THỐNG KÊ TOÁN MỤC LỤC Chương Nhắc lại số nội dung lý thuyết xác suất 1.1 Một số phân phối xác suất quan trọng 1.1.1 Phân bố Bernoulli 1.1.2 Phân bố nhị thức 1.1.3 Phân bố Poisson 1.1.4 Phân bố mũ 10 1.1.5 Phân bố 11 1.1.6 Phân bố chuẩn 11 1.1.7 Phân bố bình phương 14 1.1.8 Phân bố F 14 1.2 Các định lí giới hạn 15 1.2.1 Luật số lớn 15 1.2.2 Định lí giới hạn trung tâm 16 Chương THỐNG KÊ MÔ TẢ 17 2.1 Khái niệm mẫu tổng thể 17 2.2 Các số đặc trưng mẫu số liệu 17 2.2.1 Trung bình, phương sai độ lệch chuẩn mẫu 17 2.2.2 Trung vị mẫu 19 2.2.3 Hệ số tương quan mẫu 19 2.3 Biểu đồ 19 2.3.1 Biểu đồ phân bố tần số 19 2.3.2 Biểu đồ thân - 21 2.3.3 Biểu đồ xác suất chuẩn 22 2.4 Mẫu ngẫu nhiên 23 2.5 Chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản 24 2.5.1 Chọn mẫu từ tổng thể hữu hạn 24 2.5.2 Chọn mẫu từ tổng thể vô hạn 25 2.6 Phân bố trung bình mẫu 26 Bài tập chương 27 Chương ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 31 3.1 Ước lượng điểm 31 3.1.1 Ước lượng điểm hàm ước lượng 31 3.1.2 Ước lượng không chệch 31 3.1.3 Ước lượng không chệch kì vọng phương sai 31 3.1.4 Ước lượng không chệch tỉ lệ 32 3.1.5 Phương pháp ước lượng hợp lí cực đại 32 3.1.6 Phương pháp mô men 33 3.2 Nguyên lí xác suất nhỏ nguyên lí xác suất lớn 34 3.3 Khoảng tin cậy cho kì vọng 35 3.3.1 X ∼ N (µ; σ ) với σ biết 36 3.3.2 X ∼ N (µ; σ ) với σ chưa biết 37 3.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ 42 Bài tập chương 44 Chương KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT 47 4.1 Khái niệm chung 47 4.1.1 Giả thuyết thống kê 47 4.1.2 Sai lầm loại I sai lầm loại II 49 4.2 Kiểm định kì vọng phân phối chuẩn 49 4.2.1 Đã biết phương sai 49 4.2.2 Chưa biết phương sai 54 4.3 So sánh kì vọng 59 4.3.1 Cỡ mẫu lớn 59 4.3.2 Cỡ mẫu nhỏ hai phương sai 60 4.3.3 Cỡ mẫu nhỏ hai phương sai không 63 4.4 So sánh cặp 65 4.5 Kiểm định giả thuyết tỷ lệ 68 4.6 So sánh hai tỷ lệ 71 Bài tập chương 72 Chương KIỂM ĐỊNH KHI BÌNH PHƯƠNG 77 5.1 Kiểm định giả thuyết quy luật phân phối 77 5.1.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 77 5.1.2 Biến ngẫu nhiên liên tục 78 5.2 Kiểm định tính độc lập 80 5.3 Kiểm định phù hợp 84 Bài tập chương 85 Chương PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI 89 6.1 Phân tích phương sai nhân tố 89 6.2 Phân tích phương sai hai nhân tố 93 6.2.1 Phân tích phương sai hai nhân tố không lặp lại 93 6.2.2 Phân tích phương sai hai nhân tố có lặp 97 6.3 Đại cương bố trí thí nghiệm 103 6.3.1 Một số khái niệm 103 6.3.2 Hai nguyên tắc bố trí thí nghiệm 103 6.3.3 Kỹ thuật ngẫu nhiên hoá 103 6.3.4 Các kiểu bố trí thí nghiệm phổ biến 103 Bài tập chương 105 Chương KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ 111 7.1 Kiểm định dấu 111 7.1.1 So sánh hai trung vị 114 7.2 Kiểm định hạng có dấu Wilcoxon 115 7.2.1 Kiểm định trung vị 115 7.2.2 So sánh trung vị 118 7.3 Kiểm định đoạn mạch 119 7.3.1 Kiểm định ngẫu nhiên 119 7.3.2 Kiểm định đoạn mạch kết hợp với trung bình 120 7.4 So sánh hai phân bố xác suất 121 7.4.1 Kiểm định Mann - Whitney 121 7.4.2 Kiểm định đoạn mạch 122 7.5 Phân tích phương sai (Kiểm định Kruskal-Wallis) 122 Bài tập chương 123 Bảng phụ lục 129 Tài liệu tham khảo 137 Chương NHẮC LẠI MỘT SỐ NỘI DUNG VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1 Một số phân phối xác suất quan trọng 1.1.1 Phân bố Bernoulli Định nghĩa 1.