2 = 4x2 – 3x2 Ta có x2 + 4x + = 4x2 – 3x2 + 4x + = (4x2 + 4x) – (3x2 – 3) = 4x(x + 1) – 3(x2 – 1) = 4x(x + 1) – 3(x – 1)(x + 1) = (x + 1)(4x – 3x + 3) = (x + 1)(x + 3) *Cách 3: Tách hạng tử = – Ta có x2 + 4x + = x2 + 4x + – = (x2 – 1) + (4x + 4) = (x – 1)(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x – + 4) = (x + 1)(x + 3) *Cách 4: Tách hạng tử = – để tạo đẳng thức Ta có x2 + 4x + = x2 + 2.2.x + 22 – = (x + 2)2 – = (x + – 1)(x + + 1) = (x + 1)(x + 3) Tương tự câu a, câu b có số cách làm sau: *Cách 1: Tách hạng tử -7x thành – 4x – 3x Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 4x – 3x + 12 = (x2 – 4x) – (3x – 12) = x(x – 4) – 3(x – 4) = (x – 4)(x – 3) *Cách 2: Tách hạng tử 12 thành 21 – Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 7x + 21 – = (x2 – 9) – (7x – 21) = (x – 3)(x + 3) – 7(x – 3) = (x – 3)(x + – 7) = (x – 3)(x – 4) Cách 3: Tách hạng tử 12 thành -16 + 28 Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 7x + 28 – 16 = (x2 – 16) – (7x – 28) = (x – 4)(x + 4) – 7(x – 4) = (x – 4)(x + – 7) = (x – 4)(x – 3) Cách 4: Tách hạng tử -7x thành -6x – x 12 = + Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 6x + – x + = (x2 – 6x + 9) – (x – 3) = (x – 3)2 – (x – 3) = (x – 3)(x – – 1) = (x – 4)(x – 3) Cách 5: Tách hạng tử -7x thành -8x + x 12 = 16 – Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 8x + 16 + x – = (x2 – 8x + 16) + (x – 4) = (x – 4)2 + (x – 4) = (x – 4)(x – + 1) = (x – 4)(x – 3) Với hai câu ví dụ vừa nêu, phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều lời giải tương ứng với nhiều cách tách hạng tử, học sinh lựa chọn cách phù hợp với trình độ lực Thơng qua tập dạng này, giáo viên cần tổng kết cho học sinh thấy nhiều cách tách hạng tử có hai cách tách thơng dụng là: +Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dựa vào cách suy luận ngược lại sau: (mx + n)(px + q) = mpx2 + (mq + np)x + nq Như đa thức ax2 + bx + c, hệ số b tách thành hai hạng tử b = b + b2 cho b1 b2 = ac +Tách hạng tử tự thành hai hạng tử (c = c1 + c2) ví dụ vừa nêu Tuy nhiên có nhiều đa thức phân tích ta khơng áp dụng hai cách vừa nêu, phương pháp tách tách hạng tử mở rộng cho trường hợp cần tách nhiều hạng tử đa thức Để minh họa xem xét ví dụ sau: Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ x3 – 2x – = x3 – 2x – + = (x3 – 8) – (2x – 4) = (x – 2)(x2 + 2x + 4) – 2(x – 2) = (x – 2)(x2 + 2x + – 2) = (x – 2)(x2+ 2x + 2) b/ x3 + 8x2 + 17x + 10 = x3 + x2 + 7x2 + 10x + 7x + 10 = (x3 + x2) + (7x2 + 7x) + (10x + 10) = x2(x + 1) + 7x(x + 1) + 10(x + 1) = (x + 1)(x2 + 7x + 10) = (x + 1)(x2 + 2x + 5x + 10) = (x + 1)[x(x + 2) + 5(x + 2)] = (x + 1)(x + 2)(x + 5) b.2 Phương pháp thêm, bớt hạng tử Với đa thức cho khơng có chứa thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức khơng thể nhóm số hạng tử Đối với đa thức dạng ta phải biến đổi đa thức cách thêm, bớt hạng tử để vận dụng phương pháp phân tích biết Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 + = x4 + + 4x2 – 4x2 ( ta thêm, bớt hạng tử 4x2) = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = [(x2)2 + 2.x.2 + 22] – (2x)2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + – 2x) = (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2) Phương pháp thêm, bớt hạng tử mở rộng tự