BUI BAO CHAU - Sưu TAM ` wv Hinh cau: Sxq = 4rR7 Hình cầu V= mR S., = 2mRh =n{r +h’) Chỏm cầu Vv=rm? [R-2) 7n? +3r’) 3 6 ©_ Mặt cầu (S) ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ AC' Ì rz ;z—z Bán kính R=-— =2 a?+b?+c? w A ` ` A aA3 e© Đặc biệt: ABCD.AB°C”D' là hình lập phương cạnh a: R = > e Mat cầu (S) tâm I bán kính R, nội tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ canh a
Tam I là trung điểm của AC? (hoặc lấy trung điểm của đoạn thắng
Trang 2Hình trụ cụt s* Khoảng cách trong bài toán trụ : Bài 1 : Vị =rR”h, S.„ = 2mrh, S„ = 2zR (R +h)
e_ Thiết diện vuông góc với trục là đường tròn bán kính R e Thiết diện chứa trục là hình chữ nhật ABCD diện tích
S=2Rh
e Thiét điện song song với trục là hình chữ nhật AEFD có
khoảng cách giữa trục và thiết diện là d(OO',AEED) = OI Bài 2 : A, B lần lượt là các điểm trên các đường tròn đáy của
hình trụ ta có:
e_ Góc giữa AB và trục OO': (AB,OO')= A'AB
e Khoảng cách giữa AB và OO”: d(AB,OO') =O'H oO R A ¬ B E | | ! | Ae Ơ' TBF oo pe ee, ị — D ¢ Thé tich chop trong hinh tru :
se Gọi AB, CD là hai đường kính trên hai mặt đáy của hình „ABCDOO' sin(AB,CD) tru ta cd: Viscp = 1 * Dac biét: Néu AB LCD ta c6: Vagey = P —AB.CD.OO'
s* Bán kính mặt cầu ngoại tiép tru :
e Mặt cầu ngoại tiếp hình nón bán kính r đường cao h:
2 2 3
R= 124 va Veo =n Py
Vera 37V T4
Trang 3BUI BAO CHAU - Sưu TAM
mặt câu thì hình trụ có thê tích lớn nhất khi: bh? =2r? oh=rv2
Trang 4Hình nón : S,, =7Rl /'\ Hình nón thường Sip = AR (R + 1) / hi \ V= anh C 18) S.¢ =m(R+r) cS Hinh non cut Stp =nl(R+r)+7(R? +r’) V =-nh(R? +r?+Rr) s* Thiêt diện: s
e Thiét dién qua truc la tam gidc SAB cân tại S và Sap = Rh (h là chiều cao , R bán kính đáy)
e _ Thiết diện qua đỉnh không chứa trục là tam giác cân
SBC, thiết điện cắt đáy theo đây cung CB ta có: A 8
* Mặt cầu (S) tâm I bán kính R, ngoại tiếp hình nón bán h”“+rˆ
2h
e_ Trong các khối nón nội tiếp mặt cầu (S) tâm I, bán kính không đôi R Khôi nón có thê tích lớn nhât khi h= R,r=2Ý2 R Khi đó V, =22R? 3 3 81 kính r đường cao h: R =
+ Mặt cầu (S) tâm I, bán kính r nội tiếp trong mặt nón (Ñ) bán kính R, đường cao h, đường sinh I Ta có:
e Dung tam I:
Lay E € ACsao cho OC = OE
Trang 5BUI BAO CHAU
Trang 6
Hình nêm : Hình nêm V==R’ tan œ BN ¿` is \ ff \ V -[§-2)R' tan œ A Xy \ 2 3 Ny) Dién tịch Elip và Saip = Tab , _ oN Thé tich 4 Vay quanh 2a — 3 mabe ° - khối tròn xoay Np ⁄ 2 sinh béi Elip rouy qh 2» = 3 74 P
DIEN TICH HINH TRON -
Trang 7BUI BAO CHAU - Sưu TAM
MOT SO CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH
HINH CHOP DAC BIET
% Dạng 1: Cho hình chóp S4BC với các mặt phang(SAB),(SBC ).(%4C) vuông góc với
