Kinh nghiệm làm chủ đề thi đại học môn toán

Trang 1

Kinh Nghiệm Làm Chủ Đê Thi Đại Học Mơn Tốn

Loi Noi Dau

Các em học sinh thân mến ! Vậy là một kỳ thi THPT Quốc Gia

nữa lại sắp đến, chắc hắn các em đã và đang tích cực ôn tập đề

đạt được kết quả cao nhất có thể trong kỳ thi sắp tới Cũng đã

từng là thí sinh đi thi nên chúng tôi năm bắt được những vấn đê

khó khăn của các bạn học sinh trong lúc làm bài thi, đặc biệt ở

các câu điểm 8, điểm 9, điểm 10 mỗi năm một lạ và khó hơn Nhăm giúp các em có bộ đề ôn tập hiệu quả, tôi và Ngô Vương Minh — Thủ khoa kép năm 2015 đã tiễn hành biên soạn cuốn sách này với mong muốn giúp các em có một tài liệu bô ích để

rèn luyện Về hình thức, cuốn sách được biên soạn theo cấu trúc đề thi THPT Quốc G1a 2015 của Bộ giáo dục, các câu hỏi sẽ

được sắp xếp từ dễ đến khó Về nội dung, chúng tôi có cập nhật một số bài toán mới và phân bỗ đều các dạng tốn, chúng tơi có sưu tâm chọn lọc những bài toán hay trên các diễn đàn toán học,

các nhóm học tập trên facebook Đặc biệt, ở các câu phân loại

mạnh như câu điểm 9 và câu điểm 10 là những bài toán do chúng tôi sáng tác Những bài tốn này hồn tồn mới nhằm tạo cho

các em sự thích thú tránh cảm giác nhàm chan Vi la cuốn bộ đề

nên chúng tôi sẽ không đề cập nhiều đến phương pháp giải từng dạng toán, tuy nhiên đôi khi có những bài chúng tôi sẽ đề cập

một vài nhận xét

Trang 2

Dé Thi Thử THPT Quốc Gia Năm 2016 Số 1 Câu 1: ( 1đ ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2x—2 7 2x11 _ | Câu 2: ( lđ ) Tìm gia tri lén nhat cua ham so : f (x) = 2x° —3x? +6x+1 trén [1;3] Câu 3:

a (0,5đ ) Giải phương trình log, (log, Vx-+1+ 1) =1

b.( 0,5đ) Cho số phức z thỏa mãn (3-i)z+i-2=0 Tim phan thực và phân ảo của z x? +Ï+xc0SxT—sin x 0 Câu 4: ( 1đ) Tính tích phân J = | de ; X+COSX

Câu 5:( lđ ) Trong không gian với hệ tọa độ OÓxyz cho

(P):3x+y—2z—6=0 và hai điểm 4(0;1;2), B(1;2;1) Tìm tọa độ

giao điểm của đường thăng 4# và (P)

Câu 6: a ( 0,5đ ) Tìm giá trị của biểu thức sin{ a + =) P=— COS" 2Z + S11 2 ` — 2) biết rằng tanz = V7 10 b.(0,5đ) Tìm hệ sô của x° trong khai triên newton me) X

Trang 3

Kinh Nghiệm Làm Chủ Đê Thi Đại Học Mơn Tốn

Câu 8: ( 1đ ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác nhọn 48C có 84C =45°.Đường tròn tâm 7 đường kính BC cat cdc

cạnh 4B, 4C tại D và E.Gọ1”H là giao điêm của BE vàCD,

đường thắng E7 có phương trình : x+2y—-9=0 Điểm K (23)

là trung điểm của 477 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết 4 thuộc đ:3x—-y—1=0,

hoành độ điểm 4 có giá trị nguyên, x; >1 Câu 9: ( 1đ ) Giải hệ phương trình 2 x2+y?+x=—” \x+y Jy-x vdxz°+x+2+y?+2=Ax+|y+3x