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố Bernoulli với tham số p (0 < p < 1) X có miền giá trị X(Ω) = {0, 1} hàm xác suất: 1 − p k = p(k) = P (X = k) = p k = k ∈ {0, 1} Kí hiệu: X ∼ Ber(p) Tính chất 1.1 Nếu X ∼ Ber(p) E(X) = p V (X) = p(1 − p) 1.1.2 Phân bố nhị thức Định nghĩa 1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố nhị thức với tham số n p (n ∈ N∗ < p < 1) X có miền giá trị X(Ω) = {0, 1, , n} hàm xác suất: p(k) = Cnk pk (1 − p)n−k , k ∈ X(Ω) Kí hiệu: X ∼ B(n, p) GIÁO TRÌNH THỐNG KÊ TỐN Tính chất 1.2 1) Nếu X ∼ B(n, p) E(X) = np V (X) = np(1 − p) 2) Nếu X1 , X2 , , Xn n biến ngẫu nhiên độc lập, phân bố xác suất với X ∼ Ber(p) biến ngẫu nhiên T = X1 + X2 + + Xn có phân bố nhị thức B(n, p) Ví dụ 1.1 Tỉ lệ phế phẩm nhà máy 12% Các sản phẩm nhà máy đóng gói thành hộp, hộp 20 sản phẩm a) Trung bình hộp chứa phế phẩm? Tính độ lệch chuẩn số phế phẩm hộp b) Một khách hàng mua ngẫu nhiên hộp sản phẩm Tính xác suất hộp có chứa phế phẩm c) Tìm số phế phẩm hộp có xác suất lớn Giải Gọi X số phế phẩm hộp Khi đó, X ∼ B(20; 0, 12) a) E(X) = np = 2, 4; SD(X) = np(1 − p) ≈ 1, 45 b) P (X ≥ 1) = − P (X = 0) = − 0, 8820 k 0, 12k 0, 8820−k đạt giá trị lớn c) (n + 1)p = 2, 52 ∈ Z nên P (X = k) = C20 k = 1.1.3 Phân bố Poisson Định nghĩa 1.3 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố Poisson với tham số λ (λ > 0) X có miền giá trị N = {0, 1, 2, } hàm xác suất: p(k) = P (X = k) = e−λ λk , k∈N k! Kí hiệu: X ∼ P oi(λ) Phân bố Poisson thường gặp thể phân bố số lần xuất biến cố khoảng thời gian T Tính chất 1.3 1) Nếu X ∼ P oi(λ) E(X) = λ, V (X) = λ 2) Nếu X1 , X2 , , Xn n biến ngẫu nhiên độc lập, phân bố với X ∼ P oi(λ) biến ngẫu nhiên T = X1 + X2 + + Xn có phân bố Poisson P oi(nλ) Ví dụ 1.2 Một gara cho th xe ơtơ có ôtô loại A Số đơn đặt hàng ôtô loại vào ngày cuối tuần có phân bố Poisson với số đơn trung bình đơn/ngày Tính xác suất ngày cuối tuần: a) có ơtơ loại A th b) có ơtơ loại A th c) gara không đáp ứng nhu cầu thuê ôtô loại Giải Gọi X số đơn đặt hàng thuê ô tơ ngày cuối tuần gara Ta có X ∼ P oi(2) (do E(X) = λ = 2) a) P (X = 1) = e−2 21 =≈ 0, 27 1! CHƯƠNG NHẮC LẠI MỘT SỐ NỘI DUNG VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 21 b) P (X ≥ 2) = − P (X < 2) = − P (X = 0) − P (X = 1) = − e−2 − e−2 =≈ 0, 59 1! c) P (X > 2) = − P (X < 2) ≈ 0, 32 Ví dụ 1.3 Ở tổng đài bưu điện, số điện thoại gọi đến xuất biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson với số điện thoại trung bình gọi phút Tính xác suất có khoảng thời gian phút Giải Gọi X số điện thoại gọi đến khoảng thời gian phút, theo giả thiết, X có phân bố Poisson Vì E(X) = nên λ = Do đó: P (X = 5) = e−2 25 ≈ 0, 036 5! Định lý 1.1 (Luật biến cố hiếm) Cho {Xn ; n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức Xn ∼ B(n; pn ) Nếu tồn giới hạn lim npn = λ thì: n→∞ lim P (Xn = k) = e−λ n→∞ λk , k = 0, 1, 2, k! Chứng minh Ta có: P (Xn = k) = Cnk pkn (1 − pn )n−k n(n − 1) (n − k + 1) k = pn (1 − pn )n−k k! (npn )k k−1 (1 − pn )n (1 − pn )−k = 1− − k! n n Ta lại có: (npn )k λk = n→∞ k! k! lim Đặt λn = npn Khi đó: lim (1 − pn )n = lim n→∞ n→∞ λn 1− n n λn −λn = e−λ Các thừa số khác có giới hạn Từ ta có điều phải chứng minh Ứng dụng: Nếu X ∼ B(n; p) với n lớn p bé X có xấp xỉ phân bố Poisson với λ = np, tức là: P (X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k λk −λ ≈ e k! Ví dụ 1.4 Tỉ lệ phế phẩm nhà máy 0,006 Lấy ngẫu nhiên 1.000 sản phẩm nhà máy, tính xác suất có phế phẩm Giải Gọi X số phế phẩm 1.000 sản phẩm, X ∼ B(1.000; 0, 006) Vì n = 1.000 lớn p = 0, 006 bé nên ta tính xấp xỉ phân bố Poisson với λ = np = 6: 69 P (X = 9) ≈ e−6 ≈ 0, 069 9! GIÁO TRÌNH THỐNG KÊ TỐN Ví dụ 1.5 Một xưởng in sách thấy trung bình sách 500 trang có chứa 300 lỗi Tìm xác suất trang: a) Có lỗi b) Có lỗi Giải Gọi p xác suất chữ bị lỗi, X số lỗi trang có n chữ Khi X ∼ B(n; p) E(X) = np = 300/500 = 0, Vì xác suất chữ bị lỗi nhỏ số chữ trang lớn nên xấp xỉ X phân bố Poisson với λ = 0, Do đó: 0, 62 e−0,6 ≈ 0, 099 a) P (X = 2) = 2! b) P X ≥ 2) = − P (X < 2) ≈ − 0, 549 − 0, 359 = 0, 122 1.1.4 Phân bố mũ Định nghĩa 1.4 Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân bố mũ với tham số λ (λ > 0) có hàm mật độ λe−λx x ≥ f (x) = x < Kí hiệu: X ∼ Exp(λ) Trong sống, phân bố mũ thể phân bố thời gian sống đối tượng, Tính chất 1.4 Nếu X ∼ Exp(λ) E(X) = 1/λ, V (X) = 1/λ2 