Logic&Arithmetics Lectures56

Tiếp theo, tôi giới thiệu về cơ sở Logic của phép chứng minh phản chứng.. Chứng minh phản chứng có thể nói là một trong những vũ khí quan trọng của toán học.. Nó cho phép chúng ta chứng

Lecture 5

Trong bài giảng 5, tôi giới thiệu phương pháp chứng minh quy nạp lùi, trong đó có câu chuyện Solomon cho mượn lạc đà

Phép chứng minh bất đẳng thức

3

(1) thông qua các bước

1) Chứng minh

2

y x

xy ≤ +

(2)

2) Dùng (2) chứng minh

4

xyzt ≤ + + +

(3)

3) Áp dụng (3) cho x, y, z và t = (x+y+z)/3 để suy ra (1) (mượn lạc đà của

Solomon)

Tương tự, để chứng minh

2

3 3 sin sin

sinA+ B+ C≤ ta lần lượt chứng minh

1)

2 sin 2 sin sinx+ y≤ x+ y

với x, y thuộc (0, π)

2)

4 sin

4 sin sin sin

sinx+ y+ z+ t≤ x+ y+z+t

3) Áp dụng 2) cho A, B, C và π/3

Tiếp theo, tôi giới thiệu về cơ sở Logic của phép chứng minh phản chứng

Chứng minh phản chứng có thể nói là một trong những vũ khí quan trọng của toán học

Nó cho phép chúng ta chứng minh sự có thể và không có thể của một tính chất nào đó, nó cho phép chúng ta biến thuận thành đảo, biến đảo thành thuận, nó cho phép chúng ta lý luận trên những đối tượng mà không rõ là có tồn tại hay không Ví dụ kinh điển nhất về phép chứng minh phản chứng thuộc về Euclid với phép chứng minh

Định lý Tồn tại vô số số nguyên tố.

Ở đây, Euclid đã giả sử ngược lại rằng tồn tại hữu hạn số nguyên tố p1, p2, …, pn Ông xét tích N = p1p2…pn + 1 N phải có ít nhất 1 ước số nguyên tố p Khi đó, do p1, p2, …, pn là tất cả các số nguyên tố nên tồn tại i sao cho p = pi Nhưng khi đó p | 1, mâu thuẫn

Cơ sở logic của phép chứng minh phản chứng

Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về logic mệnh đề để làm sáng tỏ cơ sở logic của các sơ đồ chứng minh phản chứng, cũng như phân tích những điểm mạnh yếu của từng sơ đồ

Sơ đồ chứng minh mà Euclid đã sử dụng có dạng: Để chứng minh A đúng, ta chứng minh nếu A sai thì sẽ dẫn đến mâu thuẫn Tức là

0

→

⇔ A

A

Lập bảng chân trị, ta dễ dàng thấy điều này:

Với sơ đồ chứng minh bằng mệnh đề phản đảo, ta sử dụng tương đương logic

A B B

Ta có thể kiểm chứng tương đương logic này bằng cách lập bảng chân trị:

Phép chứng minh dùng mệnh đề phản đảo đặc biệt hiệu quả trong các bài toán mà mệnh

đề B là tuyển của các mệnh đề: B=B1∨B2∨ ∨B n Khi đó

n

B B

B

B= 1∧ 2 ∧ và như vậy để chứng minh A, ta có thể sử dụng tất cả các điều kiện B i

với i = 1, 2, …, n

Cũng sử dụng bảng chân trị, ta thấy rằng A  B không tương đương với B  A như nhiều người hay lầm tưởng và ngộ nhận Đây là sai lầm rất thường gặp trong các “chứng minh” toán học Chẳng hạn có tài liệu tham khảo đã hướng dẫn “muốn chứng minh x, y, z

là ba cạnh của một tam giác, chỉ cần chứng minh 2(xy+yz+zx) > x2 + y2 + z2”

Một sai lầm thường gặp khác là mệnh đề “nếu A thì B” thường được hiểu là sẽ suy ra mệnh đề “nếu không B thì không A”

Chú ý là A→B= A∨B= A∧B Do đó, đối với mệnh đề dạng A→B, ta có sơ đồ chứng minh phản chứng quen thuộc sau:

0

→

∧

⇔

→B A B

A

Ưu điểm của sơ đồ này là bên cạnh điều kiện nguyên thủy A, ta còn có điều kiện bổ sung

B, tức là có thêm dữ kiện Điểm khó của phương pháp này là ta không biết đích tới là gì,

cụ thể, ta cần dẫn đến một mâu thuẫn, nhưng mâu thuẫn đó là gì thì ta không biết

Ví dụ 1 Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số nguyên sao cho x 2 + y 2 = z 2 thì xyz chia hết cho 3.

