CÔNG THỨC ĐẠI SỐ

tóm tắt các công thức về bất đẳng thức , số phức, đạo hàm , .. giúp tra cứu trong quá trình học tập , nội dung đề cập chính xác, bất đẳng thức co-si, bdt bu-nhi-a-cop-xki, bdt svac-xơ, công thức Euler ,...

↢↢↢↢Họ cườ i vì khác họ – cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ MỤ C LỤ C ̉ g thứ c Các hằng đăn I hằng đẳng thứ c đáng nhớ (đáng nhớ hay là đáng chết … :3 ) 2 Mộ t số công thứ c khác Khai triển theo công thứ c pascal II Lũ y thừ a Mũ số nguyên Căn bậc n III Phân thứ c , biểu thứ c liên hợ p IV Bất đẳng thứ c Bất đẳng thứ c đơn giản ̉ g thứ c hay gặp bât́ đăn LƯU Ý: ́ số cộ ng cấp số nhân Câp V Cấp số cộ ng Cấp số nhân VI Dãy số, tổng hữ u hạn của dãy số Tổng của một dãy số dãy số có quy luật LƯU Ý: VII Số phứ c Công thứ c Euler Đinh ̣ nghiã và tiń h chấ t Da ̣ng lươ ̣ng giác của số phức : Công thức Moa-vrơ 10 VIII Công thức lươ ̣ng giác 10 Cung có liên quan đă ̣c biê ̣t 10 Công thức lươ ̣ng giác bản 11 Công thức lươ ̣ng giác 11 Bảng lươ ̣ng giác của số góc đă ̣c biê ̣t 13 IX Logarit 13 X Đa ̣o hàm các hàm số 14 Quy tắ c đa ̣o hàm bản 14 Đa ̣o hàm hàm số sơ cấ p 14 Đa ̣o hàm của mô ̣t số hàm số : 15 ↢↢↢↢Họ cườ i vì khác họ – cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ I Các hằng đẳng thứ c hằng đẳng thứ c đáng nhớ (đáng nhớ hay là đáng chết … :3 ) Mộ t số công thứ c khác (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 6abc + 3(a2b + ab2 + a2c + ac2 + b2c +bc2) (a1 + a2 +… + an )2 = a12 + a22 +…+ an2 + 2(a1a2 + a1a3 + ….+ an-1an) a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = (a2 - √2ab + b2 )( a2 + √2ab + b2) a4 - b4 = (a2 - b2) (a2 + b2) = (a – b)(a + b)( a2 + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4) a5 - b5 = (a – b)( a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4) Khai triển theo công thứ c pascal Công thứ c Newton : (a+b)n = các hệ số khai triển nhi ̣ thứ c đượ c ti ́nh theo tam giác pascal ↢↢↢↢Họ cườ i vì khác họ – cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ Hệ số C bằng số cù ng cộ t hà ng và số liền trướ c Vi ́ dụ : vớ i n = thì ta có khai triển : (a + b)9 = a9 + 9a8b + 36a7b2 + 84 a6b3 + 126 a5b4 + 126 a4b5 + 84 a3b6 + 36 a2b7 + ab8 + b9 Chú ý: (a – b)n = [a +(-b)]n II Lũ y thừ a Mũ số nguyên Căn bậc n am = a.a….a (m số a) 𝑎𝑚 𝑎𝑛 = am-n (ab)m = ambm √𝑎 = a1/n 𝑎 𝑎𝑚 𝑏 𝑏𝑚 ( )m = ; 𝑛 quy ướ c: a0 = (b#0) (𝑎𝑚 )𝑛 = amn ; 𝑛 ; 𝑛 𝑛 √𝑎𝑏 = √𝑎 √𝑏 ; am an = am+n ; a-m = 𝑛 ; 𝑎𝑚 𝑛 √𝑎𝑚 = ( √𝑎)𝑚 ; ́ : 𝑎 = 𝑐 thì: 𝑎√𝑥 𝑏 = 𝑐√𝑥 𝑑 Nêu 𝑏 III 𝑑 Phân thứ c , biểu thứ c liên hợ p 𝑏 𝑎𝑐+𝑏 Hỗn số: a = 𝑐 𝑐 𝑎 Phân số bằng nhau: 𝑥 = 𝑏 = 𝑦 𝑐 = 𝑧 𝑎+𝑏+𝑐 𝑥+𝑦+𝑧 ̉ cò n a,b,c,d,… là tham số) Ki ̃ thuật nhân liên hợ p: (giả sử vớ i x là ân 𝑛 𝑥 𝑛 √ = 𝑎 𝑥 √𝑎𝑛−1 𝑎 𝑎 √𝑏𝑥 + 𝑐 ± 𝑑 = ; 𝑥 √𝑎 ± √𝑏 = 𝑥(√𝑎 ∓ √𝑏) 𝑎2 − 𝑏 ; 𝑎 (√𝑏𝑥 + 𝑐 ∓ 𝑑) 𝑏𝑥 + 𝑐 − 𝑑 3 𝑎(√(𝑏𝑥 + 𝑐)2 ∓ 𝑑 √𝑏𝑥 + 𝑐 + 𝑑 ) = 𝑏𝑥 + 𝑐 ± 𝑑 √𝑏𝑥 + 𝑐 ± 𝑑 𝑎 IV Bât́ đẳng thứ c ; ; ↢↢↢↢Họ cườ i vì khác họ – cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ Bât́ đẳng thứ c đơn giản ➢ a≥b ⟹ -a ≤ -b ➢ a ≥ b ⟹ a±c ≥ b±c ➢ a ≥ b ; c ≥ ⟹ ac ≥ bc ; ➢ 0a≥b ⟹ 𝑎 𝑏 ≤ 𝑏 𝑎 𝑐 ≥ 𝑏 𝑐 >0 ⟹ an ≤ bn ; a-n ≤ b-n ; ln a ≤ ln b ➢ ex ≥ + x (*) ➢ aa + bb ≥ ab + ba > , vớ i a,b > ➢ (1 + 𝑎)𝑟 ≥ + 𝑟𝑎 vớ i r≥ , a > -1 bât́ đẳng thứ c hay gặp ➢ Bất đẳng thứ c Cô-si (Cauchy): 𝑣ớ 𝑖 𝑛 𝑠ố nguyên dương thì ta có : 𝑛 𝑎1 + a2 + ……+ an ≥ 𝑛 √𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 ́ bằng xảy : 𝑎 = a2 = ……= an Dâu Bât́ đẳng thứ c thông dụ ng vớ i n=2 tứ c là : a + b ≥ √𝑎𝑏 ➢ Bât́ đẳng thứ c Bu-nhi-a-cop-ski Vớ i n cặp số nguyên dương ta có: (𝑎12 + 𝑎22 + ……+ 𝑎𝑛2 )( 𝑏12 + 𝑏22 + ……+ 𝑏𝑛2 ) ≥ (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2 ↢↢↢↢Họ cườ i vì khác họ – cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ ́ bằng xảy khi: 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 Dâu 𝑏1 𝑏2 𝑏𝑛 Bât́ đẳng thứ c thông dụ ng vớ i n = Tứ c là : (𝑎12 + 𝑎22 )( 𝑏12 + 𝑏22 ) ≥ (a1b1 + a2b2)2 ➢ Bât́ đẳng thứ c Svac-xơ 𝑎12 𝑎22 𝑎𝑛2 (𝑎 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 ) + + + ≥ 𝑏1 𝑏2 𝑏𝑛 𝑏1 + 𝑏2 + ⋯ + 𝑏𝑛 ́ bằng xảy khi: Dâu 𝑎1 𝑏1 = 𝑎2 𝑏2 =⋯= 𝑎𝑛 𝑏𝑛 LƯU Ý: ➢ Từ bât́ đẳng thứ c (*) trở chủ yếu chứ ng minh bằng phương pháp quy nạp toán họ c ➢ Đối vớ i bât́ đẳng thứ c cuối cù ng k cần thiết phải biết cách chứ ng minh tổng quát, vì các bà i toán k áp dụ ng vớ i nhiều số (cặp số ) mà chi ̉ thườ ng chi ̉ là hoặc số (cặp số) V ́ số cộ ng câp ́ số nhân Câp ́ số cộ ng Câp Dãy số a1, a2, a3, … , an-1, an,… Vớ i công sai là d thì: a2 = a1 + d; a3 = a1 + 2d; … ; an = a1 +(n-1)d Ti ́nh chât́ : an+1 – an =an+2 – an+1 an+1 = 𝑎𝑛 +𝑎𝑛+2 số hạng tổng quát: an = a1 + (n-1)d Tổng n số hạng đầu: Sn= a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an = (𝑎1 +𝑎𝑛 )𝑛 = 2𝑎1 +(𝑛−1)𝑑 n ↢↢↢↢Họ cườ i vì khác họ – cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ ́ số nhân Câp Dãy số a1, a2, a3, … , an-1, an,… Vớ i công bộ i là q thì: a2 = a1.q , a3 = a1.q2 , … , an = a1.qn-1 Ti ́nh chât́ : 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+2 ; 𝑎𝑛+1 an+1 = √𝑎𝑛 𝑎𝑛+2 , an > Số hạng tổng quát: an = a1.qn-1 Tổng của n số hạng đầu: Sn= a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an = a1 + a1.q + a1.q2 + … + an-1.qn-2 + an.qn-1 = a1.(1 + q + q2 + … + qn-2 + qn-1 ) = a1 VI 1−qn 1−q Dãy số, tổng hữ u hạn của dãy số Tổng của mộ t dãy số dãy số có quy luật + + + … + (n - 1) + n = p + (p+1) + … + (q - 1) + q = 𝑛(𝑛−1) (𝑞+𝑝)(𝑞−𝑝+1) + + + … + (2n – 3) + (2n – 1) = n2 + + + … + (2n – 2) + 2n = n(n+1) 12 + 22 + 32 + … + (n-1)2 + n2 = 13 + 23 + 33 + … + (n-1)3 + n3 = 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 𝑛2 (𝑛+1)2 12 + 32 + … + (2n-3)2 + (2n-1)2 = 𝑛 (4𝑛−1) 13 + 33 + … + (2n-3)3 + (2n-1)3 = n2(2n2 - 1) (q # 1) ↢↢↢↢Họ cườ i vì khác họ – cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ 4 4 + + + … + (n-1) + n = 15 + 25 + 35 + … + (n-1)5 + n5 = 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)(3𝑛2 +3𝑛−1) 30 12 n2 (n + 1)2 (2n2 + 2n + 1) 1∙2 + 2∙3 + 3∙4 + … + n(n+1) = n(n+1)(n+2) (*) 1∙2∙3 + 2∙3∙4 + 3∙4∙5 + … + n(n+1)∙(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3) 1∙2 + 2∙5 + 3∙8 + … + n(3n – 1) = n2(n+1) 1 1 𝑛 + + +⋯+ = 1∙2 2∙3 3∙4 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) 𝑛+1 1 1 + + +⋯+ 1∙2∙3 2∙3∙4 3∙4∙5 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) ∙ (𝑛 + 2) = 𝑛(𝑛 + 3) 4(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 2𝑛 + 𝑛(𝑛 + 2) + + ⋯ + = (1 ∙ 2)2 (2 ∙ 3)2 [𝑛(𝑛 + 1)]2 (𝑛 + 1)2 LƯU Ý: Các công thứ c ĐA SỐ có thể chứ ng minh theo cách quy nạp Tuy nhiên từ băt́ đầu ở tổng (*) ta có thể chứ ng minh theo cách khác là phân ti ́ch số hạng tổng quát rồi đưa các phần tử của dãy theo đã phân ti ́ch rồi khử nhữ ng phần giống ta đượ c tổng cần ti ́nh Vi ́ dụ : ở tổng (*) có số hạng tổng quát là n(n+1) Ta có: n(n+1) = [n(n+1)(n+2) – n(n+1)(n-1)] Suy ra: 1∙2 = [1∙2∙3 - 1∙ ∙ 0] 2∙ = [2∙ ∙ - 2∙ ∙ 1] ↢↢↢↢Họ cườ i vì khác họ – cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ …………………………………………… n(n+1) = [n(n+1)(n+2) – n(n+1)(n-1)] thay