TRAN DUC HUYÍN - NGUYỄN DUY HIẾU
Trang 3LỜI NÓI ĐẦU
To theo Bộ sâch Giải toân dănh cho học sinh lớp chuyín, nhóm tâc giả
trường THPT chuyín Lí Hồng Phong biín soạn Bộ sâch Tăi liệu chuyín toân THPT theo chuyín đề nhằm giúp câc em học sinh tự học để nắm được trọng
tđm kiến thức vă luyện tập giải toân, qua đó giúp học sinh tự ôn thi văo đại học đạt kết quả tốt Cuốn sâch Tăi liệu chuyín Toân THPT chuyín đề : Hình học không gian gồm 2 phần chính : Phần một : LÍ THUYẾT VĂ PHƯƠNG PHÂP GIẢI TOÂN Gồm 8 chương : Chương 1 HÌNH LĂNG TRỤ Chương 2 HÌNH HỘP Chương 3 HÌNH CHÓP Chương 4 HÌNH CĐU Chương 5 HÌNH TRỤ Chương 6 HÌNH NÓN
Chương 7 CÂC BĂI TOÂN VỀ KHOẢNG CÂCH Chương 8 CÂC BĂI TOÂN VỀ GÓC
Phần hai :ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI CÂC ĐỀ THỊ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC
Phần năy gồm một sĩ dĩ thi tuyển sinh đại học những năm gần đđy, một số dĩ thi mau chọn lọc vă những băi toân hình học không gian thường gặp trong
giải toân
Rất mong cuốn sâch năy giúp ích cho câc em học sinh tự học vă tự ôn thi
văo đại học thănh công
Mặc dù rất cố gắng trong quâ trình biín soạn nhưng những khiếm khuyết lă không thể trânh khỏi, chúng tôi rất mong nhận được câc ý kiến đóng góp của câc quý thầy cô vă câc em học sinh yíu toân để câc lần tâi bản sau, cuốn
sâch được hoăn chỉnh hơn
Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về theo dia chi:
Ban Biín tập Toân - Tin, Công ty CP Dịch vụ xuất bản giâo dục Gia Định - Nhă
xuất bản Giâo dục Việt Nam — 231 Nguyễn Văn Cừ, quận 5, TP Hồ Chí Minh
Trang 5THUYET - PHƯƠNG PHÂP GIẢI TOAN A TÓM TẮT LÍ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA
Cho hai mặt phẳng (ơ) vă (œ)
song song với nhau Trín (œ) cho
đa giâc lồi A,A; A„ Qua câc đỉnh Ai A¿ A, ta vẽ câc đường thắng
song song với nhau vă cắt mp(œ')
lần lượt tại A, A"›, ,A",
Hình gồm hai đa giâc A,A, A, vă A'A', A', vă câc hình bình hănh AiljẪĐu SĐN, Gă A,A', AA, được gọi lă hình lăng tu vă được kí hiệu lă Aye A AI AB g: Ất:
Hai đa giâc A,A; A, vă A'A', A', gọi lă hai mặt đây, câc hình bình hănh AIA1A5A;, A:A2A5As, , A,A AA;¡ được gọi lă câc mặt bín, câc cạnh
không thuộc hai đây đều song song với nhau vă được gọi lă cạnh bín
Khoảng câch giữa hai đây gọi lă chiều cao của lăng trụ
II TÍNH CHÂT
— Hai đây lă hai đa giâc bằng nhau, có cạnh đôi một song song vă bằng nhau — Câc cạnh bín song song vă bằng nhau
Trang 6II PHĐN LOẠI
— Hình lăng trụ đứng lă hình lăng trụ có cạnh bín vuông góc với mặt đây — Hình lăng trụ xiín lă hình lăng trụ có cạnh bín không vuông góc với mặt đây — Hình lăng trụ đều lă hình lăng trụ đứng có đây lă đa giâc đều
Lang tru dung Lang tru xiĩn
A Lang tru dĩu
Iv CONG THUC
— Thĩ tich cia khdi ling trụ bằng
tích sô của diện tích đây vă chiíu Sf
cao của khôi lăng trụ đó V=Bh — Diện tích xung quanh bằng tổng h diện tích câc mặt bín Sq = DS at bín
— Diện tích toăn phần bằng tông của điện tích xung quanh vă diện tích hai đây
S„ =8 ,+2B tp xq