Trong ví dụ này, ta giả sử ngược lại xyz không chia hết cho 3 Khi đó từng số x, y, z không chia hết cho 3, do đó x2, y2, z2 chia 3 dư 1 Nhưng khi đó vế trái chia 3 dư 2 còn vế phải chia 3 dư 1, mâu thuẫn

Trong các tình huống khác nhau, mâu thuẫn có thể xuất hiện rất đa dạng, đó có thể là một

số vừa chẵn vừa lẻ, vừa âm vừa dương, tổng ba góc trong một tam giác không bằng 1800, phương trình bậc n có nhiều hơn n nghiệm …

Ta có thể khắc phục điểm yếu này bằng cách thay 0 bằng A∧A, mà ta đã có sẵn A rồi nên chỉ cần thay 0 bằng A Như vậy ta có sơ đồ mới:

A B A B

Có thể nói, sơ đồ này là kết hợp của cả hai sơ đồ: Chứng minh phản chứng truyền thống

và dùng mệnh đề phản đảo

Ví dụ 2 Cho a, b, c là các số thực sao cho a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > 0.

Chứng minh rằng a, b, c > 0

Giả sử một trong các số a, b, c < 0 Vì ta có abc > 0 nên phải có 2 số âm, 1 số dương Không mất tính tổng quát, giả sử a, b < 0, c > 0 Khi đó

ab + bc + ca = a(a+b+c) – a2 + bc < 0

Mâu thuẫn với điều kiện!

Phản ví dụ là một phương pháp đơn giản và hiệu quả để bác bỏ một giả thuyết hay một khẳng định nào đó

Cơ sở logic của phản ví dụ là tương đương logic sau:

) ( , )

(

,P x x P x

∀

Chẳng hạn, Euler đã chỉ ra khẳng định của Fermat cho rằng các số dạng: =22n +1

n

là số nguyên tố bằng cách chỉ ra ra rằng F5 = 232 + 1 = 641 * 6700417

Lecture 6 - Số học

0 Các cấu trúc đại số cơ bản

* Nhóm, nhóm con, lớp ghép, định lý Langrange, cấp của phần tử trong nhóm hữu hạn, nhóm con xyclic

* Vành, vành con, ideal Vành Z

* Trường

1 Số nguyên, các tính chất của số nguyên

Trong bài này, tôi giới thiệu các vấn đề cơ bản sau

1 Số nguyên, định nghĩa, tính chất, biểu diễn trên trục số, các phép toán

2 Số nguyên tố, hợp số Sàng Erastothene Định lý cơ bản của Số học

3 USCLN, BSCNN

4 Phép chia có dư Định lý Bezout Định lý Sylvester Bài toán Frobenius về các đồng xu

Assigment 1, Part 2

1 (Bất đẳng thức Jensen) Cho đoạn thẳng I Chứng minh rằng nếu bất đẳng thức











 +

≤

+

2 2

) ( )

f y f x

f

đúng với mọi x, y thuộc I thì với mọi n nguyên dương và với mọi x1, x2, ,xn thuộc I ta có bất đẳng thức











 + + +

≤ +

+ +

n

x x

x f n

x f x

f x

f( 1) ( 2) ( n) 1 2 n

2 Chứng minh rằng nếu (p-1)! + 1 chia hết cho p thì p là số nguyên tố.

3 Hãy chứng minh hoặc bác bỏ mệnh đề sau: "Hai tam giác bằng nhau nếu có 2 cặp cạnh bằng nhau và 1 cặp góc bằng nhau"

4 Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý không lớn hơn 20, luôn chọn được 3 số

x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác

Assigment 2, Part 1

1 Chứng minh rằng một số nguyên N > 1 bất kỳ có ít nhất một ước nguyên tố

2 (Định lý cơ bản của số học) Chứng minh rằng mọi số nguyên N > 1 đều biểu diễn được dưới dạng

t

t

p p p

N α1 α2 α

2 1

= trong đó p1, p2, …, pt là các số nguyên tố phân biệt, α1, α2, …, αt là các số nguyên dương. Hơn nữa, biểu diễn này là duy nhất nếu không tính đến việc thay đổi thứ tự các thừa số

3 (Euclid) Chứng minh tập hợp số nguyên tố là vô hạn

4 Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố dạng 4k+3

5 Chứng minh rằng nếu d | a, d | b thì d | (a, b) Tức là mọi ước số chung của a và b đều

là ước của (a, b)

6 Chứng minh rằng nếu a = bq + r thì (a, b) = (b, r) Đặc biệt, ta có (a, b) = (a – b, b)

7 (Định lý Bezout) Chứng minh rằng (a, b) = 1 khi và chỉ khi tồn tại các số nguyên x, y sao cho ax + by = 1

8 Cho a, b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, b > 1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên N, tồn tại duy nhất cặp số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện

N = ax + by và 0 ≤ x < b

9 (Định lý Sylvester) Cho a, b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng N0 = ab – a – b là số nguyên lớn nhất không biểu diễn được dưới dạng ax + by với x, y là các số nguyên không âm Hơn nữa, với mọi p, q nguyên với p + q = N0, có

đúng một trong hai số p, q biểu diễn được dưới dạng ax + by với x, y là các số nguyên không âm (mà ta sẽ gọi tắt là biểu diễn được)