Bài 2 2,5 ñiểm Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình : Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo.. Tiếp tuyến tại K của ñường tròn O, R cắt AB, AC theo thứ tự
Trang 4Tải về từ trang web của trường Phổ thông Việt-Úc Hà Nội: www.vashanoi.edu.vn -
Môn: TOÁN
Ngày thi: 24 tháng 6 năm 2009 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 ( 2,5 ñiểm )
x A
− − + với x≥0;x≠4 1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25
3) Tìm giá trị của x ñể 1
3
A = −
Bài 2 ( 2,5 ñiểm )
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :
Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may ñược 1310 chiếc áo Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may ñược nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo Hỏi mỗi tổ trong một ngày may ñược bao nhiêu
chiếc áo?
Bài 3 ( 1 ñiểm )
Cho phương trình (ẩn x): x2−2(m+1)x+m2+2 0=
1) Giải phương trình ñã cho khi m =1
2) Tìm giá trị của m ñể phương trình ñã cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn hệ thức: 2 2
1 2 10
x +x =
Bài 4 ( 3,5 ñiểm )
Cho ñường tròn (O, R) và ñiểm A nằm bên ngoài ñường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với
ñường tròn (B, C là các tiếp ñiểm)
1) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp
2) Gọi E là giao ñiểm của BC và OA Chứng minh BE vuông góc với OA và
2
OE OA=R
3) Trên cung nhỏ BC của ñường tròn (O, R) lấy ñiểm K bất kì (K khác B, C) Tiếp tuyến tại K của ñường tròn (O, R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không ñổi khi K chuyển ñộng trên cung nhỏ BC
4) ðường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các ñường thẳng AB, AC theo thứ tự tại
M và N Chứng minh rằng PM +QN≥MN
Bài 5 ( 0,5 ñiểm )
- HẾT -
ðỀ CHÍNH THỨC
Trang 5SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I (2,5 ñiểm)
Cho biểu thức A x 2 x 3x 9
x 9
+
− + − , với x ≥ 0 và x ≠ 9 1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm giá trị của x ñể A 1
3
= 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A
Bài II (2,5 ñiểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Một mảnh ñất hình chữ nhật có ñộ dài ñường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh ñất ñó
Bài III (1,0 ñiểm)
Cho parabol (P) : y = − x2 và ñường thẳng (d) : y = mx − 1
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì ñường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai ñiểm phân biệt
2) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành ñộ các giao ñiểm của ñường thẳng (d) và parabol (P) Tìm giá trị của m ñể : 2 2
1 2 2 1 1 2
x x +x x −x x =3
Bài IV (3,5 ñiểm)
Cho ñường tròn (O) có ñường kính AB = 2R và ñiểm C thuộc ñường tròn ñó (C khác A, B) Lấy ñiểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC tại ñiểm
E, tia AC cắt tia BE tại ñiểm F
1) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh DA.DE = DB.DC
3) Chứng minh CFD OCB= Gọi I là tâm ñường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC là tiếp tuyến của ñường tròn (O)
