bài tập ví dụ chương đạo hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM KHOA CÔNG NGHỆ THƠNG TIN BTC ƠN THI HỌC KỲ KHĨA 2016 BÀI TẬP VÍ DỤ VI TÍCH PHÂN 1B CHƯƠNG: ĐẠO HÀM PHẦN: CÁC BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐẠO HÀM  Lâm Cương Đạt Cập nhật: 02/02/2017 Khoa Công nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Bài tập định nghĩa đạo hàm Tìm phương trình đường tiếp tuyến với đường cong điểm có tọa độ cho trước định nghĩa đạo hàm a y  4x  3x ,(2, 4) b y  x  3x  1,(2,3) c y  x,(1,1) d y  2x  ,(1,1) x2 a Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm f(x) a là: f (x)  f (a) 4x  3x  (4a  3a ) f (a)  lim  lim x a x a x a x a 4(x  a)  3(x  a)(x  a)  lim  lim   3(x  a)  x a x a (x  a)   6a Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm (2,-4) là: f (2)   2.6  8 Phương trình tiếp tuyến điểm (2,-4) đồ thị hàm số là: y  f (2)  (x  2)  f (2)  8(x  2)  ( 4)  8x  12 b Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm f(x) a là: f (x)  f (a) x  3x   (a  3a  1)  lim x a x a x a x a 2 (x  a)(x +ax+a )  3(x  a)  lim  lim  x +ax+a  3 x a x a (x  a) f (a)  lim  3a  Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm (2,3) là: f (2)  3.22   Phương trình tiếp tuyến điểm (2,3) đồ thị hàm số là: Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 y  f (2)  (x  2)  f (2)  9(x  2)  c Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm f(x) a là: f (x)  f (a) x a  lim x a x a x a x a (x  a)  lim  lim x a x a (x  a).( x  a ) x a  a f (a)  lim Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm (1,1) là: f (1)   Phương trình tiếp tuyến điểm (1,1) đồ thị hàm số là: 1 y  f (1)  (x  1)  f (1)  (x  1)   x  2 d Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm f(x) a là: 2x  2a   f (x)  f (a) x  a2 f (a)  lim  lim x a x  a x a x a (2x  1)(a  2)  (2a  1)(x  2) 4(x  a)  (x  a) (a  2)(x  2)  lim  lim x a x a (a  2)(x  2)(x  a) (x  a) 3  lim  x a (a  2)(x  2) (a  2) Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm (1,1) là: f (1)  Phương trình tiếp tuyến điểm (1,1) đồ thị hàm số là: 1 y  f (1)  (x  1)  f (1)  (x  1)   x  3 3  (1  2) Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Nếu phương trình tiếp tuyến với đường cong y  f (x) điểm a = y  4x  , tìm f (2), f (2) Ta viết lại phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số a = y  4(x  2)  Ta lại có, phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm a có dạng y  f (a)(x  a)  f (a) f (a)  f (2)  Vậy   f (a)  f (2)  Bài tập đạo hàm hàm ẩn Dùng vi phân ẩn để tìm cơng thức đường tiếp tuyến đường cong điểm cho trước   a y.sin 2x  cos 2y,  ,  2 4 d x  2xy  y2  x  2,(1,2) b sin(x  y)  2x  2y,( , )  1 e x  y2  (2x  2y  x) ,  0,   2 (đồ thị hyperbola) (đồ thị cardioid) c x  xy  y2  3,(1,1) (đồ thị elipse) a   Xét đoạn cong ngắn đồ thị qua điểm  ,  , ta xem đồ thị hàm ẩn 2 4 y  f (x) Khoa Công nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Ta có: f (x).sin 2x  cos  2.f (x)  Lấy đạo hàm hai vế ta có: f (x).sin 2x  f (x).2.cos 2x  2.sin  2.f (x) .f (x)  f (x)  2f (x) cos(2x) sin(2x)  2sin  2f (x)     .cos(2 )      Hệ số góc cua tiếp tuyến  ,  f      2 4   sin(2  )  2sin(2  ) 4   Phương trình tiếp tuyến đồ thị  ,  là: 2 4          y  f    x    f    (x  )  2 2 4   b Xét đường cong ngắn đồ thị qua điểm ( , ) , ta xem đồ thị hàm ẩn y  f (x) Ta có: sin(x  f (x))  2x  2f (x) Lấy đạo hàm hai vế ta có: (1  f (x)).cos(x  f (x))   2f (x)  f (x)   cos(x  f (x))  cos(x  f (x)) Hệ số góc tiếp tuyến ( , ) f ()   cos(  )   cos(  ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( , ) là: y  f ()  (x  )  f ()  (x  )   c Xét đường cong ngắn đồ thị qua điểm (1,1) , ta xem đồ thị hàm ẩn y  f (x) Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ – Khóa 2016 Ta có: x  x.f (x)  f (x)  Lấy đạo hàm hai vế ta có: 2x  f (x)  x.f (x)  2.f (x).f (x)   f (x)   2x  f (x) 2.f (x)  x Hệ số góc tiếp tuyến ( , ) f ()   2.1   1 2.1  Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( , ) là: y  f (1)  (x  1)  f (1)  (x  1)  d Xét đường cong ngắn đồ thị qua điểm (1, 2) , ta xem đồ thị hàm ẩn y  f (x) Ta có: x  2x.f (x)  f (x)  x  2 Lấy đạo hàm hai vế ta có: 2x  2.f (x)  2x.f (x)   2.f (x).f (x)   f (x)   2x  2.f (x)  2x  2.f (x) Hệ số góc tiếp tuyến (1, 2) f (1)   2.1  2.2   2.1  2.2 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (1, 2) là: y  f (1)  (x  1)  f (1)  (x  1)  2 e  1 Xét đường cong ngắn đồ thị qua điểm  0,  , ta xem đồ thị hàm ẩn  2 y  f (x)  Ta có: x   f (x)   2x  f  x    x Lấy đạo hàm hai vế ta có:  Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016  2(4x  1) 2x   x  2x 2x  2f  x  f   x   2x  f  x    x  4x  4.f  x  f   x   1  f (x)  2  f  x    2.f  x   2.4.f  x  2x  f  x    x    1 2(4.0  1) 2.0     x   2x 2    1 Hệ số góc tiếp tuyến  0,  f     1   2 1  1  2.4 2x     x  2  2   1 Phương trình tiếp tuyến đồ thị  0,  là: y  f (0)  (x  0)  f (0)  x   2 Bài tập đạo hàm hàm ngược Tính đạo hàm f  x   arcsin x    Ta có x    ,  , hàm số g  x   sin x song ánh  2 Đặt y = sinx y  cos x   sin x   y Theo cơng thức đạo hàm hàm ngược ta có d 1  arcsin y     dy y  y2 hay f   x   1 x2 Tính đạo hàm f(x)=arctanx    Ta có x    ,  y= tanx song ánh  2 y   tan x   y2 Theo công thức tính đạo hàm hàm ngược Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 d 1  arctan y     dy y  y2 hay  arctan x   1 x2 Bài tập dùng quy tắc Lopital để tính giới hạn *Chú ý cách trình bày* Đối với tốn sử dụng quy tắc Lopital để tính giới hạn, bạn nên xét xem thỏa điều kiện để sử dụng quy tắc hay chưa B1: Đặt f1  x   “đa thức tử số”, g1  x   “đa thức mẫu số”  lim f1  x   lim g1  x   B2: Nếu  x a x a f1  x   lim g1  x    lim x a x a 0 tức lim dạng vô định ,  , hay   B3: Tìm f1  x  , g1  x  B4: Áp dụng Lopital lim x a f1  x  f  x  lim g1  x  x a g1  x  *Nếu lim dạng vô định* B5: Lặp lại B1 B2 sau biến đổi B6: Áp dụng Lopital (liên tiếp) lim x a f1  x  f  x  f  x     lim n   lim x a  g1  x  x a g1  x    g x   n   (L) Ở tập dưới, sử dụng ký hiệu “  ” tức sử dụng biến đổi Lopital xét đến điều kiện Khi trình bày vào thi, bạn nên trình bày đầy đủ bước để tránh điểm ln(1  x)  x x 0 tan x lim Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ – Khóa 2016 1 ln(1  x)  x   ln(1  x)  x (L) x 1 lim  lim  lim x 0 x 0 x 0 sin x tan x  tan x  cos3 x  x.cos3 x  lim x 0 2sin x(x  1) lim   x.cos3 x   1 x 0 lim  2sin x(x  1)   x 0 ln(1  x)  x 1  x 0 tan x  lim ln(tan x) cos 2x x lim ln(tan x) lim  lim  lim cos x.sin x  lim  cos 2x 2sin 2x 4sin x.cos x  x x x x 4  cos 2x  4 (L)  ln(tan x) lim  4sin x.cos x   x ln(tan x)  1 