TRẮC NGHIỆM BÀI TOÁN THỰC TẾ

CHỦ ĐỀ 6.2: BÀI TỐN TỐI ƯU Câu Cơng suất P (đơn vị W ) mạch điện cung cấp nguồn pin 12V cho công thức P = 12 I − 0,5 I với I (đơn vị A ) cường độ dòng điện Tìm cơng suất tối đa mạch điện 23 A 72 B 12 C − D 192 Hướng dẫn giải: Xét hàm số P = 12 I − 0,5 I với I ≥ P ' = 12 − I P ' = ⇔ I = 12 Bảng biến thiên: Công suất tối đa mạch điện 72(W ) đạt cường độ dòng điện 12( A) Câu Để giảm nhiệt độ phòng từ 280 C , hệ thống làm mát phép hoạt động 10 phút Gọi T (đơn vị C ) nhiệt độ phòng phút thứ t cho công thức T = −0, 008t − 0,16t + 28 với t ∈ [1;10] Tìm nhiệt độ thấp phòng đạt thời gian 10 phút kể từ hệ thống làm mát bắt đầu hoạt động A 18, 40 C B 27,8320 C C 26, 20 C D 25,3120 C Hướng dẫn giải: Xét hàm số T = −0, 008t − 0,16t + 28 với t ∈ [1;10] T ' = −0, 024t − 0,16 < 0, ∀t ∈ [1;10] Suy hàm số T nghịch biến đoạn [1;10] Nhiệt độ thấp phong đạt Tmin = T (10) = 18, C Câu Độ giảm huyết áp bệnh nhân đo công thức G ( x) = 0,025 x (30 − x) x(mg) x > liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân Để huyết áp giảm nhiều cần tiêm cho bệnh nhân liều lượng bằng: A 20 mg B 15 mg C 10 mg D 30 mg Hướng dẫn giải Bài tốn quy tìm GTLN hàm số G ( x) = 0,025 x (30 − x) khoảng ( 0; +∞ ) Câu Trong tất hình chữ nhật có diện tích S, hình chữ nhật có chu vi nhỏ bao nhiêu? A S B S C 4S Hướng dẫn giải Kí hiệu x, y thứ tự chiều dài chiều rộng hình chữ nhật Theo bất đẳng thức Cơ – si ta có: x + y ≥ xy = S x + y = S x = y = S D 2S ( x, y > ) Khi xy = S Vậy chu vi hình chữ nhật nhỏ ( x + y ) = S x = y = S (Hình chữ nhật hình vng) [Phương pháp trắc nghiệm] Trong tất hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ Câu Trong tất hình chữ nhật có chu vi 16cm, hình chữ nhật có diện tích lớn bao nhiêu? A 16cm B 6cm C 36cm D 48cm Hướng dẫn giải Kí hiệu x, y thứ tự chiều dài chiều rộng hình chữ nhật ( < x, y < 16 ) Khi x + y = Theo bất đẳng thức Cô – si ta có: = x + y ≥ xy ⇔ xy ≤ 16 xy = 16 x = y = Vậy diện tích hình chữ nhật lớn 16cm x = y = (Hình chữ nhật hình vng) [Phương pháp trắc nghiệm] Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn Câu Sau phát bệnh dịch, chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ t f (t ) = 45t − t Biết f ' (t ) tốc độ truyền bệnh (người/ngày) thời điểm t Hỏi tốc độ truyền bệnh lớn vào ngày thứ A 15 B 10 C D 18 Hướng dẫn giải Bài tốn quy tìm giá trị lớn hàm số f ' (t ) = 90t − 3t ( t ≥ ) [Phương pháp trắc nghiệm] Câu Để tăng nhiệt độ phòng từ 180 C người ta sử dụng máy sưởi (máy phép hoạt động phút) Gọi T (đơn vị C ) nhiệt độ phòng phút thứ t cho cơng thức T = −0,003t + 0,9t + 18 với t ∈ [ 1;12] Tìm nhiệt độ cao phòng đạt thời gian phút kể từ máy sưởi