bài tập ví dụ chương đạo hàm

Bài tập về định nghĩa đạo hàm 1.. Tìm phương trình của đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm có tọa độ cho trước bằng định nghĩa đạo hàm... Dùng vi phân ẩn để tìm công thức của đường

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BTC ÔN THI HỌC KỲ 1 KHÓA 2016

BÀI TẬP VÍ DỤ

VI TÍCH PHÂN 1B

CHƯƠNG: ĐẠO HÀM PHẦN: CÁC BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐẠO HÀM

 Lâm Cương Đạt

Cập nhật: 02/02/2017

Bài tập về định nghĩa đạo hàm

1 Tìm phương trình của đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm có tọa độ cho trước bằng định nghĩa đạo hàm

y4x 3x ,(2, 4)  c y x ,(1,1)

b yx33x 1,(2,3) d 2x 1

y ,(1,1)

x 2







a

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm của f(x) tại a là:

f (x) f (a) 4x 3x (4a 3a )

f (a) lim lim

4(x a) 3(x a)(x a)

(x a)

4 6a



 

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (2,-4) là: f (2)  4 2.6  8 Phương trình tiếp tuyến tại điểm (2,-4) của đồ thị hàm số là:

yf (2) (x   2) f (2) 8(x    2) ( 4) 8x 12

b

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm của f(x) tại a là:

2

f (x) f (a) x 3x 1 (a 3a 1)

f (a) lim lim

(x a)(x +ax+a ) 3(x a)

(x a) 3a 3



 

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (2,3) là: 2

f (2) 3.2   3 9 Phương trình tiếp tuyến tại điểm (2,3) của đồ thị hàm số là:

yf (2) (x   2) f (2)9(x  2) 3

c

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm của f(x) tại a là:

f (x) f (a) x a

f (a) lim lim

(x a).( x a ) x a

1

2 a





Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (1,1) là: f (1) 1 1

2

2 1

  

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1,1) của đồ thị hàm số là:

y f (1) (x 1) f (1) (x 1) 1 x



        

d

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm của f(x) tại a là:

2

x a

2x 1 2a 1

f (x) f (a) x 2 a 2

f (a) lim lim

(2x 1)(a 2) (2a 1)(x 2)

4(x a) (x a) (a 2)(x 2)

(x a) (a 2)(x 2)(x a)

lim

(a 2)(x 2) (a 2)



  

  

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (1,1) là: 3 2 1

f (1)

(1 2) 3

 Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1,1) của đồ thị hàm số là:

y f (1) (x 1) f (1) (x 1) 1 x



        

2 Nếu một phương trình tiếp tuyến với đường cong yf (x) tại điểm a = 2 là

y4x 5 , tìm f (2), f (2)

Ta viết lại phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại a = 2

y4(x  2) 3

Ta lại có, phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm a có dạng

yf (a)(x  a) f (a)

Vậy f (a) f (2) 4

f (a) f (2) 3

   





Bài tập về đạo hàm hàm ẩn

3 Dùng vi phân ẩn để tìm công thức của đường tiếp tuyến của đường cong tại điểm cho trước

a y.sin 2x cos 2y, ,

2 4

 

 

 

d 2 2

x 2xyy  x 2,(1, 2) (đồ thị hyperbola)

b sin(xy)2x2y, ( , ) 

e 2 2 2 2 2 1

x y (2x 2y x) , 0,

2

 

  (đồ thị cardioid)

c 2 2

x xyy 3,(1,1)

(đồ thị elipse)

a

Xét một đoạn cong ngắn của đồ thị qua điểm ,

2 4

 

 

 

 , ta xem đó là đồ thị của hàm ẩn

yf (x)

Ta có: f (x).sin 2xcos 2.f (x) 

Lấy đạo hàm hai vế ta có:

f (x).sin 2x f (x).2.cos 2x 2.sin 2.f (x) f (x)

2f (x) cos(2x)

f (x)

sin(2x) 2sin 2f (x)