cos 2x x  lim lim x 0 x.arcsin  x  x.cos x  sin x *dựa vào kết tập để tính đạo hàm hàm arcsin Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 2x 2  arcsin(x )   x.arcsin  x   x.arcsin  x  (L)   lim 1 x4 lim  lim  x 0 x.cos x  sin x x 0 x 0  x.sinx  x.cos x  sin x  arcsin(x )  x  2x  arcsin(x )  x  2x (L)   lim  lim  x 0 x 0   x.sinx  x  x.sinx  x  6x   lim x 0 2x sin(x) 1 x (L)  lim  2x arcsin(x ) 1 x4   x sin x   x x.cos x 6x  x  2x arcsin(x ) x 0 2x sin x  (1  x )(sin x  x cos x)  lim 6x  x  2x arcsin(x )     2x sin x  (1  x )(sin x  x cos x)  16x   x  6x 2arcsin(x ) 1 x  lim x 0 2x cos x  (1  x )(2cos x  x sin x)  8x sin x  4x sin x  x cos x   x 0  16x 4 2  lim    x  6x arcsin(x )  x 0  x   lim  2x cos x  (1  x )(2cos x  x sin x)  8x sin x  4x  sin x  x cos x    2 x 0  lim x 0 x.arcsin  x  x.cos x  sin x Tính lim  x 1   3 2 arctan(x-1) x2  x  *dựa vào kết tập để tính đạo hàm hàm arctan Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 lim arctan(x-1) x2  x   x 1  lim x 1  lim x  2x  2x   x 1 x2  x  2 x2  x   arctan(x-1) (L)    x2  x   lim x 1 (2x  1) x  2x       lim x  x   x 1 lim (2x  1)  x  2x     x 1  lim  x 1 arctan(x-1) x2  x   0 tan x  x x 0 arcsin x  ln  x   10 Tìm lim *dựa vào kết tập để tính đạo hàm hàm arcsin (L) tan x  x   tan x  x lim  lim  lim x 0 arcsin x  ln  x   x 0 arcsin x  ln 1  x   x 0   tan x  x  x  1 (L)  lim  lim x 0 x 0 x 1 1 x2 tan x  x  tan x 1 x x  x  1 tan x 1 x2 x 1 x2  x  x  1 tan x  x  1 tan x  x 2 lim  tan x  x   x 0 cos x 1 x2   x  lim   1  x 0  1 x  tan x  x  lim  0 x 0 arcsin x  ln  x   11 Tìm lim  ar tan x  x 0  tan x   1  0  x 1  x  1 tan x  x cos x Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ – Khóa 2016 *dựa vào kết tập để tính đạo hàm hàm arctan lim  arc tan x  tan x x  0  lim e tan x.ln(arctan x )  e lim tan x.ln(arctan x ) x 0 x  0    ln    tan x arctan x    tan x.arctan x.ln(arctan x)    lim  tan x.ln(arctan x)   lim     lim   xlim x 0 x 0 0 arctan x arctan x   x 0   arctan x       1   (L) 1 x2  arctan x(x  1)  cos x   lim   lim  lim   lim  arctan x   x 0 x  x      cos x  x 0 2  1 x  x  1 arctan x   1 x2 lim 1 x 0 cos x lim  arctan x        x  0  lim  tan x.ln(arctan x)   0.1  x  0  lim  arc tan x  tan x x  0  x  x   12 Tìm lim  x 0  e   1  x  x lim  x 0  e  e lim 1 x 0   x2  lim e tan x.ln(arctan x )  e lim tan x.ln(arctan x ) x 0 x  0 x    1 ln(1 x ) x x x  x   e   lim  lim 1 x 0 x 0  x x e e  2 1 ln(1 x )   x 1 1 ln(x  1)  x 1 x  lim  ln(1  x)    lim  lim x 0 x x 0 x  x 0 x2 2x  (L)  e0   Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ – Khóa 2016  lim x 0 x 1  lim  x  2x(x  1) 2(x  1)  x  x    lim  x 0  e  x 1 1 lim ln(1 x )    x   e  x e   x 0 ... 2 Bài tập đạo hàm hàm ngược Tính đạo hàm f  x   arcsin x    Ta có x    ,  , hàm số g  x   sin x song ánh  2 Đặt y = sinx y  cos x   sin x   y Theo công thức đạo hàm hàm... tuyến đồ thị hàm số a = y  4(x  2)  Ta lại có, phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm a có dạng y  f (a)(x  a)  f (a) f (a)  f (2)  Vậy   f (a)  f (2)  Bài tập đạo hàm hàm ẩn Dùng... KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Bài tập định nghĩa đạo hàm Tìm phương trình đường tiếp tuyến với đường cong điểm có tọa độ cho trước định nghĩa đạo hàm a y  4x  3x ,(2, 4) b y  x  3x