Hình 1.1: Phân bố mũ (λ = 0, λ = 2)) Ví dụ 1.6 Giả sử tuổi thọ (X ) quạt máy tính biến ngẫu nhiên phân bố mũ với tuổi thọ trung bình 3.300 Tính xác suất: a) Chiếc quạt hỏng trước 10.000 b) Chiếc quạt có tuổi thọ lớn 7.000 Giải Theo giả thiết E(X) = 10.000 a) P (X < 10.000) = = 3.300 nên: λ −x/3.300 e dx ≈ 0, 952 3.300 7.000 b) P (X > 7.000) = − P (X ≤ 7.000) = 10 −x/3.300 e dx ≈ 0, 88 3.300 CHƯƠNG KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ Bài toán kiểm định giả thuyết H0 : H1 : α1 = α2 = = αk = α12 + α22 + + αk2 = (*) Gọi {xij : ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ k} mẫu ngẫu nhiên thu từ thí nghiệm Kích thước mẫu n = m.k Gọi Rij hạng xij Đặt m Rij , Rj = Rj = i=1 Rj m Nếu H0 {xij : ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ k} giá trị thí nghiệm thu biến ngẫu nhiên Do E(Rij ) = E(Rj ) = mk + Phương pháp kiểm Kruskal-Wallis đo mức độ khác biệt Rj giá trị kì vọng mk+1 kiểm định thống kê: K= 12 mk(mk + 1) k (Rj − j=1 12 mk + ) = mk(mk + 1) k Rj2 − 3(mk + 1) j=1 Nếu H lớn bác bỏ H0 Ta có định lí sau Định lý 7.8 Nếu H0 12 K= mk(mk + 1) có phân bố xấp xỉ phân bố k Rj2 − 3(mk + 1) j=1 χ2k−1 BÀI TẬP 7.1 Đo chiều dài (cm) 10 cá thái dương người ta thu mẫu số liệu sau 5.0 3.9 5.2 5.5 2.8 6.1 6.4 2.6 1.7 4.3 Với mức ý nghĩa 5% cho trung vị chiều dài loài cá thái dương khác 3,7 cm không? Sử dụng kiểm định dấu kiểm định hạng có dấu Wilcoxon 7.2 Trung vị tuổi người bị bệnh tiểu đường cho 45 tuổi 30 người bị bệnh tiểu đường chọn ngẫu nhiên có tuổi sau: 35.5 44.5 39.8 33.3 51.4 51.3 30.5 48.9 42.1 40.3 46.8 38.0 40.1 36.8 39.3 65.4 42.6 42.8 59.8 52.4 26.2 60.9 45.6 27.1 47.3 36.6 55.6 45.1 52.2 43.5 Với mức ý nghĩa 5% cho trung vị tuổi người bị bệnh tiểu đường khác 45 tuổi không? Sử dụng kiểm định dấu kiểm định hạng có dấu Wilcoxon 7.3 Một nhà khoa học sử dụng thiết bị đo mức tiêu thụ lượng người già vào tháng mùa hè tháng mùa đông cho kết mức tiêu thụ lượng trung bình (Kcal/ngày) mùa hè mùa đông sau: Thứ tự Mùa hè (xi ) Mùa đông (yi ) 123 GIÁO TRÌNH THỐNG KÊ TỐN 1458 1424 1353 1501 2209 1495 1804 1739 1912 2031 1366 934 1598 1401 1406 1339 Với mức ý nghĩa 5% cho trung vị mức tiêu thụ lượng trung bình/ngày mùa hè mùa đông khác không? Sử dụng kiểm định dấu kiểm định hạng có dấu Wilcoxon 7.4 Một thầy giáo dạy Toán cho việc cho học sinh ôn tập tiết trước kiểm tra có tác dụng tốt đến kết học tập em Một mẫu gồm 21 học sinh chọn để theo dõi điểm thi em trước sau ôn tập Kết ghi lại điểm thi trước (xi ) điểm thi sau (yi ) sau Học sinh xi yi Học sinh xi yi 22 21 12 24 25 26 29 13 27 27 17 15 14 18 20 20 20 15 20 23 28 26 16 14 16 31 32 17 24 26 23 25 18 15 20 14 13 19 19 20 19 19 20 18 17 10 25 27 21 27 29 11 28 27 Với mức ý nghĩa 5% cho sau ôn tập, kết thi em tốt không? Sử dụng kiểm định dấu 7.5 Có ý kiến cho hai anh em trai người em ln cao người anh Một mẫu 25 cặp anh em trai chọn ngẫu nhiên có chiều cao người anh (xi ) chiều cao người em (yi ) sau (đơn vị cm) Thứ tự 124 xi yi 170 175 Thứ tự 13 xi yi 169 172 CHƯƠNG KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ 167 167 14 168 166 166 163 15 165 166 165 164 16 164 167 164 163 17 165 167 166 168 18 166 164 169 170 19 168 172 168 171 20 166 170 168 167 21 168 165 10 169 166 22 169 171 11 164 163 23 170 168 12 169 166 24 169 167 13 166 166 Với mức ý nghĩa 5% cho trung vị chiều cao người anh thấp trung vị chiều cao người em không? Sử dụng kiểm định hạng có dấu Wilcoxon 7.6 Để xác định hiệu chế độ ăn kiêng việc giảm trọng lượng, 10 người chọn để thử nghiệm chế độ ăn kiêng Trọng lượng trước ăn kiêng (xi ) sau tuần ăn kiêng (yi ) cho bảng sau (đơn vị pound) Người thử nghiệm xi yi Người thử nghiệm xi yi 190 185 180 184 202 197 196 185 177 185 208 200 160 152 185 187 225 205 10 177 170 Với mức ý nghĩa 5% cho chế độ ăn kiêng có tác dụng giảng trọng lượng khơng? Sử dụng