1) Để chứng minh phương trình có nghiệm không phụ thuộc giá trị của k có hai cách giải. Cách 1 (Đã nói ở lời bình sau câu 2(1) Đề 24) Xem k(x2 4x 3) + 2(x 1) = 0 (*) là phương trình đối với ẩn k . Thế thì (*) có nghiệm không phụ thuộc k khi và chỉ khi x2 4x 3 = 2(x 1) = 0 x = 1. Cách 2 (Phương pháp cần và đủ) + Phương trình (*) có nghiệm với mọi x ắt phải có nghiệm với k = 0. + Với k = 0 ta có k(x2 4x 3) + 2(x 1) x = 1. Thay x = 1 vào (*) có 0k + 0 = 0 nghĩa là x = 1 là nghiệm của (*) với mọi k. Ta có điều phải chứng minh. 2) Kết quả một bài toán đâu phải chỉ có là đáp số. Cái quan trọng hơn là cách nghĩ ra lời giải chúng như thế nào, có bao nhiêu con đường (cách giải) để đi đến kết quả đó : Câu V : 1) Mấu chốt của bài toán là chuyển hoá hình thức bài toán. Cụ thể ở đây là biết thay thế việc chứng minh ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm bằng cách chứng minh 1 + 2 0. Sự chuyển hoá này đã giúp kết nối thành công với giả thiết a1 + a2 2(b1 + b2). 2) Một cách hiểu khác của bài toán là : Chứng minh cả hai phương trình không thể cùng vô nghiệm. Với cách hiểu này ta chuyển hoá thành chứng minh khả năng 1 + 2 < 0 không thể xảy ra. Thật vậy: Nếu 1 < 0 và 2 < 0 suy ra 1 + 2 < 0. Điều này sẽ dẫn tới mâu thuẫn với a1 + a2 2(b1 + b2). Bài toán được chứng minh. 3) Các cách chứng minh bài toán trên cũng là cách chứng minh trong nhiều phương trình bậc hai, ít nhất có một phương trình có nghiệm. 4) Cùng một kiểu tư duy ấy bạn dễ dàng chứng minh : Với mọi giá trị của m, phương trình x2 mx + m = 0 không thể có hai nghiệm cùng dương. Thật vậy : + Nếu m = 0, phương trình có nghiệm x = 0. + Nếu m < 0, phương trình có nghiệm hai nghiệm trái dấu (do ac < 0). + Nếu m > 0, nếu cả hai nghiệm x1, x2 đều âm thì x1+ x2 < 0 suy ra (!). Mâu thuẫn với m > 0. Vậy là bài toán được chứng minh.
ĐỀ SỐ Câu 1: Rút gọn biểu thức sau: � �� � 2 � 2 � � � � � 1 � 1 � � � � � a) A = � b a � a b -b a � � �a - ab � ab b � b) B = � �x - y = - � �2 �x + y = � ( với a > 0, b > 0, a �b) 1 2 Câu 2: a) Giải hệ phương trình: b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình: x2 – x – = Tính giá trị biểu thức: P = x12 + x22 Câu 3: a) Biết đường thẳng y = ax + b qua điểm M ( 2; ) song song với đường thẳng 2x + y = Tìm hệ số a b b) Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm 2, biết tăng kích thước thêm cm diện tích tăng thêm 48 cm2 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh AC (M khác A C ) Đường tròn đường kính MC cắt BC N cắt tia BM I Chứng minh rằng: a) ABNM ABCI tứ giác nội tiếp đường tròn � b) NM tia phân giác góc ANI c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2 Câu 5: Cho biểu thức A = 2x - xy + y - x + Hỏi A có giá trị nhỏ hay khơng? Vì sao? ĐÁP ÁN Câu 1: � 3 � � � 2 3 1 � �� � � � a) A = � � � � � � 1 � 1 � 1 � �� �� � � � � � 1 � � 1 � � � � b a � � b) � a b b a � �a - ab � �a ab b � � � b a b - b � � ab a b � � a a- b b ab a ab b - a a > 0, b > 0, a �b a b Câu 2: a) Đk: x �0 y �0 (*) Rút y từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta được: x2 � � � � x � 2x 3x - = � x x+1 + Với x = 2, suy y = x + = (thoả mãn (*)) 1 + Với x = , suy y = x +1 = (thoả mãn (*)) �1 1� ; � � 2� � Vậy hệ cho có hai nghiệm: (2; 3) b) Phương trình x2 – x – = có hệ số a, c trái dấu nên có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = x1x2 = - Do đó: P = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = + = Câu 3: a) Viết đường thẳng 2x + y = dạng y = - 2x + Vì đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng trên, suy a = - (1) 1 2a + b Vì đường thẳng y = ax + b qua điểm M (2; ) nên ta có: Từ (1) (2) suy a = - b = (2) b) Gọi kích thước hình chữ nhật x (cm) y (cm) ( x; y > 0) �xy = 40 �xy = 40 �� � x + 3 y + 3 xy + 48 �x + y = 13 Theo ta có hệ phương trình: � Suy x, y hai nghiệm phương trình: t2 – 13t + 40 = (1) Giải phương trình (1) ta hai nghiệm Vậy kích thước hình chữ nhật cm cm Câu 4: a) Ta có: B � � MAB 900 (gt)(1) MNC 900 (góc nội � tiếp chắn nửa đường tròn) � MNB 90 (2) Từ (1) (2) suy ABNM tứ giác nội tiếp Tương tự, tứ giác ABCI có: N A C M I � � BAC BIC 900 � ABCI tứ giác nội tiếp đường tròn � � b) Tứ giác ABNM nội tiếp suy MNA MBA (góc nội tiếp chắn cung AM) (3) � � Tứ giác MNCI nội tiếp suy MNI MCI (góc nội tiếp chắn cung MI) (4) � � Tứ giác ABCI nội tiếp suy MBA MCI (góc nội tiếp chắn cung AI) (5) � � � Từ (3),(4),(5) suy MNI MNA � NM tia phân giác ANI � � c) ∆BNM ∆BIC có chung góc B BNM BIC 90 � ∆BNM ~ ∆BIC (g.g) BN BI � BM BC ��BM.BI = BN BC Tương tự ta có: CM.CA = CN.CB Suy ra: BM.BI + CM.CA = BC2 (6) Áp dụng định lí Pitago cho tam giác ABC vng A ta có: BC2 = AB2 + AC2 (7) Từ (6) (7) suy điều phải chứng minh Câu 5: A = x - xy y - x �x �0 � Trước hết ta thấy biểu thức A có nghĩa khi: �xy �0 (1) Từ (1) ta thấy x = y nhận giá trị tùy ý thuộc R (2) Mặt khác, x = A = y + mà y nhỏ tùy ý nên A nhỏ tùy ý Vậy biểu thức A khơng có giá trị nhỏ Lời bình: Câu IVc a) Biết bao kí ức ùa bắt gặp đẳng thức BM BI + CM CA = AB2 + AC2 (1) Phải � (2) �BM BI AB � CM CA AC (3) � Từ cộng theo vế để có (1) Nếu có (1) AB phải cạnh chung cặp tam giác đồng dạng Tiếc điều khơng Tương tự khơng có (2) Để ý AB2 + AC2 = BC2 nên (1) (3) BM.BI + CM.CA = BC2 � �BM BI k BC � CM CA (1 k ) BC � Khả (với < k < 1), từ cộng theo vế để có (1) khơng xẩy BC cạnh chung cặp tam giác đồng dạng Để ý BN + NC = BC nên (1) + NC) BM.BI + CM.CA = BC.BN + BC.NC BM.BI + CM.CA = BC(BN (4) Điều dẫn dắt đến lời giải b) Mong thời gian đừng lãng quên phân tích : PQ2 = PQ(PK + KQ) cách để chứng minh đẳng thức dạng : PX.PY + QM.QN = PQ2 (ở K điểm thuộc đoạn thẳng PQ) Câu V Cảnh báo Các bạn theo dõi lời giải sau : �x �0 � A Biểu thức A có nghĩa �y �0 Biến đổi x y x 1 Suy minA = 2, đạt x = y = (!) Kết tốn sai rõ Nhưng sai tư đáng bàn �x �x D� U� xy y � x � �y 1) Điều kiện xác định P(x; y) chứa đồng thời �x � Do để tìm GTLN, GTNN P(x; y) cần phải xét độc lập hai trường hợp �y �� �x � �y �0 �x �x �x �0 U� � � 2) Không thể gộp chung �y � �y thành �y �0 �x �0 �x Dy �0 � Dy � �y �0 (bỏ sót �y ) 3) Do cho điều kiện xác định P(x; y) Dy �0 Vậy nên A = GNNN A D , chưa đủ để kết luận GTNN A 4) Nhân liên tưởng đến phương trình P( x) Q( x) (1) Q( x) � � Q( x) � � � � �P( x) Cách biến đổi sau sai (1) Biến đổi (1) � Q ( x) �0 � � �P( x ) ... Tương tự ta có: CM.CA = CN.CB Suy ra: BM.BI + CM.CA = BC2 (6) Áp dụng định lí Pitago cho tam giác ABC vng A ta có: BC2 = AB2 + AC2 (7) Từ (6) (7) suy điều phải chứng minh Câu 5: A = x - xy y -... mãn (*)) �1 1� ; � � 2� � Vậy hệ cho có hai nghiệm: (2; 3) b) Phương trình x2 – x – = có hệ số a, c trái dấu nên có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = x1x2