Trang 4

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng [—m=5) và

+)

Gidi han va tiém can : Lim y = Lim ante _ X00 x20 Dy4+]

Limy = +00, Limy =-—oo

48 ` k ^ ` 2 1 4 ea ^

Hàm sô y nhận đường thăng x = ¬5 làm tiệm cận

1,

đứng và nhận đường thắng y =1 làm tiệm cận ngang

Trang 5

Kinh Nghiệm Làm Chủ Đê Thi Đại Học Mơn Tốn

Câu 2:

Nhận xét: Dạng toán tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất trong đoạn [4:5] khá cơ bản Bạn đọc chỉ cần làm đúng các bước sau

đây:

Bước 1: Tinh f'(x), cho f'(x)=0 giải tìm ra nghiệm x,,x; (

nếu có )

Bước 2: So sánh các giá trị ƒ(z,) ƒ(x;) /(2) ƒ(b) đề tìm ra

gia tri lớn nhat và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bước 3: Kêt luận Lời giải chỉ tiết Điểm Hàm số f(x) lién tục trên [1:3] 0,25d Dao ham › 1) 3 f'(x) = 6x -&rre=d(x~3) Tớ 0,5d .Do d6 ham sé f(x) déng bién trên R => f(x)< f(3)=46 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số ƒ(x) là 46 0,25 Câu 3: Lời giải chi tiết Diém

a Điều kiện: 4x+1 >1<>x>0 Khi đó ta có:

log, (log, Vx +1+1)=1 <> log, Vx+1+1=2

0,25

> log, Vvxtl=lovxtl=2ox41=40x=3 So sánh điều kiện thây x= 3 thỏa mãn phương trình

Trang 6

2(3-i)=2-ie 2-2 > 0,25 _ 32s , „2 i)(3+i) _ i-i+6 1 i (3-1)(3+i) 3°-?@ 2 10 Vậy phân thực của số phức z 1a và phân ảo là 0.25 —L 10 Câu 4:

Trang 7

Kinh Nghiệm Làm Chủ Đê Thi Đại Học Mơn Tốn (x+cosx) 2 x 2 =f =———+inll|-In—+—— x„ X+COSX 6 4 2 4 _ 2 x v2 16 4 2 z7 az N2 Vậy 7=————ln|—+—1 y l6 |4 2 0,25

Diém nhan cua bai toan nay là việc tách các hạng tử của tử sô đê

giản ước với mâu sô và sự tinh ý : đ(x+cosx) =(1—sinx) đx

Cau 5:

Loi giai chi tiét Diém

Ta có: 4Z =(I;1;—1) Đường thắng 4B đi qua điểm

4(0:1;2) và nhận 48 làm vec tơ chỉ phương có 025

x=t

phuong trinh , y=1+t,teR

z=2-t

Goi M(t;1+2;2-2) là giao điểm của mặt phẳng (P) và

Trang 8

Cau 6:

Nhận xét: Mặc dù hai bài toán này khá dễ tuy nhiên bạn đọc can

phải năm được những kiên thức cơ bản vệ tô hợp và lượng giác

thì mới hoàn thành được nó: (x+y) = Schxmy yk 7# ° sin{ cr 4 =COS@ Lời giải chi tiết Diém a Taco: 77 0,25 sin| œ+— P= 2) _ cosa _ l

Trang 9

Kinh Nghiệm Làm Chủ Đê Thi Đại Học Mơn Tốn Câu 7: Lời giải chỉ tiết Điêm Hình vẽ : 0,25

Tam giác /BC vuông tại 8

(do 4BCD là hình vuông ) nên ta có: 2 2 IC? = 1B? + BC? =2 +a2 =5, 4 4 Hình chiêu của S lên (48CD) là 7 và hình chiêu của C lên (4BCD) là chính nó nên ta có : (SC,(ABCD)) = SCI = 45° Tam giác SIC vuông tại ï nên SI J5 tacé: tan 45° =— > ST = IC = —a IC 2

