HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN HỌC SINH NĂM 2016 MÔN THI: ĐẠI SỐ Thời gian làm bài: 180 phút Bảng A Bài A.1 Cho a, b số thực −a b 0 −a b A= 0 −a b b 0 −a (i) Tính định thức A (ii) Với giá trị a, b A khả nghịch trường hợp tính A−1 (iii) Cơng ty xanh đô thị thực Dự án thay già cỗi không chủng loại Công ty thực chương trình bốn tháng Trong tháng cơng ty chặt bỏ 10% tổng số xanh thành phố tính tới ngày tháng, đồng thời thực trồng thêm số xanh Cụ thể tháng thứ trồng thêm 100 cây, tháng thứ hai trồng thêm 102 cây, tháng thứ ba trồng thêm 104 cây, tháng cuối trồng thêm 106 Tại buổi tổng kết Dự án người ta cho biết, tổng số thành phố tăng thêm 80 so với trước thực Dự án Hỏi thành phố có xanh? Bài A.2 Ký hiệu V không gian véc tơ đa thức có bậc nhỏ n với hệ số thực Xét ánh xạ tuyến tính Φ : V → V, cho Φ(p(x)) = p(x + 1) (i) Tìm ma trận biểu diễn Φ theo sở {1, x, x2 , , xn−1 } V (ii) Chứng minh tồn số thực a0 , a1 , , an−1 với tính chất sau đây: với đa thức p(x) hệ số thực bậc nhỏ n p(x + n) + an−1 p(x + n − 1) + · · · + a1 p(x + 1) + a0 p(x) = Bài A.3 Với số nguyên dương n ≥ xét đa thức Pn (x) = nxn − xn−1 − − x − Hỏi Pn (x) có nghiệm thực: (i) Khi n = 2, 3? (ii) Khi n ≥ 4? Bài A.4 Xét mảng 16 × 16 tạo thành từ dãy điểm Hình (khoảng cách hàng cột đơn vị) Hình Mảng 16 × 16 điểm (i) Tìm số hình vng với đỉnh mảng có diện tích (đơn vị diện tích) (ii) Tìm số hình vng với đỉnh mảng có diện tích 25 (đơn vị diện tích)? Hết Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm HỘI TỐN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN HỌC SINH NĂM 2016 ĐỀ THI MÔN: ĐẠI SỐ Thời gian làm bài: 180 phút Bảng B Bài B.1 Cho a, b số thực −a b 0 −a b A= 0 −a b b 0 −a (i) Tính định thức A (ii) Với giá trị a, b A khả nghịch trường hợp tính A−1 (iii) Cơng ty xanh thị thực Dự án thay già cỗi không chủng loại Cơng ty thực chương trình bốn tháng Trong tháng công ty chặt bỏ 10% tổng số xanh thành phố tính tới ngày tháng, đồng thời thực trồng thêm số xanh Cụ thể tháng thứ trồng thêm 100 cây, tháng thứ hai trồng thêm 102 cây, tháng thứ ba trồng thêm 104 cây, tháng cuối trồng thêm 106 Tại buổi tổng kết Dự án người ta cho biết, tổng số thành phố tăng thêm 80 so với trước thực Dự án Hỏi thành phố có xanh? Bài B.2 Ký hiệu D phép đạo hàm tập đa thức hệ số thực R[x] T ánh xạ từ R[x] vào nó, cho T (p(x)) = xp(x) (i) Chứng minh ánh xạ D không đơn ánh ánh xạ T khơng tồn ánh (ii) Chứng minh ánh xạ D ◦ T − T ◦ D : R[x] → R[x] song ánh Bài B.3 Ký hiệu V không gian véc tơ đa thức có bậc nhỏ n với hệ số thực Xét ánh xạ tuyến tính Φ : V → V, cho Φ(p(x)) = p(x + 1) − p(x) (i) Tìm ma trận biểu diễn Φ theo sở {1, x, x2 , , xn } V (ii) Chứng minh Φn+1 = (iii) Tìm sở để theo ma trận Φ có dạng đây: ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· (iv) Xác định tất đa thức p thoả mãn: p(a + 1) + p(a − 1) = 2p(a) với số nguyên a Bài B.4 Xét mảng 16 × 16 tạo thành từ dãy điểm Hình (khoảng cách hàng cột đơn vị) Hình Mảng 16 × 16 điểm (i) Tìm số hình vng với đỉnh mảng có diện tích (đơn vị