Trang 7
B CÂC BĂI TOÂN VĂ PHƯƠNG PHÂP GIẢI
| Tính thể tích khối lăng trụ
I PHƯƠNG PHÂP
Dĩ tinh thể tích câc khối lăng trụ ta thực hiện câc bước :
— Xâc định chđn đường cao — Vẽ đường cao — Tính đường cao h ~ Tính diện tích đây B ~ Tính thể tích lăng trụ theo công thức V = Bh 1L CÂC BĂI TOÂN
Trang 8đăi toân 2 Cho lăng trụ tam giâc đều ABC.A'B'C' có cạnh đây bằng a,
khoảng câch từ tđm O của tam giâc ABC đến mặt phẳng (A'BC) bằng “
Tính thể tích của khối lăng trụ đê cho
Giải
Gọi I lă trung điểm của BC, O lă tđm của tam
giâc ABC nín O thuộc AI vă OT = Sal
Dung OH 1 A'I tại H, ta có :
wee LAI = BC I (A'AD => BC 1 OH
BC 1 AA'
Lai cĩ OH LA’I nĩn OH 1( A’BC)
Vay OH = d(O, (A’BC)) = =
Dat AA’ = x (x > 0), xĩt tam giâc vuông A”AI ta có : B
A'I= VAA"+ AP’ 2 x- = aa BS 2 4 Hai tam gidc vudng OHI va A’AI dong dang, suy ra : OH OL OH AAT ATS _ Ol | opal =OLAA' ° ox 8 4
Thể tích của khối lăng tru ABC.A’B’C’ :
a?J3 ạ V6 _ 3/2a" aye
V =Sy5¢-AA'= ‘ABC 4
Trang 9Wem
| Tính diện tích hình lăng trụ I PHƯƠNG PHÂP
Câc mặt bín của hình lăng trụ lă câc hình bình hănh Hai đây của hình lăng trụ lă hai đa giâc băng nhau
Để tính diện tích hình lăng trụ ta thực hiện câc bước :
— Xâc định hình tính câc mặt
— Tinh diĩn tích từng mặt
— Tính diện tích lăng trụ theo câc công thức :
a) Diện tích xung quanh bằng tổng diện tích câc mặt bín
Vu DS warden
b) Diện tích toăn phan bằng tổng của diện tích xung quanh vă diện tích hai đây
Šp = Sứ +2B
II CÂC BĂI TOÂN
Bai todn 3 Tính diện tích xung quanh vă diện tích toăn phần của hình lăng trụ
lục giâc đíu có cạnh đây băng a vă đường cao 3a
Giải
“Ta có chiều cao lăng trụ lă : h = 3a (xem hình băi toân 1)
a V3 - 3a7V3
Diện tích đây của lăng trụ lă : B=ó6 3 = a
Mỗi mặt bín của lăng trụ lă hình chữ nhật có điện tích S = 3a? =5, =6.3a”=l8a? xq 3a V3 2 đăi toân 4 Cho lăng trụ tam giâc đều ABC.A'B'C' có cạnh đây bằng a, =3a?(6+ 3) 2 >5 =5, +2B = l8a +2
Trang 10
av6
Theo chứng minh ở băi toân 2, ta đê có chiều cao của lang tru la: AA'= Et Câc mặt bín của lăng trụ lă câc hình chữ nhật có kích thước a vă ave
Hai đây lă hai tam giâc đều có cạnh bằng a
Vậy diện tích toăn phần của lăng trụ ABC.A'B'C' lă :
St =5, †2Sxấy =3SAng-A' Ð2SApc a2 v3 2 a2 J3 _ a V3(3V2 +2) 2 4 Ỷ =3AA'.AB+ 2Eem 10
| Phđn loại hình lăng trụ theo đường cao
Để giải câc băi toân về hình lăng trụ, điều quan trọng nhất lă xâc định được
đường cao Người ta phđn loại lăng trụ theo câc kiíu đường cao như sau :
Loại I : BUONG CAO LA CANH BEN
Trang 11đăi toân 5 Cho lăng trụ tam giâc đều ABC.A'B'C' có cạnh đây bằng a vă
cạnh bín bằng av3 Tinh thĩ tich va diện tích toăn phần của lăng trụ Giải
A Cc
Do ABC.A'B'C' lă lăng trụ tam giâc đều nín đây ABC lă tam giâc đều vă đường cao lă cạnh bín : h= AA’ = a3 a?v3 ra Diện tích đây B=§,n- = Thể tich V=Bh=S,, AA'= 2B Wi 4 2
Bai todn 6 Cho lang try dimg ABC.A’B’C’ co day 1a tam gidc ABC vuĩng
tai B AB =a, BC = aV3, AA’= 2a Tinh thĩ tich va diĩn tich toan phan ctia
