Dạng song song tuyến tính

Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính đối với hai cơ sở khác nhau .... Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính liên hợp đối với hai cơ sở khác nha

LỜI CẢM ƠN

Em xin cảm ơn thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô giáo trong tổHình học Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ emhoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ths Đinh Thị Kim Thúy, người

đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo và truyền đạt kinh nghiệm cho em trong suốtquá trình nghiên cứu khóa luận

Do lần đầu tiên làm quen với nghiên cứu khoa học nên đề tài khóa luậncủa em không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy em rất mong được sự chỉbảo, đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này đượchoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2012.

SINH VIÊN

Đặng Thị Hoa

LỜI CAM ĐOAN

Qua một thời gian nghiên cứu, được sự giúp đỡ chỉ bảo, tận tình của côhướng dẫn, em đã hoàn thành nội dung bài khóa luận tốt nghiệp của em Emxin cam đoan bài khóa luận trên là do bản thân em nghiên cứu cùng với sựgiúp đỡ của cô giáo hướng dẫn mà có và không sao chép từ bất cứ tài liệu cósẵn nào Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2012.

SINH VIÊN

Đặng Thị Hoa

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

Chương 1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 3

1.1 Định nghĩa, ví dụ 3

1.2 Dạng song tuyến tính đối xứng, đối xứng lệch và thay phiên 5

1.3 Sự xác định dạng song tuyến tính 6

1.4 Ma trận của dạng song tuyến tính 8

1.5 Hạng của dạng song tuyến tính 10

1.6 Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính đối với hai cơ

sở khác nhau 11

1.7 Dạng toàn phương 13

Bài tập chương 1 19

Chương 2 DẠNG HERMITE 26

2.1 Dạng song tuyến tính liên hợp 26

2.1.1 Định nghĩa và ví dụ 26

2.1.2 Sự xác định định dạng song tuyến tính liên hợp 27

2.1.3 Ma trận của dạng song tuyến tính liên hợp 29

2.1.4 Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính liên hợp đối

với hai cơ sở khác nhau 29

2.1.5 Dạng toàn phương liên hợp 30

2.2 Dạng Hermite 31

2.2.1 Định nghĩa và ví dụ 31

2.2.2 Sự xác định dạng Hermite 32

2.2.3 Ma trận của dạng Hermite 32

2.2.4 Mối liên hệ giữa dạng song tuyến tính liên hợp trên không gian unita và dạng Hermite 34

2.2.5 Giới thiệu về dạng toàn phương Hermite 34

Bài

tập chương 2 37KẾT LUẬN 41TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Có thể nói, đối với sinh viên khoa Toán nói riêng và sinh viên học toánnói chung, Đại số tuyến tính là một môn khoa học quan trọng vì nó là nềntảng của nhiều môn toán như: Hình học Aphin, Hình học Ơclit, Hình học viphân

Cấu trúc không gian vectơ cho phép diễn đạt các khái niệm như độclập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính, tập sinh, hạng, cơ sở và tọa độ,không gian con k chiều (đường thẳng, mặt phẳng)…Tuy nhiên cấu trúc nàychưa cho phép nói đến các khái niệm mang nội dung hình học nhiều hơn như

độ dài vectơ và góc giữa hai vectơ…Để diễn đạt những khái niệm này,người ta cần cấu trúc không gian vectơ Euclid Chính vì thế ta cần nghiêncứu và tìm hiểu sâu hơn về dạng song tuyến tính Do đó em đã chọn đề tài:

“Dạng song tuyến tính”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về dạng song tuyến tính

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là đại số tuyến tính, cụ thể là dạng song tuyếntính

tính

Phạm vi nghiên cứu là tất cả tài liệu liên quan đến dạng song tuyến

4 Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài liệu có liên quan…

5 Nội dung của khóa luận

Nội dung của khóa luận gồm có hai chương chính như sau:

Chương 1 Dạng song tuyến tính

7

Nội dung của chương 1 xoay quanh 2 vấn đề chính:

Định nghĩa dạng song tuyến tính và các khái niệm, các định lí liên quanđến dạng song tuyến tính nhằm giúp chúng ta hiểu rõ hơn về vấn đề mà chúng

ta đang nghiên cứu

Định nghĩa dạng toàn phương và các khái niệm, các định lí của dạngtoàn phương, phương pháp Lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chínhtắc

NỘI DUNG Chương 1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH

Nói cách khác khi cố định một biến thì f là dạng tuyến tính đối với biến

còn lại Dạng song tuyến tính trênV ×V còn được gọi là dạng song tuyến

tính trên V

Ví dụ 1.

a) Nếu g là một dạng tuyến tính trên V và h là một dạng tuyến tính trên

W, thì f(x, y) = g(x).h(y) với mọi x ∈V,

)∈K3

Vì g(x) là một dạng tuyến tính trên K2 nên f (x, y) thỏa mãn (I)