Hệ số góc cua tiếp tuyến tại ,

2 4

 

 

 

  là

2 .cos(2 )

f

2 sin(2 ) 2sin(2 ) 4



 

    

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại ,

2 4

 

 

 

  là:

    



        

    

b

Xét một đường cong ngắn của đồ thị đi qua điểm ( , )  , ta xem đó là đồ thị của hàm ẩn

yf (x)

Ta có: sin(xf (x))2x2f (x)

Lấy đạo hàm hai vế ta có:

(1 f (x)).cos(x f (x)) 2 2f (x)

2 cos(x f (x))

f (x)

2 cos(x f (x))



Hệ số góc của tiếp tuyến tại ( , )  là f ( ) 2 cos( ) 1

2 cos( ) 3

   

   

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại ( , )  là: y f ( ) (x ) f ( ) 1(x )

3



           

c

Xét một đường cong ngắn của đồ thị đi qua điểm (1,1) , ta xem đó là đồ thị của hàm ẩn

yf (x)

Ta có: 2  2

x x.f (x) f (x)  3

Lấy đạo hàm hai vế ta có:

2x f (x) x.f (x) 2.f (x).f (x) 0

2x f (x)

f (x)

2.f (x) x





  



Hệ số góc của tiếp tuyến tại ( , )  là f ( ) 2.1 1 1

2.1 1



     

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại ( , )  là: y f (1) (x 1) f (1)         (x 1) 1

d

Xét một đường cong ngắn của đồ thị đi qua điểm (1, 2) , ta xem đó là đồ thị của hàm ẩn

yf (x)

Ta có: 2  2

x 2x.f (x) f (x)   x 2

Lấy đạo hàm hai vế ta có:

2x 2.f (x) 2x.f (x) 1 2.f (x).f (x) 0

2x 2.f (x) 1

f (x)

2x 2.f (x)



  



Hệ số góc của tiếp tuyến tại (1, 2) là 2.1 2.2 1 7

f (1)

2.1 2.2 2

 



Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại (1, 2) là: y f (1) (x 1) f (1) 7(x 1) 2

2



      

e

Xét một đường cong ngắn của đồ thị đi qua điểm 1

0, 2

 

 

 , ta xem đó là đồ thị của hàm ẩn

yf (x)

Ta có:      2 2

2

x  f (x)  2x 2 f x  x

Lấy đạo hàm hai vế ta có:

             

 

2 2

2 2

2 2

2x 2f x f x 2 2x 2 f x x 4x 4.f x f x 1

2(4x 1) 2x 2 f x x 2x

f (x)

2.f x 2.4.f x 2x 2 f x x

     



    

Hệ số góc của tiếp tuyến tại 1

0, 2

 

 

  là  

2 2

2 2

1 2(4.0 1) 2.0 2 x 2x

2

2 2.4 2x 2 x

      

 

      

 

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại 0,1

2

 

 

  là:

1

y f (0) (x 0) f (0) x

2



     

Bài tập về đạo hàm hàm ngược

4 Tính đạo hàm f x arcsin x

Ta có x ,

2 2

 

   

 , hàm số g x sin x song ánh

Đặt y = sinx thì

y cos x  1 sin x  1 y

Theo công thức đạo hàm hàm ngược ta có

 

2 2

arcsin y

1 hay f x

1 x

 

 



5 Tính đạo hàm f(x)=arctanx

Ta có x ,

2 2

 

   

  thì y= tanx song ánh

y  1 tan x  1 y

Theo công thức tính đạo hàm hàm ngược thì

 

2 2

arctan y

1 hay arctan x

1 x

 

 

 



Bài tập về dùng quy tắc Lopital để tính giới hạn

*Chú ý cách trình bày*

Đối với các bài toán sử dụng quy tắc Lopital để tính giới hạn, các bạn nên xét xem đã thỏa các điều kiện để sử dụng quy tắc hay chưa