lăng trụ
Diín tích toăn phần : S, =S, qt 2B= 3a? /3 +2
Giải
Do ABC.A’B’C’ lă lăng trụ đứng nín A
Trang 1212 Diện tích toăn phần : 5g = Seg +2B=2a(a+2a+ a3) +2 : 2 =2a?(+J3)+a2x3 =3a?(2+J3)
Logi 2: DUONG CAO NAM BEN TRONG LANG TRU
Bai todn 7 Cho lang tru tam gidc ABC.A’B’C’ co day la tam giâc dĩu canh
bằng a, A'A = A'B= A'C = a3 a) Chứng minh tứ giâc BB°CC lă hình chữ nhật b) Tính thẻ tích của lăng trụ Giải A ở a) M B
a) Gọi G lă trọng tđm tam giâc đều ABC vă gọi M lă trung điểm BC, ta có :
A’A=A’B = A’C, suy ra A’G vuông góc với mp(ABC) BCLA'G BC L AG Ma BB’ // AA’=> BC | BB’ Tu gidc BB’C’C 1a hinh binh hanh va co m6t g6c vudng nĩn lă hình chữ nhật |>Re+Aa:
b) ABC lă tam giâc đều nín : AM =, :AG =i
Chiều cao ling tru: h=A'G= VAA?-AG? = 4/3: == 24a? = 2
3
Trang 13
23 2av6 _ v2
4° 3 2ˆ
đăi toân 8 Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đây lă hình thoi cạnh bang a
Goc BAD =60°, A’A = A’B=A’D =a Tinh thĩ tích của lăng trụ
Giải
Tam giâc ABD cđn có một góc bằng 60° nín lă tam giâc đều Gọi
G lă trọng tđm tam giâc đều ABD
vă gọi O lă trung điím BD, ta có
A’A = A’B = A’D suy tra A’G
vuông góc với mp(ABCD)
ABD lă tam giâc đều nín : a3 v3 Ao-SS: AG= 3 Thĩ tich lang tru: V =B.h=S,,.A'G = Chiĩu cao on tru: h=A'G=VA'A?-AG? = Diĩn tich day S ABCD =2S ABD Thẻ tích lăng trụ : V =B.h= SApcb
Logi 3 : BUONG CAO NAM TRONG MOT MAT BEN
Bai todn 9, Cho lang trụ tam giâc
ABC.A’B’C’ có đây ABC lă tam giâc 3
vuông cđn tại B, AB = a Mặt bín A C
AA'CC lă hình thoi vă vuông góc với XS “x7
mặt đây Cạnh bín AA’ hợp với mặt đây
một góc 60° Tính thể tích của lăng trụ Giâi
Gọi H lă hình chiếu vuông góc cia A’
xuông cạnh AC Do mặt bín AA`CC £ C
vuông góc với mặt đây nín ta có A°H <4
vuông góc với mp (ABC), suy ra B
Trang 14
14 Tam giâc A'AC cđn có một góc bằng 60° nín lă tam giâc đều : Chiĩu cao lăng trụ: h=A'H= Z 2 2 Diĩn tich day B=S,4 = >
Thể tich lang tru: V=B.h=S,,.-A'H= a 7
đăi toân 10 Cho lăng trụ ABC.A"B°C) có đây lă tam giâc ABC vuông tại B, AB =a, BC = a3, AA’= 2a Hinh chiếu vuông góc của A’ xuống mặt đây trùng với trung điím H của cạnh AC Tính thí tích của lăng trụ
Ta có AC= JBC” + BA” =2a
Trang 15(@CHƯƠNG 2 2 HÌNH HOP A TOM TAT Li THUYET I DINH NGHIA Hình hộp lă hình lăng trụ có đây lă hình bình hănh Khoảng câch giữa hai đây gọi lă chiều cao của hình hộp II TÍNH CHÂT
— Ca 6 mat của hình hộp đều lă hình bình hănh
— Hình hộp lă hình lăng trụ mă mọi mặt đều có thể lấy lăm mặt đây
— Doan nối hai đỉnh không thuộc một mặt gọi lă đường chĩo của hình hộp
~— Ba đường chĩo của hình hộp đồng quy tại một điểm, điểm đó lă tđm đối
xứng của hình hộp
Il PHAN LOẠI
Trang 16IV CÔNG THỨC — Thể tích của khối hộp được tính theo thẻ tích của khối lăng trụ : V=Bh ~ Đặc biệt thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích của ba kích thước V=abc vă thể tích của khối lập phương bằng lập phương số đo của cạnh vza` ~— Diện tích xung quanh bằng tổng diện tích câc mặt bín Su = Sun bín ~ Diện tích toăn phần bằng tổng của diện tích xung quanh vă diện tích hai đây Ss i= Su +2B t - B CÂC BĂI TOÂN VĂ PHƯƠNG PHÂP GIẢI mm | Tinh thể tích khối hộp I PHƯƠNG PHÂP