bắt đầu hoạt động A 24 B 28 C 22 Hướng dẫn giải D 23 Bài tốn quy tìm GTLN hàm số T = −0,003t + 0,9t + 18 , t ∈ [ 1;12] Câu Cho nhơm hình vng cạnh 12cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập nhơm lại để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận thể tích lớn A 2cm B 3cm C 2,5cm D 1,5cm Hướng dẫn giải Thể tích hộp là: V = (12 − x) x, x > Bài tốn quy tìm GTLN hàm số V = (12 − x ) x (0 < x < ) Câu Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ nhà thiết kế đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy gần số nhất? A 0,68 Gọi x ( x > 0) B 0,6 C 0,12 Hướng dẫn giải D 0,52 bán kính đáy lon sữa Khi V = π x h ⇒ h = V π x2 Diện tích tồn phần lon sữa V = 2π x + = 2π x + , x > πx x x Bài toán quy tìm GTNN hàm số S ( x) = 2π x + , x > x S ' ( x ) = 4πx − x S ' ( x ) = ⇔ x = ≈ 0,6827 π S ( x) = 2π x + 2π xh = 2π x + 2π x Câu 10 Một hộp hình chữ nhật khơng nắp làm từ mảnh bìa cứng Hộp có đáy hình vng cạnh x (cm), chiều cao h (cm) tích 500 cm3 Gọi S ( x) diện tích mảnh bìa cứng theo x Tìm x cho S ( x) nhỏ (tức tốn nguyên liệu nhất) A 10 B 11 C Hướng dẫn giải V = x 2h ⇒ h = D.12 V x2 S ( x) = x + xh = x + 2000 , x>0 x 2 Bài tốn quy tìm GTNN S ( x) = x + xh = x + 2000 , x>0 x Câu 11 Do nhu cầu sử dụng, người ta cần tạo lăng trụ đứng có đáy hình vng cạnh a chiều cao h, tích 1m Với a, h để đỡ tốn vật liệu A a = 1, h = B a = 2, h = C a = 1 ,h = 2 D a = , h = Hướng dẫn giải V = a 2h ⇒ h = V a2 S ( x) = 2a + 4ah = 2a + , a > a Bài tốn quy tìm GTNN S ( x) = 2a + , a>0 a Câu 12 Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm bể nước gạch có dạng hình hộp có đáy hình chữ nhật chiều dài d ( m ) chiều rộng r ( m ) với d = 2r Chiều cao bể nước h ( m ) thể tích bể m3 Hỏi chiều cao bể nước chi phí xây dựng thấp nhất? A 2 ( m) 3 B 3 ( m) 2 ( m) Hướng dẫn giải C D ( m) Gọi x ( x > ) chiều rộng đáy suy thể tích bể nước x2 Diện tích xung quanh hồ đáy bể S = x.h + x = + x ( x > ) x Xét hàm số f ( x ) = + x với x > x V = x h = ⇔ h = Hàm số đạt giá trị nhỏ x = Vậy chiều cao cần xây h= 3 1 2 = = ( m) 2 x 3 3  ÷ 2 Câu 13 Một đại lý xăng dầu cần xây bồn chứa dầu hình trụ có đáy hình tròn thép tích 49π ( m3 ) giá mét vuông thép 500 ngàn đồng Hỏi giá tiền thấp mà đại lý phải trả gần với số tiền A 79,5 triệu B 80,5 triệu C.77,4 triệu D.75 triệu Hướng dẫn giải Gọi bán kính đáy x ( m ) ( x > ) , chiều cao bồn chứa h ( m ) Khi thể tích chứa bồn 49 ( m) x2 Do bồn chứa dầu nên phải có nắp nên diện tích cần xây bồn chứa là: V = π x h = 49π ⇔ h = 98π x Để chi phí xây dựng thấp diện tích xây phải thấp 98π Xét hàm số f ( x ) = 2π x + ( x > ) có giá trị nhỏ gần 159, 005 ( m2 ) x 2.π x + 2π x.h = 2π x + Câu 14 Một khách sạn có 50 phòng Hiện phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng ngày tồn phòng th hết Biết lần tăng giá thêm 20 ngàn đồng có thêm phòng trống Giám đốc phải chọn giá phòng để thu nhập khách sạn ngày lớn A 450 ngàn B 50 ngàn C 480 ngàn D 80 ngàn Hướng dẫn giải x Gọi (ngàn đồng) giá phòng khách sạn cần đặt ra, x > 400 (đơn vị: ngàn đồng) Giá chênh lệch sau tăng x − 400 ( x − 400 ) + = x − 400 Số phòng cho thuê giảm giá x : 20 10 x − 400 x = 90 − Số phòng cho thuê với giá x 50 − 10 10 x x2  f ( x ) = x 90 − = − + 90 x Tổng doanh thu ngày là:  ÷ 10  10  x f ′( x) = − + 90 f ′( x) = ⇔ x = 450 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ( x) đạt giá trị lớn x = 450 Vậy cho thuê với giá 450 ngàn đồng có doanh thu cao ngày 2.025.000 đồng Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng chức w7 lập bảng giá trị hàm số F(X ) = − X2 + 90 X đoạn [ 400;600] quan sát để tìm giá trị lớn F ( X ) 10 Câu 15 Một doanh nghiệp bán xe gắn máy có loại xe A bán ế với giá mua vào xe 26 triệu VNĐ bán 30 triệu VNĐ, với giá bán số lượng bán năm 600 Cửa hàng cần đẩy mạnh việc bán loại xe nên đưa chiến lược kinh doanh giảm giá bán theo tính tốn CEO giảm triệu VNĐ số lượng xe bán năm tăng thêm 200 Hỏi cửa hàng định giá bán loại xe doanh thu loại xe cửa hàng đạt lớn A 29, triệu VNĐ B 27, triệu VNĐ C 29 triệu VNĐ D 27 triệu VNĐ Hướng dẫn giải Gọi x (triệu VNĐ) số tiền cần giảm cho xe ( ≤ x ≤ ) Số lượng xe bán năm sau giảm giá là: x.200 + 600 (chiếc) Số lợi nhuận thu từ việc bán xe năm sau giảm giá là: ( x.200 + 600 ) ( − x ) Xét hàm số f ( x ) = ( x.200 + 600 ) ( − x ) = 200 ( − x + x + 12 ) ( ≤ x ≤ ) đạt giá trị lớn 2450 x = Câu 16 Công ty dụ lịch Ban Mê dự định tổ chức tua xuyên Việt Công ty dự định giá tua triệu đồng có khoảng 150 người tham gia Để kích thích người tham gia, cơng ty định giảm giá lần giảm giá tua 100 ngàn đồng có thêm 20 người tham gia Hỏi công ty phải bán giá tua để doanh thu từ tua xuyên Việt lớn A 1375000 B 3781250 C 2500000 D 3000000 Hướng dẫn giải Gọi x (triệu đồng) giá tua Giá giảm so với ban đầu − x ( − x ) 20 = 400 − 200 x Số người tham gia tăng thêm giá bán x là: 0,1 Số người tham gia bán giá x là: 150 + ( 400 − 200 x ) = 550 − 220 x Tổng doanh thu là: f ( x) = x ( 550 − 200 x ) = −200 x + 550 x f ′( x) = −400 x + 550 f ′( x) = ⇔ x = 11 Bảng biến thiên 11 = 1,375 Vậy công ty cần đặt giá tua 1375000 đồng tổng doanh thu cao 378125000 đồng Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ( x) đạt giá trị lớn x = Câu 17 Một cửa hàng nhận làm xô nhôm hình trụ khơng có nắp đủ chứa được10 lít nước Hỏi bán kính đáy (đơn vị cm, làm tròn đến hàng phần chục) xô