Đồng nhất thức Fierz

LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận này, trước tiên tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS Hà Thanh Hùng người trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo dìu dắt tơi suốt q trình thực hồn chỉnh khóa luận tốt nghiệp Đồng thời, tơi xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Vật lí, thầy giáo, cô giáo khoa tổ Vật lý lý thuyết – Trường đại học Sư phạm Hà Nội cung cấp cho tảng kiến thức quý báu giúp đỡ, quan tâm, động viên nhiệt tình để tơi hồn thành khóa luận Nhân dịp hồn thành khóa luận này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giúp đỡ q báu Cuối cùng, tình cảm chân thành nhất, xin gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực khóa luận Mặc dù cố gắng đề tài không tránh khỏi thiếu sót Kính mong đóng góp q báu từ phía thầy bạn để đề tài tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hương LỜI CAM ĐOAN Để đảm bảo tính trung thực khóa luận, tơi xin cam đoan: ● Khóa luận tốt nghiệp “Đồng thức Fierz” cơng trình nghiên cứu cá nhân tơi thực hướng dẫn thầy giáo ThS Hà Thanh Hùng ● Các kết nghiên cứu khóa luận trung thực, nội dung khóa luận khơng trùng lặp với cơng trình nghiên cứu tác giả trước công bố Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hương MỤC LỤC PHẦN I MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG MA TRẬN DIRAC 1.1 Phương trình Dirac 1.2 Spinor Dirac 1.3 Ma trận Dirac 10 CHƯƠNG ĐỒNG NHẤT THỨC FIERZ 15 2.1 Spinor Weyl 15 2.2 Spinor Majorana 18 2.3 Dạng song tuyến tính Dirac 20 2.4 Đồng thức Fierz 23 CHƯƠNG ÁP DỤNG ĐỒNG NHẤT THỨC FIERZ TÍNH BIÊN   ĐỘ TÁN XẠ CỦA QUÁ TRÌNH TÁN XẠ e e    e e 25 3.1 Quy tắc Feynman cho trường spin 25 3.2 Áp dụng đồng thức Fierz tính biên độ tán xạ trình tán xạ   ee    e e 27 PHẦN III KẾT LUẬN 34 PHẦN IV TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 PHẦN I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Vật lí học mơn khoa học nghiên cứu quy luật từ đơn giản đến tổng quát tự nhiên Vật lí học nghiên cứu cấu trúc, tính chất vật chất thơng qua quy luật, định lý Cùng với phát triển lồi người, vật lí học trải qua nhiều giai đoạn phát triển đạt thành tựu đáng kể Vật chất cấu tạo nào? Đây có lẽ câu hỏi khó có ý nghĩa lớn lao khoa học mà người trình tìm câu trả lời Vật lí hạt mơn học nghiên cứu hạt nhỏ tạo nên vật chất, vật lí đại khẳng định vật chất cấu tạo từ nhiều loại hạt sơ cấp: quark (quark lên u, quark xuống d, quark duyên c, quark lạ s, quark đỉnh t, quark đáy b), lepton (electron e phản electron e , muon  phản muon  , tauon  phản tauon  , neutrino  ,     e  ,  phản netrino tương ứng e , ,  ,…), boson (photon  , gluon g, boson W  boson Z ) Vật lí hạt đặc biệt quan tâm, khơng giới hạn phòng thí nghiệm mà mang tầm cỡ quốc gia, quốc tế Lý thuyết trường công cụ chủ yếu để nghiên cứu trình tương tác hạt giới vi mô Lý thuyết trường lượng tử giúp ta tìm hiểu chất cấu trúc, chất tương tác phân tử, nguyên tử, hạt nhân hạt Từ đó, nhận biết q trình quy luật vật lí diễn giới vi mơ nhằm giải