TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA to¸n -*** - Bïi thÞ nh Tham sè hóa tự nhiên cung ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: hình học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà nội, 2012 LI CM N Em xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Năng Tâm tận tình hớng dẫn, giúp đỡ, cung cấp cho em kiến thức, kinh nghiệm quý báu, động viên khích lệ em hoàn thành khóa luận với đề tài: Tham số hóa tự nhiên cung ứng dụng Em xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ, giảng viên khoa Toán trờng Đại học s phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Bùi Thị Nhuệ LI CAM OAN Tôi xin cam đoan khóa luận không trùng với kết nghiên cứu công trình nghiên cứu đợc nghiên cứu Trong trình tiến hành thực khóa luận, có tham khảo thành tựu nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu trớc Các số liệu, cứ, kết nêu khóa luận trung thực Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Bùi Thị Nhuệ Mục lục Nội dung Trang Mở đầu .5 1.Lý chọn đề tài 2.Mục đích nghiên cứu 3.Phơng pháp nghiªn cøu Chơng 1: Tham số hóa tự nhiên cung Cung En 1.1 .Trêng vect¬ 1.2 Trêng mơc tiªu 1.3 Cung tham sè 1.4 Cung n E , tham sè hãa cña cung 10 1.5 .Cung chÝnh quy 11 1.6 .Cung định hớng 12 .Độ dài cung tham số hóa tự nhiên cung chÝnh quy 13 2.1 .Độ dài cung 13 2.2 Tham số hóa tự nhiên cung quy 17 Chơng 2: øng dơng cđa tham sè hãa tù nhiªn cđa cung 19 §é cong cña cung En 19 1.1 §é cong cña cung chÝnh quy En 19 1.2 .Cung song chÝnh quy 19 2.øng dơng cđa tham sè hãa tù nhiªn cđa cung E3 20 2.1 Độ xoắn 20 2.2 C«ng thức Frénet 21 2.3 Định lí lí thuyÕt ®êng E 22 3.øng dơng cđa tham sè hãa tù nhiªn cđa cung E2 26 3.1 C«ng thøc FrÐnet cđa cung quy định hớng E 26 3.2 Đờng tròn mật tiếp, cung túc bế, cung thân khai 27 3.3 Định lí lí thuyÕt ®êng E 29 Mét sè vÝ dô 31 KÕt luËn 38 Tµi liƯu tham kh¶o 39 Mở Đầu Lý chọn đề tài Trong Toán học, môn hình học môn khó trừu tợng Hình học không gian đa dạng phong phú nhng lại thực tiễn Nhờ có hình học mà từ hình đơn giản, vật xung quanh đời sống hàng ngày ta hiểu đợc phần cấu tạo chúng có hình dạng nh không gian n chiều Trong đó, hình học vi phân môn quan trọng, chủ yếu nghiên cứu hình học đờng mặt không gian lọai độ cong gắn liền với E thông qua đối tợng Trong hình vi phân, lí thuyết đờng phần kiến thức quan trọng Qua trình học tập tìm hiểu thân, em nhận thấy tham số hãa tù nhiªn cđa cung cã nhiỊu øng dơng số dạng lí thuyết đờng Vì vậy, em chọn đề tài Tham số hóa tự nhiên cung ứng dụng để nghiên cứu ứng dụng