và o ta đượ c : S = 1∙2 + 2∙3 + 3∙4 + … + n(n+1) = [(1∙2∙3 - 1∙ ∙ 0) +(2∙ ∙ - 2∙ ∙ 1) +…+ n(n+1)(n+2) – n(n+1)(n-1)] = n(n+1)(n+2) (đượ c CM) Ngoài cách chứ ng minh đã nêu ở thì các tổng cò n đượ c chứ ng minh bằng nhiều cách khác VII Số phứ c Công thứ c Euler Đinh ̣ nghiã và tin ́ h chấ t ➢ Số i : số i là số thỏa mañ t/m 𝑖 = −1 (i go ̣i là đơn vi ̣ảo) ➢ Da ̣ng a + bi Kí hiê ̣u số phức z là z= a + bi với a là phầ n thực, b là phầ n ảo ❖ Chú ý : + số z =a là số thực + số z = bi là số ảo + số z = vừa là số thực vừa là số ảo ➢ Hai số phức bằ ng : hai số z = a + bi, và z’ = a’ + b’i go ̣i là bằ ng nế u a = a’, b = b’ thì z= z’ ➢ Tổ ng( hiêu) ̣ của hai số phức: tổ ng của hai số z = a ±bi và z’ = a’ ± b’i là z ± z’ = (a ± a’) + ( b ± b’)i ↢↢↢↢Họ cườ i vì khác họ – cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ ➢ Tích hai số phức: z = a + bi và z’ = a’ + b’i là số phức zz’ = aa’ – bb’ + (ab’ + a’b)i ➢ Số phức liên hơ ̣p: của số phức z = a + bi là a – bi kí hiêụ là 𝑧̅ ➢ Môđun của số phức z = a + bi là mô ̣t số thực không âm √𝑎2 + 𝑏 và đươ ̣c kí hiêụ là |𝑧| ➢ Phép chia cho số phức khác 0: Số nghich ̣ đảo của số phức z khác là số 𝑧 −1 = 𝑧̅ |𝑧| Thương của 𝑧′ 𝑧 𝑧 ′ 𝑧̅ = |𝑧|2 (với z ≠ ) Tức là nhân cả tử và mẫu với 𝑧̅ ➢ Căn bâ ̣c hai của số phức: w = a + bi có bâ ̣c hai là z = x + yi và chỉ 𝑧 = w tức là : (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = a + bi ➢ Nhân chia số phức dưới da ̣ng lươ ̣ng giác: Nế u z = r(cos 𝜑 + i sin 𝜑) z’ = r’(cos 𝜑′ + i sin 𝜑′) Thì zz’ = rr’[cos(𝜑 + 𝜑′) + i sin(𝜑 + 𝜑′)], 𝑧′ 𝑧 = 𝑟′ 𝑟 [cos(𝜑 ′ − 𝜑) + i sin(𝜑 ′ − 𝜑)] Da ̣ng lươ ̣ng giác của số phức : Số phức z = a + bi ≠ ↢↢↢↢Họ cườ i vì khác họ – cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ r = |𝑧| 𝑎 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜑 là acgumen của z tức { 𝑏 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 Vâ ̣y z sẽ đươ ̣c viế t dưới da ̣ng z = r(cos𝜑 + i sin𝜑 ) Công thức Moa-vrơ [𝑟(cos𝜑 + i sin𝜑)]𝑛 = 𝑟 𝑛 (cosn𝜑 + i sinn𝜑) Khi r = thì (cos𝜑 + i sin𝜑)𝑛 = cosn𝜑 + i sinn𝜑 VIII Công thức lươ ̣ng giác Cung có liên quan đă ̣c biê ̣t Đố i : sin(-𝛼) = -sin(𝛼) tan(-𝛼) = -tan(𝛼) ; cos(-𝛼) = cos(𝛼) ; cot(-𝛼) = -cot(𝛼) Bù nhau: sin(𝜋-𝛼) = sin(𝛼) cos(𝜋-𝛼) = -cos(𝛼) ; tan(𝜋-𝛼) = -tan(𝛼) cot(𝜋-𝛼) = -cot(𝛼) ; Hơn kém ∏ : sin(𝜋+𝛼) = -sin(𝛼) tan(𝜋+𝛼) = tan(𝛼) Phu ̣ nhau: sin( 𝜋 - 𝛼) = cos(𝛼) 𝜋 cos( - 𝛼) = sin(𝛼) ; 𝜋 ; 𝜋 cot(𝜋+𝛼) = cot(𝛼) ; tan( - 𝛼) = cot(𝛼) Hơn kém cos(𝜋+𝛼) = -cos(𝛼) ; 𝜋 : sin( + 𝛼) = cos(𝛼) 2 cot( ; 10 𝜋 - 𝛼) = tan(𝛼) 𝜋 cos( + 𝛼) = -sin(𝛼) ↢↢↢↢Họ cườ i vì khác họ – cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ 𝜋 tan( + 𝛼) = -cot(𝛼) ; cot( 𝜋 + 𝛼) = -tan(𝛼) Công thức lươ ̣ng giác bản sin2 𝛼 + cos 𝛼 = 1 + cot 𝛼 = sin2 𝛼 ; + tan2 𝛼 = cos2 𝛼 𝜋 (𝛼 ≠ + k𝜋, k ∈ ℤ ) (𝛼 ≠ k𝜋, k ∈ ℤ ); tan𝛼 cot𝛼 = (𝛼 ≠ k 𝜋 , k ∈ ℤ) sin3 𝛼 + cos 𝛼 = (sin𝛼 + cos𝛼 )(1 – sin𝛼 cos𝛼 ) sin3 𝛼 − cos 𝛼 = (sin𝛼 – cos𝛼 )(1 + sin𝛼 cos𝛼 ) sin4 𝛼 + cos 𝛼 = - 2sin2 𝛼 cos 𝛼 sin4 𝛼 − cos 𝛼 = sin2 𝛼 − cos 𝛼 = -cos(2𝛼) sin6 𝛼 + cos 𝛼 = - 3sin2 𝛼 cos 𝛼 sin6 𝛼 − cos 𝛼 = -cos(2𝛼)( - sin2 𝛼 cos 𝛼) Công thức lươ ̣ng giác Công thức cô ̣ng Sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa Sin(a −b) = sina cosb − sinb cosa Cos(a + b) = cosa cosb − sinb sina Cos(a − b) = cosa cosb + sinb sina tan(𝑎 − 𝑏) = tan 𝑎 − tan 𝑏 + tan 𝑎 tan 𝑏 ; tan(𝑎 + 𝑏) = Công thức nhân đôi, nhân ba 11 tan 𝑎 + tan 𝑏 − tan 𝑎 tan 𝑏 ↢↢↢↢Họ cườ i vì khác họ – cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ Sin(2𝛼) = 2sin𝛼 cos𝛼 ; Cos(2𝛼) = cos 𝛼 - sin2 𝛼 = 2cos 𝛼 -1 = - 2sin2 𝛼 tan(2𝛼) = 2tan 𝛼 ; tan(3𝛼) = 1− tan2 𝛼 sin(3𝛼) = 3sin𝛼 - 4sin3 𝛼 ; tan 𝛼 − tan3 𝛼 ; 1−3 tan2 𝛼 cos(3𝛼) = 4cos 𝛼 – 3cos𝛼 Công thức ̣ bâ ̣c sin2 𝛼 = sin3 𝛼 = 1− cos 2𝛼 cos 𝛼 = ; sin 𝛼− sin 3𝛼 Công thức biế n tích thành tổ ng cos𝛼 cos𝛽 = [cos(𝛼 - 𝛽) – cos(𝛼 + 𝛽)] sin𝛼 sin𝛽 = [cos(𝛼 - 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽)] sin𝛼 cos𝛽 = [sin(𝛼 - 𝛽) + sin(𝛼 + 𝛽)] Công thức biế n tổ ng thành tích 𝛼+𝛽 cos𝛼 + cos𝛽 = 2[cos( )cos( 𝛼+𝛽 cos𝛼 – cos𝛽 = -2[sin( 𝛼+𝛽 sin𝛼 + sin𝛽 = 2[sin( 𝛼+𝛽 sin𝛼 - sin𝛽 = 2[cos( 𝛼−𝛽 𝛼−𝛽 )sin( 𝛼−𝛽 )cos( 𝛼−𝛽 )sin( 2 c𝑜𝑠 𝛼+ cos 3𝛼 ; cos 𝛼 = 1+ cos 2𝛼 )] )] )] )] 12 1− cos 2𝛼 ; tan2 𝛼 = 1+ cos 2𝛼 ↢↢↢↢Họ cườ i vì khác họ – cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ Bảng lươ ̣ng giác của số góc đă ̣c biêt.