nhau từng đôi một, diện tích các tam giác S4, SBC, S4C lần lượt là S,,5,,55 A _ \J2.S,.5,.5, R Khi đó: Ứ, „„ = “12+ 3 / * Chứng mình: Đặt SA =a, SB =b, SC =c | sh Suy ra S, =5ab,S, = She ay =.ea B 2 E ab) 5 be l2 ca| 1 Va’b’c? _ 2 2 2 42-5 SS V5 pc = ge = 6 3 3
% Dạng 2: Cho hinh chép S.ABC cé Š⁄4 vuông góc với (4BC), hai mặt phẳng (SAB) va (SBC) vuông góc với nhau, BSC = Ø8: ASB = ø
Khi đó: V,,, = SB’ sin2a.tan B ~ -
12 Le
* Chứng mình: \
%4 = SB.cos ø `E
(S4B)và (SBC) vuông góc với nhau
Nên BC vuông góc (SAB) ` x^ <
Tam giác SBC vuông tại B nên BC = SB.tan Ø8 > 6, SBC = 5 SB.BC = 7 SB*.tan B
Trang 9BUI BAO CHAU - Sưu TAM
Câu 1: Cho hinh chép tam giác đều S.ABC co cdc canh day bằng, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30° Thê tích khối chóp S.4BC là: 3 3 3 3 A 48 B 24 c.233 24 p 23 36 Giải: a _# lan 8 _ avs => Chon D V —— S.ABC — 12
Câu 2: Cho hình chop SABC véi các mặt phẳng (S48).(SBC).(S4C) vuông góc với nhau
từng đôi một, diện tích các tam giác Š4B, SBC, S4C lần lượt là 15a?,20a?,18a? Thể tích khối chóp là: 3 3 3 A 20V3a? B 2 v20 3 c 2 v20 2 p 2 v20 6 Giải: J2.8,,555, Vs 490 =~ —— 20V3a> => Chon A
Câu 3: Cho hinh chép SABC với các mặt phẳng (S4B).(SBC).(S4C) vuông góc với nhau từng đôi một, diện tích cdc tam gidc SAB, SBC,SAC lần lượt là a?,2a?,3a? Thê tích khối chop là: 3 3 3 3 a, 2a'N3 2x3 c3 p, 2x20 3 " 3 `6 w Giải: _ 4 28,.5,.S, /2a”.2a?.3a? _ 2a°V3 3 3 3
Câu 4: Cho hình chóp Š4BC với các mặt phẳng (S4B).(SBC).(S4C) vuông góc với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác Š$4B,SBC,S4C lần lượt là 15a?,20aˆ,184? Thể tích khối chóp là: => Chon A 3 3 A 20V3a3 B 2 v2 c.Z 20 D 60V3a? Giải: 25 S S 2 2na? 3
_v c »S; _ V2.15a 20a 18a? _ 60a V3 903 »J3 => Chon A
Câu 5: Cho hinh chép SABC véi cdc mat phang (S4), (SBC).(S4C) vuông góc với nhau từng
đôi một, diện tích các tam giác %4B,,SBC, S4C lần lượt là a?,4a?,9a? Thể tích khối chóp là:
Trang 103 A 20A3a B V22” C 2424! p 2° 6 Giai: 4{ 29,5, S
Ve asc = —z =2V/2a? > Chon C
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC c6 5⁄4 vuông góc với (4BC), hai mặt phăng (S4B) và (SBC) vuông góc với nhau, S# = a3, 8S%C = 45°, ASB = 30° Thé tich khdi chép S.ABC là: aot g.2%6 a2 a3 C D 8 S 2 6 Giai: S$ ¬ a = ASB = 30°; f= BSC = 45° ry SB? sin2a.tan B 5.3.1 3q° aw À _ ` ee Vs Bc — — = => Chon A ‘~ * a 12 12 8 Nin B
Câu 7: Cho hinh chop S.ABC cé SA vu6ng géc với (4BC), hai mặt phang (SAB) va
(SBC) vuông góc với nhau, SB = a, BSC = 60°, ASB = 30° Thé tích khối chóp S.ABC là: are B a vs ‘ +2 a gì 43 F\ Œ.— D 8 72 | Giải: A-À— - SB’ sin 60 tan 60 a’ % y.„ ~ SBP sin 60 S2 — 4” — Chọn š
Câu 8: Cho hình chóp S.4BC có Š⁄4 vuông góc với (48C), hai mặt phẳng (S48) và (SBC)
Trang 11BUI BAO CHAU - suu TAM
Câu 9: Cho hình chóp S.4BC có Š⁄4 vuông góc với (48C), hai mặt phẳng (S48) và (SBC) vuông góc véi nhau, SB = 3a, BSC = 45°, ASB = 45° Thể tích khối chớp S.ABC là: 3 3 A.3Z" ng ae 8 4 | > 3 3 I1 c2 D 34" | \ GIải: # yo ee C Vs ABC — 58 sin22.tan p = 24 => Chọn B > | 12 4 B