nhiên cần thêm, bớt nhiều hạng tử, để minh họa xem ví dụ sau : Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + = (x5 + x4 + x3) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)( x3 – x + 1) Ta thêm, bớt hạng tử x3, x2, x vào đa thức cho b/ x5 + x + = x5 + x4 – x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x + = (x5 + x4 + x3) – (x4 + x3 + x2) + x2 + x + = x3(x2 + x + 1) – x2 (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1) Ta thêm, bớt hạng tử x4, x3, x2 vào đa thức cho Phương pháp sử dụng đa thức có dạng: x5 + x4 + 1; x8 + x4 + 1; x10 + x8 + Các đa thức có dạng: xm + xn + m = 3k + 1; n = 3h + b.3 Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp thường áp dụng đa thức có dạng A(x).B(x) + C Trong A(x), B(x) biểu diễn qua Ví dụ A(x) viết dạng B(x) ngược lại Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Đặt x2 + x + = y � x2 + x + = y + Ta có y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – + y – = (y – 3)(y + 3) + (y – 3) = (y – 3)(y + + 1) = (y – 3)(y + 4) Thay y = x + x + ta : (y – 3)(y + 4) = (x2 + x + – 3)(x2 + x + + 4) = (x2 + x – 2) (x2 + x + 5) = (x2 – + x – 1)(x2 + x + 5) = [(x – 1)(x + 1) + x - 1](x2 + x + 5) = (x – 1)(x + + 1)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 5) Ở ví dụ ta đổi biến x thành biến y sau phân tích đa thức chứa biến y thành nhân tử quay trở lại đa thức với biến ban đầu x Cuối ta lại tiếp tục phân tích đa thức chứa biến x thành nhân tử b/ 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 Với đa thức cho để ngun khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến đổi thêm : 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 = 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2 Đặt : x2 + xy + xz = m Ta có : 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = (2m + yz)2 Thay m = x2 + xy + xz ta : (2m + yz)2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 b.4 Phương pháp dùng hệ số bất định Cơ sở phương pháp : Hai đa thức (viết dạng thu gọn) đồng hệ số đơn thức đồng dạng chứa hai đa thức phải Ví dụ 11 : Phân tích đa thức sau thành tích đa thức : đa thức bậc nhất, đa thức bậc hai x3 – 19x – 30 Ta có kết phân tích có dạng : x3 – 19x – 20 = (x + a)( x2 + bx + c) = x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac = x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac Ta phải tìm hệ số a, b, c thỏa mãn: a+b=0 c + ab = -19 ac = -30  Vì a, c Z tích ac = -30 a, c  { 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Với a = 2; c = -15 b = -2 thỏa mãn hệ thức trên, số phải tìm tức là: x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15) Trên số phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Thơng qua phương pháp phân tích ta thấy, việc phân tích đa thức thành nhân tử lúc áp dụng khuôn mẫu theo phương pháp giải cố định Do đó, tùy tập mà học sinh lựa chọn cho phương pháp giải thích hợp, đơi phải phối hợp nhiều phương pháp để có cách phân tích nhanh có hiệu Nếu có giải tập phân tích đa thức thành nhân tử mà không giới thiệu ứng dụng tốn chưa gây say mê, tìm tịi em Sau số ứng dụng tốn phân tích đa thức thành nhân tử III Kết luận kiến nghị Kết luận Bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử chiếm thời lượng khiêm tốn song chứa đựng nhiều kiến thức bản, trọng