thích tượng giới vĩ mơ Trong tính tốn lý thuyết trường, tốn học cơng cụ vơ quan trọng Nó gắn liền với nhịp thở phát triển tri thức nhân loại nói chung ngành vật lí học nói riêng, góp phần khám phá kiến thức để ngày hoàn thiện tranh vật lí đại Khi nghiên cứu trường spinor, ta có nhu cầu viết lại thứ tự spinor Vì vậy, ta cần cơng thức tốn học thể mối quan hệ Một số đồng thức Fierz Nhờ có đồng thức mà việc tính tốn trở nên dễ dàng ngắn gọn Ta đặc biệt thấy rõ tầm quan trọng đồng thức việc tính biên độ tán xạ q trình tán xạ, từ sâu vào nghiên cứu q trình tương tác hạt Đó là lí mà tơi chọn đề tài mang tên nhà vật lí học tiếng người Thụy Sĩ Markus Fierz: “Đồng thức Fierz” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu đồng thức Fierz Nhiệm vụ nghiên cứu ● Nghiên cứu phương trình Dirac, spinor Dirac, ma trận Dirac ● Nghiên cứu spinor Weyl spinor Majorana ● Nghiên cứu song tuyến tính Dirac ● Nghiên cứu đồng thức Fierz ● Nghiên cứu giản đồ Feynman cho trường spinor có spin ● Áp dụng đồng thức Fierz để tính biên độ tán xạ trình tán     xạ e e  e e Đối tượng nghiên cứu ● Đồng thức Fierz ● Quá trình tán xạ Phạm vi nghiên cứu Trường spinor Phương pháp nghiên cứu ● Nghiên cứu lý thuyết ● Phân tích đánh giá, tổng hợp kết ● Phương pháp vật lí – tốn Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương: Chương Ma trận Dirac Chương Đồng thức Fierz Chương Áp dụng đồng thức Fierz tính biên độ tán xạ     trình tán xạ e e  e e PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG MA TRẬN DIRAC 1.1 Phương trình Dirac Phương trình Klein-Gordon gặp khó khăn mật độ xác suất âm không mơ tả hạt có spin Điều đòi hỏi phải tìm phương trình khác ứng dụng cho electron Dirac giải vấn đề Từ phương trình Klein-Gordon mơ tả hạt vơ hướng tương đối tính (hạt có spin 0):  t 2   x   y 2   z m    m  Hay đó: ( □ m )  ,  □=  t (1.1.1) Bây ta tìm dạng hiệp biến phương trình Klein-Gordon qua việc đưa vào định nghĩa: P  i   x   0,1, 2,3 Khi tốn tử Klein-Gordon có dạng: □m    P P  m Để tách tốn tử Klein-Gordon thành tích hai số hạng tuyến tính theo P : □ m2  Pm   Pm  (1.1.2) ta biểu diễn P theo hệ tuyến tính P sau: P  P    Khi đó:  P  P P    ,    (  g P P  P P   P P (         )       P  ) P        2g , (1.1.3) với g tensor metric thỏa mãn:    g   1 g  )( g   dia g 1 0    0 1 0  1, 1, 1, 1 0    1  Như với số khác phản giao hốn nên khơng số, thường mà ma trận Giả sử   ma trận bậc n,    thì:              I   với I ma trận đơn vị Lấy det vế ta được:     det (   )  det (  I   )     det  det   det (  I) det (  ) det (  )  det (  I )    Vì  ,  ma trận bậc n nên I ma trận bậc n, ta có: det(I )  1 0 1   0  0  1 1 tức  1 n   n phải chẵn Xét trường hợp n ● Trường hợp 1: Với n = Ta lập ma trận hạng độc lập tuyến tính với nhau, ma trận Pauli ma trận đơn vị:  i  1 0 1 0   ,  3  , I  i 0  1  1 , , thỏa mãn hệ thức giao hoán: 1  ,  2 1 0 Ta có ma trận   0  , 2   , 3   Nhưng I i   i I  i  1, 2, 3 1 nên không thỏa mãn hệ thức giao hốn Do vậy, ma trận hạng khơng đáp ứng ● Trường hợp 2: Với n = Ta chọn: I 0  k   ,     k I      k ma trận Pauli  k  0 (1.1.4) I ma trận đơn vị cấp Hay:  0   0 0 0  1 0  , 0 1   1   0 0  , 0 1  1 0 0 0   2   0 i  0 i   i , i 0 0   3   0  1   0 1  0 0 0  Các ma trận độc lập tuyến tính với thỏa mãn hệ thức giao hốn Vì Dirac chọn   ma trận dạng  , gọi ma trận Dirac Các ma trận Dirac xác định xác đến biến đổi unita Thay (1.1.2) vào (1.1.1) ta được:   ( P m)( P   m )   Ta đòi hỏi  thỏa mãn hai phương trình sau:  i    m   (x)  ,    x      i   m  (x)     x   (1.1.5) Thơng thường ta chọn phương trình thứ hai Phương trình mơ tả hạt có spin có tên gọi phương trình Dirac Hàm sóng  (x) có bốn thành phần Ta tìm cách tách thành hai thành phần sau:  (x)    (x)     (x)   (1.1.6) Thay (1.1.6) vào (1.1.5) ý tới (1.1.4), ta có:   k   i  i   (x)  m1 (x) ,  k x x       k   i  i     (x)  m (x)  x0  xk (1.1.7) Với spinor Dirac thành phần, (2.4.2) trở thành:      u u     u  u         5 u 1    4   u4u 3  2 2        Ta kí hiệu    A   u 2  16 tổ hợp độc lập tuyến tính ma trận Dirac: 1,  ,  ,   ,  thỏa mãn điều kiện: A B AB Tr      4 Khi đồng thức Fierz tổng quát có dạng: (u1 u2 )(u3 u4 )   C D u1 u4   u3 A B AB C C,D C D u2  A Sử dụng tính đủ 16 ma trận Γ ta có: AB C A D B C  Tr      ,  CD 16 đó:   1,   , V    ,    ,  T S A    P Cuối ta có đồng thức Fierz sau:  g ( ) ( ) i i i i   gˆ j ( j ) ( j ) , j  gˆ S  12 4 1  gS  1  gˆ      V  1 2 2 gV    gˆ     g 2 1 2 T  T 4   ˆ 2 2 gA  g A  1    gˆ P   4 12 1  g P  Đồng cho phép ta tính hệ số cần thiết CHƯƠNG ÁP DỤNG ĐỒNG NHẤT THỨC FIERZ TÍNH BIÊN ĐỘ    TÁN XẠ CỦA QUÁ TRÌNH TÁN XẠ e e  e e  Trong tính tốn biên độ q trình tán xạ, để việc tính tốn dễ dàng hơn, ta sử dụng đồng thức Fierz để viết lại thứ tự spinor cho     thích hợp, sau ta nghiên cứu q trình tán xạ e e  e e Trước tiên ta tìm hiểu quy tắc Feynman cho trường spin 3.1 Quy tắc Feynman cho trường spin Quy tắc Feynman cho điện động lực học lượng tử (ở ta xét cho spinor) xây dựng Lagrangian toàn phần sau:    LtQED   F  A   i  x     x  M  x   x   x   x F   2       x    x  m  x   x  q   x  A x  x  iq    q A          x   x     x    x  A  x       x A   x   x   x  q q điện tích tương ứng trường fermion  trường vơ  hướng mang điện  Có hai loại đường mô tả hạt thật (quan sát được) trạng thái đầu trạng thái cuối Các đường nối với giản đồ với đầu gọi đường Các đường – hạt thật ● Hạt trạng thái đầu: s, α u  p, s  p ● Phản hạt trạng thái đầu: s, α v   p, s p ● Hạt trạng thái cuối: s, α u   p, s p ● Phản hạt trạng thái cuối: s, α v  p, s p ● Trường ngoài: Aext  k  k Đối với phản hạt spinor ngoài, hướng đường spinor khác với hướng xung lượng Hướng xung lượng định hạt trạng thái đầu hay cuối Các hạt trạng thái đầu hạt bị hủy, xung lượng vào, hạt trạng thái cuối, xung lượng Hàm truyền ● Trường spin p  ● Phản hạt     i    p    m  i   p     i   p    m  i    Đỉnh tương tác     – iq    α β Đối với đường fermion, để có dạng thuận tiện (nhân ma trận), ta viết thành phần từ trái sang phải ngược chiều đường fermion 3.2 Áp dụng đồng thức Fierz tính biên độ tán xạ trình tán     