tham số hóa tự nhiên Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu tham số hóa tự nhiên số ứng dụng nó, nhằm giải số tập hình học vi phân nhờ vào tham số hóa tự nhiên cung Đối tợng nghiên cứu Cung E , tham sè hãa tù nhiªn cđa cung n Các định lí lí thuyết đờng Các phơng pháp nghiên cứu Phơng pháp nghiên cứu tài liệu, lý luận Phơng pháp phân tích tổng kết Chơng Tham số hóa tự nhiên cung Cung En 1.1 Trêng vect¬ 1.1.1 Vect¬ tiÕp xúc Định nghĩa n n n n Mỗi phần tử ( p, ) TE (TE = E ì Ep ) , viết , đợc gọi vectơ tiếp xúc n E p TE gọi tập vectơ tiếp n xúc không gian vectơ tiếp xúc Với p ∈ n E ta kÝ hiÖu n TpE Ta cã song ánh: n E ) Mỗi phần tử đợc kí hiệu tập vectơ tiếp xúc cđa E t¹i p n n n E → TpE ,α α p Nh vËy, ta ®a đợc cấu trúc không gian vectơ Euclid từ En Ta gọi n TpE lê TpEn n không gian vectơ tiếp En p xúc Umở n T U = gọi không gian vectơ tiếp U × xóc cđa n E p ∈ Tp U U: = n TpE gọi không gian vectơ tiếp xóc cđa U t¹i p ∈ U Víi n E (hay E đặt: 1.1.2 Trờng vectơ Định nghĩa Trờng vectơ tập mở U En ánh xạ: p X(p) X :U → TU p X ( p) Sao cho ∀p X ∈ U th× ( p) TpU H1 Trờng vectơ Một số tập Bài Hãy xác định tham số hóa tự nhiên cung song chÝnh quy E cho: a)Trêng vectơ tiếp xúc đơn vị T thỏa mãn: 2 a + b = 1), T (s) = ae(s) (với a, b số + bk khác 0, e(s) = cos si + sin s j , (i, j, k) sở E trực chuẩn b)Trờng vectơ trùng pháp tuyến đơn vị B thỏa mãn B(s) = ae(s) + bk c) Trờng vectơ trùng pháp tuyến đơn vị N thỏa mãn N (s) = e(s) Giải a)Trờng vectơ tiếp xúc đơn vị T thỏa mãn: T (s) = ae(s) (với a, b số khác 0, a2 + b2 = 1), + bk e(s) = cos si + sin s j , (i, j, k) sở trực chuẩn Tham số hãa E ρ : s ρ(s) , T (s) = ae(s) + bk = ρ '(s) ta cã: Suy ρ '(s) = ∫ T (s)ds = a(cos si + sin s j) + bk ds = a sin si − a cos s j + bsk + C + C = ae sπ + + bsk 2 VËy 2 ρ : s ρ(s) = ae s + π + bsk + C b)Trêng vect¬ trïng pháp tuyến đơn vị B thỏa mãn B(s) = ae(s) + bk B '(s) = a.e π s+ Ta cã: + 0.k Mặt khác, theo công thức Frénet B ' = −τ N , suy −τ N = B ' π ae s + = a = 2 τ = ± a Mµ N = τ (s) = a Mặt khác ta l¹i B ' = −τ N = ±a N cã: π B ' = π ae s + = e s + ⇒1 N = ± a a ∧ e(s)b) (ak π= Mµ T =N ∧ B = s+ + bk ) = ±(ak e − (ae(s) e(s)b) 2 ∫ T (s)ds = ∫ ak − be(s) ρ ask+ ds = −Cbe π s +'(s) = ρ : s ρ (s) = as − b s VËy π k + + C Suy ( c) Trêng vectơ trùng pháp tuyến đơn vị N tháa m·n N (s) = e(s) Ta cã N = (cos s,sin s,0) DN ⇒ (s) = (−sin s,cos s,0) ds D N ds (s) = (−cos s, −sin s,0) ⇒ N∧ Ta l¹i cã: = (0,0,1) N ∧ D = (0, 0,0) ds vµ N ds DN N ' = −kT + τ B N " = D N = −k T' N ds +τ B= −k.k N − τ N = − ( k = −k = −( k +τ (k = N DD o N ds2 N ∧2 +τ su =y ( + τ −τ 2 2 ) )(cos s,sin s,0) )(−cos s, −sin s,0) D N , cïng ph¬ng ds ⇒ N , lµ hµm h»ng ⇒ k2 + τ2 lµ D N hµm h»ng ⇒ k, τ hàm ds Ta lại có: D T ds = kN = k cos si + k sin s j) ⇒ T = k sin si − k cos s j + (C1 + C2 ) k (víi C1, C2 lµ v í i số) Mà ta có: D ∫ ∫ ∫ ds = T (s) ⇒ D ρ = T (s)ds = (k sin si − k cos s j + c)ds , V íi − d d = c = kC1 kC2 VËy ρ : I → E , s ρ (s) = O + c o s s sè hãa tù nhiªn r ( s ) = j c s s + + − d ) i = si k − ( − k − s i n s s + s + d + ρ ( s) Bài Viết phơng trình tự hàm với cung đinh ốc tròn E3 tham +( ) ρ s d1 = si = k ( − k − j d i (a cos s, a sin s,bs) j (a > 0, b ≠ 0, a2 + b2 = 1) Gi¶i Ta cã, (−a sin s, a cos s,b) r ' ( s ) vµ = r' (s ) = r''(s) (−a cos s, −a sin s,0) , = r ''' ( s ) = Do ®ã a b2 = (a sin s,−a cos s,0) k ( s ) r "(s) = a = τ (s) = ( r '∧ r ") r "' b '∧ r ") ( r= E víi tham sè hãa tự nhiên Vậy cung đinhốc tròn r ( s ) (a cos s,asin s,bs) = hµm lµ k (s) = a, (a > 0,b ≠ 0, a + b = 1) có phơng trình tự ( s ) = b Bài áp dụng định lí lí thuyết đờng E3 cung song chÝnh quy chøng minh E cã ®é cong dơng không đổi, độ xoắn không đổi cung đinh ốc tròn cung tròn Giải Giả sö cung song chÝnh quy r : I → E víi tham sè hãa tù , s r(s) nhiên, có đọ cong k(s) = a > 0, độ xoắn (s) = b (a, b số) Lấy cung đinh ốc tròn ρ ( s ) a cos s a2 = + b a2 + b2 , b Ta cã a bs 2 sin s a + b , a + b2 a2 + b 2 2 ρ '(s) sin s a + b , cos s a + b , a = − a + b2 a2 + 2 a2 + b b 2 2 ρ '' (s ) = −a cos s a + b , −a sin s a + b , 2 2 ρ "'2( s) = a a + b sin s a + b , a a2 + b2 cos s a2 + b ,0 a Vì = nên s tham số tự nhiên '(s ) độ cong k , độ xoắn đợc tính lµ: □k = ρ "(s) τ□ = = a = k (s) (ρ '(s) ∧ = b =τ ρ ( s) " ( s ) ) ρ "'( s ) ( '(s) "(s)) Theo định lí bản, r khác mét phÐp dêi h×nh DƠ thÊy r»ng phÐp dêi h×nh biến cung đinh ốc tròn thành cung đinh ốc tròn Vậy r cung đinh ốc tròn Giả sử, cung tròn r : I E có độ cong k(s) = a > 0, cßn τ(s) = lÊy , s r(s) 1 ρ (s) = sin ( as ) ,0 a cos ( as ) , th× a ρ ' ( s ) = ( −sin ( as ) ,cos ( as ) ,0 ) ρ "(s) = ( −a cos(as), −a sin( as ),0 ) ρ '(s) = VËy s tham số tự nhiên Suy ra, ®é cong cđa ρ lµ = a = k ( s ) , độ xoắn k ( s ) ' ( s ) cđa ρ lµ = τ ( s ) = (vì cung phẳng) = ( s) Theo định nghĩa bản, r khác phép dời hình nên r cung tròn Bài Tìm cung thân khai đờng tròn E Giải Tron E cho hƯ trùc chn Oxy Cã thĨ cho tham sè hóa g tự nhiên đờng tròn C tâm I(a, b) bán kính R dạng r ( ss) = cos R + a, R sin + b s R s Ta cã T s = ( −sin R R s ,cos R ) Do cung thân khai cđa C cã tham sè