Để tính thể tích câc khối hộp ta thực hiện câc bước : — Xâc định chđn đường cao
— Về đường cao
— Tính đường cao h ~ Tính diện tích day B
~ Tính thể tích khối hộp theo công thức V = B.h
II CÂC BĂI TOÂN
đăi toân 1 Cho hình hộp đứng ABCD.A"B'°C'D' có day ABCD 1a hinh thoi
vă BAD = 60° Đường chĩo BD” hợp với đây một góc 60° Goi E la trung
điím của AD Mặt phăng BED' cắt hình hộp theo một thiệt điện có diện tích
Trang 17Giải (ABCD)// (A'B'C'D) (BED)f\(ABCD)=BE_ =(BED)f\(A'B'C'D')=D'F // BE (FeB'C) D'e(BED)f\(A'B'C'D) Nối BE, thiết diện lă tứ giâc BED'F (ADD'A)//(BCC'B) (BED')(ADD'A') = D'E (BED')((BCC'B') = BF = BF// D'E
Tam giâc BAD cĩ AB = AD,
BAD = 60° nĩn la tam giâc đều, E
lă trung điím của AD, suy ra
BELAD, mặt khâc cũng có
BELAA’ (vi AA’ 1(ABCD)), đo đó
BE1(ADD’A’) > BELD’E
Tứ giâc BED'F có D'F//BE, BF//D'E, BE.L D'E nín lă hình chữ nhật
Hình chiếu vuông góc của BD' trín (ABCD) lă BD do đó góc giữa BD' vă
mặt phẳng (ABCD) lă D' BD, theo giả thiết ta có D'BD = 60° Đặt cạnh hình thoi lă x, thì BE = So , BD =x, DD’ = BD tan 60°=x/3 Xĩt tam giâc vuông D°DE, ta có : 2 2
D’E? = DD’? + DE? =3x?+ a = =DE= sử ;
Diện tích thiết diện BED'F lă :
2
S=BE.DE=Š v8 =4)39 > x =4 (em)
Diện tích mặt đây ABCD lă :
Sascp = AB.AD sin60° = x? 3 =8v3 (cm)
Thể tích khối hộp lă : V = §, „„.DD'=83.4\'3 =96 (em))
Trang 18Bai todn 2, Cho hinh h6p ABCD.A’B’C’D” có đây ABCD lă hình thoi cạnh a, BAD =60° va A’A = A’B = A’D = a Tinh thĩ tích khôi h6p ABCD.A’B’C’D’
Gidi
A'A=A'B= A'D =a nín A' thuộc trục
đường tròn ngo: p tam giâc ABD, gọi H lă hình chiếu vuông góc của A' trín mặt phẳng (ABCD) thì A'H vuông góc với (ABCD) vă H lă tđm đường tròn ngoại tiệp tam giâc ABD Vì tam giâc
Trang 19II CÂC BĂI TÔN
đăi tôn 3 Cho hình hộp ABCD.A°B`C'D' có đây ABCD lă hình thoi cạnh a,
BAD =60°vă A’A = A’B = A’D =a Tinh diĩn tich toăn phan cua hinh hop ABCD.A’B’C’D’
Giải
Ta cĩ A’A = A’B = A’D = anĩn A’ thuộc
trục đường tròn ngoại tiếp tam giâc ABD, gọi H lă hình chiíu vuông góc của A` trín mặt phăng (ABCD) thì A'H vuông góc
với (ABCD) vă H lă tđm đường tròn ngoại
tiíp tam giâc ABD Vì tam giâc ABD có AB = AD =a vă BAD=60°nín ABD lă tam giac đíu, suy ra 2 a3 av3 AH= 2AO=2 ——=——_ (với Olă 3 3 2 3 giao điểm của AC vă BD) Xĩt tam giâc vuông A"HA (vuông tại H), ta có : 2 A'H?=AA*2~ AHP =a? “>
Diĩn tich toan phan cua hinh h6p ABCD.A’B’C’D’ : Sip = 2(Sapp'a’ + SAppA: + SABCD)
Tam giâc A'AB có A'A = A'B = AB =a nín lă tam giâc đều vă a 3 Suy ra SApp:A: = 2SA'AB = - Tương tự SApp:A: = 2 Vay Sip = 6 3 323
Bai todn 4 Cho hinh lap phuong ABCD.A'B'C'D' canh a
Tim diĩm M trĩn canh AA' sao cho mat phẳng (MBD)) cắt hình lập phương
theo một thiệt diện có diện tích nhỏ nhất
Trang 2020 Giải Gọi N lă điểm ở trín CC' sao cho AM = NC'=x Ta có : MD' // BN vă MD' = BN - ĩ Vậy BMDN lă thiết diện của (MBD) với „ ZB hình lập phương