diện tích) (ii) Tìm số hình vng với đỉnh mảng có diện tích 25 (đơn vị diện tích) Hết Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN HỌC SINH NĂM 2016 Mơn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Bảng A Bài A.1 Cho (un )∞ n=1 dãy số xác đinh điều kiện u1 = a, un+1 = un − un + ∀n ≥ 1 Tìm tất giá trị thực a để dãy số (un )∞ n=1 hội tụ Tìm giới hạn dãy số hội tụ Bài A.2 Phần nguyên số thực x định nghĩa số nguyên lớn không vượt x, kí hiệu [x] Hiệu x − [x] gọi phần lẻ x, kí hiệu {x} Giả sử a, b số thực dương n số tự nhiên Chứng minh lim (a{nb} + b{na}) = n→∞ a b số nguyên Bài A.3 Cho a ≥ số thực f : R → R hàm số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện • (f (ax))2 ≤ a3 x2 f (x) với số thực x; • f bị chặn lân cận Chứng minh |f (x)| ≤ x2 a với số thực x Bài A.4 Cho f : R → R hàm số khả vi vô hạn lần thỏa mãn đồng thời hai điều kiện f (0)f (0) ≥ 0, lim f (x) = x→+∞ Chứng minh tồn dãy số (xn )∞ n=1 tăng ngặt không âm cho f (n) (xn ) = với số nguyên dương n (trong đó, f (n) kí hiệu đạo hàm cấp n f ) Tồn hay không hàm số f thỏa mãn yêu cầu đề không đồng 0? Bài A.5 Với số thực < α = 1, gọi fα hàm số xác định khoảng (1, ∞) công thức xα dt (∀x > 1) fα (x) = ln t x Chứng minh fα phép đồng phôi, tức song ánh liên tục, từ khoảng (1, ∞) lên khoảng Iα ⊂ R cho ánh xạ ngược fα−1 : Iα → (1, ∞) liên tục Tìm Iα HẾT Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm HỘI TỐN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TỐN SINH VIÊN HỌC SINH NĂM 2016 Mơn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Bảng B Bài B.1 Cho (un )∞ n=1 dãy số xác đinh điều kiện u1 = a, un+1 = un + (un − 2016)2 ∀n ≥ 1 Tìm tất giá trị thực a để dãy số (un )∞ n=1 hội tụ Tìm giới hạn dãy số hội tụ Bài B.2 Cho α số thực f : [0, 1] → R hàm số xác định công thức x xα sin f (x) = x = 0, x = Chứng minh khẳng định sau: f liên tục α > f khả vi α > f khả vi liên tục α > Bài B.3 Cho a ≥ số thực f : R → R hàm số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện • (f (ax))2 ≤ a3 x2 f (x) với số thực x; • f bị chặn khoảng (−1, 1) Chứng minh |f (x)| ≤ x2 a với số thực x Bài B.4 Giả sử f : R → R hàm số khả vi liên tục hai lần thỏa mãn điều kiện f (x) lim |x|→+∞ x = Chứng minh phương trình f (x) = có nghiệm Bài B.5 Cho f : (1, ∞) → R hàm xác định công thức dt x f (x) = √ x ln t Hãy tìm tập tất giá trị f HẾT Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm (∀x > 1) ... TOÁN SINH VIÊN HỌC SINH NĂM 2016 Mơn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Bảng B Bài B.1 Cho (un )∞ n=1 dãy số xác đinh điều kiện u1 = a, un+1 = un + (un − 2016) 2 ∀n ≥ 1 Tìm tất giá trị... coi thi khơng giải thích thêm HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN HỌC SINH NĂM 2016 Mơn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Bảng A Bài A.1 Cho (un )∞ n=1 dãy số xác đinh... Cán coi thi khơng giải thích thêm HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TỐN SINH VIÊN HỌC SINH NĂM 2016 ĐỀ THI MƠN: ĐẠI SỐ Thời gian làm bài: 180 phút Bảng B Bài B.1 Cho a, b số thực −a b 0