xạ e e  e e Quá trình tán xạ sau: e  p1, s   e    p , s   e  k ,   e  k ,     (3.2.1)   Để mơ tả q trình trên, ta cần Lagrangian tương tác: e   e  x     e  x  A   x   Trong khuôn khổ điện động lực học lượng tử – lý thuyết tương tác hạt mang điện với photon, gần bậc thấp – gần (tree level), có hai giản đồ Feynman cho đóng góp Đó giản đồ Feynman kênh s giản đồ Feynman kênh t Giản đồ Feynman kênh s sau: p1 k2  k1 p2 Hình Giản đồ Feynman kênh s cho tán xạ ee  ee Biên độ tán xạ ứng với kênh s là: e2 M i v  p , s   u  p , s  u  k s q  i  ,   v  k (3.2.2) ,   với q  p1  p2 hàm truyền photon chuẩn t’Hooft – Feynman sử dụng Giản đồ Feynman kênh t là: e e e p1 k1 p2 k2 e   Hình 5: Giản đồ Feynman kênh t cho tán xạ e e    ee Biên độ tán xạ ứng với kênh t là: e M i u  k ,    u  p , s  v  p t đó: l  p1  k1  l  i , s  v  k (3.2.3) ,   Tổng biên độ tán xạ trình là: MM M s t Dựa vào đồng thức Fierz ta có: u  k ,  u  p ,s v  p ,s  v  k ,  v  2 (3.2.4) p ,s   u  p ,s u k , v  k , nên biên độ tán xạ ứng với kênh t viết lại là: e M i v p , s  u p ,  u k   1   l  i Thay (3.2.2) (3.2.5) vào (3.2.4) ta được: t ,    2  (3.2.5) v  k ,  MM M s t  e2   v  p , s   u  p , s  u  k ,   v  k ,   i –i e   2 l  i q  i  1   2   ie v  p , s   u  p , s u  k ,    v  k ,     l  i q  i  1    ie 2 q  v  p , s   u  p , s  u  k l 2  (l  i ) (q  i ) Xét hệ khối tâm: p1 + p2 = k1 + k2 = 0, p = p1 = - p2, k = k1 = - k2 ,    v  k ,   (3.2.6) Để tính M   M M , ta sử dụng công thức sau: a(p )b(p )    b ( p2 )  a ( p1 ) , a, b  u, v  0    aa   Một vài trường hợp cụ thể như:     1,      0      ,  5   ,5 q 1q q n  q nq q , n1       5 Khi không quan tâm đến độ xoắn hạt trạng thái cuối, ta sử dụng công thức sau:       u (p, s)u (p, s)  ( p  m) ,     v (p, s)v (p, s)  ( p  m) s   (3.2.7) s Nếu ta quan tâm đến độ xoắn trạng thái cuối, công thức (3.2.7) có dạng:   u (p, s)u (p, s)  ( p  m) (1  s ) ,        ,  s )    ( p  m) (1  vs)(p, s)v (p,     s    vector dạng không gian thỏa mãn điều kiện sau: s s  Trong hệ hạt đứng yên  s p   1,   s  (0, s ) , 30   s s  (3.2.8) Khi đó: M  2 e (q – l )  u (p , s) 4 4q l s ,s, ,   v(p , s)v (k  , ) u(k , ) v (p , s) u(p , s)u (k , )  v(k , )  1 (3.2.9) 2  e (q 44 l )  v  (p , s)(   ) s ,s, ,  4q l   (p 1, s)u (p 1, s) ( ) v (p , s)u   (k , )(  )      v (k , )v   (k , )(  )  u   2   2 e (q  l )  4 4q l (k , ) ,s)v (  ) ( p  m)  (  ) v (p s,    (p2 , s)( )      (k 2 m)   (  )  u  (k ,1 )u  4q l     (k  m)   ( )  (k  m)    (  ) ( p  m)  (  ) ( p  m) (   (k1 , ) 2 e (q  l )    )   2 e (q  l )  (k2  m) Tr    ( p  m)  ( p  m)  2 Tr    e (q 2 l   )   Tr ( p  p  m  )   Tr ( k  k 4       4q l 4q l 4 2  4e (q  l )  p p p p 1  1  q4l   k  k   k  k   g  (k k   (k1  m)   m )   m2 )   Như vậy: (q M  16e 2   m  )  –g (p p 2  – l )  p p k  k   p p k  k   p p g  (k k  m2 ) q 4l    1 2 1   2 1   p1 p2  k1 k2  p1 p2  k1 k2  p p 1  g  (k1k2  m ) g  ( p1 p2  m )k  k  g ( p1 p2  m )k  k   g ( p1 p2  m 2)g Hệ số  2 2 (k1k2  m ) (3.2.10) (3.2.9) xuất ta lấy trung bình theo trạng thái spin hai