Vì h(y) là một dạng tuyến tính trên K3 nên f (x, y) thỏa mãn (II)

Suy ra f(x, y) thỏa mãn các điều kiện của một dạng song tuyến

tính Vậy f là một dạng song tuyến tính trên K2 × K3

b)Ánh xạ f : K2 × K2 → K cho bởi

a b

f (a, b, c,d) =

c d

là một dạng song tuyến tính (tính chất của định thức)

Thật vậy, với bất kì x = (a, b), y = (c,d), x′ = (a′, b′),

Ví dụ 3 Nếu E là không gian Euclid, thì tích vô hướng là một dạng

song tuyến tính trên E Thật vậy, Với ∀x, x1, x2 , y, y1, y2

= x, y1

+ x, y

2

1.2 Dạng song tuyến tính đối xứng, đối xứng lệch và thay phiên

tính thay phiên, vừa là đối xứng lệch

(ii) Dạng song tuyến tính f (x, y) = x1y1 +

1 Mọi dạng song tuyến tính thay phiên là đối xứng lệch

Thật vậy: do f là dạng song tuyến tính thay phiên nên với mọi x,



⇔ f (x, x) + f (x, y) + f (y,x) + f (y, y) = −f (x, x)

− f (x, y) − f (y,x) − f (y, y)

⇔ 2f (x, y) + 2f (y,x) = 0 ⇔ f (x, y) = −f

2 Mọi dạng song tuyến tính trên V đều có thể biểu được thành tổng của mộtdạng song tuyến đối xứng và một dạng song tuyến tính thay phiên trên V.Thật vậy: với ∀x, y∈V đặt

f1(x, y) =1

{f (x, y) + f (y, x)} 2

f2 (x, y) = 1

{f (x, y) − f (y, x)} 2

Dễ dàng chứng minh được f1là dạng song tuyến tính đối xứng và f2 làdạng tuyến tính thay phiên thỏa mãn f = f1 + f2

f (υi,ωj) = aij,i = 1, 2, m, j = 1, 2, n

và f là dạng song tuyến tính duy nhất trên V thỏa mãn điều kiện này

Nếu kí hiệu A = (aij) ∈M(m, n; K) thì ta có thể viết f(x, y) như

x = x1υ1 + + xmυm, y

= y1ω1 + + ynωn ∈ V

ta có:

f (x,βy) = βf (x, y) Do đó f là dạng song tuyến tính trên

Vì vậy ta có: f (υi, ωj) = aij với mọi cặp (i, j)

Giả sử g là một dạng song tuyến tính trên V thỏa mãn điều kiệng(υi,ωj) = aij

Vậy f = g Định lí được chứng minh.

1.4 Ma trận của dạng song tuyến tính

Định nghĩa

Ma trận A =

(aij)m×n trong đó aij = f (νi,ωj),i = 1, 2, m,

j = 1, 2, nđược gọi là ma trận biểu diễn của dạng song tuyến tính f trên V × W theo cặp cơ sở (S, T) Nếu f là dạng song tuyến tính trên V thì ma trận biểu diễn của f theo cặp (S, S) được nói gọn là ma trận biểu diễn của f theo S

Ví dụ Tìm ma trận biểu diễn của dạng song tuyến tính f với

i) Dạng song tuyến tính f trên K2 × K3 được cho bởi

f (x1, x2; y1, y2 , y3 ) = (x1 − x2 )(y1 − 2y2 + y3 )ii) Dạng song tuyến tính trên R 2 , x = (x1, x2 ), y = (y1, y2 ) cho bởi

x1 x2

f (x, y) =

y1 y2iii) Nếu f là tích vô hướng trên không gian vectơ Euclid, thì ma trậnbiểu diễn của f theo cơ sở

thế nào?

Giải

(a) = {a1,a2 , an}trong không gian vectơ E như

 a11i)Đặt A = 

= f (e2 , ε3) =

−3Vậy ma trận của f theo cặp cơ sở ((e),(ε)) là

2 Nếu A là ma trận biểu diễn của một dạng song tuyến tính f Khi đó f đối

xứng khi và chỉ khi A đối xứng, và f đối xứng lệch khi và chỉ khi A đối xứnglệch Thật vậy:

∗ f đối xứng khi và chỉ khi A đối xứng



Rõ ràng, nếu f đối xứng thì aij = f (υi, ωj) = f (ωj, υi )

