13 bài toán CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN

Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP Phương pháp 1: Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng (d) bán kính R ( Phương pháp thường dung chưa biết giao điểm (d) (O) ) Phương pháp 2: Nếu biết đường thẳng (d) (O) có giao điểm A  Ta cần chứng minh minh OA ⊥ d Phương pháp 3: A M B C Nếu MA2 = MB.MC → MA tiếp tuyến Hoặc : Nếu GócMAB = gócMCA → MA tiếp tuyến Phương pháp 4: Phương pháp trùng khít( Phản chứng) Để chứng minh đường thẳng (d) tiếp tuyến (O) ta dựng đường thẳng (d’) tiếp tuyến (O) sau chứng minh (d) (d’) trùng Do (d) tiếp tuyến (O) II BÀI TẬP ÁP DỤNG µBài tốn 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB Ax, By tia tiếp tuyến (O) (Ax, By nửa mặt phẳng bờ đt AB) Trên Ax lấy điểm C, By lấy điểm D cho ∠COD = 900 Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O) Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh @Hướng dẩn giải Vẽ OH ⊥ CD ( H ∈ CD ) Ta chứng minh OH = R O = C H OB Tia CO cắt tia đối tia By E D Ta có: ∆OAC = ∆OBF ( g c.g ) ⇒ OC = OE Tam giác DEC có DO vừa đường cao vừa trung tuyến nên tam giác cân Khi DO đường phân giác O A B OH ⊥ DC , OB ⊥ DE ⇒ OH = OB Ta có OH ⊥ CD, OH = OB = RO  CD tiếp xúc với (O) H µBài tốn 2: E Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đường tròn đường kính BH cắt AB D, đường tròn đường kính CH cắt AC E Chứng minh DE tiếp tuyến chung (I) (J) @Hướng dẩn giải A Để chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn tâm I đường kính BH ta chứng minh E O ID ⊥ DE hay ∠DOE = 90o D Vì D, E thuộc đường tròn đường kính BH HC nên ta có: ∠BDH =∠CEH = 900 B I H J C  tứ giác ADHE hình chữ nhật Gọi O giao điểm AH DE, ta có OD = OH = OE = OA  ∆ODH cân O ⇔∠ODH = ∠OHD Ta có ∆IDH cân I ⇔∠IDH = ∠IHO  có: ∠IDO +∠OHD =∠IHD + ∠IHA = 900 ⇔∠IDO = 900 ⇔ ID ⊥ DE Ta có ID ⊥ DE , D ∈ ( I )  DE tiếp xúc với (I) D Chứng minh tương tự ta có DE tiếp xúc với (J) E Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh µBài tốn 3: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H Gọi I trung điểm BC Chứng minh ID, IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE @Hướng dẩn giải Gọi O trung điểm AH Tam giác ADH vng D có DO trung tuyến nên ta có: DO = AH = OA = OH Tam giác AEH vuông E có EO trung tuyến nên ta có: EO = AH = OA = OH ⇒ OA = OD = OE, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE Tam giác OAD cân O) ⇒∠ODA = ∠OAD (1) ∆BDC vuông D có DI trung tuyến ⇒ DI = ⇒ ∠IDC = ∠DIC BC = IC , ⇒ tam giác ICD cân I, (2) H giao điểm hai đường cao BD CE ⇒ H trực tâm ∆ABC, A ⇒ AH ⊥ BC F · · Khi ∠OAD + ICD = 90o (2) Từ (1) , (2) (3) ta có ∠ODA + ∠IDC = ∠OAD +∠ICD = 900 E Ta có OD ⊥ DI , D ∈ ( O ) ⇒ ID tiếp xúc với (O) D Chứng minh tương tự ta có IE tiếp xúc với (O) E (DPCM) µBài toán 4: D O B H F I C (Ta chứng minh với phương pháp này.) Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh Cho đường tròn (O) đường kính AB Ax, By tia tiếp tuyến (O) (Ax, By nửa mặt phẳng bờ đt AB) Trên Ax lấy điểm C, By lấy điểm D cho ∠COD = 900 Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O) C D @Hướng dẩn giải H Từ C vẽ tiếp tuyến CD’ đường tròn (O) (D’ thuộc By) tiếp xúc với (O) tiếp điểm H Ta có OC phân giác góc AOH (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) Và OD’ phân giác góc BOH A O D' B Mà hai góc AOH BOH hai góc kề bù nên ∠OCD’ = 900  ta có ∠COD’ = ∠COD= 900 mà D, D’ thuộc By nên suy D′ ≡ D Vì CD’ tiếp tuyến (O)  CD tiếp tuyến (O) µBài tốn 5: Cho tam giác ABC Tia Ax khác phía với AC đường thẳng AB thỏa ∠xAB = ∠ACB Chứng minh Ax tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC @Hướng dẩn giải A Vẽ tia tiếp tuyến Ay đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Ay phía với Ax đường thẳng AB) x Khi ta có ∠yAB = ∠ACB (góc tia tiếp O y B C tuyến dây góc nội tiếp chắn cung đó) Mà ∠xAB = ∠ACB ⇔∠xAB =∠yAB  Ax, Ay phía đường thẳng AB nên  Ax ≡ Ay Mà Ay tiếp tuyến (ABC)  Ax tiếp tuyến (ABC) II.