kiểm định hạng có dấu Wilcoxon 7.7 Để so sánh suất lao động công nhân trước nghỉ phép sau nghỉ phép, mẫu gồm 22 công nhân chọn ngẫu nhiên để theo dõi suất lao động trước nghỉ phép (xi ) sau nghỉ phép (yi ), kết cho bảng sau Số thứ tự xi yi Số thứ tự xi yi 83 79 12 75 71 85 87 13 78 75 75 70 14 80 85 91 93 15 82 86 125 GIÁO TRÌNH THỐNG KÊ TOÁN 80 85 16 88 85 75 75 17 85 82 90 80 18 80 87 65 71 19 78 78 78 80 20 81 84 10 85 88 21 70 85 11 83 82 22 80 81 Với mức ý nghĩa 5% cho trung vị suất lao động trước nghỉ phép thấp trung vị suất lao động sau nghỉ phép không? Sử dụng kiểm định dấu kiểm định hạng có dấu Wilcoxon 7.8 Trên tuyến xe buýt từ A đến B công ty vận chuyển sử dụng hai loại xe buýt: xe buýt 48 chổ ngồi xe buýt 38 chổ ngồi Khảo sát ngẫu nhiên 10 chuyến xe buýt loại 48 chổ 11 chuyến xe buýt loại 38 chổ thu số liệu số dặm ngày hai loại xe buýt sau: Xe buýt 48 chổ (X):104; 253; 300; 308; 315; 323; 331; 396; 414; 452 Xe buýt 38 chổ (Y): 184; 196; 197; 248; 260; 279; 355; 386; 393; 432; 450 Với mức ý nghĩa 5% cho số dặm ngày hai loại xe buýt khác không? Sử dụng kiểm định Mann - Whitney kiểm định đoạn mạch 126 BẢNG PHỤ LỤC 127 BẢNG PHỤ LỤC Bảng Ia Các giá trị hàm phân phối chuẩn tắc ( z ) P( Z z ) 2 z 0,0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -1,0 -1,1 -1,2 -1,3 -1,4 -1,5 -1,6 -1,7 -1,8 -1,9 -2,0 -2,1 -2,2 -2,3 -2,4 -2,5 -2,6 -2,7 -2,8 -2,9 -3,0 -3,1 -3,2 -3,3 0,500 0,460 0,421 0,382 0,345 0,309 0,274 0,242 0,212 0,184 0,159 0,136 0,115 0,097 0,081 0,067 0,055 0,045 0,036 0,029 0,023 0,018 0,014 0,011 0,008 0,006 0,005 0,003 0,003 0,002 0,001 0,001 0,001 0,000 -0,01 0,496 0,456 0,417 0,378 0,341 0,305 0,271 0,239 0,209 0,181 0,156 0,133 0,113 0,095 0,079 0,066 0,054 0,044 0,035 0,028 0,022 0,017 0,014 0,010 0,008 0,006 0,005 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,000 -0,02 0,492 0,452 0,413 0,374 0,337 0,302 0,268 0,236 0,206 0,179 0,154 0,131 0,111 0,093 0,078 0,064 0,053 0,043 0,034 0,027 0,022 0,017 0,013 0,010 0,008 0,006 0,004 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,000 -0,03 0,488 0,448 0,409 0,371 0,334 0,298 0,264 0,233 0,203 0,176 0,152 0,129 0,109 0,092 0,076 0,063 0,052 0,042 0,034 0,027 0,021 0,017 0,013 0,010 0,008 0,006 0,004 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,000 -0,04 0,484 0,444 0,405 0,367 0,330 0,295 0,261 0,230 0,200 0,174 0,149 0,127 0,107 0,090 0,075 0,062 0,051 0,041 0,033 0,026 0,021 0,016 0,013 0,010 0,007 0,006 0,004 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,000 -0,05 0,480 0,440 0,401 0,363 0,326 0,291 0,258 0,227 0,198 0,171 0,147 0,125 0,106 0,089 0,074 0,061 0,049 0,040 0,032 0,026 0,020 0,016 0,012 0,009 0,007 0,005 0,004 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,000 -0,06 0,476 0,436 0,397 0,359 0,323 0,288 0,255 0,224 0,195 0,169 0,145 0,123 0,104 0,087 0,072 0,059 0,048 0,039 0,031 0,025 0,020 0,015 0,012 0,009 0,007 0,005 0,004 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,000 z e t 2 dt -0,07 0,472 0,433 0,394 0,356 0,319 0,284 0,251 0,221 0,192 0,166 0,142 0,121 0,102 0,085 0,071 0,058 0,047 0,038 0,031 0,024 0,019 0,015 0,012 0,009 0,007 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 -0,08 0,468 0,429 0,390 0,352 0,316 0,281 0,248 0,218 0,189 0,164 0,140 0,119 0,100 0,084 0,069 0,057 0,046 0,038 0,030 0,024 0,019 0,015 0,011 0,009 0,007 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 -0,09 0,464 0,425 0,386 0,348 0,312 0,278 0,245 0,215 0,187 0,161 0,138 0,117 0,099 0,082 0,068 0,056 0,046 0,037 0,029 0,023 0,018 0,014 0,011 0,008 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 129 GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bảng Ib Các giá trị hàm phân phối chuẩn tắc ( z ) P( Z z ) 2 z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 130 0,500 0,540 0,579 0,618 0,655 0,691 0,726 