4) Cho biết DF = R, chứng minh tg AFB 2=
Bài V (0,5 ñiểm)
Giải phương trình : x2+4x 7 (x 4) x+ = + 2+7
BÀI GIẢI
Bài I: (2,5 ñiểm) Với x ≥ 0 và x ≠ 9 ta có :
9
x
+
−
9
x
=
−
9
x x
−
=
−
9
x x
−
=
−
3 3
x
= + 2) A = 1
3
3 3
x
= + ⇔ x + =3 9 ⇔ x =6 ⇔ x = 36
Trang 63) A 3
3
x
=
+ lớn nhất ⇔ x +3 nhỏ nhất ⇔ x =0 ⇔ x = 0
Bài II: (2,5 ñiểm)
Gọi x (m) là chiều rộng của hình chữ nhật (x > 0)
⇒ chiều dài của hình chữ nhật là x + 7 (m)
Vì ñường chéo là 13 (m) nên ta có : 132 =x2+(x+7)2 ⇔ 2x2+14x+49 169 0− =
⇔ x2 + 7x – 60 = 0 (1), (1) có ∆ = 49 + 240 = 289 = 172
Do ñó (1) ⇔ 7 17
2
x= − − (loại) hay 7 17 5
2
Vậy hình chữ nhật có chiều rộng là 5 m và chiều dài là (x + 7) m = 12 m
Bài III: (1,0 ñiểm)
1) Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (P) và (d) là:
-x2 = mx – 1 ⇔ x2 + mx – 1 = 0 (2), phương trình (2) có a.c = -1 < 0 với mọi m
⇒ (2) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu với mọi m ⇒ (d) luôn cắt (P) tại 2 ñiểm phân biệt
2) x1, x2 là nghiệm của (2) nên ta có :
x1 + x2 = -m và x1x2 = -1
1 2 2 1 1 2 3
x x +x x −x x = ⇔ x x x1 2( 1+x2−1) 3= ⇔ 1(− −m−1) 3=
⇔ m + 1 = 3 ⇔ m = 2
Bài IV: (3,5 ñiểm)
1) Tứ giác FCDE có 2 góc ñối FED 90= o =FCD
nên chúng nội tiếp
2) Hai tam giác vuông ñồng dạng ACD và DEB vì
hai góc CAD CBE= cùng chắn cung CE, nên ta
có tỉ số : DC DE DC.DB DA.DE
3) Gọi I là tâm vòng tròn ngoại tiếp với tứ giác
FCDE, ta có CFD CEA= (cùng chắn cung CD)
Mặt khác CEA CBA= (cùng chắn cung AC)
và vì tam OCB cân tại O, nên CFD OCB=
Ta có : ICD IDC HDB= =
OCD OBD= và HDB OBD 90+ = 0
⇒ OCD DCI 90+ = 0 nên IC là tiếp tuyến với ñường tròn tâm O
Tương tự IE là tiếp tuyến với ñường tròn tâm O
4) Ta có 2 tam giác vuông ñồng dạng ICO và FEA vì có 2 góc nhọn
2
= = (do tính chất góc nội tiếp)
Mà tgCIO CO R 2
R IC
2
= = = ⇒ tgAFB tgCIO 2 = =
Bài V: (0,5 ñiểm)
Giải phương trình : x2+4x+7 (= x+4) x2+7
I
F
E
C
O
D
Trang 7ðặt t = x +2 7 , phương trình ñã cho thành : t2+4x=(x+4)t
⇔ t2−(x+4)t+4x=0 ⇔ (t−x t)( −4) 0= ⇔ t = x hay t = 4,
Do ñó phương trình ñã cho ⇔ x2+7 4= hay x2+7 =x
⇔ x2 + 7 = 16 hay
2 7 2 7
x
≥
2 = 9 ⇔ x = ±3 Cách khác :
x + x+ = x+ x + ⇔ x2+7 4(+ x+4) 16 (− − x+4) x2+7 0=
⇔ (x+4)(4− x2+7) (+ x2+7 4)(− x2+7 4) 0+ =
⇔ x2+7 4 0− = hay −(x+4)+ x2+7 4 0+ =
⇔ x2+7 4= hay x2+7= x ⇔ x2 = 9 ⇔ x = ±3
TS Nguyễn Phú Vinh (TT BDVH và LTðH Vĩnh Viễn)
Trang 8Tải về từ trang web của Trường Phổ thông Việt-Úc Hà Nội: www.vashanoi.edu.vn
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I (2,5 ñiểm)
x 25
−
, với x ≥ 0 và x ≠ 25
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm giá trị của A khi x = 9
3) Tìm x ñể A < 1
3
Bài II (2,5 ñiểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một ñội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy ñịnh Do mỗi ngày ñội ñó chở vượt mức 5 tấn nên ñội ñã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy ñịnh 1 ngày và chở thêm ñược 10 tấn Hỏi theo kế hoạch ñội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?