Diện tích S của thiết diện BMDN bằng 2 lần
điện tích tam giâc MBD' M
Tam giâc MBD' có cạnh đây D'B không đổi nín : Es c
Diện tích tam giâc MBD' nhỏ nhất A B
© đường cao MH ngắn nhất
© MH lă đoạn vuông góc chung của A*A vă D° B ©M lă trung điểm AA' vă H lă trung điểm của D'B
Vậy khi M lă trung điểm AA' thì Sswpx đạt giâ trị nhỏ nhất
đăi toân 5 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' co đây lă hình vuông cạnh đây 3 3 YẺ _ Tính diện tích thiết diện A°BD bằng a, thí tích khối hộp bằng Giải
Goi I la giao điểm AC vă BD, ta có :
Trang 21® A TOM TAT Li THUYET I ĐỊNH NGHĨA B Cc
Hình chóp lă khối đa điện có một mặt lă đa giâc được gọi lă đây, câc mặt còn lại đều lă tam giâc có chung một đỉnh vă được gọi lă mặt bín (hình chóp S.ABCD)
Khoảng câch từ đỉnh đến mặt đây gọi lă chiều cao của hình chóp
II TÍNH CHẤT
— Cac mat bín đều lă hình tam giâc có chung một đỉnh — Mặt đây lă đa giâc bất kì
n
Trang 22— Số cạnh đây được dùng đề gọi hình chóp, ví dụ :
Hình chóp tứ giâc có đây lă tứ giâc, hình chóp ngũ giâc có đây lă ngũ giâc
— Hình chóp đều lă hình chóp có đây lă đa giâc đều vă có câc cạnh bín bằng
nhau Do đó hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống đây trùng với tđm đường tròn ngoại tiệp day
— Hình chóp tam giâc còn gọi lă tứ diện II CÔNG THỨC ~— Thể tích của khối chóp bằng 3 tích số của diện tích đây vă chiíu cao V= xin — Diện tích xung quanh bằng tổng diện tích câc mặt bín Sq = DS nat bín ~ Diện tích toăn phần bằng tổng của diện tích xung quanh vă diện tích đây S„ =8, +B tp xq - B CÂC BĂI TOÂN VĂ PHƯƠNG PHÂP GIẢI Cpe | Tính thể tích khối chóp I.PHƯƠNG PHÂP
Trang 23II CÂC BĂI TÔN
đăi tôn 1 Tính thể tích khối chóp tứ giâc đều có tắt cả câc cạnh đều bằng a Giải Tam giâc ASC vuông tại S vì có ba cạnh thoả mên SA?+SC? = AC? Gọi O lă tđm của hình vuông ABCD Do S.ABCD lă hình chóp
đều nín ta có SO | (ABCD), suy ra
chiíu cao của khôi chóp lă :
V2
h=SO=—— 2
Diện tích đây khối chóp : Sancp = ôẺ
Vậy thể tích khối chóp lă : Vs Ancp = Sane „5034 dời.) a
đăi toân 2 Cho hình chóp S.ABCD có đây lă hình thang vuông tại A vă B,
AB=BC=a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Cho biết góc giữa SD vă mặt đây bằng 60° Tinh thể tích khối chóp
Giải
Ta có SA L (ABCD), suy ra góc giữa SD với mặt đây lă :
SDA =60°
Chiều cao của khối chóp lă :
h=SA = AD.tan 60° =2a.3
Trang 24Wem | Tính diện tích hình chóp 1 PHƯƠNG PHÂP Để tính diện tích hình chóp ta thực hiện câc bước : — Xâc định hình tính câc mặt — Tính diện tích từng mặt
— Tính diện tích hình chóp theo công thức :
a) Diện tích xung quanh bằng tổng diện tích câc mặt bín
Sq = US mat ben
b) Diện tích toăn phần bằng diện tích xung quanh cộng cho điện tích đây S, = Sx +B
II CÂC BĂI TOÂN
Trang 25đăi toân 4 Cho hình chóp S.ABCD có đây lă hình thang vuông tại A vă B,
AB = BC = a, AD = 2a, SA L (ABCD) Cho biết góc giữa SD vă mặt đây
