Dạng song song tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐẶNG THỊ HOA DẠNG SONG TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - ĐẶNG THỊ HOA DẠNG SONG TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học THS ĐINH THỊ KIM THÚY HÀ NỘI – 2012 LỜI CẢM ƠN Em xin cảm ơn thầy giáo khoa Tốn, thầy giáo tổ Hình học Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hồn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ths Đinh Thị Kim Thúy, người tận tình hướng dẫn bảo truyền đạt kinh nghiệm cho em suốt q trình nghiên cứu khóa luận Do lần làm quen với nghiên cứu khoa học nên đề tài khóa luận em khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì em mong bảo, đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 SINH VIÊN Đặng Thị Hoa LỜI CAM ĐOAN Qua thời gian nghiên cứu, giúp đỡ bảo, tận tình hướng dẫn, em hồn thành nội dung khóa luận tốt nghiệp em Em xin cam đoan khóa luận thân em nghiên cứu với giúp đỡ cô giáo hướng dẫn mà có khơng chép từ tài liệu có sẵn Nếu sai em xin hồn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2012 SINH VIÊN Đặng Thị Hoa MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa, ví dụ 1.2 Dạng song tuyến tính đối xứng, đối xứng lệch thay phiên 1.3 Sự xác định dạng song tuyến tính 1.4 Ma trận dạng song tuyến tính 1.5 Hạng dạng song tuyến tính 10 1.6 Liên hệ hai ma trận dạng song tuyến tính hai sở khác 11 1.7 Dạng toàn phương 13 Bài tập chương 19 Chương DẠNG HERMITE 26 2.1 Dạng song tuyến tính liên hợp 26 2.1.1 Định nghĩa ví dụ 26 2.1.2 Sự xác định định dạng song tuyến tính liên hợp 27 2.1.3 Ma trận dạng song tuyến tính liên hợp 29 2.1.4 Liên hệ hai ma trận dạng song tuyến tính liên hợp hai sở khác 29 2.1.5 Dạng toàn phương liên hợp 30 2.2 Dạng Hermite 31 2.2.1 Định nghĩa ví dụ 31 2.2.2 Sự xác định dạng Hermite 32 2.2.3 Ma trận dạng Hermite 32 2.2.4 Mối liên hệ dạng song tuyến tính liên hợp khơng gian unita dạng Hermite 34 2.2.5 Giới thiệu dạng toàn phương Hermite .34 Bài tập chương 37 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Có thể nói, sinh viên khoa Tốn nói riêng sinh viên học tốn nói chung, Đại số tuyến tính mơn khoa học quan trọng tảng nhiều mơn tốn như: Hình học Aphin, Hình học Ơclit, Hình học vi phân Cấu trúc không gian vectơ cho phép diễn đạt khái niệm độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính, tập sinh, hạng, sở tọa độ, không gian k chiều (đường thẳng, mặt phẳng)…Tuy nhiên cấu trúc chưa cho phép nói đến khái niệm mang nội dung hình học nhiều độ dài vectơ góc hai vectơ…Để diễn đạt khái niệm này, người ta cần cấu trúc không gian vectơ Euclid Chính ta cần nghiên cứu tìm hiểu sâu dạng song tuyến tính Do em chọn đề tài: “Dạng song tuyến tính” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức dạng song tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đại số tuyến tính, cụ thể dạng song tuyến tính Phạm vi nghiên cứu tất tài liệu liên quan đến dạng song tuyến tính Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, internet tài liệu có liên quan… Nội dung khóa luận Nội dung khóa luận gồm có hai chương sau: Chương Dạng song tuyến tính Nội dung chương xoay quanh vấn đề chính: Định nghĩa dạng song tuyến tính khái niệm, định lí liên quan đến dạng song tuyến tính nhằm giúp hiểu rõ vấn đề mà nghiên cứu Định nghĩa dạng toàn phương khái niệm, định lí dạng tồn phương, phương pháp Lagrange đưa dạng tồn phương dạng tắc Chương Dạng Hermite Nội dung chương vào tìm hiểu dạng song tuyến khơng gian vectơ phức xoay quanh vấn đề chính: Trình bày định nghĩa, định lí liên quan đến dạng song tuyến tính liên hợp Định nghĩa dạng Hermite (dạng song tuyến tính liên hợp đối xứng) khái niệm liên quan đến dạng Hermite NỘI DUNG Chương DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa, ví dụ Cho V W hai không gian vectơ trường K Định nghĩa Ánh xạ f : V × W → K gọi dạng song tuyến tính V× W thỏa mãn điều kiện sau với x, x ′ ∈V , y, y ′ ∈ W α,β f (x + x′, y) = f (x, y) + f (x′, y), f (αx, y) ∈K : (I) = αf (x, y) (II) f (x, y + y′) = f (x, y) + f (x, y′), f (x,βy) = βf (x, y) Nói cách khác cố định biến f dạng tuyến tính biến lại Dạng song tuyến tính trênV ×V gọi dạng song tuyến tính V Ví dụ a) Nếu g dạng tuyến tính V h dạng tuyến tính W, f(x, y) = g(x).h(y) với x ∈V, y∈ W V × W Chẳng hạn V dạng song tuyến tính W = K , = K f (x, y) = (x1 + x )(y1 − 2y + 3y3) dạng song tuyến tính Thật vậy, đặt K × K g(x) = x1 + x ,∀x ( x , x ) ∈K h(y) = y1 − 2y + 3y3 ,∀y ( y1, y2 , y3 ) ∈K Vì g(x) dạng tuyến tính K nên f (x, y) thỏa mãn (I) Vì h(y) dạng tuyến tính K nên f (x, y) thỏa mãn (II) Suy f(x, y) thỏa mãn điều kiện dạng song tuyến tính Vậy f dạng song tuyến tính K × K 2 b)Ánh xạ f : K × K → K cho a b f (a, b, c,d) = c d dạng song tuyến tính (tính chất định thức) K Thật vậy, với x = (a, b), y = (c,d), x′ = (a′, b′), y′ = (c′, d′) thuộc α,β ta có: ∈K a+ a′ f (x + x′, y) = c b+ b′ d a′ b′ = + c d c d a b = f (x, y) + f (x′, y) αa αb a b = αf (x, y) f (αx, y) = α = c d c d a b a b a b f (x, y + y′) = = f (x, y) + f (x, y′) = + c+ d+ c d c′ d′ c′ d′ f (x,βy) a b = βf (x, y) a b = = β βc βd c d Vậy f dạng song tuyến tính K Ví dụ Nếu E khơng gian Euclid, tích vơ hướng dạng song tuyến tính E Thật vậy, Với ∀x, x1, x , y, y1, y2 ∈E ∀α,β∈□ Theo định nghĩa tích vơ hướng E ta có x1 + x , y = αx, y x ,y + x ,y = α x, y Lại có 1 x, y + = y + y ,x = y y ,x + y , x = x, y + x, y 3  1+ i   nên B = − i i ma trận Hermite    −i   2.2.4 Mối liên hệ dạng song tuyến tính liên hợp khơng gian unita dạng Hermite Định lí 2.4 Dạng song tuyến tính liên hợp f khơng gian unita E dạng Hermite tồn toán tử