- NHẬN XÉT: Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh Phương pháp 1, tương đối quen thuộc hầu hết toán chứng minh tiếp tuyến dùng hai phương pháp suy trực tiếp từ định nghĩa tiếp tuyến Tuy nhiên hạn chế hai phương pháp ta phải biết tâm bán kính đường tròn Phương pháp phương pháp hay hiệu quả, giúp ta giải tốn nhanh chóng gọn nhẹ Tuy nhiên khơng nhiều học sinh vận dụng thành thạo để chứng minh toán Bài cho ta ý tưởng chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với đường tròn mà tâm bán kính xác định cách khó khăn Hạn chế phương pháp dựng tiếp tuyến, phải dựng thật hợp lí để chứng minh trùng khít dễ dàng Tóm lại khơng có phương pháp hoàn hảo áp dụng dễ dàng cho toán, cần phải vận dụng linh hoạt phương pháp việc chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn III.- BÀI TẬP RÈN LUYỆN µBài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Ax, By hai tiếp tuyến (O) (Ax, By phía đường thẳng AB) Trên Ax lấy điểm C, By lấy điểm D cho AC.BD = AB Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn (O) HD: AC.BD = µBài 2: AB → AC.BD = AO.BO → tam giác đồng dạng → đpcm Cho nửa đường tròn đường kính AB Trên đoạn AB lấy điểm M, gọi H trung điểm AM Đường thẳng qua H vng góc với AB cắt (O) C Đường tròn đường kính MB cắt CB I Chứng minh HI tiếp tuyến đường tròn đường kính MI HD: Dùng tứ giác nội tiếp… µBài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB C thuộc nửa đường tròn Vẽ CH ⊥ AB ( H ∈ AB ) M trung điểm CH, BM cắt tiếp tuyến Ax (O) P Chứng minh PC tiếp tuyến đường tròn (O) HD: Dùng góc so le góc phía hình thang Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh µBài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB M điểm đoạn OB Đường thẳng qua M vng góc AB M cắt (O) C D AC cắt BD P, AD cắt BC Q AB cắt PQ I Chứng IC ID tiếp tuyến (O) HD: Tứ giác nội tiếp tính đối xứng đường tròn µBài Cho tam giác ABC cạnh a ngoại tiếp đường tròn (O) Trên cạnh AB AC lấy điểm M, N cho chu vi tam giác AMN a Chứng minh NM tiếp xúc với (O) HD: Chứng minh: d = R A M I E N F K O B C CM: Kẻ OI vng góc với MN - Lấy FK = EM - CM: Tam giác OEM = tam giác OFK - CM: Tam giác OMN = tam giác OKN - Suy OI = FO = R µBài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC (AB < AC) T điểm thuộc đoạn OC Đường thẳng qua T vuông góc với BC cắt AC H cắt tiếp tuyến A (O) P BH cắt (O) D Chứng minh PD tiếp tuyến (O) Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh S P A H B O HD: - T D C Chứng minh tam giác SAP cân AP = 1/2SH, DP = 1/2SH Từ c/m PD tt theo nhiều cách µBài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác góc BAC cắt BC D cắt (O) M Chứng minh BM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD µBài 8: Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường tròn Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C hai tiếp điểm) Gọi D điểm đối xứng B qua O AD cắt (O) E Chứng minh OA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE µBài 9: Từ điểm A ngồi đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB AC (B, C tiếp điểm) cho OA = R Trên cạnh AB, AC thứ tự lấy điểm E F cho AE + EF + FA = 2R Chứng minh EF tiếp tuyến (O; R) HD : Tương tự ... để chứng minh toán Bài cho ta ý tưởng chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với đường tròn mà tâm bán kính xác định cách khó khăn Hạn chế phương pháp dựng tiếp. .. Ay tiếp tuyến (ABC)  Ax tiếp tuyến (ABC) II.- NHẬN XÉT: Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh Phương pháp 1, tương đối quen thuộc hầu hết toán chứng minh tiếp tuyến dùng hai phương pháp suy trực tiếp. .. D′ ≡ D Vì CD’ tiếp tuyến (O)  CD tiếp tuyến (O) Bài tốn 5: Cho tam giác ABC Tia Ax khác phía với AC đường thẳng AB thỏa ∠xAB = ∠ACB Chứng minh Ax tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác