Về hàm tổng GCD (Luận văn thạc sĩ)

Về hàm tổng GCD (Luận văn thạc sĩ)Về hàm tổng GCD (Luận văn thạc sĩ)Về hàm tổng GCD (Luận văn thạc sĩ)Về hàm tổng GCD (Luận văn thạc sĩ)Về hàm tổng GCD (Luận văn thạc sĩ)Về hàm tổng GCD (Luận văn thạc sĩ)Về hàm tổng GCD (Luận văn thạc sĩ)Về hàm tổng GCD (Luận văn thạc sĩ)Về hàm tổng GCD (Luận văn thạc sĩ)Về hàm tổng GCD (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHAN NGUYỄN NGỌC DUNG VỀ HÀM TỔNG - GCD LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHAN NGUYỄN NGỌC DUNG VỀ HÀM TỔNG - GCD LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Danh mục ký hiệu ii Mở đầu Chương Ước chung lớn 1.1 Khái niệm tính chất ước chung lớn 1.2 Thuật toán Euclid 1.3 Một số tập liên quan ước chung lớn 11 Chương Hàm tổng ước chung lớn 15 2.1 Định nghĩa hàm tổng ước chung lớn 15 2.2 Một số tính chất hàm tổng ước chung lớn 18 2.3 Chuỗi Dirichlet G(s) 21 Chương Ứng dụng 33 3.1 Ứng dụng hàm tổng ước chung lớn 33 3.2 Một số tập khó ước chung lớn 36 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 ii Danh mục ký hiệu (m, n) Ước chung lớn hai số m n n g(n) = (j, n) Hàm tổng ước chung lớn (2j − 1, n) Hàm đếm điểm mạng j=1 n S(n) = j=1 φ(n) Phi hàm Euler ω(n) Số số nguyên tố phân biệt ước n d0 d(n) = σ0 (n) = Hàm ước số d|n ∞ n−s , Re(s) > ζ(s) = Hàm zeta Riemann n=1 ∞ g(n) , Re(s) > Chuỗi Dirichlet n n=1 g(n) Gα (x) = Hàm tổng riêng chuỗi Dirichlet α n n≤x n Tích chập Dirichlet (f ∗ g)(n) = f (d)g d G(s) = d|n à(d) Hm Măobius Mở đầu Trong toán học, số nguyên a chia hết cho số nguyên d số d gọi ước số nguyên a, a gọi bội d Số nguyên dương d lớn ước hai số nguyên a, b gọi ước chung lớn a b, ký hiệu d = (a, b) Ước chung lớn hai số a b có nhiều tính chất lý thú, ta áp dụng để giải tập số học hình học Năm 1935, Pillai [5] người đưa định nghĩa hàm tổng ước chung lớn (hàm Pillai) hệ thức n g(n) = (j, n) j=1 (j, n) ước chung lớn hai số j n Ông chứng minh g(n) = n d|n φ(n) , d φ(n) hàm Euler Hàm tổng ước chung lớn hàm số sơ cấp định nghĩa tổng ước chung lớn n số nguyên với n Trong trình phát triển khoa học kỹ thuật nói chung tốn học nói riêng, kết hàm tổng ước chung lớn nhiều nhà toán học phát triển theo hướng khác Năm 2001, kết ứng dụng hàm tổng ước chung lớn công bố Kevin A Broughan Hàm xuất tìm kiếm đánh giá xấp xỉ cho toán đếm điểm mạng Bài toán đếm điểm mạng (điểm có tọa độ nguyên) vật thể toán cổ lý thuyết số đưa Gauss Dirichlet Hàm tổng ước chung lớn có quan hệ chặt chẽ với tốn đếm điểm mạng Sau đó, nhiều nhà tốn học giới quan tâm hướng nghiên cứu kết hàm tổng ước chung lớn công bố, theo hướng sâu mở rộng thành hàm tổng ước chung lớn suy rộng Với mong muốn tìm hiểu sâu ước chung lớn hàm tổng ước chung lớn nhất, hướng dẫn PGS TS Nông Quốc Chinh mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Về hàm tổng-gcd” Mục đích nghiên cứu luận văn khai thác ước chung lớn nhất, hàm tổng ước chung lớn tính chất số học hàm tổng ước chung lớn dựa báo “The gcd-Sum Function” Kevin A Broughan đăng tạp chí Journal of Integer Sequence năm 2001 Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương Ước chung lớn Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất ước chung lớn số tự nhiên Để tìm ước chung lớn nhất, chúng tơi trình bày thuật toán Euclid Chương Hàm tổng ước chung lớn Trong chương này, chúng tơi trình bày kết gần hàm tổng ước chung lớn bao gồm định nghĩa số tính chất, chuỗi Dirichlet với số hạng tổng quát hàm tổng ước chung lớn Chương Ứng dụng Trong phần này, chúng tơi trình bày cách ứng dụng hàm tổng ước chung lớn toán đếm điểm mạng nguyên Ngồi có số tập phổ thơng ước chung lớn Trong trình thực luận văn thạc sĩ, tác giả nhận giúp đỡ, tạo điều kiện nhiệt tình quý báu nhiều cá nhân, tập thể Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nơng Quốc Chinh tận tình