Câu 10: Cho hinh chép S.ABC cé SA vuéng géc véi (ABC), hai mặt phang (SAB) va (SBC)
vuông góc với nhau, ŠB = 2a, BSC = 60° ASB = 45° Thé tích khối chớp S.ABC là: 3 ~ At B a’ J6 * 7 8 8 | đà C 2a°V3 D a3 | \ 3 72 \ - v - 8-sin 20 tang0 _ 8a a Al3 _ 243 ¬ Chọn N | B
Câu 11: Cho hinh chop déu S.ABC có đáy 4BC là tam giác déu canh bang a, canh bén
bang a Thể tích khối chóp S.ABC la: S 3 3 \ a 23 24 p 22 12 Ái 7 3 3 o 2x2 24 p 23 12 A ee C ` Giải: X6 a2 Bo
a=b>V, sac “TO Chon B
C4u 12: Cho hinh chop déu S.ABC c6 day ABC 1a tam gidc đều cạnh bang a, canh bén
Trang 12a’ 3b? —a? 42411
V5 anc = 12 3 2a =b=> Vs snc = —TT— => Chon D
Câu 13: Cho hình chóp déu S.ABC có đáy 4BC là tam giác đều cạnh bằng 34 , canh bén
bing sa Thể tích khối chóp S.ABC là: 2 2 3 2 A.32ˆ42 g.212 9a° V2 p, 22 C 12 16 = 3 Giải: a’ 3b’ —a’ | 1 | “ 1 HH 2 2 2 | | B (?] l3 2 2) \2 ._ Pee Vo apc = 12 = B v2 = sav => Chon C ;
Câu 14: Cho hinh chop déu S.ABC cé đáy 4BC là tam giác đều cạnh bằng ^/2z, cạnh bên
bang z Thể tích khối chóp S.ABC 1a: 3 3 3 3 A.2 3 B — ava 2.43 C D 24 6 24 12 Giai: s V's.aBe =~ fi’ 2 2 TK [v22] 3(a) -(V2a] 3 eo PG ee Vs anc = S.ABC 12 -" = ChọnB 6 Ũ ° B
Câu 15: Cho hình chóp đều S.4BC có đáy 4BC là tam giác đều cạnh bằng 2ø, cạnh bên
băng 2z Thể tích khối chop S.ABC là: A 2d!4l2 a2 a2 a3 B C D 3 12 24 12 Giải: SỈ a’ 3b? —a* Vs apc = — Dp § 2 2 2 ates: L - mecca
2a) {3(2a) —(2a 3 ~~
Vs apc = ( ( 12 ( = (2a) v2 _ 2a N2 12 v2 => Chon A 3 k | oe
Câu 16: Cho hình chóp tam giác đều $.48C có cạnh đáy bang a va mat bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60° Thê tích khối chóp S.ABC la: Ạ
Trang 13BUI BAO CHAU - Sưu TÂM a3 3 A B 48 24 3 3 c.z'13 p & 24 1 Giai: a’ tan 60° a3 Vs apc = 2 24 = Chon C
Câu 17: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cé canh đáy bằng 2z và mặt bên tạo với mặt
phăng đáy góc 60° Thẻ tích khối chóp S.ABC là: 3 3 S A.# 3 B Ậ 3 24 F in 3 3 c.z'13 p & , 12 12 Z ` " ANS 45 À ( Giải: - Íe + 3 0 3 N~ ~ M Vs apc = (24) 60 4 v3 = Chon A B
Câu 18: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC co canh day bang a và cạnh bên tạo với mặt phăng đáy góc 45° Thể tích khối chóp S.ABC là: 3 3 3 3 A! v3 48 B 24 c.4 v3 24 D.“— 12 Giải: >a atan 45° a HẠ Vo inn = —— — S.ABC 24 == — => Chọn B 24 v | “—M B
Câu 19: Cho hình chóp tam giác đều S.4B8C có cạnh đáy bằng 34/2a và cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy góc 45° Thẻ tích khối chóp S.ABC 1a: a3 a° *h A 48 B 24 3 3 c.2'3 24 D — 12 Xecszsenppedeed regi, nena d>¢ * Giải: HH ` Í — M 12a) tan45°_ a” *“ Vs go =§ = Chọn D B