̣ IX Logarit log 𝑎 𝑏 = 𝛼 ⇔ 𝑎𝛼 = 𝑏 ; Quy ước: log 𝑎 = ; log 𝑎 𝑎 = ; log 𝑎 𝑎𝑏 = b ; 𝑎log𝑎 𝑏 = b (b > 0) So sánh logarit cùng số : + Nế u a > thì log 𝑎 𝑏 > log 𝑎 𝑐 ⇔ b > c +Nế u < a < thì log 𝑎 𝑏 > log 𝑎 𝑐 ⇔ b < c Hê ̣ quả: + a > thì log 𝑎 𝑏 > ⇔ b > + < a < thì log 𝑎 𝑏 > ⇔ b < + log 𝑎 𝑏 = log 𝑎 𝑐 ⇔ b = c 𝑏 Quy tắ c tiń h: log 𝑎 (𝑏𝑐) = log 𝑎 𝑏 + log 𝑎 𝑐 ; log 𝑎 = log 𝑎 𝑏 - log 𝑎 𝑐 ; 𝑐 𝑛 log 𝑎 𝑏 𝛼 = 𝛼 log 𝑎 𝑏 ; log 𝑎 = - log 𝑎 𝑏 ; log 𝑎 √𝑏 = 𝑏 Đổ i số : log 𝑏 𝑐 = log𝑎 𝑐 log𝑎 𝑏 𝑛 log 𝑎 𝑏 hay log 𝑎 𝑏 log 𝑏 𝑐 = log 𝑎 𝑐 13 ↢↢↢↢Họ cườ i vì khác họ – cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ log 𝑎 𝑏 = X 1 ; log 𝑎𝛼 𝑐 = log 𝑎 𝑐 ( 𝑣ớ 𝑖 𝑎, 𝑏 ≠ 1) log 𝑏 𝑎 𝛼 Đa ̣o hàm các hàm số Quy tắ c đa ̣o hàm bản Đa ̣o hàm hằ ng số = 0: (c)’ = Đa ̣o hàm của tổ ng bằ ng tổ ng đa ̣o hàm : (x + y)’ = x’ + y’ Đa ̣o hàm của tích: (xy)’ = x’y + xy’ 𝑥 𝑥’𝑦 – 𝑥𝑦’ 𝑦 𝑦2 Đa ̣o hàm của thương: ( ) ′ = Đa ̣o hàm hàm số sơ cấ p Với x, y là ẩ n còn a, b, c, n, m là tham số , u = f(x),v = f(y) là các hàm số (ax)’ = a (au)’ = a u’ (xn)’ = n xn-1 (un)’ = n un-1 u’ 𝑛 ( √𝑥)’ = 𝑛 𝑛 √𝑥 𝑛−1 (ax)’ = ax lna ⟹ (ex)’ = ex (log 𝑎 𝑥)’ = 𝑥 𝑙𝑛 𝑎 𝑢′ 𝑛 ( √𝑢)’ = ⟹ (ln 𝑥)’ = 𝑛 𝑛 √𝑥 𝑛−1 (au)’ = u’ au lna ⟹ (eu)’ = u’ ex (log 𝑎 𝑢)’ = 𝑥 𝑢′ 𝑢 ln 𝑎 ⟹ (ln 𝑢)’ = (sin x)’ = cos x (sin u)’ = u’ cos u (cos x)’ = -sin x (cos u)’ = - u’ sin u (tan x)’ = 1+ tan2 𝑥 = (tan u)’ = (1+ tan2 𝑥)𝑢′ = cos2 𝑥 (cot x)’ = -(1 + cot 𝑥) = −1 (cot u)’ = -(1 + cot 𝑥)𝑢′ = sin2 𝑥 14 𝑢′ 𝑢 𝑢′ cos2 𝑥 −(𝑢)′ sin2 𝑥 ↢↢↢↢Họ cườ i vì khác họ – cườ i họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ Đa ̣o hàm của mô ̣t số hàm số : f(x)’ = (ax2 + bx + c)’ = 2ax + b f(x)’ = ( f(x)’ = ( f(x)’ = ( 𝑎𝑥+𝑏 ′ 𝑐𝑥+𝑑 ) 𝑎 𝑏 | 𝑐 𝑑 = (𝑐𝑥+𝑑)2 = (𝑐𝑥+𝑑)2 𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐 𝑑𝑥+𝑒 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ′ ) = 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑥+𝑐1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑥+𝑐2 | 𝑎𝑑𝑥 +2𝑎𝑒𝑥+𝑏𝑒−𝑐𝑑 ′ ) = (𝑑𝑥+𝑒)2 𝑎 | 𝑎2 𝑏1 𝑎1 𝑐1 𝑏1 | 𝑥 + |𝑎 | 𝑥 +| 𝑏2 𝑏2 𝑐2 (𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑥+𝑐2 )2 𝑐1 | 𝑐2 Trong viết tái liếu không tránh khói sai sót, mong các bán góp ý thêm ! thân ! 15 ... ng vớ i nhiều số (cặp số ) mà chi ̉ thườ ng chi ̉ là hoặc số (cặp số) V ́ số cộ ng câp ́ số nhân Câp ́ số cộ ng Câp Dãy số a1, a2, a3, … , an-1, an,… Vớ i công sai là d thì:... thực, b là phầ n ảo ❖ Chú ý : + số z =a là số thực + số z = bi là số ảo + số z = vừa là số thực vừa là số ảo ➢ Hai số phức bằ ng : hai số z = a + bi, và z’ = a’ + b’i... cách khác VII Số phứ c Công thứ c Euler Đinh ̣ nghiã và tin ́ h chấ t ➢ Số i : số i là số thỏa mañ t/m