= a ji với mọi i, j nên A đối xứng

aij = f (υi, ωj) = −f (ωj, υi ) = −a ji với

Thật vậy, chọn cơ sở của K2 là (e) = {e1=(1,0),e2 = (0,1)} ta có

Vậy hạng của dạng song tuyến tính f là rankf = 2

1.6 Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính đối với hai

cơ sở khác nhau

Theo định nghĩa, ma trận dạng song tuyến tính thay đổi khi ta đổi cơ sởcủa không gian vectơ Ta hãy xét mối liên quan giữa hai ma trận của cùngmột dạng song tuyến tính đối với hai cơ sở khác nhau

Định lí 1.2. Giả sử trong không gian tuyến tính V, cho hai cơ sở(S) = {υ1,υ2 ,

υn} và

(T) = {ω1,ω2 , ωn} A và B là hai ma trận tương ứng

của cùng một dạng song tuyến tính f (x, y) trong(S)và(T), P là ma trận chuyển từ cơ sở (S) sang cơ sở (T) Khi đó ta có

B = PTAPtrong đó PT là ma trận chuyển vị của ma trận P

với mọi k,l = 1,…,n, bkl chính là phần tử nằm ở dòng k, cột l của ma trận

PTAP Điều này tương đương với B = PTAP □

Chú ý:

1 Ta có det P ≠ 0; rank ( B ) = rank ( A )

2 Như đã biết, một vectơ ej của hệ cơ sở (e) = {e1, e2, en}có tọa độ trong hệ

cơ sở (e) là ej = (0,0,…0,1,0,…0) và một vectơ x có biểu diễn

x = (x1, x2

, xn )

trong cơ sở (e) Do đó nếu không nói gì thêm, thì ta luôn

hiểu hệ (e) , xác định như trên là hệ chính tắc và nói cho x = (x1, x2 , xn) thì hiểu đây là tọa độ của x trong hệ cơ sở chính tắc

3 Hai ma trận A và B như trên được gọi là tương đẳng Như vậy hai ma trận

là tương đẳng với nhau khi và chỉ khi chúng là ma trận biểu diễn của cùngmột dạng song tuyến tính

Cách 2 Trong cơ sở (e) , f có ma trận

là dạng toàn phương trên V sinh bởi f (hoặc liên kết với f)

Ví dụ Với mọi vectơ x = (x1, x2 ), y = (y1, y2 ) , dạng song

tuyến tính

f (x, y) = 3x1y2 − x2y1, sinh ra dạng toàn phương Γ(x) = 2x1x2

Nhận xét Có thể có nhiều dạng song tuyến tính cùng sinh ra một dạng toàn

phương Chẳng hạn, nếu f là một dạng song tuyến tính không đối xứng, tađặt g(y, x) = f (x, y),∀x, y∈V thì các dạng song tuyến tính f và gtrên V cùng sinh ra một dạng toàn phương nhưng f ≠ g

Bổ đề sau đây không chỉ cho ta ví dụ, mà còn cho ta biết dạng tổng quát củadạng toàn phương, đồng thời giải thích tên gọi ‘‘toàn phương’’ (toàn bậc hai)

Bổ đề 1.1 Cho S là cơ sở của không gian vectơ V chiều n Một ánh xạ

trong đó (x1, x2 , , xn ) là tọa độ của x theo S và aij ∈K

Nếu ta cố định một cơ sở S của không gian vectơ, thì nhiều khi ta cũngnói Γ(

x)

là dạng toàn phương của các biến (tọa độ) x1, x2 , xn Ngược lại,

khi cho dạng toàn phương dưới dạng

Chú ý Cho một trường P với đơn vị e, nếu đẳng thức ne = 0 xảy ra với một

số nguyên dương n, thì số bé nhất trong các số đó gọi là đặc số của của trường

P Nếu không tồn tại số nguyên dương n như vậy thì ta nói đặc số của trường Pbằng 0 Vậy đặc số của trường chỉ có thể là số nguyên tố hoặc số 0 Kí hiệu

là char(P) = n Ví dụ, trường các số hữu tỉ ¤ , trường các số thực ¡ ,trường số phức £ có đặc số bằng 0, trường thặng dư theo môđun nguyên tố p

Giả sử f là dạng song tuyến tính nào đó sinh ra dạng toàn phương

có thể thấy ngay h là dạng song tuyến tính đối xứng V sinh ra Γ

Giả sử k cũng là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V sinh ra

(a′ij) được gọi là ma trận biểu diễn của Γ .

Định lí 1.3 Giả sử char(K) ≠ 2 Nếu f là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V có chiều n, thì tồn tại cơ sở S để ma trận biểu diễn của nó có dạng đường chéo hay theo cơ sở đó f và dạng toàn phương sinh bởi nó được cho bởi các công thức sau:

f (x, y) = d1x1y1 + + dnxnyn

Γ(x) = d1x1

+ + dnx n

Dạng này được gọi là dạng chính tắc của dạng toàn phương Nói cáchkhác mọi dạng toàn phương đều có thể đưa về dạng chính tắc.

