Đề thi HSG có đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2007 – 2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1 (1,5 điểm) Tính giá trị của biểu thức: 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 2 4 6 100 4 4 4 4 S 1 1 1 1 1 3 5 99 4 4 4 4       + + + +  ÷ ÷ ÷  ÷       =       + + + +  ÷ ÷ ÷  ÷       Bài 2 (1,5 điểm) Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 3 + y 3 + 2xy Bài 3 (3 điểm) Giải phương trình: a) 2 x 4x 5 2 2x 3+ + = + b) 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − − Bài 4 (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình EF của hình thang. Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M. Bài 5 (2 điểm) Cho ∆ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí của D và E để diện tích ∆DME đạt giá trị nhỏ nhất. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN Năm học 2007 – 2008 Môn: Toán Sơ lược lời giải và thang điểm Bài 1 (1,5 điểm) Tính giá trị của biểu thức: 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 2 4 6 100 4 4 4 4 S 1 1 1 1 1 3 5 99 4 4 4 4       + + + +  ÷ ÷ ÷  ÷       =       + + + +  ÷ ÷ ÷  ÷       Giải: ∀ n ∈ N, ta có: 2 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n 4 4 2 2 2      + = + + − = + − = + + − +  ÷  ÷ ÷      (1) (0,5 điểm) Mặt khác: 2 2 2 1 1 1 n n (n 2n 1) (n 1) (n 1) (n 1) 2 2 2 − + = − + + − + = − + − + (2) (0,5 điểm) Áp dụng (1) và (2) để tính S, ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 . 100 100 100 100 2 2 2 2 2 2 S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 . 99 99 99 99 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 S         + + − + + + − + + + − +  ÷ ÷ ÷ ÷  ÷ ÷         =         + + − + + + − + + + − +  ÷ ÷ ÷ ÷  ÷ ÷           + + + +  ÷   = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 3 3 . 100 100 99 99 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 3 3 2 2 . 99 99 98 98 2 2 2 2 2 2 1 100 100 1 2 S 2. 100 100 20201 1 2 2       + + + + + + + +  ÷ ÷ ÷  ÷ ÷               + + + + + + + + + + + +  ÷ ÷ ÷ ÷  ÷ ÷         + +   = = + + =  ÷   (0,5 điểm) Bài 2 (1,5 điểm) Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 3 + y 3 + 2xy Giải: Ta có: (a – b) 2 ≥ 0 ⇔ (a + b) 2 ≥ 4ab ⇔ –4ab ≥ –(a + b) 2 . (0,5 điểm) Áp dụng vào biểu thức A, ta có: A = (x + y) 3 – 3xy(x + y) + 2xy = 8 – 6xy + 2xy = 8 – 4xy ≥ 8 – (x + y) 2 = 8 – 4 = 4 (0,5 điểm) Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y mà x + y = 2 (gt) ⇒ x = y = 1 Vậy: min A = 4 ⇔ x = y = 1 (0,5 điểm) Bài 3 (3 điểm) Giải phương trình: a) 2 x 4x 5 2 2x 3+ + = + (1) b) 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − − Giải: a) (1,5 điểm). Điều kiện: 3 x 2 ≥ − (0,5 điểm) Ta có: (1) ⇔ 2 (x 2x 1) (2x 3 2 2x 3 1) 0+ + + + − + + = (0,5 điểm) ⇔ 2 2 x 1 0 (x 1) ( 2x 3 1) 0 x 1 2x 3 1 0 + =   + + + − = ⇔ ⇔ = −  + − =   (thỏa mãn) Vậy: Phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 (0,5 điểm) b) (1,5 điểm). Ta có: 3x 2 + 6x + 7 = 3(x + 1) 2 + 4 ≥ 4 5x 2 + 10x + 14 = 5(x + 1) 2 + 9 ≥ 9 Do đó: 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 9 2 3 5+ + + + + ≥ + = + = Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1 (1) (0,5 điểm) Mặt khác: 4 – 2x – x 2 = 5 – (x + 1) 2 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1 (2) (0,5 điểm) Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − − ⇔ x = –1. Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = –1 (0,5 điểm) Bài 4 (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình EF của hình thang. Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M. Giải: – Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại N ⇒ BCND là hình bình hành Suy ra: BC = DN (1 điểm) – Mặt khác: AD + BC = 2EF mà AM = EF (gt) Suy ra: AN = AD + DN = AD + BC = 2AM Do đó: M là trung điểm của AN (0,5 điểm) – Vì CN // BC mà BD ⊥ AC ⇒ CN ⊥ AC Hay: ∆ACN vuông tại C có CM là trung tuyến ⇒ 2CM = AN. Hay: CM = AM M F E NDA I B C Vậy: ∆AMC cân tại M (0,5 điểm) Bài 5 (2 điểm) Cho ∆ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí của D và E để diện tích ∆DME đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: – Kẻ MF ⊥ AB, MG ⊥ AC ⇒ AFMG là hình chữ nhật. (0,5 điểm) – Ta có: MD ≥ MF và ME ≥ MG (tính chất đường xiên, hình chiếu) (0,5 điểm) Do đó: DME 1 1 S MD.ME MF.MG Const 2 2 = ≥ = Dấu "=" xảy ra ⇔ D ≡ F và E ≡ G (0,5 điểm) Vậy: Khi D và E lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC thì diện tích của ∆DME đạt giá trị nhỏ nhất. (0,5 điểm) Chú ý: Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà vẫn cho kết quả hợp lý, chính xác thì vẫn cho điểm theo thang điểm trên. G F E M C A B D . HUYỆN LỤC YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2007 – 2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1 (1,5. diện tích ∆DME đạt giá trị nhỏ nhất. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN Năm học 2007 – 2008 Môn: Toán Sơ lược lời giải và thang điểm Bài 1 (1,5 điểm) Tính