0,758 0,788 0,816 0,841 0,864 0,885 0,903 0,919 0,933 0,945 0,955 0,964 0,971 0,977 0,982 0,986 0,989 0,992 0,994 0,995 0,997 0,997 0,998 0,999 0,999 0,999 1,000 0,01 0,504 0,544 0,583 0,622 0,659 0,695 0,729 0,761 0,791 0,819 0,844 0,867 0,887 0,905 0,921 0,934 0,946 0,956 0,965 0,972 0,978 0,983 0,986 0,990 0,992 0,994 0,995 0,997 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 1,000 0,02 0,508 0,548 0,587 0,626 0,663 0,698 0,732 0,764 0,794 0,821 0,846 0,869 0,889 0,907 0,922 0,936 0,947 0,957 0,966 0,973 0,978 0,983 0,987 0,990 0,992 0,994 0,996 0,997 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 1,000 0,03 0,512 0,552 0,591 0,629 0,666 0,702 0,736 0,767 0,797 0,824 0,848 0,871 0,891 0,908 0,924 0,937 0,948 0,958 0,966 0,973 0,979 0,983 0,987 0,990 0,992 0,994 0,996 0,997 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 1,000 0,04 0,516 0,556 0,595 0,633 0,670 0,705 0,739 0,770 0,800 0,826 0,851 0,873 0,893 0,910 0,925 0,938 0,949 0,959 0,967 0,974 0,979 0,984 0,987 0,990 0,993 0,994 0,996 0,997 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 1,000 z e t 2 dt 0,05 0,520 0,560 0,599 0,637 0,674 0,709 0,742 0,773 0,802 0,829 0,853 0,875 0,894 0,911 0,926 0,939 0,951 0,960 0,968 0,974 0,980 0,984 0,988 0,991 0,993 0,995 0,996 0,997 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 1,000 0,06 0,524 0,564 0,603 0,641 0,677 0,712 0,745 0,776 0,805 0,831 0,855 0,877 0,896 0,913 0,928 0,941 0,952 0,961 0,969 0,975 0,980 0,985 0,988 0,991 0,993 0,995 0,996 0,997 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 1,000 0,07 0,528 0,567 0,606 0,644 0,681 0,716 0,749 0,779 0,808 0,834 0,858 0,879 0,898 0,915 0,929 0,942 0,953 0,962 0,969 0,976 0,981 0,985 0,988 0,991 0,993 0,995 0,996 0,997 0,998 0,999 0,999 0,999 0,999 1,000 0,08 0,532 0,571 0,610 0,648 0,684 0,719 0,752 0,782 0,811 0,836 0,860 0,881 0,900 0,916 0,931 0,943 0,954 0,962 0,970 0,976 0,981 0,985 0,989 0,991 0,993 0,995 0,996 0,997 0,998 0,999 0,999 0,999 0,999 1,000 0,09 0,536 0,575 0,614 0,652 0,688 0,722 0,755 0,785 0,813 0,839 0,862 0,883 0,901 0,918 0,932 0,944 0,954 0,963 0,971 0,977 0,982 0,986 0,989 0,992 0,994 0,995 0,996 0,997 0,998 0,999 0,999 0,999 0,999 1,000 BẢNG PHỤ LỤC Bảng II Giá trị tới hạn t-phân bố P(Tn tn, ) n 30 : tn; z n 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0,250 1,0000 0,8165 0,7649 0,7407 0,7267 0,7176 0,7111 0,7064 0,7027 0,6998 0,6974 0,6955 0,6938 0,6924 0,6912 0,6901 0,6892 0,6884 0,6876 0,6870 0,6864 0,6858 0,6853 0,6848 0,6844 0,6840 0,6837 0,6834 0,6830 0,6828 0,100 3,0777 1,8856 1,6377 1,5332 1,4759 1,4398 1,4149 1,3968 1,3830 1,3722 1,3634 1,3562 1,3502 1,3450 1,3406 1,3368 1,3334 1,3304 1,3277 1,3253 1,3232 1,3212 1,3195 1,3178 1,3163 1,3150 1,3137 1,3125 1,3114 1,3104 0,050 6,3138 2,9200 2,3534 2,1318 2,0150 1,9432 1,8946 1,8595 1,8331 1,8125 1,7959 1,7823 1,7709 1,7613 1,7531 1,7459 1,7396 1,7341 1,7291 1,7247 1,7207 1,7171 1,7139 1,7109 1,7081 1,7056 1,7033 1,7011 1,6991 1,6973 0,025 12,7062 4,3027 3,1824 2,7764 2,5706 2,4469 2,3646 2,3060 2,2622 2,2281 2,2010 2,1788 2,1604 2,1448 2,1314 2,1199 2,1098 2,1009 2,0930 2,0860 2,0796 2,0739 2,0687 2,0639 2,0595 2,0555 2,0518 2,0484 2,0452 2,0423 0,010 31,8205 6,9646 4,5407 3,7469 3,3649 3,1427 2,9980 2,8965 2,8214 2,7638 2,7181 2,6810 2,6503 2,6245 2,6025 2,5835 2,5669 2,5524 2,5395 2,5280 2,5176 2,5083 2,4999 2,4922 2,4851 2,4786 2,4727 2,4671 2,4620 2,4573 0,005 63,6567 9,9248 5,8409 4,6041 4,0321 3,7074 3,4995 3,3554 3,2498 3,1693 3,1058 3,0545 3,0123 2,9768 2,9467 2,9208 2,8982 2,8784 2,8609 2,8453 2,8314 2,8188 2,8073 2,7969 2,7874 2,7787 2,7707 2,7633 2,7564 2,7500 131 GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bảng III Giá trị tới hạn phân bố bình phương P( n2 n2; ) 132 n 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0,000 0,010 