Diện tích hình vuông 4B8CD là : S se; = 4ˆ

Thể tích khối chóp S.4BCD đường cao Sï là: 0,25

Trang 10

1 V5, a V5 ABCD = 3 4ncp ST = 6 Ta co: AB //CD = AB//(SCD) => d(A,(SCD))=d(I,(SCD)) | 0,25 Goi H 1a trung diém của CD suy ra HI LCD, mặt khác: HI C(SHI) => (SHT) | (SCD) (SHI) ¬(SCD) = SH Tam giac SJH vuông tại 7: => d(I,(SCD)) = 1 5 = 41 2 + 1 2 => IK = SH 5 = a

IK? SI’ JH VSP +I? 3

Vậy thê tích khối chóp S.ABCD 1a Sự 0,25

V5

và d(A,(SCD)) = 4

Cau 8:

Nhận xét: Bài toán khá khó bởi những tính chất hình học phẳng ; yêu câu người làm phải có những kiến thức về tứ giác nội tiếp và chứng minh vuông góc như:

Tứ giác có tông 2 góc đối bằng 1800 thì nội tếp

Góc nộ tiếp chăn nữa đường tròn băng 90°

Trang 11

Kinh Nghiệm Làm Chủ Đê Thi Đại Học Mơn Tốn Lời giải chỉ tiết Điểm # 0,25 b ( / Hinh vẽ : Ta có: BEC = CDB =90°( góc nội tiếp chăn nữa đường tròn )

Suy ra ADH =180-CDB=90° va AEH =180°-BEC =90° | 9,25

Do đó tứ giác 4DHEF nội tiêp đường tròn tâm K ban kính KE

= AAKE can tai K => KAE = KE4 Mặt khác ta cũng

co: AJEC can tại J

(vi JE=IC ) —> IEC =ICE Vì H là trực tâm nên ta có

AH 1 BC,

từ đó ta có:

KAE +ICE =90° => KEA+ IEC =90° > KE] =90° > KE L EI

Phương trình đường thăng KZ là:

2|z~z]-Iy~3 =0<©2x-y+2=0 Tọa độ điểm Z là nghiệm của hệ :

Trang 12

+2y=9 =] eee e1” => E(1;4) 2x-y=-2 y=4

Goi diém A(a,3a-1), ta cd: KÁ~|a~si3a =4) Vì tam giác 4KE cân tại K, ta có: 1Ÿ 2 2 [a5] +(3a—4) =(d(K,EI)) a=1 3 2 Theo yêu câu đề ra hoành độ của 4 nguyên suy ra A(2) Mặt khác K là trung điểm 4H X„=2xv.—x x„ =0 =\" “ tao) => H(0;4) 1 =2VWy — }„ Vy =4 or sree] a

Phương trình đường thắng BE 1a: T = — => y-4=0 Tam giác BE4 vuông tại E có B4E =45° => BE = AE

Trang 13

Kinh Nghiệm Làm Chủ Đê Thi Đại Học Mơn Tốn C là nghiệm của hệ phương trình x=l x=l =| => C(1;3) —x+2y=5 y=3 Cau 9: Nhận xét: Diém nhân của bài tốn là cách biến đơi khéo léo sau khi đặt x = ứø Lời giải chỉ tiết Điểm x pen, [20 Điêu kiện: V2y —-x #0

Ta cd: (1) << (Vx +y” +x](V2y-x) =yŸ

Nhận thấy phương trình (1) là phương trình đẳng cấp

nên ta sẽ nghĩ đến việc đặt x= ty dé giam ân số Nhận

Trang 14

©(d°+x+2 ~24x)+ " ~2x+2) = 0,25 x=l ©|x -3x+2 | lis Tan x?+x+2 ae ls 2 Vậy nghiệm của hệ phuong trinh 1a (1;1) va (2;2) 0,25 Cau 10:

