sở giáo dục và đào tạo hànội kỳ thi học sinh giỏi thành phố (Vòng I) Năm học 1998-1999 . Ngày thi: 9 -12- 1998 Môn thi: Toán lớp12 Thời gian làm bài: 180 phút ______________________ Bài I ( 5 điểm ): Cho họ đờng cong (C m ): y=x 3 -3x 2 +mx+4-m ( m là tham số ) Đờng thẳng (d): y=3-x cắt một đờng cong bất kỳ (C) của họ (C m ) tại ba điểm phân biệt A,I,B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại B của (C) lần lợt cắt đờng cong tại điểm thứ hai là M và N. Tìm tham số m đểtứ giác AMBN là hình thoi. Bài II ( 5 điểm ): Giải hệ phơng trình e x y x y x y x y = + = + < < sin sin ( ) ; 10 1 3 2 5 4 6 4 Bài III (5 điểm ): Chứng minh bất đẳng thức 1 1 4 1 1 8 1 1 12 2 + + + + > cos cos cosa a a Với a làm vế trái có nghĩa Có thể thay số 2 ở vế phải bằng một số vô tỷ để có một bất đẳng thức đúng và mạnh hơn không? Bài IV (5 điểm ): Cho hai đờng tròn thay đổi (C) và (C) luôn tiếp xúc với một đờng thẳng lần lợt tại hai điểm A và Acố định. Tìm quĩ tích giao điểm M của (C) và (C) biết rằng chúng luôn cắt nhau dới một góc cho trớc ( là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đờng tròn tại M ). ___________________________________________ Họ và tên thí sinh: Phòng thi: . Số Báo danh: sở giáo dục và đào tạo hànội kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12 (Vòng I) Năm học 1999-2000 . Ngày thi: 11 -12- 1999 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút ______________________ Bài I (5 điểm) Cho hai hàm số f(x)= x1 x + và g(x)=arctgx 1. Chứng minh đồ thị của chúng tiếp xúc nhau. 2. Giải bất phơng trình: f(x)g(x)+x Bài II (5 điểm) Cho tam giác ABC thoả mãn: 3 2 2 c 2 b 2 a 2 C gcot 2 B gcot 2 A gcot)abc( )gCcotgBcotgA(cot3 )mmm(4 = ++ ++ (m a , m b , m c là 3 trung tuyến ứng với 3 cạnh a, b, c ; A, B, C là 3 góc của tam giác) Chứng minh tam giác ABC đều. Bài III (5 điểm) Tìm tham số a sao cho phơng trình: )2ax)(3410a5x( a42x)2a(2xx4 44a log 2 22 1 +++ + ++ = 0 có ít nhất một nghiệm nguyên. Bài IV (5 điểm) Trong hệ toạ độ trực chuẩn xOy cho đờng tròn (C) có phơng trình: x 2 +y 2 =4 1. Tìm tham số m để trên đờng thẳng y=m có đúng 4 điểm sao cho qua mỗi điểm đó có hai đờng thẳng tạo với nhau góc 45 0 và chúng đều tiếp xúc với đ- ờng tròn (C). 2. Cho hai điểm A(a; b), B(c; d) thuộc đờng tròn (C) chứng minh: 63bdac43dc43ba4 ++ ________________________________________________ Sở Giáo dục và Đào tạo HàNội Kỳ thi chọn đội tuyển lớp12 thành phố tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2000-2001. Môn thi: Toán Ngày thi: 29 tháng 12năm 2000 Thời gian làm bài: 180phút ______________________ Câu I (4 điểm): Cho các số thực a 1 , a 2 , . ,a n ; b 1 , b 2 , . , b n ; c 1 , c 2 , . , c n thoả mãn điều kiện a i >0 và a i c i b i 2 , i=1, 2, 3, ., n. Chứng minh rằng: (a 1 +a 2 + .+a n ).(c 1 +c 2 + .+c n )(b 1 +b 2 + .+b n ) 2 Câu II (4 điểm): Gọi N * là tập hợp tất cả các số nguyên dơng. Hãy tìm tất cả các hàm f : N * N * thoả mãn điều kiện: + =+ lẻ n nếu12n chẵn n nếun )n(f))n(f(f 12 Câu III (4 điểm): Một hình lập phơng kích thớc 8x8x8 đợc chia thành lới các hình lập ph- ơng đơn vị. Ta gọi một cột của lới là một hình hộp chữ nhật với các cạnh nằm trên các đờng lới có kích thớc là: 1x8x8 hoặc 8x1x8 hoặc 8x8x1. Chứng minh rằng ta có thể đánh dấu 64 hình lập phơng đơn vị sao cho trong 8 hình lập ph- ơng đánh dấu tuỳ ý có 2 hình lập phơng cùng nằm trên một cột và trong bất kỳ một cột nào đều có 8 hình lập phơng đợc đánh dấu. Câu IV (4 điểm): Cho P(x) là một đa thức bậc n với hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt trong khoảng (1; ). Giả sử Q(x)=(x 2 +1).P(x).P(x)+x.