Câu 20: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 34/4z và cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy góc 60° Thê tích khối chóp S.ABC 1a:
a3 48 Bế 24 “+
Trang 14
a3 a’ 6 12 C Giải: Vs apc = _ (4a) tan60° - a3 » => Chon C «6
Cau 21: Cho hinh chop tam giac déu S.ABC co cac canh bén bang a và cạnh bên tạo với mặt phăng đáy góc 60” Khi đó: a’ J6 3 3 3 h A Ba 6 32 ị Cea p 23 fy A % ` r nee C Giải: Cha ví ” M 3 0 2 -a0 | Vs apc = 3a sin 60" cos’ 60 33 => Chon B 4 32 B
Cau 22: Cho hình chóp tam giác đều S.4BC có các cạnh bên bằng a và cạnh bên tạo với mặt phăng đáy góc 45° Khi đó: z`V6 6 6 4 v6 ga" D v6 a 16 8 — A B Giải: NG FES 3 4: 0 2 0 | Ve ae = V3a?.sin 45° cos? 45 _N6 3 => Chọn C B 4 16 Cau 23: Cho hình chóp tam giác déu S.ABC có các cạnh bên bằng 2a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30” Khi đó: 33 a’ V2 yN A B 4 2 3 0.934 p 4 v3 | | 4 3 A:4: eee Giải: ee Fễ —~ a 3 4: 0 2 0 ~
Ve me = V3(2a) = cos’ 30 _ ae a => Chon A B
Câu 24: Cho hình chóp tam giác déu S.ABC co cac canh bén bang 3a va canh bén tao voi mặt phẳng đáy góc 45° Khi do:
a6 z B —g— 8 27V6 3 JIN `
Trang 15BUI BAO CHAU - Sưu TAM c.216 „ D 7⁄6 „ 16 16 Giải: 3 43 0 2 0 Ve me = V¥3(3a) sin 45° cos’ 45 _ 27V6 a’ => ChọnC 4 16
Câu 25: Cho hình chóp tam giác đều S.48C có các cạnh bên bằng 2ø và cạnh bên tạo với
mặt phăng đáy góc 60° Khi đó: S Ag’ B Tựa 2 4 C.2a' D 34 2 4 \ F HS EA Giai: CTC 4 3 43 0 2 0 Ve me = V3(2a) = cos’ 60 _ aa => Chọn D
Câu 26: Cho hình chóp tứ giác đều S.4B8CD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng z, và SA =SB=SC = SD =a Thé tich khéi chép S.ABCD là:
a’ J6 a’ J2 a’ /2 a’ /3 A B C D 6 6 6 3 Giai: 2 [2 9,72 3
V S.ABCD _4 ¿a 6 —2a = v2a 6 => Chon C
Câu 27: Cho hinh chop tit gidc déu S.ABCD cé day ABCD 1a hinh vuéng canh bang a, va SA =SB=SC = SD =2a Thé tich khéi chop S.ABCD 1a:
a’ J6 a’ 14 a’ 14 a’ /3 A B C D 14 6 14 3 Giải: ?.l4(2a)?—2a?” All4a) Vs xgcp = ¿ 4t : “= vise —> Chọn B Câu 28: Cho hình chóp tứ giác đều S.4BCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng ^/3a, và Š4= $B =.$%C =.$D =^J2a Thể tích khối chóp S.4BCD là: a6 aJ2 aJ2 a3 A B C D 6 2 6 3 Giải: 2 4 2 2 _ 2 2 3 Vo nen =— {4(420)ˆ S.ABCD 6 =2(J34) -122` _ Chọn C 6
Câu 29: Cho hình chóp tứ giác đều S.4BCD có đáy 4BCD là hình vuông cạnh bằng a, va
SA=SB=SC =SD=~2a Thé tich khéi chóp S.4BCD là:
Trang 163 3 3 3 a6 6 B 2 v2 2 c.2 v2 6 D 2 v3 3 Giải: 2 2 4,2 3 a Vac) 2a = ¬> Chọn A Vs aBcp ~ A Câu 30: Cho hình chớp tứ giác đều S.4BCD có đáy 4ABCD là hình vuông cạnh bang a, va S4 =.SB = SC = SD = sa Thể tích khối chóp Š.4BCD là: 3 3 3 3 A.— 8 p 22 2 c.42 6 D — 6 Giai: a’ [42 ay’ — 2a’ a Vs apcp =——“——**% => Chon D
Câu 31: Cho hình chóp SABC voi cdc mat phang (SAB),(SBC),(SAC) vudng géc véi nhau