B1: Đặt f x 1  “đa thức tử số”, g x 1  “đa thức mẫu số”

B2: Nếu    

lim f x lim g x 0

lim f x lim g x





 tức là lim ở dạng vô định

0 , 0 , hay 0







B3: Tìm f1 x , g1 x

B4: Áp dụng Lopital  

lim lim







*Nếu lim vẫn ở dạng vô định*

B5: Lặp lại B1 và B2 sau khi đã biến đổi

B6: Áp dụng Lopital (liên tiếp)  

lim lim lim

Ở các bài tập dưới, sử dụng ký hiệu “( L ) ” tức là sử dụng biến đổi Lopital

và đã xét đến các điều kiện Khi trình bày vào bài thi, các bạn nên trình bày đầy đủ các bước để tránh mất điểm

x 0

ln(1 x) x

lim

tan x



 

 

( L) 2

3 3

x 0 3

x 0

x 0

2

x 0

1 1 ln(1 x) x

sin x

cos x x.cos x

lim 2sin x(x 1) lim x.cos x 1

lim 2sin x(x 1) 2

ln(1 x) x 1

lim

tan x 2













 









 

7

x

4

ln(tan x)

lim

cos 2x





( L)

x

4

x

4

1 ln(tan x)

cos 2x cos 2x 2sin 2x 4sin x.cos x

lim 4sin x.cos x 1

ln(tan x)

cos 2x

















8  2

x 0

x.arcsin x

lim

x.cos x sin x

*dựa vào kết quả bài tập 4 để tính đạo hàm hàm arcsin

   

2 2

2 2

4

4

3

x 0

2x arcsin(x )

x.arcsin x

x.s inx 1 x

x.s inx 1 x

2x arcsin(x 6x

lim











2

4

x 0

4

( L)

4

4 4

x 0

)

1 x

lim

2x sin x (1 x )(sin x x cos x)

16x

1 x lim

2x c



















 

4

4

x 0

x 0

2

x 0

16x

1 x







9 Tính

2

x 1

arctan(x-1)

lim

x x 2



*dựa vào kết quả bài tập 5 để tính đạo hàm hàm arctan

 

2

2

2 2

2

x 1

2

x 1

2

x 1

2

x 1

1 arctan(x-1)

2x 1

x x 2

x x 2

2 x x 2

2 x x 2

lim

(2x 1) x 2x 2

lim 2 x x 2 0

lim (2x 1) x 2x 2 3

arctan(x-1) 0

3

x x 2



















 





 

 



  

    

 

10 Tìm

x 0

tan x x lim

arcsin x ln 1 x





 

*dựa vào kết quả bài tập 4 để tính đạo hàm hàm arcsin

2 ( L)

2

2

2 2

x 0

tan x x

arcsin x ln 1 x arcsin x ln 1 x

x 1

1 x

x x 1 tan x 2 x 1 tan x 1 x tan x 1 x

x

1 x

x x 1 tan x lim tan x 1 x

1 x













 



2 2

2

2

x 0

x 0

2 x 1 tan x 1 x

0 cos x

x

1 x

tan x x 0

arcsin x ln 1 x 1





 





11 Tìm  tan x

x 0

lim ar tan x



*dựa vào kết quả bài tập 5 để tính đạo hàm hàm arctan

x 0 lim tan x.ln(arctan x ) tan x tan x.ln(arctan x )

1 ln

1

arctan x





2 2

2

2

2

x 0

x 0

x 0

tan x

1 1

1 x arctan x(x 1)

cos x

1 x

cos x

lim tan x.ln(arctan x) 0.1 0















lim tan x.ln(arctan x )

12 Tìm  

1

1 x x

x 0

1 x lim

e



  

2

x 0

1

1

x

lim ln(1 x )

x x

( L)

e

e

1 1





   





 

  x 0 2

1

1 x

x lim ln(1 x )

x

x 0

2x(x 1) 2(x 1) 2

1 x

e



   





  