Bài III (1,0 ñiểm)
Cho parabol (P) : y = x2 và ñường thẳng (d) : y = 2x – m2 + 9
1) Tìm tọa ñộ các giao ñiểm của parabol (P) và ñường thẳng (d) khi m = 1
2) Tìm m ñể ñường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai ñiểm nằm về hai phía của trục tung
Bài IV (3,5 ñiểm)
Cho ñường tròn tâm O, ñường kính AB = 2R Gọi d1 và d2 lần lượt là hai tiếp tuyến của ñường tròn (O) tại hai ñiểm A và B Gọi I là trung ñiểm của OA và E là ñiểm thuộc ñường tròn (O) (E không trùng với A và B) ðường thẳng d ñi qua ñiểm E và vuông góc với EI cắt hai ñường thẳng d1, d2 lần lượt tại M, N
1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh ENI EBI= và MIN = 900
3) Chứng minh AM.BN = AI.BI
4) Gọi F là ñiểm chính giữa của cung AB không chứa E của ñường tròn (O) Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba ñiểm E, I, F thẳng hàng
Bài V (0,5 ñiểm)
Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2 1
4x
Trang 9Tải về từ trang web của trường Phổ thông Việt-Úc Hà Nội: www.vashanoi.edu.vn
Môn thi: Toán
Ngày thi: 21 tháng 6 năm 2012
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I (2,5 ñiểm)
1) Cho biểu thức A x 4
x 2
+
= + Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36
2) Rút gọn biểu thức B x 4 : x 16
(với x 0; x 16≥ ≠ )
3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x ñể giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên
Bài II (2,0 ñiểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai người cùng làm chung một công việc trong 12
5 giờ thì xong Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian ñể người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ ñể xong công việc?
Bài III (1,5 ñiểm)
1) Giải hệ phương trình:
2 1
2
x y
6 2
1
x y
+ =
2) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x) Tìm m ñể phương trình
có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn ñiều kiện : 2 2
1 2
x +x =7
Bài IV (3,5 ñiểm) Cho ñường tròn (O; R) có ñường kính AB Bán kính CO vuông góc với
AB, M là ñiểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H Gọi K là hình chiếu của H trên AB
1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh ACM ACK=
3) Trên ñọan thẳng BM lấy ñiểm E sao cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM
là tam giác vuông cân tại C
4) Gọi d là tiếp tuyến của ñường tròn (O) tại ñiểm A Cho P là một ñiểm nằm trên d sao cho hai ñiểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và AP.MB R
MA = Chứng minh ñường thẳng PB ñi qua trung ñiểm của ñoạn thẳng HK
Bài V (0,5 ñiểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn ñiều kiện x 2y≥ , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x2 y2
xy
+
… ……… Hết …… ………
Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………
Họ tên, chữ ký của giám thị 1: Họ tên, chữ ký của giám thị 2:
ðỀ CHÍNH THỨC
Trang 10Tải về từ trang web của trường Phổ thông Việt-Úc Hà Nội: www.vashanoi.edu.vn
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I (2,0 ñiểm)
Với x > 0, cho hai biểu thức A 2 x
x
+
+
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64
2) Rút gọn biểu thức B
3) Tìm x ñể A 3
B >2
Bài II (2,0 ñiểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Quãng ñường từ A ñến B dài 90 km Một người ñi xe máy từ A ñến B Khi ñến B, người ñó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc ñi là 9 km/h Thời gian kể từ lúc bắt ñầu ñi từ A ñến lúc trở về ñến A là 5 giờ Tính vận tốc xe máy lúc
ñi từ A ñến B
Bài III (2,0 ñiểm)
1) Giải hệ phương trình: 3(x 1) 2(x 2y) 4
4(x 1) (x 2y) 9
2) Cho parabol (P) : y = 1
2x
2
và ñường thẳng (d) : y = mx − 1
2m
2 + m +1
a) Với m = 1, xác ñịnh tọa ñộ các giao ñiểm A, B của (d) và (P)
b) Tìm các giá trị của m ñể (d) cắt (P) tại hai ñiểm phân biệt có hoành ñộ x1, x2 sao cho x1−x2 =2
Bài IV (3,5 ñiểm)
Cho ñường tròn (O) và ñiểm A nằm bên ngoài (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với ñường tròn (O) (M, N là các tiếp ñiểm) Một ñường thẳng d ñi qua A cắt ñường tròn (O) tại hai ñiểm B và C (AB < AC, d không ñi qua tâm O)
1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp
2) Chứng minh AN2 = AB.AC
Tính ñộ dài ñoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm
3) Gọi I là trung ñiểm của BC ðường thẳng NI cắt ñường tròn (O) tại ñiểm thứ hai T Chứng minh MT // AC