bằng 60° Tính diện tích xung quanh vă diện tích toăn phần hình chóp
Ta có SA L (ABCD), suy ra góc giữa SD với mặt đây lă :
SDA =60°
Chiều cao của hình chóp lă :
h=SA = AD.tan60° =2a./3
Diện tích đây hình chóp :
(AD+BO.AB „ (Oa+a)a _ 3a”
2 a
SB = SA? + AB? =V12a7 +a? =avi3
Trang 26Diện tích câc mặt bín :
1 1 2
Souq = 7 SAAB = 5 2aV3.a=a° V3
§ sap => SAAD = 23.24 =2a° V3 1 1 2 2 1 1 a V13 Sạc =2SB.B Sa 13.a= 5 Sscp = v2 =5 =#” Re? Bee pedo =S,,=8 a (3y3 += Vy, +>) men
| Phđn loại hình chóp theo đường cao
Để giải nhiều băi toân về hình chóp, điều quan trọng nhất lă xâc định được đường cao Người ta phđn loại hình chóp theo câc kiíu đường cao như sau : Logi 1 : DUONG CAO LA MOT CANH BEN
đăi toân 5 Cho hình chóp S.ABCD có đây lă hình vuông cạnh bằng a, SA = 2a
vă SA L(ABCD) Tính thể tích vă diện tích toăn phần của hình chóp
Giải
Trang 27Diện tích day B=S, yep = bo 1 1 12, 2a Thĩ tich V=zBh= 2 5apop SA = 2a aa BC 1 AB => BC 1SB BC LSA CDLAD =>CD1SD CD LSA
Vậy câc mặt bín hình chóp đều lă câc tam giâc vuông
SB=\VSA?+AB? =V4a? +a” =aV5 , tương tự
SD = SA? + AD? = V4a? +a? =av5 Diện tích câc mặt bín : 1 1 Scan = 7 SAAB => 2aa="> 2 1 1 Ssạp = BoD = Tưng 1 Ị Sgục =2SB.BC =2 a 5.4 Ss SCD 2 ~1spcb~1av8a~# X5, 2 2 2 Diện tích toăn phần : a5 a5 a ip 2 2
đăi toân 6 Cho hình chóp S.ABC có đây lă tam giâc ABC vuông tại B, AB =a,
BC= a3, SA vuông góc với mp (ABC) vă SA = 2a Tính thể tích vă diện
Trang 282a Thể tích V=Bh=1s 3 3 „BCLAB Ta có BC LSA |=ncrs
Vay cdc mặt bín hình chóp đều lă câc tam giâc vuông, do đó :
SB=VSA? +AB? =4a? +a? =av5 „ tương tự
AC=\BA? +BC? = ¥3a? +a” =2a Diện tích câc mặt bín : 1 a 1 Sop => SA-AB= 5 2aa= 1 Seac= + SA.AC= }2a.2a =2a? ‘SAC 2 2 1 1 15 Soa = —SB.BC =—aV5.aV3 SBC 2 2 2 Diện tích toăn phan : x8 avis 22/3 a2 a 2 avI5 a v3 a S| =—+2a°+ + ==—@+15+3) P.2 2 2 2 )
Bai todn 7 Cho hình chóp S.ABCD có đây lă hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, AD = 4a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ; góc giữa SC vă mp(ABCD) 1a 60°
a) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD
Trang 29
b) Gọi H,M lần lượt lă trung điểm của AB, BC ; N ở trín cạnh AD sao cho DN =a Tính thí tích của khôi chóp S.AHMN
Giải
a) Sascp = AB.AD = 8a
SA 1 (ABCD)
=> §C có hình chiếu trín (ABCD) lă AC = (SC,(ABCD)) = (SC, AC) = SCA = 60°
Tam giâc ABC vuông tại B có AC = VAB? +BC? =2aV5
Tam giâc SAC vuông tại A có SA = ACtan60° = 2ax15 “Thẻ tích của khói chóp S.ABCD lă : 3 Vsanco= $Sanco SA = 5807 2avi5 = eae Đ) SAnMN = SABCD — Š8MH — ŸMCDN (a+2a).2a =
= 7a? — 3a? = 4a”,
Thẻ tích của khói chop S.AHMN lă : =8a?—aˆ
1 1
VsAnvn = 2 SAnyn.ŠĐ = 3.4aˆ2a15 = 8a > vis
Logi 2: DUONG CAO NAM BEN TRONG HiNH CHOP
Bai todn 8 Cho hình chop tam giâc đều S.ABC có cạnh đây bằng a vă cạnh bín bằng ax(3 Tính thể tích vă diện tích toăn phần của hình chóp
Trang 3030
M B
Gọi G lă trọng tđm tam giâc đều ABC vă gọi M lă trung điểm BC Do hình
chóp S.ABC lă hình chóp đíu nín ta có SG vuông góc với mp(ABC)
