Hình học 11 tài liệu dạy thêm học thêm hình 11 giải chi tiếtHình học 11 tài liệu dạy thêm học thêm hình 11 giải chi tiếtHình học 11 tài liệu dạy thêm học thêm hình 11 giải chi tiếtHình học 11 tài liệu dạy thêm học thêm hình 11 giải chi tiếtHình học 11 tài liệu dạy thêm học thêm hình 11 giải chi tiếtHình học 11 tài liệu dạy thêm học thêm hình 11 giải chi tiếtHình học 11 tài liệu dạy thêm học thêm hình 11 giải chi tiếtHình học 11 tài liệu dạy thêm học thêm hình 11 giải chi tiếtHình học 11 tài liệu dạy thêm học thêm hình 11 giải chi tiếtHình học 11 tài liệu dạy thêm học thêm hình 11 giải chi tiếtHình học 11 tài liệu dạy thêm học thêm hình 11 giải chi tiếtHình học 11 tài liệu dạy thêm học thêm hình 11 giải chi tiếtHình học 11 tài liệu dạy thêm học thêm hình 11 giải chi tiết
Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 HÌNH KHƠNG GIAN 11 - GIẢI HÌNH 11 LỚP HỌC THÊM TỐN LÝ HÓA b Dạng : Xác định giao tuyến hai mặt phẳng () () Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng () () Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến cần tìm Chú ý : Để tìm chung () () thường tìm đường thẳng đồng phẳng nằm hai mp giao điểm có hai đường thẳng điểm chung hai mặt phẳng a Phương pháp : A Bài tập : Trong mặt phẳng ( ) cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối khơng song song điểm S ( ) a Xác định giao tuyến (SAC ) (SBD) S b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) c Xác định giao tuyến (SAD) (SBC) Giải a Xác định giao tuyến (SAC) (SBD) Ta có : S điểm chung (SAC) (SBD) Trong (), gọi O = AC BD O AC mà AC (SAC) O (SAC) A J O BD mà BD (SBD) O (SBD) O điểm chung (SAC) (SBD) k O Vậy : SO giao tuyến (SAC) (SBD) B b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) Ta có: S điểm chung (SAC) (SBD) Trong () , AB không song song với CD Gọi I = AB CD I AB mà AB (SAB) I (SAB) I CD mà CD (SCD) I (SCD) I điểm chung (SAB) (SCD) Vậy : SI giao tuyến (SAB) (SCD) A c Tương tự câu a, b Cho bốn điểm A,B,C,D không thuộc mặt phẳng M Trên đoạn thẳng AB, AC, BD lấy điểm M, N, P cho MN không song song với BC Tìm giao tuyến ( BCD) ( MNP) B Giải P BD mà BD ( BCD) P ( BCD) N P ( MNP) P điểm chung ( BCD) ( MNP) Trong mp (ABC) , gọi E = MN BC C E BC mà BC ( BCD) E ( BCD) E MN mà MN ( MNP) E ( MNP) E điểm chung ( BCD) ( MNP) Vậy : PE giao tuyến ( BCD) ( MNP) Cho tam giác ABC điểm S không thuộc mp (ABC ) , điểm I thuộc đoạn SA Một đường thẳng a không song song với AC cắt cạnh AB, BC theo thứ tự J , K Tìm giao tuyến cặp mp sau : S a mp ( I,a) mp (SAC ) b mp ( I,a) mp (SAB ) c mp ( I,a) mp (SBC ) I C D I P D E L O Giải a Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SAC ) : B Ta có: I SA mà SA (SAC ) I (SAC ) I( I,a) J I điểm chung hai mp ( I,a) (SAC ) Trong (ABC ), a không song song với AC Gọi O = a AC O AC mà AC (SAC ) O (SAC ) Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com K C A Trang Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 O ( I,a) O điểm chung hai mp ( I,a) (SAC ) Vậy : IO giao tuyến hai mp ( I,a) (SAC ) b Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SAB) : JI c Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SBC ) Ta có : K điểm chung hai mp ( I,a) mp (SBC ) Trong mp (SAC) , gọi L = IO SC L SC mà SC (SBC ) L (SBC ) L IO mà IO ( I,a) L ( I,a ) L điểm chung hai mp ( I,a) (SBC ) Vậy: KL giao tuyến hai mp ( I,a) (SBC ) Cho bốn điểm A ,B ,C , D không nằm mp a Chứng minh AB CD chéo b Trên đoạn thẳng AB CD lấy điểm M, N cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD I Hỏi điểm I thuộc mp Xđ giao tuyến hai mp (CMN) ( BCD) Giải a Chứng minh AB CD chéo : Giả sử AB CD không chéo Do có mp () chứa AB CD A ,B ,C , D nằm mp () mâu thuẩn giả thuyết Vậy : AB CD chéo b Điểm I thuộc mp : I MN mà MN (ABD ) I (ABD ) I MN mà MN (CMN ) I (CMN ) I BD mà BD (BCD ) I (BCD ) Xđ giao tuyến hai mp (CMN) ( BCD) CI A M N D B I C Cho tam giác ABC nằm mp ( P) a mộtđường thẳng nằm mp ( P) không song song với AB AC S điểm mặt phẳng ( P) A’ điểm thuộc SA Xđ giao tuyến cặp mp sau a mp (A’,a) (SAB) b mp (A’,a) (SAC) c mp (A’,a) (SBC) S Giải a Xđ giao tuyến mp (A’,a) (SAB) A’ SA mà SA ( SAB) A’ ( SAB) A' A’ ( A’,a) A’ điểm chung ( A’,a) (SAB ) N Trong ( P) , ta có a khơng song song với AB M Gọi E = a AB A C F E AB mà AB (SAB ) E (SAB ) E ( A’,a) E điểm chung ( A’,a) (SAB ) Vậy: A’E giao tuyến ( A’,a) (SAB ) B b Xđ giao tuyến mp (A’,a) (SAC) E A’ SA mà SA ( SAC) A’ ( SAC) a A’ ( A’,a) P A’ điểm chung ( A’,a) (SAC ) Trong ( P) , ta có a khơng song song với AC Gọi F = a AC F AC mà AC (SAC ) F (SAC ) E ( A’,a) F điểm chung ( A’,a) (SAC ) Vậy: A’F giao tuyến ( A’,a) (SAC ) c Xđ giao tuyến (A’,a) (SBC) Trong (SAB ) , gọi M = SB A’E M SB mà SB ( SBC) M ( SBC) M A’E mà A’E ( A’,a) M ( A’,a) Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com Trang Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 M điểm chung mp ( A’,a) (SBC ) Trong (SAC ) , gọi N = SC A’F N SC mà SC ( SBC) N ( SBC) N A’F mà A’F ( A’,a) N ( A’,a) N điểm chung mp ( A’,a) (SBC ) Vậy: MN giao tuyến ( A’,a) (SBC ) Cho tứ diện ABCD , M điểm bên tam giác ABD , N điểm bên tam giác ACD Tìm giao tuyến cặp mp sau a (AMN) (BCD) b (DMN) (ABC ) Giải A a Tìm giao tuyến (AMN) (BCD) Trong (ABD ) , gọi E = AM BD E AM mà AM ( AMN) E ( AMN) E BD mà BD ( BCD) E ( BCD) P M E điểm chung mp ( AMN) (BCD ) Trong (ACD ) , gọi F = AN CD F AN mà AN ( AMN) F ( AMN) F CD mà CD ( BCD) F ( BCD) N Q F điểm chung mp ( AMN) (BCD ) B Vậy: EF giao tuyến mp ( AMN) (BCD ) E b Tìm giao tuyến (DMN) (ABC) Trong (ABD ) , gọi P = DM AB P DM mà DM ( DMN) P (DMN ) P AB mà AB ( ABC) P (ABC) P điểm chung mp ( DMN) (ABC ) Trong (ACD) , gọi Q = DN AC C Q DN mà DN ( DMN) Q ( DMN) Q AC mà AC ( ABC) Q ( ABCA) Q điểm chung mp ( DMN) (ABC ) Vậy: PQ giao tuyến mp ( DMN) (ABC ) Dạng : Xác định giao điểm đường thẳng a mặt phẳng () Tìm đường thẳng b nằm mặt phẳng () Giao điểm a b giao đt a mặt phẳng () A Chú ý : Đường thẳng b thường giao tuyến mp () mp () a Cần chọn mp () chứa đường thẳng a cho giao tuyến mp () mp () dể xác định giao tuyến không song song với đường thẳng a D F a Phương pháp : b Bài tập : Trong mp () cho tam giác ABC Một điểm S không thuộc () Trên cạnh AB lấy điểm P đoạn thẳng SA, SB ta lấy hai điểm M, N cho MN không song song với AB S a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng () Giải M a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) E Cách : Trong (SAB) , gọi E = SP MN E SP mà SP (SPC) E (SPC) N E MN C A Vậy : E = MN (SPC ) Cách : Chọn mp phụ (SAB) MN P ( SAB) (SPC ) = SP B D Trong (SAB), gọi E = MN SP E MN E SP mà SP (SPC) Vậy : E = MN (SPC ) Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com Trang Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mp () Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = AB MN D AB mà AB () D () D MN Vậy: D = MN () Cách : Chọn mp phụ (SAB) MN ( SAB) () = AB Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = MN AB D AB mà AB () D () D MN Vậy : D = MN () S Cho tứ giác ABCD điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn SC lấy điểm M không trùng với S C Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM ) Giải Chọn mp phụ (SBD) SD Tìm giao tuyến hai mp ( SBD) (ABM ) Ta có B điểm chung ( SBD) (ABM ) Tìm điểm chung thứ hai ( SBD) (ABM ) A Trong (ABCD ) , gọi O = AC BD Trong (SAC ) , gọi K = AM SO K SO mà SO (SBD) K ( SBD) N M K D O C B K AM mà AM (ABM ) K ( ABM ) K điểm chung ( SBD) (ABM ) ( SBD) (ABM ) = BK Trong (SBD) , gọi N = SD BK N BK mà BK (AMB) N (ABM) N SD Vậy : N = SD (ABM) Cho tứ giác ABCD điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn AB lấy điểm M , Trên đoạn SC lấy điểm N ( M , N không trùng với đầu mút ) a Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) S Giải a Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) Chọn mp phụ (SAC) AN Tìm giao tuyến ( SAC) (SBD) Trong (ABCD) , gọi P = AC BD ( SAC) (SBD) = SP I N Trong (SAC), gọi I = AN SP I AN I SP mà SP (SBD) I (SBD) A Vậy : I = AN (SBD) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) Chọn mp phụ (SMC) MN Tìm giao tuyến ( SMC ) (SBD) P Trong (ABCD) , gọi Q = MC BD M ( SAC) (SBD) = SQ Q Trong (SMC), gọi J = MN SQ J MN B J SQ mà SQ (SBD) J (SBD) Vậy: J = MN (SBD) Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com D C Trang Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 Cho mặt phẳng () đường thẳng m cắt mặt phẳng () C Trên m ta lấy hai điểm A, B điểm S không gian Biết giao điểm đường thẳng SA với mặt phẳng () điểm A’ Hãy xác định giao điểm đường thẳng SB mặt phẳng () S Giải m Chọn mp phụ (SA’C) SB A Tìm giao tuyến ( SA’C ) () B Ta có ( SA’C ) () = A’C Trong (SA’C ), gọi B’ = SB A’C C B' B’ SB mà SB (SA’C ) B’ (SA’C) A' B’ A’C mà A’C () B’ () Vậy : B’= SB () Cho bốn điểm A, B , C, S không mặt phẳng Gọi I, H trung điểm SA, AB Trên SC lấy điểm K cho : CK = 3KS Tìm giao điểm đường thẳng BC với mặt phẳng ( IHK ) Giải Chọn mp phụ (ABC) BC S Tìm giao tuyến ( ABC ) (IHK) Trong (SAC) ,có IK khơng song song với AC K Gọi E’ = AC IK I ( ABC ) ( IHK) = HE’ Trong (ABC ), gọi E = BC HE’ E BC mà BC ( ABC) E ( ABC) E HE’ mà HE’ ( IHK) E ( IHK) Vậy: E = BC ( IHK) Cho tứ diện SABC Gọi D điểm SA , E điểm SB F điểm AC ( DE AB không song song ) a Xđ giao tuyến hai mp (DEF) ( ABC ) b Tìm giao điểm BC với mặt phẳng ( DEF ) c Tìm giao điểm SC với mặt phẳng ( DEF ) Giải a Xđ giao tuyến hai mp (DEF) ( ABC ) Ta có : F điểm chung