4) Hai tiếp tuyến của ñường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K Chứng minh K thuộc một ñường thẳng cố ñịnh khi d thay ñổi và thỏa mãn ñiều kiện ñề bài
Bài V (0,5 ñiểm)
Với a, b, c là các số dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc, chứng minh: 12 12 12 3
a +b +c ≥
Trang 11SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2014 – 2015
Môn thi: Toán Ngày thi: 23 tháng 6 năm 2014 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm)
1) Tính giá trị biểu thức : 1
1
x A x
khi x = 9
2) Cho biểu thức 2 1 1
P
với x > 0;x1
a) Chứng minh x 1
P
x
b) Tìm giá trị của x để 2P = 2 x5
Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Bài III (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình
5 1
1 1
2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = - x + 6 và parabol (P): y = x 2
a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P)
b) Gọi A, B là giao điểm của (d) và (P) Tính diện tích tam giác OAB
Bài IV (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt cắt các đường thẳng AM, An lần lượt tại các điểm Q, P
1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật
2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn
3) Gọi E là trung điểm của BQ Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF
4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất
Bài V (0,5 điểm)
Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
-Hết -
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh Số báo danh:
Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 12SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Năm học 2014 – 2015
Môn thi: Toán Ngày thi: 23 tháng 6 năm 2014 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm)
1) Tính giá trị biểu thức : 1
1
x A x
khi x = 9
2) Cho biểu thức 2 1 1
P
với x > 0;x1
a) Chứng minh x 1
P
x
b) Tìm giá trị của x để 2P = 2 x5
Bài 1.1
(0,5 điểm) Với x = 9 thì 9 3 3 1 4 2
3 1 2
Bài 1.2
(1,5 điểm)
a) Chứng minh P x 1
x
- Với x > 0;x1ta có
P
P
0, 25
P
1
x x
- Vậy vớix > 0;x1ta có x 1
P
x
0, 25
b) - Với x > 0;x1ta có: x 1
P
x
- Để 2P = 2 x5 nên 2 x 1
x
0, 25
- Đưa về được phương trình 2x3 x 2 0
0, 25
- Tính được
2( )
1 1
4 2
x x
thỏa mãn điều kiện x > 0;x1
- vậy với x = 1/4 thì 2P = 2 x5
0, 25
Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Trang 13Bài 2 Hướng dẫn giải (2,0 điểm)
Bài 2
(2,0 điểm)
- Gọi mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất số sản phẩm theo là x ( sản phẩm; đk x nguyên dương)
Khi đó trên thực tế mỗi ngày phân xưởng làm được số sản phẩm là x + 5 (sp)
0, 5
- Số ngày làm theo kế hoạch là: 1100
x ngày
Số ngày làm trên thực tế là: 1100
5
Vì thời gian thực tế ít kế hoạch 2 ngày , ta có phương trình:
1100 1100
2 5
+ Giải phương trình tìm được x1 55;x2 50 0,5
Vì x0 nên x150 thỏa mãn điều kiện của ẩn, x2 55 không thỏa mãn điều kiện của ẩn
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng làm được 50 sp 0,25
Bài III (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình
5 1
1 1
2)Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = - x + 6 và parabol (P): y = x 2
a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P)
b) Gọi A, B là giao điểm của (d) và (P) Tính diện tích tam giác OAB
Trang 14Bài 3.1
(1,0 điểm)
Giải hệ phương trình
5(1) 1
4(2) 1
đk x y y; 1.
0,25
- Lấy (1) trừ từng vế cho (2) ta được:
9
- Thay y = 2 vào (1) ta tính được x = -1 Vậy hệ pt có nghiệm là (x; y) = ( - 1; 2 )
0, 5
0,25
Bài 3.2
(1,0 điểm)
a) - Xét phương trình hoành độ giao điểm:
+
3
x = -x + 6 x x - 6 = 0 x
x
0, 25
- Chỉ ra: 2 4
- Kết luận: A(2;4) và B(-3;9)
0, 25
- b) Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành
Ta có SOAB SAA 'B'BSOAA 'SOBB'
Ta có A’B’ = xB'xA ' xB'xA '5 , AA’ =yA 9, BB’ = yB 4
0, 25
Diện tích hình thang : SAA 'B'B AA ' BB '.A ' B ' 9 4.5 65
OAA '
S 1A ' A A 'O 27
2
OAB AA'B'B OAA' OBB'
- Kết luận
0, 25
Bài IV (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt cắt các đường thẳng AM, An lần lượt tại các điểm Q, P
1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật
2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn
3) Gọi E là trung điểm của BQ Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF
4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất
Hình vẽ:
0,25
P
F
N