Hermite ϕ cho f (x, y) = ϕ(x), y ,∀x, y ∈E Chứng minh ∀x, ta có f (x, y) y ∈E = ϕ(x), y = y, (x) = f (y, x) nên f dạng Hermite Điều ngược lại hiển nhiên Định lí chứng minh 2.2.5 Giới thiệu dạng toàn phương Hermite Định nghĩa Cho f dạng Hermite V Ta gọi ánh xạ xác định Γ(x) = f (x, x) dạng toàn phương Hermite V sinh f (hoặc liên kết với f) n Ví dụ Trên □ , f (x, y) = x1 y1 + dạng Hermite + x n yn 2 Γ(x) = x1x1 + + + x n + x n x n = x1 dạng tồn phương Hermite Nhận xét: Cho E khơng gian unita chiều n Γ dạng toàn phương Hermite E Khi ta tìm thấy sở trực chuẩn S E cho 2 Γ(x) = c1 x1 + + cn x n với x ∈ E , x1, xn tọa độ x theo S Hơn số c1, cn ∈□ xác định (không kể thứ tự) nghiệm đa thức đặc trưng ma trận biểu diễn Γ theo sở trực chuẩn Nghiệm đa thức đặc trưng ma trận biểu diễn Γ theo sở trực chuẩn không phụ thuộc vào việc chọn sở, gọi giá trị riêng Ta nói dạng toàn phương Hermite Γ xác định dương Định nghĩa với x ≠ Γ(x) > Định lí 2.6 Giả sử A ma trận dạng tồn phương Hermite Γ khơng gian n chiều V Khi Γ xác định dương định thức A dương Chứng minh Giả sử Γ dạng toàn phương Hermite V A ma trận sở (ε) = {ε1, εn} Gọi Vk không gian V, sinh vectơ (ε) = {ε1, εn}với k = 1, 2, n Khi thu hẹp Γ phương với ma trận Dk =   a11 a 12  a a 21 Vk , ký hiệu Γ dạng toàn Vk a1k  a 2k  22     a a  k1 k2 akk  ‘‘ ⇒ ’’ Nếu Γ xác định dương Γ V định dương Do k xác Dk > với k = 1, 2, n ‘‘ ⇐’’ Dk > với k = 1, 2, Ta chứng minh Γ Giả sử dạng toàn phương qui nạp theo n Với n = 1, D1 = a11 > , biểu thức dạng toàn phương Γ(x) = a11x > Giả sử với n > 1, điều khẳng định với n − Khi dạng tồn phương Γ n−1 = có ma trận An−1 Theo giả thiết, định thức Γ V n−1 An−1 g Do đó, theo giả thiết qui nạp, dươn dương Vì có sở {ξ1, ξn−1} Vn−1sao cho Γn−1 xác định Γn−1 có dạng tắc, trường hợp ta có Γ n−1(ξ) = k i > 0,i = 1, 2, n − 1, sở {ξ1, ξn−1}trong bin = ϕ(ξi ,εn ) , với ϕ dạng song tuyến tính đối  k1  k2  có ma trận B =   bn1 b n2  xứng tương ứng Γ Γ Với y i ξi α +n−1 y= ∑ nεn i=1  Bằng phép đổi tọa độ: n−1 k suy Γ(x) = i + bin ki iy 0 kn b− nn b1n  b2n    bn−1n  ann  + n−1 bin y iy n + a nn y ∑ i=1 ∑n i i=1 i = 1, 2, n = z yi  z = y n n Tìm sở {ξ1, ξn} V, ma trận Γ có dạng:  k1   k2 C =   0  0 kn−1 0   0    kn −1 Gọi T ma trận chuyển từ sở (ε) sang sở (ξ) ta có C = T AT Do đó: k , k n−1, k n = C = T AT= A −1 Vì A > theo giả thiết k > , với i i = 1, 2, n nên kn = A > k.1k2 kn1 n Như sở (ξ), Γ có dạng Γ({ξ1, ξ2 , ξm}) = kiz i , ∑ i = ki > với i = 1, 2, n Vậy Γ dạng toàn phương Hermite xác định dương BÀI TẬP CHƯƠNG Bài Cho f đa thức với hệ số thực A ma trận Hermite Chứng tỏ f(A) lại ma trận Hermite Bài Cho E không gian unita Chứng minh ánh xạ f : E → □ dang song tuyến tính liên hợp tồn tốn tử tuyến tính ϕ E cho f (x, y) = x, ϕ(y) với x, y ∈E Hơn nữa, A ma trận biểu diễn f