{[P(x)] 2 +[P(x)] 2 }, xR Chứng minh rằng đa thức Q(x) có ít nhất 2n-1 nghiệm thực phân biệt. Câu V (4 điểm): Cho tam giác ABC. Giả sử P là một điểm di động trên đoạn thẳng AB, Q là một điểm di động trên đoạn thẳng AC. Gọi T là giao điểm của hai đoạn thẳng BQ và CP. Hãy tìm vị trí của P và Q sao cho PQT có diện tích lớn nhất. ________________________________________________ sở giáo dục và đào tạo hànội kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12 (Vòng I) Năm học 2001-2002 Môn thi: Toán Ngày thi: 8 -12- 2001 Thời gian làm bài: 180 phút ______________________ Bài I (4 điểm) Cho hàm số y=x 4 -2m 2 x 2 +n Tìm giá trị của các tham số m và n, để đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trị là các đỉnh của một tam giác đều ngoại tiếp đợc một đờng tròn có tâm là gốc toạ độ. Bài II (4 điểm) Tìm tất cả các giá trị của a và b thoả mãn điều kiện: 2 1 a và 1 b a > sao cho biểu thức P= )ba(b 1a2 3 + đạt giá trị nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài III (4 điểm) Giải bất phơng trình: 1x2 6 1x xlog2 3 < + Bài IV (4 điểm) Tìm tất cả các giá trị của x, để với mọi giá trị của y luôn tồn tại giá trị của z thoả mãn: sin(x+y+z)= 2 1 y + cos(2x+ xcos2 2 3 y ) 3 + Bài V (4 điểm) Cho Elip (E) có 2 tiêu điểm là F 1 và F 2 . Hai điểm M, N trên (E). Chứng minh rằng 4 đờng thẳng MF 1 , MF 2 , NF 1 và NF 2 cùng tiếp xúc với một đờng tròn. sở gD-ĐT hànội kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12Năm học 2002-2003 Môn thi: Toán Ngày thi: 7 -12- 2002 Thời gian làm bài: 180 phút ______________________ Bài I (4 điểm) Cho hàm số y= 2x 3x)m121(mx 22 + +++ Tìm giá trị của tham số m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tiếp xúc với đ- ờng tròn có tâm I(0; 1) và có bán kính lớn nhất. Bài II (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh bất đẳng thức tg 5 A+ tg 5 B+ tg 5 C 9 (tgA+tgB+tgC) Bài III (4 điểm) Tìm quỹ tích điểm M(x; y) có toạ độ thoả mãn hệ: = =++ ysinx.33y7cosycos x314xx 35 Bài IV (4 điểm) Tìm tham số a (a 0) để bất phơng trình a 3 x 4 +6a 2 x 2 -x+9a+3 0 nghiệm đúng với x [2008; 2009] Bài V (4 điểm) Trong hệ toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phơng trình: xy=k 2 (k0). Một đờng tròn (C) tâm J cắt (H) tại 4 điểm A 1 , A 2 , A 3 , A 4 . Chứng minh: 1. Nếu J thuộc A 1 A 3 thì O thuộc A 2 A 4 2. Các trực tâm của 4 tam giác A 1 A 2 A 3 , A 1 A 2 A 4 , A 1 A 3 A 4 , A 2 A 3 A 4 cùng nằm trên một đờng tròn. sở gD-ĐT hànội kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12Năm học 2003-2004 Môn thi: Toán Ngày thi: 5 -12- 2003 Thời gian làm bài: 180 phút ______________________ Bài I (4 điểm) Biện luận theo tham số a số nghiệm của phơng trình: (n+2)x n+3 - 2003(n+3) x n+2 + a n+3 = 0 ( với n là số tự nhiên lẻ) Bài II (4 điểm) Cho đờng cong (C) có phơng trình y = - x 4 + 4x 2 - 3. Tìm m và n để đờng thẳng y = mx + n cắt đờng cong (C) tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D ( theo thứ tự ) sao cho AB = CD = BC 2 1 . Bài III (4 điểm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi R và R lần lợt là bán kính của đ- ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và đờng tròn ngoại tiếp tam giác có độ dài 3 cạnh là GA, GB, GC. Chứng minh rằng nếu có : 9R = 2R(sinA + sinB + sinC) thì tam giác ABC đều. Bài IV (4 điểm) Giải các phơng trình: 1) 2cosx + sin19x - 5 2 = sin21x - 3 2 sin10x 2) 32x 5 - 40x 3 + 10x - 3 = 0 Bài V (4 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) : y 2 = 2px (p > 0), tiêu điểm là F. Từ một điểm I kẻ 2 đờng thẳng tiếp xúc với (P) tại M và N. 1) Chứng minh rằng FIM đồng dạng với FNI . 