Lecture Giới thiệu môn học Môn Logic Số học cung cấp cho sinh viên kiến thức Logic Số học để dạy tốt mơn học THCS THPT Về hình thức, hai mơn học khơng có chương trình THPT (ngoài phần đại số mệnh đề lớp 10), khơng có đề thi tốt nghiệp, đề thi đại học Tuy nhiên, hai môn học quan trọng học sinh: - Môn logic giúp học sinh suy luận chặt chẽ, biết cách loại suy, suy diễn để học biết 2, Đặc biệt có ích cho học sinh giải đề trắc nghiệm Sẽ học chứng minh tốt - Môn số học học lớp 6, sau không dùng lại Tuy nhiên yếu số học gặp khó khăn tốn lượng giác (kết hợp nghiệm, hàm tuần hồn), tốn tổ hợp (đếm số số tự nhiên) - Đề cương môn học download từ website mơn Về có phần: Logic: Khái niệm mệnh đề Các phép toán mệnh đề Bảng chân trị, mệnh đề tương đương Luật logic Quy tắc suy diễn Lý thuyết chứng minh Số học: Số nguyên, chia hết, phép chia có dư Bội số ước số Số nguyên tố, định lý số học Thuật toán Euclide ứng dụng Đồng dư, định lý đồng dư Tài liệu tham khảo Nguyễn Hữu Anh: Toán rời rạc Hà Huy Khoái Nguyễn Huy Điển: Số học thuật toán Kenneth H.Rosen: Discrete Mathematics and Its applications Kenneth H.Rosen: Number Theory Đánh giá: 1) Assigments (3) > 30% 2) Thuyết trình & Tiểu luận: 20% 3) Thi 50% Lecture Chương I: Logic (Tài liệu tham khảo: Toán rời rạc GS Nguyễn Hữu Anh) Khái niệm mệnh đề Mệnh đề phát biểu mà tính sai xác định Ví dụ mệnh đề khơng mệnh đề Các phép toán mệnh đề Từ mệnh đề đơn, ta tạo mệnh đề phức cấu trúc (trong toán gọi phép nối) Giới thiệu phép nối liền (), nối rời (), phủ định, kéo theo (), kéo theo hai chiều () Bảng chân trị dạng mệnh đề Tương đương logic Bảng chân trị bảng ghi tính sai dạng mệnh đề phụ thuộc theo tính sai mệnh đề cấu thành Ví dụ p q = p q Bài tốn tìm 16 dạng mệnh đề không tương đương cấu thành từ hai mệnh đề p, q Các luật logic Luật giao hoán, luật kết hợp, luật phân phối, luật De Morgan, luật phần tử trung hòa, luật phi mâu thuẫn, luật trung, luật thống trị, luật phủ định phủ định, luật hấp thụ Tính đỗi ngẫu cặp phép tốn , (Trong cơng thức, hốn vị hai phép tốn ta thu cơng thứ đúng) Ý nghĩa số luật Lecture (Chương I, tiếp theo) Vị từ lượng từ Vị từ = mệnh đề chứa biến = hàm mệnh đề p(x, y): x > y Phát biểu chưa phải mệnh đề, mệnh đề thay biến giá trị Mơ hình minh họa, X = {x1, x2} x, p(x) = p(x1) p(x2), x, p(x) = p(x1) p(x2) Định lý x, y p(x,y) y, x p(x, y) Các quy tắc suy diễn Quy tắc khẳng định (Modus Ponens), Quy tắc phủ định (Modus Tollens), Tam đoạn luận (trilogism), Tam đoạn luận rời Các quy tắc rút trích, tổng hợp Ứng dụng quy tắc suy diễn (trong sống, hình ) Lý thuyết chứng minh Giới thiệu phương pháp kỹ thuật chứng minh - Phương pháp chứng minh quy nạp - Phương pháp chứng minh phản chứng - Nguyên lý Dirichlet - Nguyên lý cực hạn - Nguyên lý bất biến - Nguyên lý đếm hai cách - Nguyên lý song sánh - Nguyên lý bao hàm loại trừ Assigment 1, Part 1 Hãy lấy phủ định mệnh đề sau a) Ngày mai trời mưa hay trời lạnh tơi khơng ngồi b) 15 chia hết cho không chia hết cho c) hình tứ giác khơng phải hình chữ nhật mà khơng phải hình thoi d) Nếu An khơng làm ngày mai bị đuổi việc e) tam giác có góc 600 Lập bảng chân trị dạng mệnh đề sau a) p (p q) b) (p q) q c) (p q) (qp) Cho biết suy luận suy luận sau Qui tắc suy diễn sử dụng a) Điều kiện đủ để Hoàng Anh Gia Lain thắng trận đối thủ đừng gỡ lại vào phút cuối Mà Hoàng Anh Gia Lai thắng trận Vậy đối thủ Hoàng Anh Gia Lai không gỡ lại vào phút cuối b) Nếu Minh giải tốn thứ tư em nộp trước quy định Mà Minh không nộp trước quy định Vậy Minh không giải toán thứ tư c) Nếu lãi suất giảm số người tiết kiệm giảm Mà lãi suất không giảm Vậy số người tiết kiệm không giảm d) Nếu Bình làm muộn vợ giận Nếu An thường xuyên vắng nhà vợ giận Nếu vợ Bình hay vợ An giận dự Hà bạn họ nhận lời than phiền Mà Hà khơng nhận lời than phiền Vậy Bình làm sớm An vắng nhà Với mệnh đề đây, cho biết chân trị Hãy lấy phủ định mệnh đề a) Với số thực x, y, x2 > y2 x > y; b) Với số thực x, x x có nghịch đảo; c) Tồn