theo sở trực chuẩn S, A ma trận biểu diễn ϕ theo S Nói riêng ϕ biểu diễn theo f Bài Cho f dạng song tuyến tính liên hợp V Γ dạng toàn phương liên hợp tương ứng Chứng minh f dạng Hermite Γ(x) ∈□ với x ∈V Bài Chứng tỏ tr(AB) dạng song tuyến tính liên hợp M(m, n;□ ) × M(n, p;□ ) Bài Chứng tỏ có dạng tồn phương khơng chéo hóa được, nghĩa không đưa dạng c1y1 y + + c n y n y n phép đổi biến không suy biến, c1, ,cn ∈□ Bài Cho A ma trận Hermit Chứng minh với số thực dương c đủ lớn, A + cI ma trận Hermit xác định dương Bài Chứng tỏ tập hợp ma trận Hermite cấp n lập thành không gian vectơ E R tr(AA) dạng toàn phương xác định dương Bài Cho A ma trận vuông trường số phức Chứng minh A ma trận Hermite xác định dương tồn ma trận không suy ∗ biến C cho A = CC Bài Chứng minh A ma trận Hermite xác định dương có bậc hai, tức có ma trận Hermite xác định dương B cho A Hơn nữa, B xác định = B Bài 10 Chứng minh A ma trận Hermite tồn hai ma trận Hermite xác định dương P Q cho A = P − Q HƯỚNG DẪN ∗ ∗ Bài Chỉ cần chứng tỏ f (A) = f (A ) = f (A) ∗ Vì A ma trận Hermite nên A = A suy f ( A ) = f Theo tính chất tốn tử đa thức ta có f ∗ (A ) (A ) = f (A) ∗ ∗ ∗ ∗ Do f (A) = f (A ) = f (A) Vậy f ( A ) ma trận Hermite Bài Kí hiệu x vectơ cột tọa độ x theo sở trực chuẩn S s đó, ϕ tốn tử tuyến tính E nhận A làm ma trận biểu diễn theo sở S T Khi f (x, y) =S x SAy x, ϕ(y) T T = Sx (Ay S )= S xS Ay Như phải chứng tỏ ϕ xác định Nếu có tốn tử tuyến tính φ thỏa mãn hệ thức cho với x, y x, ϕ(y) − φ(y) = Chọn x = ϕ(y) − φ(y) ta suy ϕ = φ Bài Nếu f dạng Hermite Γ(x) = Γ(x) Ngược lại sử dụng bổ đề 2.2 ta dễ dàng chứng tỏ f (x, y) = f (y, x) với x, y ∈V Bài Sử dụng định nghĩa ta kiểm tra trực tiếp tr(AB) dạng song tuyến tính liên hợp M(m, n;□ ) × M(n, p;□ ) ∀A, A′ ∈M(m, n;□ ),∀B, B′ ∈M(n, p;□ ) ∀α,β∈□ ta có ( tr (A + A′)B ) = tr(AB) + ( ) tr(αAB) = αtr ( AB) tr A′B ( ) = tr ( A( B+ B′) ) = tr ( AB+ AB′) = tr(AB) + tr ( AB′) tr ( AβB) = tr( A( βB) ) = tr ( βAB) = βtr ( AB) tr AB+ B′ Chú ý: Vết ma trận vuông A bậc n xác định tổng ×n phần tử đường chéo kí hiệu n tr(A) = a11+a22 + + ann = i=1 ∑a ii Bài Xét dạng song tuyến tính liên hợp Γ = x1x + 2x1x2 Giả sử chéo a b  hóa Khi tồn ma trận khơng suy biến P =   để c d  2ac + ac 01  P  P =     2ad + bc T 2bc + ad    2bd + bd  ma trận đường chéo Từ suy bc = ad = Vì bc = ad = P suy biến Vơ lí Bài Gọi Γ dạng toàn phương Hermite nhận A ma trận biểu diễn n theo sở tự nhiên cho Γ có dạng biểu diễn □ Theo định lí 2.5 có sở trực chuẩn S 2 Γ(y) = c1 y1 + + cn yn , c1, cn ∈□ Lấyc > max ( −c1, , −cn ) Gọi Γ′ dạng toàn phương Hermite nhận A + cI làm ma trận biểu diễn theo sở tự nhiên Gọi P ma trận chuyển từ sở tự nhiên sang S Khi T T P IP = P P = I 67 Suy dạng biểu diễn Γ′ theo S Γ′(y) = − c)y (c 1 + + −c ) y (c n ,∀y ≠ n −1 Bài Cho