hai mặt phẳng (ABC) (DEF) Trong (SAB) , AB không song song với DE Gọi M = AB DE M AB mà AB (ABC) M (ABC) M DE mà DE (DEF) M (DEF) M điểm chung hai mặt phẳng (ABC) (DEF) Vậy: FM giao tuyến hai mặt phẳng (ABC) (DEF) b Tìm giao điểm BC với mặt phẳng ( DEF ) Chọn mp phụ (ABC) BC Tìm giao tuyến ( ABC ) (DEF) Ta có (ABC) (DEF) = FM Trong (ABC), gọi N = FM BC N BC N FM mà FM (DEF) N (DEF) Vậy: N = BC (DEF) c Tìm giao điểm SC với mặt phẳng ( DEF ) Chọn mp phụ (SBC) SC Tìm giao tuyến ( SBC ) (DEF) Ta có: E điểm chung ( SBC ) (DEF) N BC mà BC (SBC) N (SBC) N FM mà FM (DEF) N (DEF) N điểm chung ( SBC ) (DEF) Ta có (SBC) (DEF) = EN Trong (SBC), gọi K = EN SC K SC K EN mà EN (DEF) K (DEF) A C E' H B E K S D C A E F B N M hình S D A Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com C F K N E B M hình Trang Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 Vậy: K = SC (DEF) Cho hình chóp S.ABCD Gọi O giao điểm AC BD M, N, P điểm SA, SB ,SD a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP ) b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP ) Giải S a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP ) Chọn mp phụ (SBD) SO Tìm giao tuyến ( SBD ) (MNP) Ta có N MN mà MN (MNP) N (MNP) P M N SB mà SB (SBD) N (SBD) N điểm chung ( SBD ) (MNP) Q I P MP mà MN (MNP) P (MNP) P SD mà SD (SBD) P (SBD) P điểm chung ( SBD ) (MNP) (MNP) (SBD) = NP Trong (SBD), gọi I = SO NP I SO I NP mà NP (MNP) I (MNP) Vậy: I = SO (MNP) b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP ) Chọn mp phụ (SAC) SC Tìm giao tuyến ( SAC ) (MNP) Ta có M MN mà MN (MNP) M (MNP) M SA mà SA (SAC) M (SAC) M điểm chung ( SAC ) (MNP) I MI mà MI (MNP) I (MNP) I SO mà SO (SAC) I (SAC) I điểm chung ( SAC ) (MNP) ( SAC) (SBD) = MI Trong (SAC), gọi Q = SC MI Q SC Q MI mà MI (MNP) Q (MNP) Vậy: Q = SC (MNP) Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm AC BC K điểm BD không trùng với trung điểm BD a Tìm giao điểm CD (MNK ) b Tìm giao điểm AD (MNK ) Giải a Tìm giao điểm CD (MNK ) : Chọn mp phụ (BCD) SC Tìm giao tuyến ( BCD ) (MNK) Ta có N (MNK) N BC mà BC (BCD) N (BCD) N điểm chung (BCD ) (MNK) K (MNK) K BD mà BD (BCD) K (BCD) K điểm chung (BCD ) (MNK) (BCD) (MNK) = NK Trong (BCD), gọi I = CD NK I CD I NK mà NK (MNK) I (MNK) Vậy: I = CD (MNK) b Tìm giao điểm AD (MNK ) Chọn mp phụ (ACD) AD Tìm giao tuyến (ACD ) (MNK) N D A O C B A J M D K B N Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com C I Trang Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 M (MNK) M AC mà AC (ACD) M (ACD) M điểm chung (ACD ) (MNK) I NK mà NK (MNK) I (MNK) I CD mà CD (ACD) I (ACD) I điểm chung (ACD ) (MNK) (ACD) (MNK) = MI Trong (BCD), gọi J = AD MI J AD J MI mà MI (MNK) J (MNK) Vậy: J = AD (MNK) Ta có: Cho tứ diện ABCD Gọi M,N hai điểm AC AD O điểm bên tamgiác BCD Tìm giao điểm : a MN (ABO ) b AO (BMN ) A Giải a Tìm giao điểm MN (ABO ): Chọn mp phụ (ACD) MN M Tìm giao tuyến (ACD ) (ABO) Ta có : A điểm chung (ACD ) (ABO) Trong (BCD), gọi P = BO DC Q P BO mà BO (ABO) P (ABO) P CD mà CD (ACD) P (ACD) I P điểm chung (ACD ) (ABO) N (ACD) (ABO) = AP Trong (ACD), gọi Q = AP MN B Q MN Q AP mà AP (ABO) Q (ABO) O Vậy: Q = MN (ABO) b Tìm giao điểm AO (BMN ) : Chọn mp (ABP) AO D Tìm giao tuyến (ABP ) (BMN) Ta có : B điểm chung (ABP ) (BMN) Q MN mà MN (BMN) Q (BMN) Q AP mà AP (ABP) Q (ABP) Q điểm chung (ABP ) (BMN) (ABP) (BMN) = BQ Trong (ABP), gọi I = BQ AO I AO I BQ mà BQ (BMN) I (BMN) Vậy: I = AO (BMN) 10 Trong mp () cho hình thang ABCD , đáy lớn AB Gọi I ,J, K điểm SA, AB, BC ( K khơng trung điểm BC) Tìm giao điểm : S a IK (SBD) b SD (IJK ) I N c SC (IJK ) Giải a Tìm giao điểm IK (SBD) Chọn mp phụ (SAK) IK Q A Tìm giao tuyến (SAK ) (SBD) B J Ta có : S điểm chung (SAK ) (SBD) M Trong (ABCD), gọi P = AK BD P P AK mà AK (SAK) P (SAK) K P BD mà BD (SBD) P (SBD) D C P điểm chung (SAK ) (SBD) (SAK) (SBD) = SP Trong (SAK), gọi Q = IK SP Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com C P F Trang Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 Q IK Q SP mà SP (SBD) Q (SBD) Vậy: Q = IK (SBD) b Tìm giao điểm SD (IJK ) : Chọn mp phụ (SBD) SD Tìm giao tuyến (SBD ) (IJK) Ta có : Q điểm chung (IJK ) (SBD) Trong (ABCD), gọi M = JK BD M JK mà JK ( IJK) M (IJK) M BD mà BD (SBD) M (SBD) M điểm chung (IJK ) (SBD) (IJK) (SBD) = QM Trong (SBD), gọi N = QM SD N SD N QM mà QM (IJK) N (IJK) Vậy: N = SD (IJK) c Tìm giao điểm SC (IJK ) : Chọn mp phụ (SAC) SC Tìm giao tuyến (SAC ) (IJK) Ta có : I điểm chung (IJK ) (SAC) Trong (ABCD), gọi E = AC JK E JK mà JK ( IJK) E ( IJK) E AC mà AC (SAC) E (SAC) E điểm chung (IJK ) (SAC) ( IJK) (SAC) = IE Trong (SAC), gọi F = IE SC F SC F IE mà IE ( IJK) F ( IJK) Vậy : F = SC ( IJK ) 11.Cho tứ diện ABCD Trên AC AD lấy hai điểm M,N cho MN không song song với CD Gọi O điểm bên tam giác BCD a Tìm giao tuyến (OMN ) (BCD ) A b Tìm giao điểm BC với (OMN) c Tìm giao điểm BD với (OMN) Giải N a Tìm giao tuyến (OMN ) (BCD ): Ta có : O điểm chung (OMN ) (BCD ) Trong (ACD) , MN không song song CD Gọi I = MN CD Q B I điểm chung (OMN ) (BCD ) Vậy : OI = (OMN ) (BCD ) O M b Tìm giao điểm BC với (OMN): P Trong (BCD), gọi P = BC OI Vậy : P = BC ( OMN ) c Tìm giao điểm BD với (OMN): C Trong (BCD), gọi Q = BD OI Vậy : Q = BD ( OMN ) D I 12.Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SBC lấy điểm M tam giác SCD lấy điểm N a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) Giải a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) : Chọn mp phụ (SMN) MN Tìm giao tuyến (SAC ) (SMN) Ta có : S điểm chung (SAC ) (SMN) Trong (SBC), gọi M’ = SM BC Trong (SCD), gọi N’ = SN CD Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com Trang Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 Trong (ABCD), gọi I = M’N’ AC I M’N’ mà M’N’ (SMN) I ( SMN) I AC mà AC (SAC) I (SAC) I điểm chung (SMN ) (SAC) ( SMN) (SAC) = SI Trong (SMN), gọi O = MN SI O MN O SI mà SI ( SAC) O ( SAC) Vậy : O = MN ( SAC ) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) : Chọn mp phụ (SAC) SC Tìm giao tuyến (SAC ) (AMN) A Ta có : ( SAC) (AMN) = AO Trong (SAC), gọi E = AO SC E SC B E AO mà AO ( AMN) E ( AMN) Vậy : E = SC ( AMN ) S N E D O M N' I M' C Dạng : Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp : Chứng minh ba điểm thuộc hai mp phân biệt Khi ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến hai mp Bài tập : Cho hình bình hành ABCD S điểm không thuộc (ABCD) ,M N trung điểm đoạn AB SC S a Xác định giao điểm I = AN (SBD) b Xác định giao điểm J = MN (SBD) c Chứng minh I , J , B thẳng hàng N Giải a Xác định giao điểm I = AN (SBD ) Chọn mp phụ (SAC) AN I D Tìm giao tuyến (SAC ) (SBD) ( SAC) (SBD) = SO J Trong (SAC), gọi I = AN SO O I AN A E I SO mà SO ( SBD) I ( SBD) M B Vậy: I = AN ( SBD) b Xác định giao điểm J = MN (SBD) S Chọn mp phụ (SMC) MN Tìm giao tuyến (SMC ) (SBD) S điểm chung (SMC ) (SBD) Trong (ABCD) , gọi E = MC BD ( SAC) (SBD) = SE I N Trong (SMC), gọi J = MN SE J A J MN J SE mà SE ( SBD) J ( SBD) M Vậy J = MN ( SBD) O c Chứng minh I , J , B thẳng hàng B E Ta có : B điểm chung (ANB) ( SBD) C I SO mà SO ( SBD) I ( SBD) I AN mà AN (ANB) I (ANB) I điểm chung (ANB) ( SBD) J SE mà SE ( SBD) J ( SBD) J MN mà MN (ANB) J (ANB) J điểm chung (ANB) ( SBD) Vậy : B , I , J thẳng hàng Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com C D Trang Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 Cho tứ giác ABCD S (ABCD) Gọi I , J hai điểm AD SB , AD cắt BC O OJ cắt SC M a Tìm giao điểm K = IJ (SAC) S b Xác định giao điểm L = DJ (SAC) c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng J Giải a Tìm giao điểm K = IJ (SAC) M Chọn mp phụ (SIB) IJ L K B Tìm giao tuyến (SIB ) (SAC) A S điểm chung (SIB ) (SAC) E I Trong (ABCD) , gọi E = AC BI C F (SIB) ( SAC) = SE D Trong (SIB), gọi K = IJ SE K IJ K SE mà SE (SAC ) K (SAC) Vậy: K = IJ ( SAC) b Xác định giao điểm L = DJ (SAC) Chọn mp phụ (SBD) DJ Tìm giao tuyến (SBD ) (SAC) S điểm chung (SBD ) (SAC) Trong (ABCD) , gọi F = AC BD (SBD) ( SAC) = SF Trong (SBD), gọi L = DJ SF L DJ L SF mà SF (SAC ) L (SAC) Vậy : L = DJ ( SAC) c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Ta có :A điểm chung (SAC) ( AJO) K IJ mà IJ (AJO) K (AJO) K SE mà SE (SAC ) K (SAC ) K điểm chung (SAC) ( AJO) L DJ mà DJ (AJO) L (AJO) L SF mà SF (SAC ) L (SAC ) L điểm chung (SAC) ( AJO) M JO mà JO (AJO) M (AJO) M SC mà SC (SAC ) M (SAC ) M điểm chung (SAC) ( AJO) Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng O Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N điểm cạnh SA, SB AC cho LM không song song với AB, LN khơng song song với SC a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC) b Tìm giao điểm I = BC ( LMN) J = SC ( LMN) c Chứng minh M , I , J thẳng hàng S Giải a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC) Ta có : N điểm chung (LMN) (ABC) L Trong (SAB) , LM không song song với AB C Gọi K = AB LM N K LM mà LM (LMN ) K (LMN ) K AB mà AB ( ABC) K ( ABC) A I M b Tìm giao điểm I = BC ( LMN) Chọn mp phụ (ABC) BC Tìm giao tuyến (ABC ) (LMN) B K (ABC) ( LMN) = NK Trong (ABC), gọi I = NK BC I BC Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com J Trang 10 Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 Giải a Chứng minh : PQ // SA Xét tam giác SCD : Ta có : NP // CD Tương tự : Tương tự : S NP CN DS CS t K (1) P MN // SB CN CM (2) CS CB N A MQ // CD CM DQ (3) CB DA DP DQ Từ (1) , (2) (3), suy DS DA