hạt trạng thái đầu Trong công thức m khối lượng electron Ta có:  p k   p k 1 1  p1 k1  E – pk cos ,  p k   ( p k ) ,  p k   ( p k ) ,  p1 p2  s  2m  p k   E 2 2 2  k1k2   pk cos 2 s  2m  2( p1 p2 )  2m 2  2(E  p )  4E E lượng electron ban đầu electron trạng thái cuối, p  p , k  k  góc tán xạ, góc p1 k1 Sử dụng p  k  s  4m2 s  đặt 1 4m2 s Khi (3.2.10) trở thành : (q M  16e q 4l 2 – l )  p k p k  p k p k – p p (k k 2 1  1 2 2 32 m )pkpk pkpk 2 2 1 2  p2 p1 (k1k2  m )  k1k2 ( p1 p2  m ( p1 p2  m )(k k  m2 ) 33 )  k2k1 ( p1 p2  m ) 16e (q  l ) 2  q 4l 2k k ( p p 16e (s  l )  2 4m s 2 s 2 m  2  k k 2 4m2  ) cos   (1  4 2  s s  )  m4  ) cos     (1   4 s s )  m )  p p k k  2m ( p p s 2  s 2l 1   2(E  pk cos )  2(E  pk cos )  p p (k  m ) k s   s  2m  m  2 s  m 4m    4 m 2m        2 3 2 2 4 16 e (s l  2s 1  cos   2s 1  cos   s  m s  2m    16 16 1 3 m 2 32e (s  l   cos 2  –m   cos      ) 2    s  l 16 s 16  sl Như vậy: (s ) l M 32e  1 1   cos   m 1   cos   3  2 l –m  16 16 s  s  Sau biết biên độ tán xạ ta dễ dàng tính tiết diện tán xạ q trình, từ nghiên cứu thêm trình tương tác hạt PHẦN III KẾT LUẬN Với mục đích nghiên cứu đặt từ ban đầu, qua trình nghiên cứu hoàn thiện đề tài “ Đồng thức Fierz”, đề tài đạt số kết thể nội dung sau: Chương Giới thiệu phương trình Dirac, spinor Dirac ma trận Dirac Chương Đưa lý thuyết spinor Weyl spinor Majorana, nghiên cứu dạng song tuyến tính Dirac đưa đồng thức Fierz Chương Áp dụng đồng thức Fierz để tính biên độ tán xạ     trình tán xạ e e  e e     Như vậy, thông qua việc tính tốn q trình tán xạ e e  e e trình bày ta thấy vai trò quan trọng đồng thức Fierz Nhờ việc áp dụng đồng thức ta viết lại thứ tự spinor để từ giải tập vật lí cách đơn giản dễ dàng Tuy nhiên, điều kiện nghiên cứu nhiều hạn chế, tài liệu tham khảo thiếu thời gian nghiên cứu có hạn nên tơi chưa thể sâu nghiên cứu đầy đủ đồng thức ứng dụng đồng thức Tôi hy vọng đề tài tiếp tục nghiên cứu mức độ lý thuyết cao ứng dụng sâu sắc hơn, có ý nghĩa thực tế PHẦN IV TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU TIẾNG VIỆT Đào Trọng Đức, Phù Chí Hòa (2007), Nhập mơn lý thuyết trường lượng tử, NXB Khoa học Kĩ thuật Hoàng Ngọc Long (2006), Cơ sở vật lí hạt bản, NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ TÀI LIỆU TIẾNG ANH Michael E Peskin, Daniel V Schroeder (1995), An introduction to Quantum Field Theory, Perseus Books, Massachusetts Steven Weinberg (1996), The Quantum Theory of Fields, Cambridge University press ... CHƯƠNG ĐỒNG NHẤT THỨC FIERZ 15 2.1 Spinor Weyl 15 2.2 Spinor Majorana 18 2.3 Dạng song tuyến tính Dirac 20 2.4 Đồng thức Fierz 23 CHƯƠNG ÁP DỤNG ĐỒNG NHẤT... cứu đồng thức Fierz ● Nghiên cứu giản đồ Feynman cho trường spinor có spin ● Áp dụng đồng thức Fierz để tính biên độ tán xạ trình tán     xạ e e  e e Đối tượng nghiên cứu ● Đồng thức Fierz. .. Vì vậy, ta cần cơng thức tốn học thể mối quan hệ Một số đồng thức Fierz Nhờ có đồng thức mà việc tính toán trở nên dễ dàng ngắn gọn Ta đặc biệt thấy rõ tầm quan trọng đồng thức việc tính biên