hãa d¹ng ρ (s) = r (s) + T (c − s ) = sR cos R − (c − s s)sin + a, s Rsin R R ( s) + ( c −s s)cos +b R (với s c, c số bất kì) Bài Giải phơng trình tự hàm sau 1) k(s) =2 2) k(s) = Ta cã a s + a2 s a Gi¶i a s ∫ k(s)ds = ∫ s2 + suy a2 ds = arctg a + c LÊy c = s x(s) = ∫ cos(arctg )ds , s )ds= sin(arctg ∫ a y(s) a s Đặt t = arctg s = tgt ta cã: ln 1+ y(s(t)) = a , a a sin t ảnh đờng dây xích a x(s(t)) = sin t 1− y = ach x cost 2) Ta cã: ∫ k(s)ds = ∫ 1 hµm lµ: ds = sa suy nghiệm phơng trình tự ln s a 1 ln s y(s) = sin ln s ds ds , a x(s) = ∫cos a (a cost + sin t) x(s(t)) = a.e t at Đặt s = e ta a +1 at cã: y(s(t)) = a.e (a sin t − cost) a + ảnh cung đờng xoắn ốc logarit Kết luận Đề tài Tham số hóa tự nhiên cung ứng dụng đợc chia hai chơng: Chơng 1: Tham số hóa tự nhiên Chơng 2: Một số ứng dụng tham số hóa tự nhiên Chơng trình bày lý thuyết đờng E , số tính chất n dạng cung, công thức tính độ dài cung tham số hóa tự nhiên cung Chơng trình bày số øng dơng cđa tham sè hãa tù nhiªn cđa cung quy Một là, trình bày công thức tính độ cong độ xoắn, công thức Frénet E E Hai là, phơng trình tự hàm cách giải phơng trình tự hàm Ba là, cung túc bế cung thân khai cách tìm cung túc tron bÕ cung th©n khai g E Trong khãa luận giới thiệu số tập để ngời đọc hiểu rõ ứng dơng cđa tham sè hãa tù nhiªn cđa cung Do thời gian nghiên cứu ngắn lực thân hạn chế nên khóa luận chắn nhiều vấn đề cha đề cập đến không tránh khỏi sai xót Vì vậy, mong nhận đợc đóng góp ý kiến, bổ sung, phê bình thầy cô giáo bạn để đề tài hoàn thiện Tài liệu tham khảo Văn Nh Cơng, Hình học Afin hình học ơcơlít, NXB Đại học s phạm, Hà Nội Đoàn Quỳnh (2003), Giáo trình hình học vi phân, NXB Đại học s phạm, Hà Nội Đoàn Quỳnh (chủ biên), Trần Đình Viện, Trơng Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang (1993), Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo dục, Hà Nội Phạm Hồng Trờng (2001), Giáo trình đại số tuyến tính, NXB Đại học s phạm, Hà Nội ... E Mỗi cung tham số cung gọi tham số hóa cung, vi phôi gọi phép đổi tham số hóa cung 1.5 Cung quy 1.5.1 Điểm quy điểm kì dị Mỗi điểm cung En đợc thể tham số hóa giá trị tham số, tham số hóa... Đề tài nghiên cứu tham số hóa tự nhiên số ứng dụng nó, nhằm giải số tập hình học vi phân nhờ vào tham số hóa tự nhiên cung Đối tợng nghiên cứu Cung E , tham sè hãa tù nhiªn cđa cung n Các định... em nhận thấy tham số hãa tù nhiªn cđa cung cã nhiỊu øng dơng số dạng lí thuyết đờng Vì vậy, em chọn đề tài Tham số hóa tự nhiên cung ứng dụng để nghiên cứu ứng dụng tham số hóa tự nhiên Mục đích