Nhận xét: Đơi với các bài tốn các biên bị giới han trong |a;5]

thường thì có ít nhât một biên rơi tại biên và ta có một sô đánh

giá liên quan đến biên như:

x(b-x) > 0,(x-a)(x-b) < 0,(x-a)(b-x) > 0,

Loi giai chi tiét Điêm

Nhận thây đây là bài toán các biến bị giới hạn trong

[0;3] nên ta sẽ nghĩ đến các đánh giá liên quan đến biên Thật vậy ta có: x(3— x) >0 © x” <3x Tương tự ta cũng có: y(3-y)>0© ÿy' <3y,z(3—-z)>0<©©z ˆ<3z 0,25 Cộng các đánh giá trên ta có: 2 x+y +z S3(x+yt+z)> 5 : 72 ? x+y +z x+y+z

Ta sẽ tìm cách dôn các đại lượng còn lại vê

Trang 15

Kinh Nghiệm Làm Chủ Đê Thi Đại Học Môn Toán Từ các đánh giá trên suy ra P >(x+ y+z)+ a xty+z Áp dụng bất đăng thức 4M —GM ta co: 9(x+y+ (x+y+z)+—2—>›z|2†?1?) „¿ x+y+zZ x+y+zZ Đăng thức xảy ra khi 0,5 x†+y+zZ= ©=x+y+zZ=3 xty+z 4 » =e need x=y=3 z=3 z=0 | z=3 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 6 — =0 Xay ra khi ‘i » z=3

Đề Thị Thử THPT Quốc Gia Năm 2016 Số 2 Câu 1: ( 1đ ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị hàm số

y=x`-3x+2

Cau 2: (1d) Cho ham s6 y = f(x)=x°— 6mx? + 6x+2016, (m la tham số ).Tìm các giá trị của m để hàm số có cực trị

Trang 16

Dé Thi Thử THPT Quốc Gia Năm 2016 Số 15 Câu 1 : (1d) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

y= a -12z

Cau 2 : (1d) Cho ham số f(z) =2° -3ma? +3(m? -4]z—m`

Tim m dé hàm số có hai cực trị 4, B thỏa loa’ - OB" | =8

Câu 3 : a.( 0,5đ ) Giải phương trình log, (c+1)+log;(x+2)+log,(#+3)=3 b.(0,5đ ) Tìm số phức z thỏa mãn |z+1—2i| =|z+3+4i|và P + 1 *** là số thuần ảo Z—† dx / 5cos” z+5sinzcosz+l_ 3 Câu 4: ( lđ ) Tính tích phân 7 = | 4 Câu5:(1đ) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bỗn điểm A(6;-6;6), B(4;4;4) ,C(-2;10;-2) va S(-2;2;6) Chứng minh

O, A,B,C là bốn đỉnh của một hình thoi và hình chiêu

vuông góc của s trên mặt phăng (OABC) tring với tâm J cia OABC Tính khoảng cách giữa hai đường thắng SO va AC

Cau 6: a (0,5d ) Giai phuong trinh :

(sinz— COS z)(sin? + +1) +cos’ 7 =0

Trang 17

Kinh Nghiệm Làm Chủ Đề Thi Đại Học Môn Toán

Câu 7 : ( lđ ) Cho hình chóp S.ABCD co day là hinh vuong cạnha tâm O Hình chiêu của đỉnh ø lên mặt phăng

(ABCD) là trung điểm của 4O, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) va (ABCD)bang 60° Tinh thể tích khối chóp

S.ABCD và khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB dén

mặt phẳng (8Œ)

Câu 8 : ( 1đ ) Trong mặt phẳng Oz, cho tam gidc ABC có đỉnh A(2;9)và nội tiếp đường tròn Lây điểm 1 là một điểm tùy ý thuộc cung nhỏ øC, gọi Pvà Q lân lượt đối xứng với ⁄ qua 45 và AC Giả sử điểm XŠ:] là

trung điểm cạnh BC, phương trình cạnh PQ là :