tâm, quan trọng Do đó, kinh nghiệm áp dụng rộng rãi cho đối tượng học sinh khối lớp Tuy nhiên, học sinh giỏi áp dụng chun đề hồn tồn hữu ích, khai thác tìm học tốn em, học sinh đại trà giáo viên ý hướng dẫn em phương pháp phân tích thông thường (phương pháp SGK giới thiệu), kết hợp với lưu ý cho học sinh sai lầm thường mắc phải q trình phân tích cho phù hợp với chuẩn kiến thức, kĩ em dễ hiểu Để sáng kiến áp dụng rộng rãi nhà trường nên thường xuyên tổ chức chuyên đề áp dụng đề tài kinh nghiệm để giáo viên có điều kiện tham gia trao đổi lẫn nhau, học sinh mở rộng nhiều hiểu biết Đồng thời giáo viên phải kiên trì sử dụng phương pháp dạy học cách linh hoạt, thường xuyên kiểm tra, đánh giá học sinh theo định hướng đổi Mặc khác, giáo viên cần phải đầu tư thời gian nghiên cứu dạy để đạt hiểu cao Bên cạnh đó, học sinh phải đầy đủ phương tiện học tập đặc biệt sách giáo khoa Tuy nhiên, kinh nghiệm biện pháp nhỏ bé kinh nghiệm đút kết qua sách vở, quý thầy, giáo trước q đồng nghiệp Vì vậy, thân tơi mong góp ý, xây dựng quý lãnh đạo, quý đồng nghiệp nhằm giúp tơi bước hồn thiện phương pháp giảng dạy cống hiến nhiều cho nghiệp giáo dục nước nhà Kiến nghị Giảng dạy mơn tốn nói chung giảng dạy tốn khó nói riêng vấn đề quan tâm nhiều phụ huynh, giáo viên dạy Trong tình hình việc học tập học sinh cịn gặp nhiều khó khăn, việc kích thích học sinh chịu khó học tập, phấn đấu vươn lên vấn đề mà nhà trường xã hội quan tâm giáo viên dạy đạt kết cao Song yếu tố chủ quan quan trọng định người giáo viên dạy toán * Đối với giáo viên dạy tốn: Phải nhận thức vị trí, vai trị quan trọng mơn Tốn tồn hệ thống kiến thức Người giáo viên trực tiếp giảng dạy phải nắm vững nội dung, phương pháp giảng dạy sát đối tượng học sinh để sử dụng phương pháp thích hợp Phải thường xun trao đổi chun mơn nghiệp vụ, tích luỹ kinh nghiệm giảng dạy, biết tổ chức cho học sinh học tập có nề nếp đặc biệt phải biết lựa chọn phương pháp giảng dạy cách thích hợp * Đối với nhà trường: Trước hết tổ chuyên môn phải chỗ dựa vững chắc, tin cậy cho giáo viên việc cải tiến phương pháp giảng dạy, trau dồi chuyên môn nghiệp vụ Tăng cường dự nhằm tạo điều kiện để giáo viên tổ học tập, rút kinh nghiệm lẫn nhau, từ củng cố phát huy lực chuyên môn, nghiệp vụ Ngày 20 tháng 12 năm 2014 Người viết sáng kiến Nguyễn Văn A PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỤC NGẠN TRƯỜNG THCS TRẦN HƯNG ĐẠO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM "PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ" Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Năm sinh: Tổ: Khoa học tự nhiên Trường: THCS Trần Hưng Đạo Năm học 2014 - 2015 ... Muốn phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo nhanh chóng trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử phân tích đa thức cho thành tích đa thức, sau nắm phương pháp phương pháp. .. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác b.1 Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Phương pháp áp dụng cho đa thức chưa phân tích thành nhân tử Ta tách hạng tử đa thức thành. .. a Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thông thường: a.1 Phương pháp đặt nhân tử chung a.2 Phương pháp dùng đẳng thức a.3 Phương pháp nhóm hạng tử b Một số phương pháp phân tích đa thức