từng đôi một, diện tích các tam gide SAB, SBC,SAC lần lượt là 4(cm?),9(cm?)_ 18(em) Thể tích khối chóp là: A 12 B 18 C 36 D 8 Giai: NV 55.8 Ta có: Ứ ee 12(cm’ ) = Chon A 3
Câu 32: Cho hình chóp SABC véi cdc mat phang (SAB),(SBC),(SAC) vudng géc với nhau
timg ddi mot, dién tich cdc tam gidc S4B,SBC,SAC 1an luot 1a 15a(cm’),3a(cm’), 6a(cm’) Thể tích khối chớp là: 3 3 A a’ V15 B 2 20 c 4 20 a’ /20 6 D Giai: {25,5,S Ta cé: V, a = — =a?J15 => Chon A
Câu 33: Cho hinh chép SABC véi cdc mat phang (S4B).(SBC).(S4C) vuông góc với nhau
từng đôi một Diện tích các tam giác S4B,SBC,SAC lần lượt la 2a(cm’),
Trang 17BUI BAO CHAU - Sưu TAM Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số đương ta có: [2a+(2-a)+(2—a)} 2 y _ 4(2.2a(2—a).(2—a) { 27 _ 846 S.ABC ` 3 3 2” Vậy thể tích lớn nhất có thể của khối chóp là (cm) — Chọn A
Câu 34: Cho hình chóp S.4BC có $⁄4 vuông góc với (.4BC), hai mặt phẳng (SAB) va (SBC)
vuông góc với nhau, SB = 3, BSC =30°, 4B = 60° Thê tích khối chop S.ABC là: S A ` B 3 C.12 \».D.ó6 Giải: \ ` 3`.sin 120.tan 30 ao 9 oe Ta có: Vu _ SIn 5 an — 12 3 =3 => Chon A ey sa B ,
Câu 35: Cho hình chớp S.ABC cé SA vuông góc với (4BC), hai mặt phăng (S48) và
(SBC) vuông góc với nhau, SB = a^/3, BSC = 45°, ASB = 30° Thé tich khéi chép S.ABC là: 3 3 3 3 Ane 8 p 4 v6 8 c2 2 p.2 6 Giai: 3 0: 3 Ta 06: Ve ano = SB’ sin2a.tan B _ 3a => Chọn A 12
Câu 36: Cho hình chóp S.4BC có SA vuông góc với (ABC), hai mặt phang (SAB) va
(S8C) vuông góc với nhau, SB =6(cm), BSC = 45° Tim géc ASC dé thé tich khéi chop S.ABC là9 (cm) A.15° B 45° C.75° D Cả A và C Giải: 3 SĨ 3 SỈ 0 a=15° Ta 06: Vemne = SB’ sin2a.tan B 95 6°.sin 2a tan 45 =9 — sin 2œ 1 | 12 12 2 |z=7# = Chon A
Cau 37: Cho hinh chop tam giac đều S.ABC cé cac canh bên bang 2 và cạnh bên tạo với mặt
Trang 18Câu 38: Người ta làm một cái hộp hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng a (m) va canh
bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60° Tìm ø để thể tích khối chóp là 6(m ) ?
A.4 B 6 C.8 D 2
Giai:
V3b’.sin Bcos’ 8 _ ¥3a’.sin 60° cos? 60°
4 4
Cầu 39: Cho hình chóp tam giác đều S.48C có các cạnh bên bằng 4 và cạnh bên tạo với mặt phăng đáy góc /ở Thẻ tích lớn nhất có thể của khối chóp S.ABC là: Ta 66: Vy azo = =6=>a=4(m)=> Chon Aa 3 B 12 C.9 p S 3 Giải: 3 45 2 Ta có: Ứ; „„ = —=- =16V3.sin B cos” B Dat sin B =t => cos’ B=1-0 => Vy ye =16V3.t(1-27) Xét hàm số #)=¿:(I-#)> #')=1-3# suyra ƒ'(?)=0©>/= to Ta có: (| “5 -ns{ {5} [ Frc Of Ve == (n') = Chon A C4u 40: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC co canh day bang a và cạnh bên tạo với mặt
phăng đáy góc 60° Thẻ tích khối chóp S.ABC là: 2.43 48 B= 24 ¢, £3 12 _ 12 Giai: A 3 3 Ta có: ^ an2 _# V3 => Chon C 12 12 Câu 41: Cho hình chớp tam giác đều S.ABC cé canh đáy bằng 6 (cm) và và mặt tạo với mặt phẳng đáy góc Z Tìm ø để thể tích khối chóp S.48C là9x/3 (cm” A.30° B 45° C.60° D 28° Giải: a’tana 6 tana 24 24