để cửa hàng tốn nguyên vật liệu A 14, B 15 C 15, D 14 Hướng dẫn giải V Gọi x ( x > ) bán kính xơ Khi V = π x h ⇒ h = πx Để tiết kiệm ngun vật liệu diện tích tồn phần xơ phải bé Ta có: 10l = 10dm3 = 10000cm3 Diện tích tồn phần xô là: V 10000 20000 S ( x) = π x + 2π xh = π x + 2π x = π x + = π x2 + πx x x S '( x) = 2π x − 20000 2π x − 20000 = x2 x2 S '( x) = ⇔ 2π x − 20000 = ⇔ x = 10000 10 ⇔ x = 10 π π Bảng biến thiên: Ta thấy diện tích tồn phần xơ nhỏ bán kính đáy xơ x = 10 Câu 18 Một người đàn ông muốn chèo thuyền vị trí A tới điểm B phía hạ lưu bờ đối diện, nhanh tốt, bờ sơng thẳng rộng 3km (như hình vẽ) Anh chèo thuyền trực tiếp qua sơng để đến C sau chạy đến B, hay chèo trực tiếp đến B, chèo thuyền đến điểm D C B sau chạy đến B Biết anh chèo thuyền 6km / h , chạy 8km / h quãng đường BC = 8km Biết tốc 10 ≈ 14, 7(cm) π độ dòng nước khơng đáng kể so với tốc độ chèo thuyền người đàn ơng Tìm khoảng thời gian ngắn (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến B A + B 73 Hướng dẫn giải C D Đặt CD = x Quãng đường chạy DB = − x quãng đường chèo thuyền AD = + x 8− x + x2 thời gian chạy Tổng thời gian mà người đàn ơng cần có là: Khi đó, thời gian chèo thuyền x2 + − x + , ∀x ∈ [0;8] x − Ta có: T '( x) = x2 + T ( x) = T '( x) = ⇔ x x2 + Ta có: T (0) = = ⇔ x = x + ⇔ 16 x = 9( x + 9) ⇔ x = 81 ⇒ x = 7   73 = 1+ ; T ; T (8) = ÷  7   = 1+ Do đó: T ( x) = T  ÷ [0;8]  7 Vậy thời gian ngắn mà người đàn ông cần dùng + đến điểm D cách C khoảng ≈ 1,33(h) cách chèo thuyền (km) từ chạy đến điểm B Câu 19 Một xưởng có máy cắt máy tiện dùng để sản xuất trục sắt đinh ốc Sản xuất trục sắt máy cắt chạy máy tiện chạy giờ, tiền lãi triệu Sản xuất đinh ốc máy cắt máy tiện chạy giờ, tiền lãi triệu Một máy sản xuất loại Máy cắt làm không 6giờ/ngày, máy tiện làm không 4giờ/ngày Một ngày xưởng nên sản xuất loại để tiền lãi cao A trục sắt đinh ốc B trục sắt đinh ốc C trục sắt đinh ốc D trục sắt đinh ốc Hướng dẫn giải Gọi số trục sắt đinh ốc sản xuất ngày Số tiền lãi ngày: L( x, y ) = x + y Số làm việc ngày máy cắt: x + y ≤ Số làm việc ngày máy tiện: x + y ≤ 3 x + y ≤  Ta có tốn tìm giá trị lớn L( x, y ) biết  x + y ≤ (*)  x ≥ 0, y ≥  Miền nghiệm (*) tứ giác OABC hình vẽ với O(0;0), A(2;0), B(1;3), C (0; 4) Ta có: L(0;0) = 0, L(2;0) = 4, L(0, 4) = 4, L(1,3) = Vậy ngày cần sản xuất trục sắt đinh ốc thu tiền lãi cao nhấ triệu đồng Câu 20 Trong thi pha chế, đội dùng tối đa 24g hương liệu, lít nước 210g đường để pha nước cam nước táo Pha lít nước cam cần 30g đường, lít nước 1g hương liệu; pha lít nước táo cần 10g đường, lít nước 4g hương liệu Mỗi lít nước cam 60 điểm, lít nước táo 80 điểm Cần pha chế lít nước trái loại để đạt điểm