hướng dẫn suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy Khoa Tốn Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân đồng nghiệp để tơi hồn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Phan Nguyễn Ngọc Dung Chương Ước chung lớn Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất ước chung lớn số tự nhiên Để tìm ước chung lớn nhất, chúng tơi trình bày thuật tốn Euclid Các tập tốn học phổ thơng ước chung lớn trình bày mục 1.3 1.1 Khái niệm tính chất ước chung lớn Trong lý thuyết số, tập số tự nhiên N = {0, 1, 2, 3, 4, }, tập số nguyên Z = { , −3, −2, −1, 0, 1, 2, } Định nghĩa 1.1.1 ([7]) Cho a, b ∈ Z ta nói b chia hết a, ký hiệu a | b, tồn c ∈ Z để xảy ac = b Trong trường hợp này, ta nói a ước b Ta nói b không chia hết a, ký hiệu a b, không tồn c ∈ Z cho ac = b Khi a | b ta nói b bội a b chia hết cho a ký hiệu b a Ví dụ 1.1.2 Ta có | với ∈ Z, · = 6, −3 | 15 với −5 ∈ Z −3 · (−5) = 15, Z = · + 1, không ước Nhận xét 1.1.3 Tất số nguyên ước 0, ước không Mọi số ngun có ước nó, ta gọi chúng ước tầm thường Định nghĩa 1.1.4 ([7]) Một số nguyên n > gọi nguyên tố n có ước Nếu số n khơng số ngun tố ta nói n hợp số Ví dụ 1.1.5 Dãy số nguyên tố N 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, hợp số 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, Nhận xét 1.1.6 Số không hợp số không số nguyên tố Định lý 1.1.7 (Định lý số học) Mọi số tự nhiều viết dạng tích số nguyên tố không kể đến thứ tự nhân tử Định nghĩa 1.1.8 Một số nguyên dương d gọi ước chung hai số nguyên a b d ước a d ước b Định nghĩa 1.1.9 Ước chung lớn hai số a b, ký hiệu (a, b), số nguyên dương lớn d thỏa mãn d | a d | b Tức (a, b) = max{d ∈ Z : d | a d | b} Ví dụ 1.1.10 (1, 2) = 1, (5, 10) = 2, (6, 27) = 3, với a, (0, a) = (a, 0) = a Đặc biệt (0, 0) = Định nghĩa 1.1.11 Hai số nguyên a b gọi nguyên tố (a, b) = Mệnh đề 1.1.12 Giả sử a b số nguyên với b = Khi tồn hai số nguyên q r cho a = bq + r, với ≤ r < |b| Chứng minh Để cho đơn giản, giả sử a b dương Gọi Q tập số nguyên không âm n cho a − bn khơng âm Khi Q khác rỗng ∈ Q Q bị chặn a − bn < với n > a/b Lấy q phần tử lớn Q Khi r = a − bq < b, ngược lại q + thuộc Q Do q r thỏa điều kiền tồn Để chứng minh tính nhất, giả sử q r thỏa mãn mệnh đề Khi q ∈ Q r = a − bq ≥ 0, nên q ≤ q, ta viết q = q − m với m ≥ Nếu q = q, m ≥ 1, nên r = a − bq = a − b(q − m) = a − bq + bm = r + bm ≥ b r ≥ 0, mâu thuẫn Do q = q r = a − bq = a − bq = r, điều phải chứng minh Bổ đề 1.1.13 Với số nguyên a b, ta có (a, b) = (b, a) = (±a, ±b) = (a, b − a) = (a, b + a) Chứng minh Chúng chứng minh (a, b) = (a, b − a), trường hợp khác chứng minh tương tự Giả sử d | a d | b, tồn c1 c2 cho a = c1 d b = c2 d Khi b − a = c2 d − c1 d = d(c2 − c1 ), nên d | (b − a) Do (a, b) ≤ (a, b − a), tập mà ta lấy giá trị cực đại (a, b) tập (a, b − a) Lập tuận tương tự với a thay −a b thay b − a, chi (a, b − a) = (−a, b − a) ≤ (−a, b) = (a, b), chứng tỏ (a, b) = (a, b − a) Bổ đề 1.1.14 Giả sử a, b, n ∈ Z Khi (a, b) = (a, b − an) Chứng minh Bằng cách áp dụng liên tiếp Bổ đề 1.1.13 n lần, ta có (a, b) = (a, b − a) = (a, b − 2a) = · · · = (a, b − na) Bổ đề 1.1.15 Với số nguyên a, b, n bất kỳ, ta có (an, bn) = (a, b) · |n| ... thành hàm tổng ước chung lớn suy rộng Với mong muốn tìm hiểu sâu ước chung lớn hàm tổng ước chung lớn nhất, hướng dẫn PGS TS Nông Quốc Chinh mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: Về hàm tổng- gcd ... định nghĩa hàm tổng ước chung lớn (hàm Pillai) hệ thức n g(n) = (j, n) j=1 (j, n) ước chung lớn hai số j n Ông chứng minh g(n) = n d|n φ(n) , d φ(n) hàm Euler Hàm tổng ước chung lớn hàm số sơ... Euclid Chương Hàm tổng ước chung lớn Trong chương này, chúng tơi trình bày kết gần hàm tổng ước chung lớn bao gồm định nghĩa số tính chất, chuỗi Dirichlet với số hạng tổng quát hàm tổng ước chung