—6=0, đường thắng øC vuông góc với đường thắng

d:3z—y+2016=0 Tìm tọa độ các đỉnh ,C biết z; > 0

Câu 9 : ( 1đ ) Giải hệ phương trình t+Va-l=y-Jy-l z+ 2U +2z +4J2z?—zụ+ gŸ = Ja? +ay +]

Trang 18

Dap an va biéu diém Câu Ì : Lời giải chi tiết Điểm Lập xác định D = R

Sự biến thiên : y'=3z?—12,y'=0€>z=+2 0,25 GIỚI hạn : Lmy = +œ, Lưmy = —oo z—>+œ z—>—œ Bảng biên thiên : % —00 —2 2 +00 Ụ + 0 - 0 + Ụ oO eT Hàm số đông biên trễn mỗi khoảng (-œ;-2) và | 0,5 (2: +00}

Hàm số nghịch biến trên khoảng (~2;2)

Trang 19

Kinh Nghiệm Làm Chủ Đề Thi Đại Học Mơn Tốn Cau 2: Lời giải chi tiệt Diém Ẹ — —2 Ta có : y'=34" 6 +3(m? 4) y'=06) | ¿ +, =Tn+2

Vì „—2#m+2,Vm nên hàm số đã cho có hai điểm | 0.5

cuc tri A(m—2;-12m+16), B(m+2;-12m-16) Theo đề ra ta có : loa - OB" | =8 1 m=— <> |-776m|=8 > ø 0,5 _97 Vay m= + thỏa mãn yêu câu bài toán Câu 3 : a

Nhận xét : dạng toán phương trình loga có nhiều cơ số khác nhau và có nghiệm duy nhất ta nên đùng phương pháp hàm số Loi giai chi tiét Diém Điêu kiện : z > -1 Xét hảm sô ƒ{z)=log; (z+1)+loga(z+2)+loga(z+3)—3 0,25 xà l 1 ƒ)= (z+llln2 (z+2)In3 (z+3)In4 Do đó hàm số ƒ(z) đồng biến trên (-1;+s) >0,Vz

Trang 21

Kinh Nghiệm Làm Chủ Đề Thi Đại Học Môn Toán d{ tan z) tan? z+5tanz+6_ d(tanz)_ t d(tan x) anz+2 t an#+3 +> | — ‹: |à ki“ ola ki ola 0,5 d(tanz+2)_ tan + 2 d(tanx+3) tan z +3 II >la*®——.›là =|A®—‹›l3 = In|tan z + 2| — In|tan z +31 \3+2 1 V3 43 In 3 —Ìđ 4 +>[ |1 (A als Cau 5: Lời giai chi tiét Diém Ta cé: Cac doan OB va AC déu nhận 1(2;2;2)lam trung diém AC =(-8; 16;-8), OB =(4; 4; 4) = AC.OB = -32+64-32=0= AC 1 OB Từ hai điêu trên suy ra O, A, B, C la 4 dinh cua hinh thoi OABC 0,5

SI =(4; 0;—4); SI.AC=-32+32=0 ST.OB =16-16 =0 => SI 1 (OABC)

Do OABC la hình thoi va SI (OABC) nén:

AC 1 OB

=> AC 1 (SOB)

AC 1 SI

Tir dé trong mat phang (SOB) néuké JH 1 SO tại H 0,5

Trang 22

SLOI _ 42.2N3 _ 4466 — d(SO, AC) = IH = ( ) SO = 2V11 = 11 Cau 6: a Loi giai chi tiét Diém Taco: ( : 2 2

sin x — cos) (sin z+1]+cos =0

Trang 23

Kinh Nghiệm Làm Chủ Đề Thi Đại Học Mơn Tốn Suy ra sô cách chọn thỏa yêu câu bài tốn : n(A)=ŒC.C§ +Cis.C§ + C2.Œ = 4040 0,25 ¬ Z 1a A ; Vậy xác suât là : P(A)= n4) _ 101 n(Q) 1938 Cau 7 Loi giai chi tiét Diém Hinh vé 0,25 aber