0,072 0,207 0,412 0,676 0,989 1,344 1,735 2,156 2,603 3,074 3,565 4,075 4,601 5,142 5,697 6,265 6,844 7,434 8,034 8,643 9,260 9,886 10,520 11,160 11,808 12,461 13,121 13,787 0,000 0,020 0,115 0,297 0,554 0,872 1,239 1,646 2,088 2,558 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 12,198 12,879 13,565 14,256 14,953 0,001 0,051 0,216 0,484 0,831 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 3,816 4,404 5,009 5,629 6,262 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 10,283 10,982 11,689 12,401 13,120 13,844 14,573 15,308 16,047 16,791 0,004 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 4,575 5,226 5,892 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390 10,117 10,851 11,591 12,338 13,091 13,848 14,611 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493 0,016 0,211 0,584 1,064 1,610 2,204 2,833 3,490 4,168 4,865 5,578 6,304 7,042 7,790 8,547 9,312 10,085 10,865 11,651 12,443 13,240 14,041 14,848 15,659 16,473 17,292 18,114 18,939 19,768 20,599 2,706 4,605 6,251 7,779 9,236 10,645 12,017 13,362 14,684 15,987 17,275 18,549 19,812 21,064 22,307 23,542 24,769 25,989 27,204 28,412 29,615 30,813 32,007 33,196 34,382 35,563 36,741 37,916 39,087 40,256 3,841 5,991 7,815 9,488 11,070 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 19,675 21,026 22,362 23,685 24,996 26,296 27,587 28,869 30,144 31,410 32,671 33,924 35,172 36,415 37,652 38,885 40,113 41,337 42,557 43,773 5,024 7,378 9,348 11,143 12,833 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 21,920 23,337 24,736 26,119 27,488 28,845 30,191 31,526 32,852 34,170 35,479 36,781 38,076 39,364 40,646 41,923 43,195 44,461 45,722 46,979 6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 16,812 18,475 20,090 21,666 23,209 24,725 26,217 27,688 29,141 30,578 32,000 33,409 34,805 36,191 37,566 38,932 40,289 41,638 42,980 44,314 45,642 46,963 48,278 49,588 50,892 7,879 10,597 12,838 14,860 16,750 18,548 20,278 21,955 23,589 25,188 26,757 28,300 29,819 31,319 32,801 34,267 35,718 37,156 38,582 39,997 41,401 42,796 44,181 45,559 46,928 48,290 49,645 50,993 52,336 53,672 BẢNG PHỤ LỤC Bảng IVa Giá trị tới hạn phân bố F P( Fm,n f m,n (0,05)) 0,05 n m 10 11 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 161,448 199,500 215,707 224,583 230,162 233,986 236,768 238,883 240,543 241,882 242,983 243,906 244,690 245,364 245,950 246,464 246,918 247,323 247,686 248,013 248,309 248,579 248,826 249,052 249,260 249,453 249,631 249,797 249,951 250,095 250,230 18,513 19,000 19,164 19,247 19,296 19,330 19,353 19,371 19,385 19,396 19,405 19,413 19,419 19,424 19,429 19,433 19,437 19,440 19,443 19,446 19,448 19,450 19,452 19,454 19,456 19,457 19,459 19,460 19,461 19,462 19,463 10,128 9,552 9,277 9,117 9,013 8,941 8,887 8,845 8,812 8,786 8,763 8,745 8,729 8,715 8,703 8,692 8,683 8,675 8,667 8,660 8,654 8,648 8,643 8,639 8,634 8,630 8,626 8,623 8,620 8,617 8,614 7,709 6,944 6,591 6,388 6,256 6,163 6,094 6,041 5,999 5,964 5,936 5,912 5,891 5,873 5,858 5,844 5,832 5,821 5,811 5,803 5,795 5,787 5,781 5,774 5,769 5,763 5,759 5,754 5,750 5,746 5,742 6,608 5,786 5,409 5,192 5,050 4,950 4,876 4,818 4,772 4,735 4,704 4,678 4,655 4,636 4,619 4,604 4,590 4,579 4,568 4,558 4,549 4,541 4,534 4,527 4,521 4,515 4,510 4,505 4,500 4,496 4,492 5,987 5,143 4,757 4,534 4,387 4,284 4,207 4,147 4,099 4,060 4,027 4,000 3,976 3,956 3,938 3,922 3,908 3,896 3,884 3,874 3,865 3,856 3,849 3,841 3,835 3,829 3,823 3,818 3,813 3,808 3,804 5,591 4,737 4,347 4,120 3,972 3,866 3,787 3,726 3,677 3,637 3,603 3,575 3,550 3,529 3,511 3,494 3,480 3,467 3,455 3,445 3,435 3,426 3,418 3,410 3,404 3,397 3,391 3,386 3,381 3,376 3,371 5,318 4,459 4,066 3,838 3,687 3,581 3,500 3,438 3,388 3,347 3,313 3,284 3,259 3,237 3,218 3,202 3,187 3,173 3,161 3,150 3,140 3,131 3,123 3,115 3,108 3,102 3,095 3,090 3,084 3,079 3,075 