cao A lít nước cam lít nước táo B lít nước cam lít nước táo C lít nước cam lít nước táo D lít nước cam lít nước táo Hướng dẫn giải Gọi số lít nước cam nước táo cần pha Số điểm đạt được: D( x, y ) = 60 x + 80 y Số hương liệu cần dùng: x + y ≤ 24 Lượng nước cần dùng: x + y ≤ Lượng đường cần dùng: 30 x + 10 y ≤ 210 ⇔ x + y ≤ 21  x + y ≤ 24 x + y ≤  (*) Ta có tốn tìm giá trị lớn D( x, y ) biết  3 x + y ≤ 21  x ≥ 0, y ≥ Miền nghiệm (*) ngũ giác OABCD với O(0;0), A(7;0), B(6;3), C (4;5), D(0;6) Ta có: D(0;0) = 0, D(7;0) = 420, D(0;6) = 480.D(6,3) = 600, D(4,5) = 640 Vậy cần pha lít nước cam lít nước táo để đạt số điểm cao 640 Câu 21 Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu I II Một sản phẩm loại I lãi triệu đồng, sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng Muốn sản xuất sản phẩm loại I phải dùng máy M1 máy M2 Muốn sản xuất sản phẩm loại II phải dùng máy M1 máy M2 Một máy dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm Máy M1 làm việc không ngày, máy M2 làm việc không Hãy đặt kế hoạch sản xuất cho tổng số tiền lãi cao A sản phẩm loại I sản phẩm loại II B sản phẩm loại I sản phẩm loại II C sản phẩm loại I sản phẩm loại II D sản phẩm loại I sản phẩm loại II Hướng dẫn giải Gọi x, y theo thứ tự số sản phẩm loại I, loại II sản xuất ngày ( x ≥ 0, y ≥ 0) Như tiền lãi ngày L = x + 1,6 y (triệu đồng) số làm việc (mỗi ngày) máy M1 3x + y máy M2 x + y Vì ngày máy M1 làm việc không giờ, máy M2 làm việc không nên x, y phải thỏa mãn hệ bất phương trình 3 x + y ≤ x + y ≤   x ≥  y ≥ Bài toán trở thành: Trong nghiệm hệ bất phương trình, tìm nghiệm ( x = x0 ; y = y0 ) cho L = x + 1,6 y lớn Miền nghiệm hệ bất phương trình tứ giác OABC kể miền Ta tính giá trị biểu thức L = x + 1,6 y tất đỉnh tứ giác OABC, ta thấy L lớn x = 1, y = Vậy số tiền lãi cao nhất, ngày cần sản xuất sản phẩm loại I sản phẩm loại II Câu 22 Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất hai loại sản phẩm I II Để sản xuất đơn vị sản phẩm loại phải dùng máy thuộc nhóm khác Số máy nhóm số máy nhóm cần thiết để sản xuất đơn vị sản phẩm thuộc loại cho bảng sau: Số máy cần để sản xuất đơn vị sản phẩm Loại I Loại II Nhóm Tổng số máy A 10 2 B C 12 Một đơn vị sản phẩm I lãi nghìn đồng, đơn vị sản phẩm II lãi nghìn đồng Hãy lập phương án để sản xuất hai loại sản phẩm có lãi cao A Sản xuất đơn vị sản phẩm loại I đơn vị sản phẩm loại II B Sản xuất đơn vị sản phẩm loại I đơn vị sản phẩm loại II C Sản xuất đơn vị sản phẩm loại I đơn vị sản phẩm loại II D Sản xuất đơn vị sản phẩm loại I đơn vị sản phẩm loại II Hướng dẫn giải Gọi x, y theo thứ tự số đơn vị sản phẩm loại I, loại II sản xuất để có lãi cao ( x ≥ 0, y ≥ 0) Như