Goi # là trung điêm của 4o Theo đê ra ta có : SH là đường cao của hình chóp §.ABCD

Dựng HI |CD=> CD 1(SHI)= SIH =60°

HILIAD= HI =3.AD=`a.SH = HHang00 = 3993 4 4 4 0.25 Dién tich hinh vu6ng ABCD 1a: Sjpcp =a’

Thể tích khối chóp ø.4BŒD đường cao SH là :

Vesncp =2SH Sop =a 05 2° S.ABCD 3 “ABCD 3 “me 4 4

Trong mặt phắng (SAB), SG cat AB tai M thi M

Tác giả : Ngô Minh Ngọc Bảo - Ngô Vuong Minh Page 175

Trang 24

là trung điểm AB va Ta: Ma MGr(SCD)=S 2 2 => d(G,(SCD)) =34(M,(SCD)) =34(A,(SCD)) AC 4 4 AH ~(SCD)=C, no d(A,(SCD)) = 34(H.(SCD Ké HK 1 SI tai K 0,5 = HK (SCD) = HK =d(H,(SCD)) Ta cé : - ly L ng -3V34 HK? SH? HI 8 => 4(G,(scD)) =" Cau 8: Lời giai chi tiét Diém Hinh vé: A 0,25 M

Gol H là trực tâm tam giác ABC Ta chứng minh P,H,Q thăng hàng Thật vậy, Gọi D,E lân lượt là

chân đường cao kẻ từ 4 và Œ của tam giác ABC

In AMC

Trang 25

Kinh Nghiệm Làm Chủ Đề Thi Đại Học Mơn Tốn

Tứ giác BED nội tiếp nên

ABC + EHD =180° > AQC + AHC =180° Nên tứ

giac AHCQ noi tiép

= AHQ=ACQ= AHÔ = AOM (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có 4HP = 4ABM (2) Kết hợp 4BM + 4CM =180° và (1),(2)— P,H,Q thăng hàng Duong thang BC đi qua w và vuông góc voi d có phương trình : z+3„—9=0 Đường thắng 4# đi qua # vuông góc øC nên có phương trình : 3z—-y+3=0 Tọa độ điểm # là nghiệm hệ 3z—+3=0 0,5 => H(1;6) y-6=0 Vi Be BC => B(9-3i;b)— C(3b—6;5—b)Vvới b<3 — b Ta có CHL AB=>CHAB=0-| |) Vay B(6;1),C(-3;4) Cau 9: Loi giai chi tiét Diém

Diéu kién : z,y>1 Tir phuong trinh 2 ta có :

Trang 26

c.U-# +? —2U + 0,5 ety 22 ae -A|z7 toy a Yat =) Oey 2a? —cyty? +27 mm Ụ—*# =0 Sey _ — +1 2 +.Jz? + xy = (y-2) Yur <> 1 + y-x = 27+ \2z?—zụ+1? +4|+?+xự Ta sẽ tìm cách chứng minh phương trình (*) vô nghiệm Thật vật ta chỉ cần chỉ ra >z là đủ Từ phương trình 1 của hệ ta có : #+Wz—l=0- y-lovVr-1+Jy-l=y-22>0 0,5 Do đó (*) vô nghiệm Thay z = vào phương trình 1 ta cú : 2/z1=0ôâ>z=1 Vy h phương trình có nghiệm (z;) = (1:1) Câu 10:

Nhận xét : Giả thiết cho (z+ yy +Z”<z++z T ràng thay

sự đỗi xứng giữa hai đại lượng z+„ và z nên ta dự đoán

được bước đầu L+y=Z

Loi giai chi tiét Diém