5,117 4,256 3,863 3,633 3,482 3,374 3,293 3,230 3,179 3,137 3,102 3,073 3,048 3,025 3,006 2,989 2,974 2,960 2,948 2,936 2,926 2,917 2,908 2,900 2,893 2,886 2,880 2,874 2,869 2,864 2,859 4,965 4,103 3,708 3,478 3,326 3,217 3,135 3,072 3,020 2,978 2,943 2,913 2,887 2,865 2,845 2,828 2,812 2,798 2,785 2,774 2,764 2,754 2,745 2,737 2,730 2,723 2,716 2,710 2,705 2,700 2,695 4,844 3,982 3,587 3,357 3,204 3,095 3,012 2,948 2,896 2,854 2,818 2,788 2,761 2,739 2,719 2,701 2,685 2,671 2,658 2,646 2,636 2,626 2,617 2,609 2,601 2,594 2,588 2,582 2,576 2,570 2,565 133 GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bảng IVb Giá trị tới hạn phân bố F P( Fm,n f m,n (0,05)) 0,05 n m 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 134 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 4,747 3,885 3,490 3,259 3,106 2,996 2,913 2,849 2,796 2,753 2,717 2,687 2,660 2,637 2,617 2,599 2,583 2,568 2,555 2,544 2,533 2,523 2,514 2,505 2,498 2,491 2,484 2,478 2,472 2,466 2,461 4,667 3,806 3,411 3,179 3,025 2,915 2,832 2,767 2,714 2,671 2,635 2,604 2,577 2,554 2,533 2,515 2,499 2,484 2,471 2,459 2,448 2,438 2,429 2,420 2,412 2,405 2,398 2,392 2,386 2,380 2,375 4,600 3,739 3,344 3,112 2,958 2,848 2,764 2,699 2,646 2,602 2,565 2,534 2,507 2,484 2,463 2,445 2,428 2,413 2,400 2,388 2,377 2,367 2,357 2,349 2,341 2,333 2,326 2,320 2,314 2,308 2,303 4,543 3,682 3,287 3,056 2,901 2,790 2,707 2,641 2,588 2,544 2,507 2,475 2,448 2,424 2,403 2,385 2,368 2,353 2,340 2,328 2,316 2,306 2,297 2,288 2,280 2,272 2,265 2,259 2,253 2,247 2,241 4,494 3,634 3,239 3,007 2,852 2,741 2,657 2,591 2,538 2,494 2,456 2,425 2,397 2,373 2,352 2,333 2,317 2,302 2,288 2,276 2,264 2,254 2,244 2,235 2,227 2,220 2,212 2,206 2,200 2,194 2,188 4,451 3,592 3,197 2,965 2,810 2,699 2,614 2,548 2,494 2,450 2,413 2,381 2,353 2,329 2,308 2,289 2,272 2,257 2,243 2,230 2,219 2,208 2,199 2,190 2,181 2,174 2,167 2,160 2,154 2,148 2,142 4,414 3,555 3,160 2,928 2,773 2,661 2,577 2,510 2,456 2,412 2,374 2,342 2,314 2,290 2,269 2,250 2,233 2,217 2,203 2,191 2,179 2,168 2,159 2,150 2,141 2,134 2,126 2,119 2,113 2,107 2,102 4,381 3,522 3,127 2,895 2,740 2,628 2,544 2,477 2,423 2,378 2,340 2,308 2,280 2,256 2,234 2,215 2,198 2,182 2,168 2,155 2,144 2,133 2,123 2,114 2,106 2,098 2,090 2,084 2,077 2,071 2,066 4,351 3,493 3,098 2,866 2,711 2,599 2,514 2,447 2,393 2,348 2,310 2,278 2,250 2,225 2,203 2,184 2,167 2,151 2,137 2,124 2,112 2,102 2,092 2,082 2,074 2,066 2,059 2,052 2,045 2,039 2,033 4,325 3,467 3,072 2,840 2,685 2,573 2,488 2,420 2,366 2,321 2,283 2,250 2,222 2,197 2,176 2,156 2,139 2,123 2,109 2,096 2,084 2,073 2,063 2,054 2,045 2,037 2,030 2,023 2,016 2,010 2,004 4,301 3,443 3,049 2,817 2,661 2,549 2,464 2,397 2,342 2,297 2,259 2,226 2,198 2,173 2,151 2,131 2,114 2,098 2,084 2,071 2,059 2,048 2,038 2,028 2,02 2,012 2,004 1,997 1,99 1,984 1,978 BẢNG PHỤ LỤC Bảng IVc Giá trị tới hạn phân bố F P( Fm,n f m,n;0,05 ) 0,05 n m 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 23 24 25 26 27 28 29 30 31 4,279 3,422 3,028 2,796 2,640 2,528 2,442 2,375 2,320 2,275 2,236 2,204 2,175 2,150 2,128 2,109 2,091 2,075 2,061 2,048 2,036 2,025 2,014 2,005 1,996 1,988 1,981 1,973 1,967 1,961 1,955 4,260 3,403 3,009 2,776 2,621 2,508 2,423 2,355 2,300 2,255 2,216 2,183 2,155 2,130 2,108 2,088 2,070 2,054 2,040 2,027 2,015 2,003 1,993 1,984 1,975 1,967 1,959 1,952 1,945 1,939 1,933 4,242 3,385 2,991 2,759 2,603 2,490 2,405 2,337 2,282 2,236 2,198 2,165 2,136 2,111 2,089 2,069 2,051 2,035 2,021 2,007 1,995 1,984 1,974 1,964 1,955 1,947 1,939 1,932 1,926 1,919 1,913 4,225 3,369 2,975 2,743 2,587 2,474 2,388 2,321 2,265 2,220 2,181 2,148 2,119 2,094 2,072 2,052 2,034 2,018 2,003 1,990 1,978 1,966 1,956 1,946 1,938 1,929 1,921 1,914 1,907 1,901 1,895 4,210 3,354 2,960 2,728 2,572 2,459 2,373 2,305 2,250 2,204 2,166 