Câu 42: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC c6 cdc canh day bang, canh bén tạo với mặt
Trang 19BUI BAO CHAU - Sưu TAM
a’.tan B — a3
12-36
Câu 43: Cho hình chóp tứ giác đều S$.48CD có đáy 4BCD là hình vuông cạnh bằng 4, và SA =SB=SC =SD =3 Thé tich khéi chép S.ABCD là: Ta c6: Vo „„e = => Chon D a8 3 p, 10 3 c, 16 3 p, 26 3 Giai: , aV4b?-2a 443-242 16, ,
Ta có: Vo aac = 6 = 6 == (om ) = Chon C
Câu 44: Cho hình chóp tứ giác đều S.4BCD có đây ABCD 1a hinh vuéng canh banga, va
SA = SB =SC = SD =a Thé tich khối chóp S.4BCD là: 3 3 3 3 A.# v6 g 22 c.z2 p.22 6 2 6 3 Giải: 2 lJAp2 _ 22 3 Ta có: Vo ac = a — 2a = va => Chon C
Câu 45: Một cái hộp hình chóp tứ giác đều S.4BCDcó đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng z, và SA = 9B = SC = SD = A3 Thể tích lớn nhất có thể của khối chóp S.48CD là: A.2 B.Ầ 3 C.Š 3 D 3 Giải: ?4|4b? —2a7 _ a?412—2a? 6 6 Ta co: Vo yao = (12-7)¢ at V12-2a” =1(0<t<Vi2) = 2a” =12-P => Vy „e = 5 Xét hàm số ƒ (7) =(12- ?)t=> f'(t) =12-3/ suyra f'(t)=0 t= +2
Taco: f(2)=16= max | f f (-2);f (2)3f f(0);,£(Vi2)} => V max =" ==(m") => Chon B C4u 46: Cho hinh chop déu S.ABC có đáy 4BC là tam giác đều cạnh bang a, canh bén
Trang 20Câu 47: Cho hình chóp đều S.4BC có đáy 4BC là tam giác đều cạnh băng 4 (cm ), cạnh bên bang 8 (cm ) Thể tích khối chóp S.4BC là: A 1143 B 16/11 C 12/2 : ° D 12 24 3 11 Giai: 2 lạp2 — 2 Ta 06: Vy ipo = — ~ a= Bài (cm’) => Chọn B
Câu 48: Người ta làm một cái hộp hình chóp đều có đáy là tam giác đều cạnh bằng z (m)
cạnh bên băng 4 (z ) Thể tích lớn nhất có thể của hộp là: A.2 B 2 3 C.Š 3 D 3 Giai: Ve a3b’-a a N48-a 12 12 t( 48-7" Đặt t= V48—a?(0 <1 <4V3) > a? = 48-2 oy (8) Xét hàm số ƒ() = /(48—?)=> ƒ'Œ)= 48—3 = 0 © + = +4 32 Ta có: fig = ƒ(4)=~— khi a =2 => Chọn B Câu 49: Cho hình chớp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, góc hợp giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60” Tính thể tích hình chóp đã cho a3 a3x|3 a3 a° V3 2 A B C D 6 1 A 3 Giai: z°tanz _ ø °tan60 _ a3^l3 12 12 12
Trang 21BUI BAO CHAU - Sưu TAM a3-V2 B a’ V2 a3-V2 a3-V2 24 ' 412 6 2 Giải: A V= V2 tana _ a? V2 tan 45 _ a? V2 với x là độ dài canh day > Chon C 6 _ 6 — 6
Câu 52: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy là a, góc hợp giữa mặt bên và mặt đáy băng 60” Tính thể tích hình chóp đã cho a`43 6 g 213 3 c3 12 p, v3 4 Giai: A zc tana a’ tan60 _ a3^|3 6 6 £6
Câu 53: Cho hình chóp S.ABC với các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SAC) vuông góc với nhau từng đôi một Tính thể tích hình chóp S.ABC, biết điện tích diện tích các tam giac SAB,
SBC và SAC lần lượt là 4ø”, a” va 9a”
A 2a? B 3\3a2 C 20/32 D 3\2a°
Giải: V = 25) 5, 5; _ 12.4a”.a”.0a?