D Q Vậy : b B PQ // SA C M Chứng minh điểm K nằm đường thẳng cố định M di động cạnh BC BC // AD BC ( SBC ) Ta có : AD ( SAD ) S ( SBC ) ( SAD ) giao tuyến đường thẳng St qua S cố định song song BC AD Mà K (SBC) (SAD) K St (cố định ) Vậy : K St cố định M di động cạnh BC CHUYÊN ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG Dạng : Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) : d d // Phương pháp : Chứng minh d // a a Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M ,N trung điểm cạnh AB CD a Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD) b Gọi P trung điểm cạnh SA Chứng minh SB SC song song với (MNP) c Gọi G ,G trọng tâm ABC SBC S MN ( SBC ) Ta có : MN // BC BC ( SBC ) MN ( SAD ) Tương tự : MN // AD AD ( SAD ) Q P Chứng minh G1G2 // (SAB) Giải a Chứng minh MN // (SBC): A D MN //( SBC ) N M B C MN //( SAD ) Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com Trang 16 Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 b Chứng minh SB // (MNP): SB ( MNP) Ta có : SB // MP MP ( MNP) SB //( MNP) Chứng minh SC // (MNP): Tìm giao tuyến (MNP) (SAD) Ta có : P điểm chung (MNP) (SAD) MN // AD Do giao tuyến đường thẳng qua P song song MN cắt SD Q PQ = (MNP) (SAD) Xét SAD , Ta có : PQ // AD P trung điểm SA Q trung điểm SD Xét SCD , Ta có : QN // SC SC ( MNP) Ta có : SC // NQ NQ ( MNP) c a N G2 C SC //( MNP) I G1 IG1 IG2 IA IS A B M G1G2 // SA G 1G //( SAB ) Cho hình chóp S.ABCD M,N hai điểm AB, CD Mặt phẳng () qua MN // SA Tìm giao tuyến () với (SAB) (SAC) Xác định thiết diện hình chóp với () Tìm điếu kiện MN để thiểt diện hình thang Giải Tìm giao tuyến () với (SAB): M ( ) ( SAB ) Ta có : // SA SA ( SAB ) S P () (SAB) = MP với MP // SA b Tìm giao tuyến () với (SAC): Gọi R = MN AC Q D A R ( ) ( SAC ) Ta có : // SA SA ( SAC ) b D : G 1G ( SAB ) Do : G 1G // SA SA ( SAB ) a b c Q P Chứng minh G1G2 // (SAB) Xét SAI , ta có : S M R B N C () (SAC) = RQ với RQ // SA Xác định thiết diện hình chóp với (): Thiết diện tứ giác MPQN c Tìm điếu kiện MN để thiểt diện hình thang: MP // QN MN // PQ Ta có : MPQN hình thang (1) (2) Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com Trang 17 Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 S SA // MP Xét (1) ,ta có MP//QN SA // QN QN ( SCD) Do : SA // QN SA //( SCD) ( vơ lí ) BC (ABCD) (SBC) Xét (2) ,ta có MN (ABCD) PQ (SBC) PQ ( SBC ) Ngược lại, MN // BC MB ( ) BC ( SBC ) Vậy để thiết diện hình thang Q P D A MN // BC N M R C B MN // PQ MN // BC Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lẩy trung điểm M , cạnh BC lẩy trung điểm N Gọi ( ) mặt phẳng chứa đường thẳng MN song song với CD a Hãy xác định thiết diện mặt phẳng ( ) với tứ diện ABCD b Xác định vị trí N CD cho thiết diện hình bình hành Giải a Hãy xác định thiết diện mặt phẳng ( ) với tứ diện ABCD ( ) // CD Ta có : CD ( ACD ) M ( ) ( ACD ) ( ) // CD Tương tự : CD ( BCD ) N ( ) ( BCD ) A MP // CD (1) M P Q (2) Từ (1) (2), ta : MP // NQ Vậy: thiết diện hình thang MPNQ b Xác định vị trí N BC cho thiết diện hình bình hành Ta có : MP // NQ MP = D B NQ // CD N C A CD M MP // NQ MP NQ MPNQ hình bình hành MP // NQ B MP NQ CD Do : N trung điểm BC Vậy : N trung điểm BC MPNQ hình bình hành Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com P D Q N C Trang 18 Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB S điểm ngồi mặt phẳng hình thang Gọi M điểm CD ; () mặt phẳng qua M song song với SA BC a Hãy tìm thiết diện mặt phẳng ( ) với hình chóp S.ABCD Thiết diện hình ? b Tìm giao tuyến () với mặt phẳng (SAD) Giải a Hãy tìm thiết diện mặt phẳng ( ) với hình chóp S.ABCD: ( ) // BC Ta có : BC ( ABCD ) M ( ) ( ABCD ) ( ) // SA Tương tự : SA ( SAB ) N ( ) ( SAB ) MN // BC NP // SA S (1) t B A ( ) // BC BC ( SBC ) P ( ) ( SBC ) PQ // BC (2) P N Q D C M I Từ (1) (2) , ta : MN // PQ Vậy : thiết diện hình thang MNPQ b Tìm giao tuyến () với mặt phẳng (SAD) Trong (ABCD) , gọi I = AD BC I điểm chung () (SAD) ( ) // SA Ta có : SA ( SAD ) I ( ) ( SAD ) Vậy : giao tuyến đường thẳng qua I song song với SA Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M điểm cạnh SC () mặt phẳng chứa AM song song với BD a Hãy nêu cách dựng giao điểm E, F mặt phẳng () với cạnh SB, SD b Gọi I giao điểm ME CB , J giao điểm MF CD Hãy chứng minh ba điểm I,J, A thẳng hàng Giải a Hãy nêu cách dựng giao điểm E, F mặt phẳng () với cạnh SB, SD Giả sử dựng E, F thỏa toán ( ) // BD Ta có : BD ( SBD ) EF ( ) ( SBD ) S BD // EF Do điểm E ,F ,A ,M thuộc mặt phẳng () Trong () , gọi K = EF AM K EF mà EF (SBD) K (SBD) K AM mà AM (SAC) K (SAC) K (SAC) (SBD) Do (SAC) (SBD) = SO K SO Cách dựng E, F : Dựng giao điểm K AM SO , qua K dựng EF // BD b.Chứng minh ba điểm I , J , A thẳng hàng : I ME I BC Ta có : mà mà ME ( ) BC ( ABCD ) M F D K J C E O A B I I ( ) I ( ABCD ) Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com Trang 19 Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 I () (ABCD) A ( ) ( ABCD ) J ( ) ( ABCD ) Tương tự , I , J , A điểm chung () (ABCD) Vậy : I , J , A thẳng hàng ˆ = 60 , AB = a Gọi O trung điểm Trong mặt phẳng () cho tam giác ABC vuông A , B BC Lấy điểm S mặt phẳng () cho SB = a SB OA Gọi M mọt điểm cạnh AB , mặt phẳng () qua M song song với SB OA , cắt BC ,SC , SA N , P , Q Đặt x = BM ( < x < a ) a Chứng minh MNPQ hình thang vng S b Tính diện tích hình thang theo a x Tính x để diện tích lớn P Giải a Chứng minh MNPQ hình thang vng : ( ) // OA Ta có : OA ( ABC ) MN ( ) ( ABC ) ( ) // SB SB ( SAB ) MQ ( ) ( SAB ) ( ) // SB SB ( SBC ) NP ( ) ( SBC ) MN // OA (1) N B O C Q MQ // SB M (2) A NP // SB (3) Từ (2) (3) ,suy MQ // NP // SB (4) MNPQ hình thang Từ (1) (4) , ta có : OA SB MN // OA MQ // NP // SB MN MQ MN NP Vậy : MNPQ hình thang vng , đường cao MN b Tính diện tích hình thang theo a x Ta có : S MNPQ ( MQ NP).MN Tính MN : Xét tam giác ABC AB AB BC BC cos B BC 2a BO = a Bˆ 60 ABO Do BA BO Ta có : cos B Có MN // AO MN BM BN AO AB BO MN MB BN x Tính MQ : Xét tam giác SAB , ta có : MQ // SB Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com Trang 20 Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 MQ AM SB AB MQ AM Tính NP : Xét tam giác SBC , ta có : NP // SB NP CN SB CB Do : S MNPQ NP CN SB a (a x) a x AB a SB a 2a x (2a x) CB 2a x ( 4a x ) 3x.(4a 3x) 12 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương 3x 4a 3x 3x.( 4a 3x) ( x 4a x ) 4a² S MNPQ a² 4a ² 12 Đẳng thức xảy 3x = 4a – 3x x = Vậy : x = 2a 2a S MNPQ đạt giá trị lớn Cho hình vng cạnh a , tâm O Gọi S điểm mặt phẳng (ABCD) cho SB = SD Gọi M điểm tùy ý AO với AM = x mặt phẳng () qua M song song với SA BD cắt SO , SB , AB N, P , Q a Tứ giác MNPQ hình ? b Cho SA = a Tính diện tích MNPQ theo a x Tính x để diện tích lớn Giải S a Tứ giác MNPQ hình ?: Ta có : SB = SD SBC = SDC (c-c-c) Gọi I trung điểm SC Xét IBC IDC Ta có : IC cạnh chung N BC = CD I P DCI = BCI IBC = IDC IB = ID IBD cân I IO BD Mà OI // SA SA BD ( ) // BD Ta có : BD ( ABO ) ( ) ( ABO ) MQ ( ) // BD Tương tự : BD ( SBO ) ( ) ( SBO ) NP Từ (1) (2) , suy MQ // NP // BD Mặt khác : ( ) // SA SA ( SAO ) ( ) ( SAO ) MN D A M Q O (*) B MQ // BD NP // BD C (1) (2) (3) MN // SA (4) Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com Trang 21 Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 ( ) // SA Tương tự : SA ( SAB ) ( ) ( SAB ) PQ Từ (4) (5) , suy MN // PQ // SA PQ // SA (5) (6) Từ (3) , (6) (*), suy MNPQ hình chữ nhật Vậy : MNPQ hình chữ nhật b Tính diện tích MNPQ theo a x: Ta có : S MNPQ MQ.MN Tính MQ : Xét tam giác AQM : ˆ 45 ˆ 45 Ta có : Q ˆ M 90 AQM cân M MQ = AM = x Tính MQ : Xét tam giác SAO : Ta có : MN OM MN // SA AS OA S MNPQ MQ.MN x.(a x ) a x OM MN AS a a x OA a 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x x (a x ) a x x a x ) ) a² a² a² a² S MNPQmã 4 x (a x ) ( S MNPQ Đẳng thức xảy x a x Vậy : x a a 2 x M trung điểm AO a S MNPQ đạt giá trị lớn Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b Gọi I , J trung điểm AB CD Giả sử AB CD , mặt phẳng () qua M nằm đoạn IJ song song với AB CD a Tìm giao tuyến () với ( ICD ) (JAB) b Xác định thiết diện (ABCD) với mặt phẳng () Chứng minh thiết diện hình chữ nhật c Tính diện tích thiết diện huình chữ nhật biết IM = a Giải Tìm giao tuyến () với mặt phẳng ( ICD ): IJ ( ) // CD Ta có : CD ( ICD) M ( ) ( ICD) Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com Trang 22 Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 giao tuyến đt qua M song song với CD cắt IC L ID N Tương tự : b A ( ) // AB AB ( JAB ) M ( ) ( JAB ) G giao tuyến đt qua M song song với AB cắt JA P JB Q Xác định thiết diện (ABCD) với mặt phẳng (): ( ) // AB Ta có : AB ( ABC ) L ( ) ( ABC ) F N L B D H Q (1) E ( ) // AB AB ( ABD ) N ( ) ( ABD ) HG // AB Từ (1) (2) , suy I M EF // AB Tương tự : P J C (2) EF // HG // AB (3) ( ) // CD Ta có : CD ( ACD ) P ( ) ( ACD ) FG // CD Tương tự : ( ) // CD CD ( BCD ) Q ( ) ( BCD ) EH // CD Từ (4) (5) , suy Từ (3) (6) , suy Mà AB CD Từ (3) , (6) (*), suy c (4) (5) FG // EH // CD EFGH hình bình hành (*) EFGH hình chữ nhật Tính diện tích thiết diện hnh chữ nhật biết IM = Ta có : S EFGH EF FG PQ.LN Tính LN : Xét tam giác ICD : Ta có : LN // CD (6) LN IN CD ID IJ : (7) Xét tam giác IJD : IN IM ID IJ LN IM Từ (7) (8), suy CD IJ PQ JM Tương tự : AB JI 2ab Vậy : S EFGH Ta có : MN // JD (8) CD b 3 2 PQ AB a 3 LN Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com Trang 23 Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 CHUYÊN ĐỀ: HAI MẶT THẲNG SONG SONG Dạng : a Chứng minh () // () : Sử dụng cách sau : a ( ), b ( ) – a b M a //( ), b //( ) M ( ) //( ) b hình a ( ), b ( ) a b M – c ( ), d ( ) c d N a // c, b // d a M b ( ) //( ) c N d hình – ( ) //( ) ( ) //( ) ( ) //( ) hình Bài tập : 1.Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA ,SD a Chứng minh : (OMN) // (SBC) b Gọi P, Q , R trung điểm AB ,ON, SB Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) Giải S a Chứng minh : (OMN) // (SBC): Xét tam giác SAC SDB : OM // SC ON // SB Ta có : b (OMN ) //( SBC ) R M Chứng minh : PQ // (SBC) OP // AD AD // MN Ta có : N OP // MN M, N, P, O đồng phẳng PQ (MNO) PQ ( MNO) Mà ( MNO) // (SBC) P A B Q O PQ //( SBC ) D C Vậy : PQ // (SBC) Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) : MR // AB AB // DC Ta có : Xét tam giác SDB : ta có MR // DC OR // SD (1) (2) Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com Trang 24 Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 MR // DC OR // SD Từ (1) (2) , ta MR ( MOR) OR ( MOR) DC ( SCD) SD ( SCD) ( MOR) //( SCD) Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB khơng đồng phẳng I , J , K trung điểm cạnh AB , CD, EF Chứng minh : a (ADF) // (BCE) b (DIK) // (JBE) Giải a (ADF)//(BCE): AD // BC Ta có : AD ( BCE ) BC ( BCE ) F AF // BE Tương tự : AF ( BCE ) BE ( BCE ) AD //( BCE ) K E (1) A AF //( BCE ) I D Từ (1) (2) , ta : AD //( BCE ) AF //( BCE ) AD ( ADF ) AF ( ADF ) B (2) J C ( ADF ) //( BCE ) Vậy : ( ADF ) //( BCE ) b (DIK)//(JBE) : Ta có : Vậy DI // JB IK // BE ( DIK ) //( JBE ) : (DIK)//(JBE) Cho hình bình hành ABCD , ABEF nằm hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC, BF theo thứ tự lấy điểm M,N cho MC = 2AM , NF = 2BN Qua M, N kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD, AF theo thứ tự M , N Chứng minh : a MN // DE b M N1 //( DEF ) c E F (MNM N1 ) //( DEF ) Giải a MN // DE : Giả sử EN cắt AB I Xét NIB NEF Ta có : N1 B A IB NB EF NF IN (1) I trung điểm AB NE Tương tự : Xét N M1 I M C D MAI MCD MA MI Ta có : MC MD IM (2) MD IM IN MD NE I trung điểm AB Từ (1) (2) , suy MN // DE Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com Trang 25 Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 Vậy : MN // DE b M N1 //( DEF ) : NN1 // AI Ta có : Tương tự : MM // AI Từ (3) (4) , suy Ta : AN IN N1 F NE AM IM M D MD AN AM 1 N1 F M D M N1 // DF DF ( DEF ) M N1 //( DEF ) c ( MNM N1 ) //( DEF ) : MN // DE Ta có : M N1 // DF (3) (4) M N1 // DF M N1 //( DEF ) Vậy : ( MNN1 M ) //( DEF ) (MNM N1 ) //( DEF ) Vậy : Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a Trên AB lấy điểm M với AM = x Gọi () mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (SAD) cắt SB , SC , CD N, P, Q a Tìm thiết diện () với mặt phẳng hình chóp Thiết diện hình ? b Tìm quĩ tích giao điểm I MN PQ M di động đoạn AB = 1v SA = a Tính diện tích thiết diện theo a x Tính x để diện tích = c Cho a Giải Tìm thiết diện () với mặt phẳng hình chóp: SAD Ta có : ( ) //( SAD ) Với Có Với Có Với Có Vì ( ) // SD ( ) // SD SD ( SAD ) ( ) ( SAD ) PQ ( ) // SA ( ) // SA SA ( SAB ) ( ) ( SAB ) MN ( ) // AD ( ) // AD AD ( ABCD ) ( ) ( ABCD ) MQ BC // MQ BC ( ) ( ) // SD ( ) // SA ( ) // AD S 3a S I x N P A Q D M PQ // SD B C MN // SA MQ // AD (1) ( ) // BC Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com Trang 26 Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 ( ) // BC Có BC ( SBC ) ( ) ( SBC ) PN Từ (1) (2) , suy : MQ // PN Vậy : MNPQ hình thang b PN // BC (2) MNPQ hình thang Tìm quĩ tích giao điểm I MN PQ M di động đoạn AB.: AB // DC Ta có : AB ( SAB ), DC ( SCD) S ( SAB ) ( SCD) mà PQ ( SCD) I PQ Mà mà MN ( SAB ) I MN MA Giới hạn quĩ tích : Khi M B Sx // AB // CD I ( SAB ) ( SDC) I Sx I S I S0 c Tính diện tích thiếtdiện theo a x : Ta có : S MNPQ S IMQ S INP S SAD S INP Tính : S SAD Ta có: SAD vng cân A Do : S SAD a 2 Tính : S INP Xét tam giác SBC , tam giác SBS tam giác SAB NI SN S B SB PN SN PN // BC BC SB AM SN MN // SA AB SB NI PN AM Từ (1) , (2) (3) , ta S B BC AB Ta có : NI // S0 B INP vng cân N Do : S INP S MNPQ Để S MNPQ (1) (2) (3) NI PN AM x x 1 a x (a x ) 2 2 3.a 3.a (a x ) 8 3.a x a a x2 a x 2 Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com Trang 27 Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng phân biệt Gọi M , N thứ tự trung điểm AB , BC I , J , K theo thứ tự trọng tâm tam giác ADF , ADC , BCE Chứng minh (IJK) // (CDFE) C D Giải Xét tam giác MFC : MI MJ MF MC IJ // FC Ta có : K I MI NK Ta có : MF NE IK // FE Vậy : N (1) Xét hình bình hành MNEF : Từ (1) (2) , ta J M B A (2) IJ // FC IK // FE E F ( IJK ) //( CEF ) ( IJK ) //( CEF ) Cho tứ diện ABCD Gọi G1 , G2 , G3 trọng tâm tam giác ABC , ACD , ADB a Chứng minh : (G1G2 G3 ) //( BCD ) A b Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2 G3 ) Tính diện tích thiết diện theo diện tích tam giác BCD S Giải a Chứng minh : (G1G2 G3 ) //( BCD ) Gọi M , N , L trung điểm cạnh BC , CD BD AG1 AG AG3 AM AN AL G1G2 // MN ; G2 G3 // NL G G1 Ta có : G1G2 // MN G2 G3 // NL MN ( BCD ) , NL ( BCD ) G3 E ; G3G1 // LM F G2 D L B N M C (G1G2 G3 ) //( BCD ) Vậy : (G1G2 G3 ) //( BCD) b Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2 G3 ) : BC //( G1G2 G3 ) Ta có : BC ( BCD ) gt qua G1 // BC cắt AB AC E F G (G G G ) ( ABC ) (G1G2 G3 ) cắt (ACD) theo giao tuyến FG // CD Tương tự : (G1G2 G3 ) cắt (ABD) theo giao tuyến GE // BD Xét tam giác AMC tam giác ABC AG1 AF AM AC EF AF EF // BC BC AC AG1 EF Từ (1) (2), ta AM BC EF BC Ta có : G1 F // MC (1) (2) Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com Trang 28 Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 FG CD GE BD Tương tự : 2 2 EF FG GE BC CD GE ( BC CD GE) 3 3 Diện tích thiết diện : S EFG ( EF FG GE).( EF FG GE).( EF GE FG ).( FG GE EF ) 4 = ( BC CD DB).( BC CD DB).( BC DB CD).(CD DB BC ) = S BCD Vậy : S EFG S BCD Cho hai đường thẳng chéo Ax, By Hai điểm M, N di động Ax, By cho AM = BN Chứng minh đường thẳng MN luôn song song với mặt phẳng cố định Giải Kẻ Bx’// Ax Trên Bx’ lấy điểm M’ cho AM = BM’ A AM // BM ' T a có : AM BM ' M ABM’M hình bình hành B MM’//AB BM’N cân B Kẻ Bt phân giác góc x’By M’N Bt Trong (x’By) , kẻ Bz Bt Từ (2) (3) , ta Bz // M’N MM ' // AB M ' N // Bz Từ (1) (4) , x (1) M' x' (2) (3) (4) z N t y (MNM ' ) //( ABz ) MN // (ABz) Vậy : MN // (ABz) cố định Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AB CD Một mặt phẳng qua IJ cắt cạnh AD BC N M a Cho trước điểm M, trình bày cách dựng điểm N Xét trường hợp đặc biệt M trung điểm BC A b Gọi K giao MN IJ Chứng minh : KM = KN Giải a Hãy trình bày cách dựng điểm N : I Điểm N phải nằm giao tuyến (MIJ) (ACD) , giao tuyến qua J Ta có : J ( MIJ ) ( ACD) Gọi E MI AC mà MI ( MIJ ) E MI mà AC ( ACD ) E AC EJ (MIJ ) ( ACD) N EJ AD N D B E ( MIJ ) ( ACD ) Gọi Trường hợp M trung điểm BC: Nếu M trung điểm BC IM // AC (IMJ ) // AC (IMJ ) cắt (ACD) theo giao tuyến JN // AC Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com K J M C E Trang 29 Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11-Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 b Chứng minh : KM = KN Do I , J trung điểm AB ,CD dựng ba mặt phẳng chứa ba đường thẳng song song Áp dụng định lí Talet khơng gian Ta : Vậy : MK BI 1 KN IA MK KN MK KN CHUYÊN ĐỀ: HÌNH LĂNG TRỤ HÌNH HỘP Bài tập : 1.Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ điểm M , N thuộc cạnh AB , DD’ ( M, N không trùng với đầu mút A,B ,D ,D’ cạnh ) Hãy xác định thiết diện hình hộp bị cắt : a Mặt phẳng (MNB) & Các thiết diện hình g ì ? b Mặt phẳng (MNC) & Các thiết diện hình g ì ? c Mặt phẳng (MNC’) A D Giải a Xác định thiết diện bị cắt mặt phẳng (MNB) : Ta có : (MNB) (AA’B’B)= MB=BA (MNB) (AA’D’D) = AN (MNB) (DD’C’C) = NL (trong L = x CC’, L x // DC , x qua N ) (MNB) (BB’C’C) = LB thiết diện tứ giác ABLN m ặt kh ác NL //= DC DC //= AB NL //= AB nên thiết diện ABLN l h ình b ình h ành b M N B C L A' D' B' C' Xác định thiết diện bị cắt mặt phẳng (MNC) : T ơng T ự Ta có : (MNC) (BB’C’C)= BC (MNC) (CC’D’D) = CN (MNC) (DD’A’A) = NI (trong I = y AA’, I y // AD , y qua N ) (MNC) (BB’A’A) = IB thiết diện tứ giác BCNI m ặt kh ác NI //= AD AD //= BC NI //= BC nên thiết diện BCNI l h ình b ình h ành c Xác định thiết diện bị cắt mặt phẳng (MNC’) : C’N DC = K KM AD = P KM BC = R Kẻ RC’ Cắt BB’ Q Ta có : (MNC’) ( DD’C’C) = C’N (MNC’) ( DD’A’A) = NP (MNC’) ( ABCD) = PM (MNC’) ( AA’B’B) = MQ (MNC’) ( BB’C’C) = QC’ (MNC’) ( A’D’C’B’) = C’ thiết diện tứ giác NPMQC’ Gọi Nối Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11-GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com Trang 30 ... D C A E F B N M hình S D A Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11- GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com C F K N E B M hình Trang Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11- Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa... J A M D K Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11- GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com Trang 11 Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11- Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661 Cho hình chóp S.ABCD... // AB // CD Tứ giác SABI hình ? Tài Liệu Dạy Thêm Học Thêm Hình Học 11- GV: Đồn Văn Tính –Web: giasutrongtin.com E Trang 14 Giải Hình Học Khơng Gian Lớp 11- Dạy Thêm Học Thêm Tốn Lý Hóa ĐT : 0946069661