TÁC GIẢ : HUỲNH ĐỨC KHÁNH Giúp bạn chinh phục câu bất đẳng và hiểu rõ hơn về nó. Tài liệu bao gồm các ví dụ và các bài giải chi tiết giúp các bạn hiểu rõ hơn về bất đẳng thức như cauchy,bunhiacopzk,... Chúc các bạn thành công
Trang 1BAỉI TOAÙN MIN – MAX
Bài 1. Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn a+ + =b c 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3 2(ab bc ca)
abc
Lời giải
Với mọi số thực dương x , y , z ta có :
2
2
0
x y z xy yz zx x
x
zx
ư +
ư
⇔(x+y+z)2≥3(xy+y z+zx) ( )* Thay x=ab y, =bc z, =ca thì ( )* trở thành
2
3
a
ca
b
c
c
+ +
Do đó
9
ab bc ca
+
Đặt t=ab+bc+ca Từ ( )* , suy ra 0< ≤ Khi đó t 3 272
2
t +
Xét hàm số f t( ) 272 2t
t
= + trên (0;3 Ta có ] f'( )t 543 2 0
t
= ư + < , ∀ ∈t (0;3] Suy ra hàm số f t( ) nghịch biến trên (0;3] nên f t( )≥f( )3 =9, ∀ ∈t (0;3]
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 9; khi a= = =b c 1
Trang 2Cách 2. (tham khảo thêm) Không mất tính tổng quát, ta giả sử a=max{a b c; ; } Khi đó
3= + + ≤ + + =a b c a a a 3a hay a≥1 Lại có
3
3= + + ≥a b c 3 abc hay abc≤ 1
Đặt f a b c( ; ; ) 3 2(ab bc ca)
abc
Suy ra
2
3
4
b c
b c b c
b c a
+
+ +
Xét hiệu
2
b c
b c b c
abc a b c
+
+ +
− = − + + −
( )
2
0
b c
Do abc b( +c)2≤1.22= nên 4
4 2
abc b c
≥ >
+
Từ đó suy ra ( ; ; ) ; ;
2 2
b c b c
P=f a b c ≥f a + +
hay
3
Xét hàm ( )
2
3 12
2 3
2 3
a
−
−
với a≥ 1 Cuối cùng ta chứng minh f a( )≥ f( )1 = , 9 ∀ ≥a 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 9; khi a= = = b c 1
Trang 3Bài 2. Cho a , b , c là các số thực thuộc đoạn [1;3] và thỏa mãn a+ + =b c 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
13 10
Lời giải
Vì a∈[1;3] nên (aư1)(aư3)≤ Do đó ta có 0
Tương tự, ta cũng có
4 13 9
10 9
≤ ư
Khi đó
13
+ + ư
Đặt t=a2+b2+c2≥ do , , 3 a b c≥ 1
Lại có
, , 1;3
a b c
abc ab bc ca a b c
ư ≤
Lấy ( ) ( )1 ư 2 , ta được
11
ab bc ca a b c
ab bc ca
ab bc ca
+ + ư + + + ≥
Mà t=a2+b2+c2=(a+ +b c)2ư2(ab+bc+ca)≤36 22 14ư =
Suy ra t∈[3;14]
Xét hàm số ( ) 10 18 13
1
f t t
t
ư trên t∈[3;14]
Ta có ( )
13
f t
t
′ = + >
ư
, ∀ ∈t [3;14] Suy ra P≤f t( )=f( )14 =121
Trang 4Bài 3. Cho x , y là các số thực thỏa mãn x2+(y−1)2= và 4 y< Tìm giá trị lớn nhất 0 của biểu thức
5
P
Lời giải
Với mọi số thực x , y thỏa mãn x2+(y−1)2= và 4 y< Ta có 0
2
2
2
Đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều cần chứng minh
Khi đó áp dụng bất đẳng thức 1 1 4
a+b≥ a b
+ , ta có
3
+ −
Do đó
5
P
5 5
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng −5; khi x=0, y= − 1
Trang 5Cách 2. Phương pháp Hình học
Gọi M x y( ; ) với y< và thỏa mãn 0 x2+(yư1)2= 4
Suy ra M thuộc đường tròn tâm I(0;1), bán kính R=2
Gọi A(0;3), B(ư 3;0), C( 3;0) Khi đó
P
= ư + ư ≤ ư + ư ( )1
Ta có tam giác ABC đều và M A B C, , , cùng thuộc (I;2) nên tứ giác MABC nội tiếp Suy ra
MA BC=MB AC+MC AB
hay
MA=MB+MC (do BC= AC= AB) ( )2
Từ ( )1 và ( )2 , suy ra P≤ ư5
Dấu ''= xảy ra khi và chi khi : ''
MB MC
M
M I
=
∈
(loại) hoặc M(0; 1ư )
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng ư5; khi x=0, y= ư1