3 3
Cau 54: Cho hinh chép S.ABC có SA vuông góc voi day, hai mat bén (SAB) va (SBC)
Trang 22Cau 56: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên băng 3a , cạnh bên tạo với mặt phẳng một góc 60° Tính thê tích hình chóp S.ABC 9aŠ V3 9a" V3 9a° V3 9a” V3 A B C D 24 12 16 32 Giai: 3
3 os 2 V3 (v3a) sin 60 cos? 60 3
V = Vy” sin @.cos? a _ _ 8a`v3 y là độ dài cạnh bên
4 4 32
=> Chon D
Câu 57: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ đài cạnh đáy bằng 2ø, cạnh bên bằng
2/20 Tinh thé tich hinh chép S.ABCD
5a?V6 AaŠ^|6 4a” V6 2a" V6 A 12 B 3 C 12 D 3 Giải: 2 2 2 2a mm —9.(2a y2 â4U -2z _ (22) 6 6 (22) _ 4a°V6 x 1à độ đài cạnh đáy, y là độ 3 đài cạnh bên > Chọn B
Câu 58: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng Na, SAB = 60° Tinh thé tich hinh chop S.ABCD
a3^|6 203-16 aV6 3a3^/6 4 A B C D 2 3 4 Giải: 3 [2 ya lantz_1 (3a] tan 60-1 „3J6 6 6 2 x là độ dài cạnh đáy, y là độ dài cạnh bên, „ e l4] = Chon A 4 2 Cau 59: Cho hinh chop tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng 2a, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là 30° Tính thể tích hình chớp S.ABCD 3203/7 B 3203/7 C 3203/7 D 39a3^|7 7 49 13 21 Giải: y - 4y* tana _ 4(2a) tan 30 _ 3203/7
3y(2 + tan” a) 3 (2 + tan” 30) “9
A
Trang 23BUI BAO CHAU -
¢ Dang 2: Tinh ban kin mat cau
Cau 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt
phing day va SC = V3a Ban kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: có V3a p_ 234 6 3 A N34 p, V3 4 2 Giai: d V3a với hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thăng d nôi 2 đỉnh còn lại dưới một re ys ¬ — ay ` 3 ke ; ` ¬ ee h = —==- 2 2 góc vuông > Chọn B
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mat phang
đáy và SC = V2a Ban kinh mat cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 1a: 2 6 2 4 Giải: pute v2a với hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thắng d nối 2 đỉnh còn lại dưới một 2 góc vuông > Chon A Câu 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = 2a, có độ dài canh bên bằng-/6a Bán 3av53 D 2aV29 22 19 kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: 3a\51 B øA|41 C 17 `9 A Giải: (Ws} 3av51
với k là độ đài cạnh bên, h là chiều cao, x là độ dài cạnh đáy > Chọn A
Trang 24với z là độ dài đường chéo, Rạ là bán kính đáy của hình chóp, h là chiều cao, R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp > Chon D
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: a oye 3 p, 2x8 4 C 2av'3 3 D avs 2 Giai: 3 3 2 với x là độ dài cạnh đáy, Ra là bán kính đáy 2 2 v : J? R= R + ~ = GÌ = 2av3 của hình chóp, h là chiều cao, R là ban kính 3
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp > Chon C Cau 6: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có BC = V3a ,sA= NT
và vuông góc với mặt phăng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
A.al5 g Y5 c “Y3 D wb
véi 1 14 d6 dai canh huyén của đáy, Ra là bán kính đáy của hình chóp, h là chiều cao, R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp > Chon B
CÔNG THỨC GIẢI NHANH
MỘT SỐ BÀI TOÁN OXYZ
Trang 25BUI BAO CHAU - Sưu TÂM Az, + By,+Cz,+D M (2454532) k=- ° 2 : 2 D PÌ:Az+Dyu+Œ+D=0 A+B +0 (P): Az+ Bụ + Œ + D = M'(a, + 2Ak;y, + 2Bk; 2, + 2C)
Với M? là điểm đối xứng của M qua (P) Suy ra u[-4:-2,-3} => Chon D
Bai tap ap dung
Cho diém M (2;1;3) va mat phang (P) :—1+z—1= 0 Tìm tọa độ điểm đối xứng của M qua (P)
A M(-1,2;1) B 2⁄(0;3;—1) C M (0;1;-2) D M (0;3;1)
Trang 26% Bài toán tính nhanh khoảng cách: ( Tác giả: Lương Đức
Trọng )
KHOẢNG CÁCH
TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
A Tóm tắt lý thuyết:
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phăng (SBC) là