2) Một đờng thẳng (d) tuỳ ý tiếp xúc với (P) tại T và cắt IM, IN tại Q và Q. Chứng minh rằng FT 'FQ.FQ không phụ thuộc vào vị trí của (d). sở gD-ĐT hànội kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12Năm học 2004-2005 Môn thi: Toán Ngày thi: 3 -12- 2004 Thời gian làm bài: 180 phút ______________________ Bài I (4 điểm) Cho hai hàm số 12x2004x 3 m )x(g;1x 5 4 mx)x(f 3 2 54 =+= có đồ thị là (C) và (C). Hãy tìm tham số m để tồn tại 4 đờng thẳng khác nhau, song song với trục tung và mỗi đờng trong chúng đều cắt (C) và (C) tại 2 điểm sao cho tiếp tuyến tơng ứng tại 2 điểm đó song song với nhau. Bài II (4 điểm) Cho bất phơng trình: 2xx22 xx22.a2.axxxx2x +< 1. Giải bất phơng trình khi a=-1 2. Tìm a để bất phơng trình có nghiệm x>1 Bài III (4 điểm) Giải phơng trình: ) x (493) x ( xsinxcos 2223 2 22 +=+ Bài IV (4 điểm) Một tứ giác có ba cạnh bằng 1 và diện tích bằng 4 33 . Hãy tính cạnh còn lại và độ lớn các góc của tứ giác. Bài V (4 điểm) Cho khối tứ diện DABC có DA=a, DB=b, DC=c đôi một vuông góc với nhau. Một điểm M tùy ý thuộc khối tứ diện. 1. Gọi các góc tạo bởi tia DM với DA, DB, DC là , , . Chứng minh: sin 2 + sin 2 + sin 2 = 2 2. Gọi S A , S B , S C , S D lần lợt là diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của khối tứ diện. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=MA.S A + MB.S B + MC.S c + MD. S D sở giáo Dục & Đào tạo hànội kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12Năm học 2005-2006 Môn thi: Toán Ngày thi: 01 -12- 2005 Thời gian làm bài: 180 phút Bài I (4 điểm) Cho phơng trình: 0m35x2x) 3 5 m(x2x 3222 =+++++ Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m. Bài II (4 điểm) Gọi A, B, C là 3 góc của tam giác ABC, chứng minh bất đẳng thức: Csin.Bsin.Asin 4 A3C sin. 4 C3B sin. 4 B3A sin +++ Bài III (4 điểm) Giải hệ phơng trình: =+ =++++ 020062005.22004 0)y2005x121)(yx21(1yx2 2 y1 x1yx 2 Bài IV (4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn bán kính R. Gọi diện tích tứ giác là S v độ dài các cạnh là AB=a, BC=b, CD=c, DA=d . 1. Chứng minh đẳng thức: (4RS) 2 =(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) 2. Chứng minh rằng nếu 4(SR) 4 = (abcd) 3 thìtứ giác là hình vuông. Bài V (4 điểm) Hình chóp S.ABC có các cạnh bên đôi một vuông góc và SA=a, SB=b, SC=c. Gọi A, B, C là các điểm di động lần lợt thuộc các cạnh SA, SB, SC nh- ng luôn thỏa mãn SA.SA=SB.SB=SC.SC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và I là giao điểm của SH với mặt phẳng (ABC). 1. Chứng minh mặt phẳng (ABC) song song với một mặt phẳng cố định và H thuộc một đờng thẳng cố định. 2. Tính IA 2 +IB 2 +IC 2 theo a, b, c. hết Sở Giáo dục và Đào tạo HàNội Kỳ thi chọn đội tuyển Học Sinh Giỏi lớp12 thành phố năm học 2006-2007 Môn thi: Toán Ngày thi: 28 tháng 11 năm 2006 Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (4 điểm) Giải hệ phơng trình sau: = + + = + + + 0 yx yx2 y 2 yx y2x x 22 22 Câu II (4 điểm) Cho , R. Chứng minh rằng nếu tập hợp A , = { } Zn0 )ncos()ncos( + là hữu hạn thì và là các số hữu tỷ. Câu III (4 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phơng trình : 2x 4 + 1 = y 2 Câu IV (4 điểm) Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý nằm ở miền trong của tam giác đó. Chứng minh rằng: min { } CABCABMCMBMA MC MB, MA, ++<+++ Câu V (4 điểm) Cho dãy số thực (x n ) với n N* thỏa mãn các điều kiện sau: + >= = + )2n( kxx)2n(x x3x )0a,Ra( ax 1n 1k kn1n 12 1 Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dơng n 0 sao cho 0 n x > 2006 ! Hết . xúc với một đờng tròn. sở gD-ĐT hà nội kỳ thi học sinh giỏi thành phố -lớp 12 Năm học 200 2-2 003 Môn thi: Toán Ngày thi: 7 - 12 - 2002 Thời gian làm bài: 180. trên một đờng tròn. sở gD-ĐT hà nội kỳ thi học sinh giỏi thành phố -lớp 12 Năm học 200 3-2 004 Môn thi: Toán Ngày thi: 5 - 12 - 2003 Thời gian làm bài: 180