TÁC GIẢ : HUỲNH ĐỨC KHÁNH Giúp bạn chinh phục câu bất đẳng và hiểu rõ hơn về nó. Tài liệu bao gồm các ví dụ và các bài giải chi tiết giúp các bạn hiểu rõ hơn về bất đẳng thức như cauchy,bunhiacopzk,... Chúc các bạn thành công
Huỳnh Đức Khánh BAỉI TOAN MIN MAX Bài Cho a , b , c số thực d−¬ng tháa m·n a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= + ( ab + bc + ca) abc Lời giải Với số thực dơng x , y , z ta cã : 2 ( x − y) + ( y − z) + ( z − x) ≥ ⇔ x2 + y2 + z2 ≥ ( xy + yz + zx) ( ) ⇔ x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx ⇔ x2 + y2 + z2 + ( xy + yz + zx) ≥ ( xy + yz + zx) (*) ⇔ ( x + y + z) ≥ ( xy + yz + zx) Thay x = ab, y = bc, z = ca (*) trở thành 2 ( ab + bc + ca) ( ab + bc + ca) ⇔ abc ≤ ( ab + bc + ca) ≥ 3abc ( a + b + c) ⇔ abc ≤ ( a + b + c) Do ®ã P≥ ( ab + bc + ca) + ( ab + bc + ca) = 27 ( ab + bc + ca) + ( ab + bc + ca) §Ỉt t = ab + bc + ca Tõ (*) , suy < t ≤ Khi P Xét hàm số f (t) = 27 t + 2t trªn (0;3] Ta cã f ' (t) = − 54 t3 27 t2 + 2t + < , ∀t ∈ (0;3 ] Suy hàm số f (t) nghịch biến trªn (0;3 ] nªn f (t) ≥ f (3) = , t (0;3 ] Vậy giá trị nhá nhÊt cña P b»ng ; a = b = c = Huỳnh Đức Khánh Cách (tham khảo thêm) Không tính tổng quát, ta gi¶ sư a = max {a; b; c} Khi ®ã = a + b + c ≤ a + a + a = 3a hay a ≥1 L¹i cã = a + b + c ≥ 33 abc Đặt f ( a; b; c) = hay abc ≤ + ( ab + bc + ca) abc b + c b + c Suy f a; ; = 2 a (b + c) + 2a (b + c) + (b + c) XÐt hiÖu b + c b + c (b + c) 12 f ( a; b; c) − f a; ; = − + 2bc − 2 abc a (b + c) 2 (b + c) − 4bc (b + c)2 − 4bc 1 2 − = = − − b c ( ) ≥0 2 abc (b + c)2 abc (b + c) 3 Do abc (b + c) ≤ 1.22 = nªn ≥ > abc (b + c) b + c b + c Tõ ®ã suy P = f ( a; b; c) ≥ f a; ; hay 2 P≥ XÐt hµm f ( a) = 12 a (b + c) + 2a (b + c) + (b + c) = 2 12 a (3 − a) 12 a (3 − a) + 2a (3 − a) + (3 − a) víi a ≥ Cuèi cïng ta chøng minh f ( a) ≥ f (1) = , ∀a ≥ VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa P b»ng ; a = b = c = + 2a (3 − a) + (3 − a) Huúnh §øc Khánh Bài Cho a , b , c số thực thuộc đoạn [1;3] thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc 13 P = a4 + 10b2 + c4 − ( 3 a +c ) + 13b +5 Lời giải Vì a ∈ [1;3] nªn ( a − 1)( a − 3) ≤ Do ®ã ta cã ( a − 1)( a − 3)(4 a + 3) ≤ 4 a3 ≤ 13a2 − ⇔ ( a − 1)( a − 3) a2 + a + ≤ a4 ≤ 10 a2 − 4 c3 ≤ 13c2 − Tơng tự, ta có Khi c4 ≤ 10 c2 − 13 P ≤ 10 a2 + b2 + c2 − 18 − ⋅ 13 a2 + b2 + c2 − 13 ( ( ) ) ( ) Đặt t = a2 + b2 + c2 ≥ a, b, c ≥ L¹i cã ( a − 1)(b − 1)( c − 1) ≥ abc − ( ab + bc + ca) + ( a + b + c) − ≥ a, b, c ∈ [1;3] ⇒ ⇔ ( a − 3)(b − 3)( c − 3) ≤ abc − ( ab + bc + ca) + ( a + b + c) − 27 ≤ LÊy (1) − (2) , ta ®−ỵc ( ab + bc + ca) − ( a + b + c) + 26 ≥ ⇔ ( ab + bc + ca) − 48 + 26 ≥ ⇔ ab + bc + ca ≥ 11 Mµ t = a2 + b2 + c2 = ( a + b + c) − ( ab + bc + ca) ≤ 36 − 22 = 14 Suy t ∈ [3;14 ] XÐt hµm sè f (t) = 10t − 18 − Ta cã f ′ (t) = 10 + 13 13 t −1 trªn t ∈ [3;14 ] > , ∀t ∈ [3;14 ] (t − 1) Suy P ≤ f (t) = f (14) = 121 Vậy P đạt giá trị lớn b»ng 121 ; ( a; b; c) = (1;2;3) hoán vị (1) (2) Huỳnh Đức Khánh Bài Cho x , y số thực tháa m·n x2 + ( y − 1) = y < Tìm giá trị lớn cđa biĨu thøc P= 2 − x + ( y − 3) − (x + 3) +y −5 2 (x − 3) +y Lêi gi¶i 2 Víi mäi sè thùc x , y tháa m·n x + ( y − 1) = vµ y < Ta cã (x + 3) + y2 + ⇔ x2 + y2 + + ⋅ ( ) 2 + y2 = x2 + ( y − 3) (x − 3) (x + 3) + y2 ⋅ (x − 3) + y2 = x2 + y2 − y + ⇔ x2 + y2 + y − + y4 + x2 + y2 + x2 − ( ) ⇔ y4 + x2 + y2 + x2 − ( ) ⇔ y2 − y + x2 − ( ( ) ) ( ) =0 = − x + y2 + y ( ) = Đẳng thức cuối nên ta có điều cần chứng minh 1 Khi áp dụng bất đẳng thức + ≥ , ta cã a b a+b 1 + ≥ 2 x + + y2 x − + y2 x + + y2 + x − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 Do ®ã P = − + −5 2 2 2 x + ( y − 3) x− + y x+ + y 4 − = −5 ≤ − 2 2 x + ( y − 3) x + ( y − 3) Vậy giá trị lớn P ; x = , y = −1 ( ) ( ) = +y 2 x + ( y 3) Huỳnh Đức Khánh Cách Phơng pháp Hình học Gọi M ( x; y) víi y < vµ tháa m·n x2 + ( y − 1) = Suy M thuộc đờng tròn tâm I (0;1) , bán kính R = ( ) ( Gäi A (0;3) , B − 3;0 , C ) 3;0 Khi ®ã 4 − + − −5 (1) − ≤ MA MB MC MA MB + MC Ta có tam giác ABC M , A, B, C thuộc ( I ;2) nên tứ giác MABC néi tiÕp P= Suy MA BC = MB AC + MC AB hay MA = MB + MC (do BC = AC = AB ) Tõ (1) vµ (2) , suy P ≤ −5 MB = MC Dấu '' = '' xảy chi : M (0;3) (loại) M (0; −1) M ∈ ( I ;2) VËy giá trị lớn P ; x = , y = −1 (2)