d(A;SBC) được tính nhanh theo công thức sau: 1 _ 1 (-k} [a(A,SBc)| [d(A,Bc)[ h = SH là đường cao hình chóp và k= w 1.Nếu H=A thì k=0 2.Nếu AH//BC thì k=0 3 Nếu H =1, tức là HeBC thì k= 1
4 Nếu H là trung điểm AB hoặc AC thì k= -
5 Nếu H là trong tam A ABC thi k = =,
B Cac dang bai tap:
Trang 27BUI BAO CHAU - sưu TẦM
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a Khoảng cách
giữa đường thăng AD và mặt phẳng (SBC) là:
A 2⁄6 p, 2v6 c ay2 p 2x3
6 3 2 2
Giai:
1 d(A,BC)=a
2 H là trực tâm của hình vuông ABCD nên H là trung điểm AC Do đó k= 2
3, AH =—AC="S2 = h= SA? — AH? =
1 l
— 2 +
[d(A,SBC)] a
Vị dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D có AB = 2AD =
2CD, SA vuông góc với đáy (ABCD), Góc giữa SC và đáy bằng 60” Biết khoảng cách từ
i 4 => = 4(AD,SBC)=d(A,SBC)="*" = Chon B 4 2a" 2a 3 B đến (SCD) là Ê — , khi đó tỉ số ~sanon bằng a A3 2 p, Vo 3 c.x6 2 p2 3 Giải: Đặt AD = x thì CD =x, AB = 2x 1 SA L(ABCD), BA ||CD nên k= 1 2 d(B,CD)= AD =x 3 AC=VAD? + DC? =xJ2 > h=AC.tan 60° =xVJ6 2 >= KL 1 7 ap scp)- 22 2 5 x [d(B,SCD)| [d(B,cD)] bh x 6x 6x 7 7 3 3
=> Vascp =Th§ „men =6 x(x+2x) == vs == vs => Chon C
Trang 283 n_ 23 2 1 _ 1 ut 1 4 4 8 aa spc) = 5 chond [d(A,SBC) | [d(A,BC) | 2 a 43a? 3a? 5 5 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG zx JS yf
A Tom tat ly thuyét:
Khoảng cách giữa SA và BC được tính nhanh theo công thức sau: ma [a(SA,BC)] [a(a,Bc)]
véi h = SH la dudng cao hinh chép va k = =
1.Néu H=A thik=0
2 Néu AH||BC thì k= 0
3 Néu H=I, thik=1
4 Nếu H là trung điểm AB hoặc AC thì k= *
5 Nếu H là trong tam A ABC thi k = =,
B Cac dang bai tap:
Trang 29BUI BAO CHAU - Sưu TAM
1 _ 1 „k_ 4 1 _ kh 4 1 13 3aV13
[d(SB, AC) ] [d(B, AC)] h? 3a* 9a? 9a? 13
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Khoảng cách giữa SB và AD băng: = d(SB, AC) = => Chon B A23 3 g.243 2 c.^⁄4 4 p.23 6 Giải: 1 đ(A,BC)= AB=a 2 H là trung điểm AB nên k=— 3.n=2/3, 2 2
a R11 4 4 agp ap)-™3 Schon
[d(SB,AD)| [d(B,AD)} hb’ a 4 3a° 3a 2
Ví dụ 7: Cho lăng trụ ABC.A°B°C' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A”
3
xuống (ABC) là trọng tâm tam giác ABC Biết thê tích của khối lăng trụ là a'3 Khoảng cách giữa hai đường thắng AA' và BC là: a = 3 B 2 c, 2 3 D = 4 Giải: 1 d(A,BC) = avs 2 Hinh chiéu cia A’ xuéng (ABC) la trong tam A ABC nén k = = a3 3.h—- BE 4g Say a143 4 1 1 kh” 4 4 1 _ 16 3a 2— 2712 a2 na 7 =a 7 = d(AA',BC) =— = Chọn D [|d(AA,BC)[ |d(A,BC)[ h 32 2a 9a 4
Trang 30Chon (SAB) 1L (ABC) thì hình chiếu của S xuống (ABC) là H, trung điểm AB 1 AH||CD nên k= 0 2 ¬.- 2 3V 3a 2S S 2V3a2 3.8 ABCD = = 1 av3 =243a? > d(A,CD) = —A® = PABcD — v3a ( ) CD AB a = 2/3 3a 2 1 = 1 +—=——+=.d(SA,CD)=2a43 = Chọn k1 A [a(SA,CD)] [d(A,cD)[ hẩ 12a \
¢ Cong thirc tinh nhanh tam đường tròn nội tiếp tam giác
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có:
A(XA:YA;X4 )› B(X;;Yp:Z;s) C(ÍXc:Yc:Zc) -
Khi tâm I(x,;y,;z,) của đường tròn nội tiếp tam giác ABC được tính nhanh như sau: R _ ĐCx, +CA.xX; + AB.X, AB+BC+CA ly,= BC.y, +CA.y, + AB.y, AB+BC+CA xe BC.z, +CA.z, + AB.Z, Eo AB+BC+CA
¢* Céng thire tinh nhanh tìm hình chiếu của điểm trên mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) :Ax+By+Cz+D =0 và điểm
M(x 93 ¥o3Z, )- Goi H là hình chiếu của điểm M trên (P) thì tọa độ điểm H được xác định
Xu =Xự + At
Ax, + Byy, + CZ, 2)
bởi công thức: 4 y, =y, + Bt, trong dé t= -( A?+B?+Œ?
Zy =Zy +Ct
$* Công thức tính nhanh tìm điểm đối xứng qua mặt phang
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz„, cho mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D =0 và điểm
M(%ạ;yạ;zạ) Gọi M' là điểm đối xứng của M qua (P) thì tọa độ điểm M? được xác định
Xụ: =Xụ +2At
Ax,, + Byy +Czy )