số tiền lãi L = x + y (nghìn đồng) số lượng máy nhóm A cần thiết để sản xuất x + y , số lượng máy nhóm B cần thiết để sản xuất y , số lượng máy nhóm C cần thiết để sản xuất x + y Vì số lượng máy nhóm A 10 máy, số lượng máy nhóm B máy, số lượng máy nhóm C 12 máy nên x, y phải thỏa mãn hệ bất phương trình 2 x + y ≤ 10 2 y ≤  2 x + y ≤ 12 x ≥   y ≥ Bài toán trở thành: Trong nghiệm hệ bất phương trình, tìm nghiệm ( x = x0 ; y = y0 ) cho L = 3x + y lớn Miền nghiệm hệ bất phương trình ngũ giác OABCD kể miền Ta tính giá trị biểu thức L = x + y tất đỉnh ngũ giác OABCD, ta thấy L lớn x = 4, y = Vậy số tiền lãi cao nhất, cần sản xuất đơn vị sản phẩm loại I đơn vị sản phẩm loại II Câu 23 Một người tiếp nhận ngày khơng 600 đơn vị vitamin A không 500 đơn vị vitamin B Một ngày người cần 400 đến 1000 đơn vị vitamin A lẫn B Do tác động phối hợp hai loại vitamin, ngày số đơn vị vitamin B phải khơng số đơn vị vitamin A không nhiều ba lần số đơn vị vitamin A Hãy xác định số đơn vị vitamin A, B phải dùng ngày cho giá thành rẻ nhất, biết giá đơn vị vitamin A đồng vitamin B 12 đồng 800 đơn vị vitamin A 800 B Mỗi ngày đơn vị vitamin A A Mỗi ngày 400 đơn vị vitamin B 400 đơn vị vitamin B 800 400 đơn vị vitamin A đơn vị vitamin B D Mỗi ngày 800 đơn vị vitamin A 400 đơn vị vitamin B C Mỗi ngày Hướng dẫn giải Gọi x, y số đơn vị vitamin A, B dùng ngày (0 ≤ x ≤ 600,0 ≤ y ≤ 500) Như giá thành M = x + 12 y Một ngày người cần 400 đến 1000 đơn vị vitamin A lẫn B nên 400 ≤ x + y ≤ 1000 Do tác động phối hợp hai loại vitamin, ngày số đơn vị vitamin B phải khơng vitamin A nên số đơn vị vitamin A không nhiều ba lần số đơn vị x ≤ y ≤ x Vậy x, y phải thỏa mãn hệ bất phương trình: 0 ≤ x ≤ 600 0 ≤ y ≤ 500  400 ≤ x + y ≤ 1000 x − y ≤  3 x − y ≥ Bài toán trở thành: Trong nghiệm hệ bất phương trình, tìm nghiệm ( x = x0 ; y = y0 ) cho M = x + 12 y nhỏ Miền nghiệm hệ bất phương trình lục giác ABCDEF Ta tính giá trị biểu thức M = x + 12 y tất điểm ABCDEF, ta thấy M nhỏ x = 800 400 ,y = 3 Vậy giá thành rẻ nhất, dùng ngày 800 400 đơn vị vitamin A đơn vị vitamin B 3 ... 800 đơn vị vitamin A 800 B Mỗi ngày đơn vị vitamin A A Mỗi ngày 400 đơn vị vitamin B 400 đơn vị vitamin B 800 400 đơn vị vitamin A đơn vị vitamin B D Mỗi ngày 800 đơn vị vitamin A 400 đơn vị vitamin... phẩm loại II B Sản xuất đơn vị sản phẩm loại I đơn vị sản phẩm loại II C Sản xuất đơn vị sản phẩm loại I đơn vị sản phẩm loại II D Sản xuất đơn vị sản phẩm loại I đơn vị sản phẩm loại II Hướng... ngày số đơn vị vitamin B phải khơng số đơn vị vitamin A không nhiều ba lần số đơn vị vitamin A Hãy xác định số đơn vị vitamin A, B phải dùng ngày cho giá thành rẻ nhất, biết giá đơn vị vitamin