a3 a3
ABC lă tam giâc đều nín :AM = > ;AG= “a
Chiều cao khối chóp :
h=SG= SA? ~AG? =,|3a” == = _N, Diện tích đây B=S§, xe Thể tích khối chóp : V = tn =
đăi toân 9 Cho hình chóp S.ABCD có đây lă hình thoi cạnh bằng a Góc
BAD =60°, SA = SB = SD =a Tinh thĩ tich khĩi chop
Giải
Tam giâc ABD cđn có một góc bằng 60° nín lă tam giâc đều Gọi G lă trọng
tđm tam giâc đều ABD vă gọi O lă trung điểm BD, ta có SA = SB = SD, suy
ra SG vuông góc với mp(ABCD)
sổ, a,
ABD lă tam giâc đều nĩn : AO=—~; AG=——
Trang 31Diện tích đây B=§, nụ = 28, ABD” “qo Thể tích khối chóp : V =3Bh = 33 ABCD”
Logi 3 : BUONG CAO NAM TRONG MOT MAT BEN
đăi toân 10 Cho hình chóp S.ABC có đây ABC lă tam giâc vuông cđn tại B với AB = a Mặt bín (SAC) lă tam giâc đều vă vuông góc với mặt đây Tính thí tích của khôi chóp vă diện tích toăn phđn của hình chóp S.ABC Giâi Ss b B Trong tam giâc vuông cđn ABC ta có : AC=a2
Gọi M lă trung điểm của cạnh AC Do mặt bín (SAC) vuông góc với mặt đây
Trang 3232 hs Diện tích đây B= 5, n = + BA.BC = Thể tích khối chớp : V = 2 Bh =2 Sapc.SM = ole g g wit Gọi H vă K lần lượt lă trung điểm của BA vă BC, t MH // BC= MH L BA > SH 1 BA MK // BA => MK 1 BC=> SK 1 BC 2 2 H = VSM? + MH? = Sal a NT v7 Ma SH = SK nĩn SK = =o Diện tích câc mặt của hình chóp lă : 1 1 Sig, =; SHAB=> Ta có Sspa = Ssnc = = nh 5 ACNE _ SAC 4 ~
Diện tích toăn phần của hình chóp S.ABC lă : SŠp =ŠspA + Ssục † 5sAc † 5Apc
2 2 2 5
07 VT V5 va
4 4 2 2
đăi toân 11 Cho hình chóp S.ABCD có đây lă hình vuông cạnh a Mặt bín SAB lă tam giâc đều cạnh bằng a vă mp(SAB) vuông góc với mặt đây Tính thí tích khôi chóp vă diện tích toăn phđn hình chóp S.ABCD
Giâi
Gọi H lă trung điểm của cạnh AB Do mặt bín (SAB) vuông góc với mặt đây
nín ta có SH vuông góc với mp (ABCD), suy ra chiíu cao hình chóp lă :
2
Trang 34A TÓM TẮT GIÂO KHOA
A ft) ›
UY Pr
Mặt cầu (S) lă tập hợp câc điểm M trong không gian luôn câch điểm I cố định một khoảng băng R không đôi I MAT CAU I goi la tam, R 1a ban kinh ctia mat cau (S) Sq;R)=[Me R | IM=RỊ
Cho hai điểm A, B trín mặt cầu (S) sao cho tđm I lă trung điểm của AB, ta gọi đoạn AB lă đường kính của mặt cđu (S)
Il KHÓI CẦU
Cho một điểm cố định I vă một độ dăi không đổi R Khối cầu (B) lă tập hợp
câc điím M trong không gian luôn câch điím I một khoảng nhỏ hơn hoặc băng R
B(; R)=(Me RÏ] IM<R)
Trang 35II THIET DIEN CUA MAT PHANG VOI MAT CAU
Cho mat cdu S(I ; R) vă mặt phẳng (P) sao cho khoảng câch d từ I đến (P) nhỏ
hơn R Mặt phăng (P) luôn cắt mặt cđu (S) theo một đường tròn C( ; r) với :
— J lă hình chiếu của I xuống (P) 2 2 —r được tính theo công thức : r= VR“ -dÝ IV CÔNG THỨC Diện tích mặt cầu có bân kính R được tính theo công thức : S=4nR? Thẻ tích khối cầu có bân kính R được tính theo công thức : V=2 nR, B CÂC BĂI TOÂN VĂ PHƯƠNG PHÂP GIẢI \ | Xâc định tđm vă tính bân kính mặt cầu ngoại tiếp hinh chop I PHƯƠNG PHÂP