hai số ngun lẻ có tích số lẻ; d) Bình phương số hữu tỷ số hữu tỷ Chứng minh với số nguyên dương n ta có (i) (ii) + + + … + 2n – = n2; 12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n+1)(2n+1)/6; (iii) 2n 1 � 2n 3n a) Chứng minh số 72n – 48n – chia hết cho 2304 với số nguyên dương n b) Chứng minh với n nguyên dương ta có 5.23n 33n 1 chia hết cho 19 Nhận xét 32 = 332 = 1089 3332 = 110889 33332 = 11108889 Hãy dự đoán kết tổng qt chứng minh dự đốn phép quy nạp toán học Chứng minh với n ≥ 2, số 1, 2, 3, …, 3n chia thành nhóm, nhóm có n số có tổng Chứng minh bàn cờ 2n x 2n bị bỏ ô phủ qn trimino hình chữ L 10 Dự đoán quy nạp (i) n đường thẳng chia mặt phẳng thành nhiều miền; (ii) n đường tròn chia mặt phẳng thành nhiều miền 11 Có chàng trai khiêm tốn Hùng, Huy, Hoàng Hải Họ tuyên bố sau: Hùng: “Huy người khiêm tốn nhất” Huy: “Hồng người khiêm tốn nhất” Hồng : “Tơi khơng phải người khiêm tốn nhất” Hải: “Tôi người khiêm tốn nhất” Hóa ra, có tuyên bố bốn chàng trai khiêm tốn Vậy người khiêm tốn nhất? 12 Có 13 bạn nhỏ ngồi quanh bàn tròn Họ thỏa thuận với hai bạn khác giới nói dối nhau, hai bạn giới nói thật Một bạn nói với bạn bên phải "Đa số trai", bạn lại nói với bạn bên phải "Đa số gái", bạn lại nói với bạn bên phải "Đa số trai", bạn lại nói với bạn bên phải "Đa số gái" bạn cuối nói với bạn "Đa số trai" Hỏi có bạn trai ngồi quanh bàn? 13 Peter có bìa mặt, mặt ghi chữ mặt ghi số Peter khẳng định "Nếu mặt bìa ghi chữ A mặt ghi số 1" Hiện bàn đặt bìa mặt ngửa lên ghi A, 1, 2, B Hỏi phải lật bìa để kiểm tra khẳng định Peter hay sai Lecture Logic (tiếp theo) Lý thuyết chứng minh Tôi giới thiệu khác biệt Tốn học mơn khoa học khác (Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa ): chứng minh Toán học xây dựng lý thuyết dựa theo sơ đồ: Tiên đề + định nghĩa + khái niệm > Định lý, tính chất Để thực mũi tên suy ta phải nắm lý thuyết chứng minh Tơi dùng ví dụ định lý giải tích để minh họa (Xuất phát từ lát cắt Dedekind + Khái niệm liên tục + Khái niệm khả vi > Các định lý) Đọc file Namdung_Analysis Tiếp theo, giới thiệu phép chứng minh quy nạp với biến thể: + Sơ đồ cổ điển: n, A(n) = A(1) (n, A(n) > A(n+1)) + Sơ đồ nhảy cách: n, A(n) = A(1) A(2) A(k) (n, A(n) > A(n+k)) + Sơ đồ quy nạp mạnh: n, A(n) = A(1) (n, (A(1), A(2), ,A(n)) > A(n+1)) Hai sơ đồ đầu minh họa toán sau: Chúng ta đọc truyện xem phim Tây Du Ký Câu chuyện sau rút từ chuyến kỳ vĩ thầy trò Đường Tăng đến Tây Trúc Vừa thoát khỏi kiếp nạn Bạch cốt tinh, thầy trò Đường tăng lại vào vương quốc mới, gọi vương quốc Ngũ Bát Sở dĩ có tên Ngân hàng trung ương Vương quốc phát hành loại tiền quan (Ngũ) quan (Bát) Vương quốc chưa phát triển nên người dân biết phép tính cộng, khơng biết phép tính trừ Vì thế, bán hàng, đưa thừa người ta khơng trả lại (còn đưa thiếu người ta khơng chịu - khơn lắm) Thầy trò Đường tăng tung tăng thành thấy siêu thị có tên "Over 28" Thấy tên lạ lạ, họ bước vào Nhân viên bảo vệ chặn lại, xem chừng không muốn cho vào Trư bát giới xơng nói - Sao không cho vào? Tay bảo vệ tay vào số 28 (nhị thập bát) nói: Ơng có thấy số khơng? - 28 28 tuổi vào Yên tâm em Anh 360 tuổi Còn ơng anh gãi mông 720 tuổi Cái gánh hàng 240 Ngay ngựa 130 tuổi Trẻ có lẽ sư phụ bọn anh, ông vừa làm sinh nhật lần thứ 30 Các có cần xem chứng minh nhân dân khơng, loại nhé, có tên bố mẹ - Khơng, không, tuổi, - Đây (Trư bát giới kín đáo nhìn xa xơi) - Đây siêu thị mà hàng từ 28 quan trở lên Tôi thấy ông nhà quê quá, sợ không đủ tiền nên không muốn cho vào - Ấy, đừng nghĩ Bọn anh nhà có điều kiện nhé, tiền quan, quan bọn anh đổi cửa ních túi - Vậy xin mời anh vào Bài tốn: Chứng minh thầy trò Đường tăng mua (tức trả giá tiền) hàng siêu thị "Over 28" Sơ đồ quy nạp mạnh minh họa định lý (Thuật chia Euclide) Nếu P(x), Q(x), Q(x) không đồng 0, đa thức với hệ số thực tồn cặp đa thức S(x), R(x) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau i) P(x) = Q(x).S(x) + R(x); ii) deg R < deg Q Đọc thêm file Induction