2,132 2,103 2,078 2,056 2,036 2,018 2,002 1,987 1,974 1,961 1,950 1,940 1,930 1,921 1,913 1,905 1,898 1,891 1,884 1,878 4,196 3,340 2,947 2,714 2,558 2,445 2,359 2,291 2,236 2,190 2,151 2,118 2,089 2,064 2,041 2,021 2,003 1,987 1,972 1,959 1,946 1,935 1,924 1,915 1,906 1,897 1,889 1,882 1,875 1,869 1,863 4,183 3,328 2,934 2,701 2,545 2,432 2,346 2,278 2,223 2,177 2,138 2,104 2,075 2,050 2,027 2,007 1,989 1,973 1,958 1,945 1,932 1,921 1,910 1,901 1,891 1,883 1,875 1,868 1,861 1,854 1,848 4,171 3,316 2,922 2,690 2,534 2,421 2,334 2,266 2,211 2,165 2,126 2,092 2,063 2,037 2,015 1,995 1,976 1,960 1,945 1,932 1,919 1,908 1,897 1,887 1,878 1,870 1,862 1,854 1,847 1,841 1,835 4,160 3,305 2,911 2,679 2,523 2,409 2,323 2,255 2,199 2,153 2,114 2,080 2,051 2,026 2,003 1,983 1,965 1,948 1,933 1,920 1,907 1,896 1,885 1,875 1,866 1,857 1,849 1,842 1,835 1,828 1,822 32 33 4,149 3,295 2,901 2,668 2,512 2,399 2,313 2,244 2,189 2,142 2,103 2,07 2,04 2,015 1,992 1,972 1,953 1,937 1,922 1,908 1,896 1,884 1,873 1,864 1,854 1,846 1,838 1,83 1,823 1,817 1,81 4,139 3,285 2,892 2,659 2,503 2,389 2,303 2,235 2,179 2,133 2,093 2,06 2,03 2,004 1,982 1,961 1,943 1,926 1,911 1,898 1,885 1,873 1,863 1,853 1,844 1,835 1,827 1,819 1,812 1,806 1,799 135 GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bảng V Phân vị tới hạn Wilcoxon n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 136 l u P (W l ) P (W u ) l u P (W l ) P (W u ) 0 3 5 7 9 10 11 10 15 14 13 12 21 20 19 18 17 16 28 27 26 25 24 23 22 21 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 52 0,062 0,031 0,062 0,094 0,156 0,016 0,031 0,047 0,078 0,109 0,156 0,008 0,016 0,023 0,039 0,055 0,078 0,109 0,148 0,004 0,008 0,012 0,020 0,027 0,039 0,055 0,074 0,098 0,125 0,004 0,006 0,010 0,014 0,020 0,027 0,037 0,049 0,064 0,082 0,102 0,125 0,005 10 11 12 13 14 15 16 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 0,007 0,010 0,014 0,019 0,024 0,032 0,042 0,053 0,065 0,080 0,097 0,116 0,138 0,005 0,007 0,009 0,012 0,016 0,021 0,027 0,034 0,042 0,051 0,062 0,074 0,087 0,103 0,120 0,139 0,005 0,006 0,008 0,010 0,013 0,017 0,021 0,026 0,032 0,039 0,046 0,055 0,065 n=11 n=12 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dương Thiệu Tống (2005), Thống kê ứng dụng nghiên cứu khoa học giáo dục, Nhà Xuất Khoa học Xã hội [2] Nguyễn Duy Tiến Vũ Viết Yên (2009), Lý thuyết xác suất, Nhà Xuất Giáo dục [3] Đặng Hùng Thắng (2009), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà Xuất Giáo dục [4] Đặng Hùng Thắng ( 2008), Thống kê ứng dụng, Nhà Xuất Giáo dục [5] Đặng Hùng Thắng (2009), Bài tập xác suất, Nhà Xuất Giáo dục [6] Đặng Hùng Thắng (2008), Bài tập thống kê, Nhà Xuất Giáo dục [7] Jay L Devore (2010), Probability and Statistics for Engineering and the Sciences, 8th Edition, Brooks/Cole [8] Shelldon M Cross (2004), Introduction to Probability and Statistics for engineers and scientists, Elsevier Academic Press [9] Douglas C Montgomery; George C Runger (2007), Applied Statistics and Probability for Engineers(4th Edition), John Wiley and Sons, Inc [10] Welham,S.J., Gezan, S.A., Clark, S.J., Mead, A (2013), Statistical Methods in Biology: Design and Analysis of Experiments and Regression, JChapman and Hall/CRC 137 ... 0,0050 1457 0,0752 19 53 0,0027 1988 0,1026 20 31 0,0016 2256 0,1164 21 19 0,0010 19 GIÁO TRÌNH THỐNG KÊ TOÁN 2403 0,1240 22 13 0,0007 2256 0,1164 23 0,0003 10 1967 0,1015 24 0,0001 11 12 1509... Vẽ biểu đồ thân - Ví dụ 2.5 Lấy phần thân số 7, 8, 9, , 24, ta biểu đồ thân - sau: 21 GIÁO TRÌNH THỐNG KÊ TOÁN Tần số Thân Lá 41 15 42 43 44 005555 0555555 (11) 24 11 45 46 47 00002555555 0000000555555... huyết 1.067 đàn ông Mỹ tuổi từ 25 đến 34 chọn ngẫu nhiên, nhà nghiên cứu thu kết sau 27 GIÁO TRÌNH THỐNG KÊ TOÁN Nồng độ cholesterol (mg/100 ml) Số người 80–119 13 120–159 160–199 200–239 240–279