— Một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu đây của nó có đường tròn ngoại tiếp — Tđm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp lă giao của trục đường tròn ngoại tiếp
đây với mặt phăng trung trực của một cạnh bín, hoặc lă giao của trục đường tròn ngoại tiệp đây với trục đường tròn ngoại tiếp một mặt bín
Trang 36— Bân kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp lă độ dăi của đoạn nối từ tđm mặt cầu đín một đỉnh của hình chóp
II CÂC BĂI TÔN
đăi tôn 1 Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, S§C đơi một vng góc vă SA =SB =a, SC =2a Xâc định tđm vă tính bân kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Gọi O vă M lần lượt lă trung điểm của SC vă AB
Do tam giâc ASB vuông tại S nín O lă tđm đường tròn ngoại tiếp tam giâc ASB Vẽ trục d vuông góc với mp(SAB) tại O, ta có d lă trục của đường tròn ngoại tiíp tam giâc ASB
Đường thắng d song song với SC nín d vă SC xâc định mặt phẳng (P) Trong
mp(P) đường trung trực của SC cất d tai I
Ta có IA = IB = IC = IS = R Vậy mặi cầu S(I ; R) ngoại tiếp hình chop
Trang 37Ta có tam giâc SAB vuông cđn tại S, suy ra : AB = a2 Mặt khâc, SO = = =
đăi toân 2 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD lă hình vuông cạnh bằng a, tam giâc SAB lă tam giâc đều vă mp (SAB) vuông góc với mặt đây (ABCD) Xâc
định tđm vă tính bân kính mặt cđu ngoại tiệp hình chóp
Gọi O lă tđm của hình vuông ABCD, M lă trung điểm đoạn AB vă G lă trọng
tđm tam giâc SAB
Về trục d vă trục t của câc đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD vă tam giâc đều SAB Ta có d vă t vuông góc vă cùng nằm trong mp(SMO) do đó d
cat t tại điểm I
Ta có I§ = IA = IB =IC = ID =R
Vậy mặi cầu S(I ; R) ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Trang 38Ta có tam giâc SAB lă tam giâc đều có cạnh bằng a, suy ra : Ta có: men | Tính diện tích vă thể tích khối cầu I PHUONG PHAP Để tính diện tích, thể tích khối cầu ta thực hiện câc bước : Xâc định tđm
Tinh ban kinh R
Tinh diện tích khói cầu theo công thức : S=4nR? — Tính thẻ tích khối cầu theo công thức : 4 3 V=—rR' 3
II CÂC BĂI TÔN
đăi tôn 3 Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc vă
SA =SB=a, SC = 2a Tính diện tích vă thể tích khói cầu ngoại tiếp hình chóp
Trang 39Theo chứng minh ở băi toân 1, ta được bân kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC la: R=lS=—— 2 Suy ra diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC lă : aw6 3 _ S=4nR? = an(°) =4n.ˆ —=6na” Suy ra thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC lă : v=ẲzR?-4 3 “3 xe 57 - 4a 6a v6 =na V6 3 8
đăi toân 4 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD lă hình vuông cạnh bằng a, tam giâc SAB lă tam giâc đều vă mp (SAB) vuông góc với mặt đây (ABCD) Tính điện tích vă thí tích khôi cđu ngoại tiíp hình chóp
Giải
Theo chứng minh ở bai toân 2, ta được bân kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
av21 co
S.ABCD la: R=IS=
Suy ra diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD lă :
2 2
S=4nR? =4m ei an ae 3