Chứng minh Giả sử Γ là một dạng toàn phương trên không gian vectơ

V Dễ dàng chứng minh được định lí bằng qui nạp theo số chiều n của V.Việc tìm ma trận biểu diễn dạng chính tắc của dạng song tuyến tính đốixứng tương đương với việc tìm dạng chính tắc của dạng toàn phương sinh bởi

nó Điều đó được thực hiện bằng thuật toán sau:

Thuật toàn Lagrange

Thuật toán này được thực hiện theo cách giảm dần số biến Cho matrận đối xứng A = (gij) là ma trận biểu diễn của Γ

1 Nếu gij = 0 với mọi i thì chọn hệ số gij ≠ 0 Khi đó i ≠ j Thực hiện phép biến đổi biến

xk = yk (k ≠ j)



x j = yi + yjKhi đó ta đưa về trường hợp 2 sau đây

2 Tồn tại gii ≠ 0 Chọn một i như vậy Thực hiện phép đổi biến

lại vớinhau và thêm vào một bình phương tổ hợp tuyến tính của các biến còn lại đểđược một bình phương đủ, và do đó sẽ tách ra được một dạng toàn phương có

số biến ít hơn Cụ thể khi đó Γ(y1, yn ) = diyi2 + Γ′(y1, , y□i, yn )

3 Lặp lại các bước trên đối với Γ′ và cứ thế tiếp tục cho đến khi

đạtđược dạng chính tắc Γ(z) = d1z 2

4 Biểu diễn x1, xn qua z1, zn ta được ma trận chuyển cơ sở P gồmcác dòng là các vectơ hệ số của xi (biểu diễn

để biểu thức trong móc vuông thành bình phương đủ.

⇒ Γ(z) = 2z2

− 1 z2 + 2z 3z + 9z2

 − 4z2 = 2u2 − 1 u2 + 4u2trong đó

u3) = 2u2 −

u2 + 4u22

Chứng minh rằng f là dạng song tuyến tính trên M2.

Bài 5 Viết ma trận của dạng song tuyến tính f trên

□ trong cơ sở chính tắc,

ở đây

x = (x1, x2 , x3 ), y = (y1, y2 , y3 )

3

Bài 7 Tìm ma trận của dạng song tuyến tính f trên K3 trong cơ sở tự nhiên:

Bài 10 Tìm dạng chính tắc và các phép biến đổi tuyến tính biến các dạng

toàn phương sau về dạng chính tắc đó (xét trên □ )

a) x2 − 5x2 + 4x2 + 4x x − 2x x

b) 4x2 − x2 + x2 + 4x x − 8x

x + 3x x c)x1x2 + x2x3 + x3x1

Bài 11 Chứng minh rằng hạng của dạng song tuyến tính không phụ thuộc vào

ma trận biểu diễn (khi thay đổi cơ sở)

Bài 12 Giả sử f là dạng song tuyến tính đối xứng trên không gian Euclid hữu

hạn chiều E Khi đó tồn tại cơ sở trực chuẩn của E đồng thời là một cơ sở f_trực giao

HƯỚNG DẪN Bài 1 a) Nếu c = 0 thì dễ dạng kiểm tra được f thỏa mãn 4 điều kiện về dạng

song tuyến tính nên f là dạng song tuyến tính

Nếu c ≠ 0 thì ta thấy với nên f không là dạng song tuyến tính

b) f không là dạng song tuyến tính vì f không thỏa mãn (I)

c) f không là dạng song tuyến tính vì f không thỏa mãn (II)

d) f không là dạng song tuyến tính vì f không thỏa mãn (II)

e) f là dạng song tuyến tính vì f thỏa mãn các điều kiện của dạng song tuyến tính

Bài 2 Lấy p = a0

+a1x1+a2x2 ,

p1 = a01+a11x1+a21x2 , p2 = a02 +a12x1+a22x2

q = b0

+b1x1+b2x2 , q1 = b01+b11x1+b21x2 , q2 = b02 +b12x1+b22x2 ,

λ,µ∈□f(p1+p2

Tương tự, điều kiện (II) cũng đúng Vậy f là dạng song tuyến tính

Bài 3 Ánh xạ f cho như trên không là dạng song tuyến tính (theo định nghĩa

Vậy f là dạng song tuyến tính.

a21 = f (υ2 , υ1) = 9 a22 = f (υ2 ,

υ2 ) = 8 a23 = f (υ2 , υ3) = 3 a31 = f (υ3, υ1) = 11 a32 = f (υ3, υ2 ) = −9 a33

= f (υ3, υ3) = 1

2 2 2

1 2

12 3b)Γ(x) = x1 − x2 − x3 + 4x1x2 − 2x1x3 + 3x2x3