A ma trận Hermite nên tồn ma trận unita P cho P AP ma trận đường chéo diag(c1, cn ) , với c1, cn ∈□ Ta có −1 −1 ( ( −1 tr(AA) = tr(P = tr diag c1 , cn AAP) = tr(P 2 )) APP AP) ≥ Dấu xảy c1 = = cn = , tức A=0 Bài A= T P DP ∗ Nhận xét A = A , tồn ma trận unita P cho D ma trận đường chéo A xác định dương D = B , B ma trận đường chéo với số thực dương đường chéo Khi −1 T A = P BP PBP = C = T P BP T ( ý từ PP ( ∗ Ngược lại, ta có x CC∗ khơng suy biến) )x (xC).xC T T = ( T P BP = I ta suy xC, xC T ∗ PBP =: CC ( ) ) T P = P ) −1 > với x ≠ (vì C = ∗ ∗ Chú ý: Ma trận A ma trận unita A A = A.A = I Bài Chéo hóa ma trận unita, ta giả thiết A = diag ( c1, cn ) , c1, cn ∈□ Bây viết ci = pi − qi , pi ,q i số thực dương, ta suy điều phải chứng minh 68 Bài 10 Chéo hóa A, ta đồng thời chéo hóa I ± iA ma trận có phần tử đường chéo khác KẾT LUẬN Khóa luận trình bày số kiến thức liên quan đến dạng song tuyến tính Chương gồm định nghĩa, định lí dạng song tuyến tính phương pháp Lagrange đưa dạng tồn phương dạng tắc Chương hai gồm định nghĩa, định lí dạng song tuyến tính liên hợp dạng Hermite Q trình tìm tòi để hồn thành khóa luận em hiểu thêm nhiều kiến thức dạng song tuyến tính Một lần cho phép em bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy cô tổ hình học, đặc biệt Ths Đinh Thị Kim Thúy - người giúp đỡ em suốt trình thực đề tài Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em mong thầy giáo, bạn sinh viên đóng góp ý kiến trao đổi để luận văn hoàn thiện tốt thực trở thành tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên sinh viên TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Khắc Ban, Hình học affin hình học Euclid, ĐHSPHN Văn Như Cương – Tạ Mân (1998), Hình học affin hình học Euclid, ĐH Quốc Gia Hà Nội Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính ví dụ tập, ĐH Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Hữu Việt Hưng (2000), Đại số tuyến tính, ĐH Quốc Gia Hà Nội Lương Hữu Thanh (1989), Hướng dẫn giải tập đại số tuyến tính Đại học Giao Thơng Vận Tải Nguyễn Duy Thuận (2003), Đại số tuyến tính, ĐHSPHN Phan Hồng Trường (2001), Giáo trình đại số tuyến tính, trường ĐHSP Hà Nội ... dạng tuyến tính biến lại Dạng song tuyến tính trênV ×V gọi dạng song tuyến tính V Ví dụ a) Nếu g dạng tuyến tính V h dạng tuyến tính W, f(x, y) = g(x).h(y) với x ∈V, y∈ W V × W Chẳng hạn V dạng. .. hướng dạng song tuyến tính E 1.2 Dạng song tuyến tính đối xứng, đối xứng lệch thay phiên Định nghĩa Dạng song tuyến tính f (x, y) V gọi đối xứng f (x, y) = f (y, x), ∀x, y ∈V Dạng song tuyến tính. .. liên quan đến dạng song tuyến tính liên hợp Định nghĩa dạng Hermite (dạng song tuyến tính liên hợp đối xứng) khái niệm liên quan đến dạng Hermite NỘI DUNG Chương DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 1.1 Định