SKKN Bài toán liên hệ giữa các đường cao và tam giác

SKKN Bài toán liên hệ giữa các đường cao và tam giácSKKN Bài toán liên hệ giữa các đường cao và tam giácSKKN Bài toán liên hệ giữa các đường cao và tam giácSKKN Bài toán liên hệ giữa các đường cao và tam giácSKKN Bài toán liên hệ giữa các đường cao và tam giácSKKN Bài toán liên hệ giữa các đường cao và tam giácSKKN Bài toán liên hệ giữa các đường cao và tam giácSKKN Bài toán liên hệ giữa các đường cao và tam giácSKKN Bài toán liên hệ giữa các đường cao và tam giácSKKN Bài toán liên hệ giữa các đường cao và tam giácSKKN Bài toán liên hệ giữa các đường cao và tam giácSKKN Bài toán liên hệ giữa các đường cao và tam giácSKKN Bài toán liên hệ giữa các đường cao và tam giácSKKN Bài toán liên hệ giữa các đường cao và tam giácSKKN Bài toán liên hệ giữa các đường cao và tam giác

Mục lục Trang 01 Lí chọn đề tài Trang 02 Mục đích nghiên cứu Trang 03 Kết cần đạt Trang 04 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Trang 04 Cơ sở lí luận Trang 05 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trang 05 Giải pháp thực Trang 06 Bài tập luyện tập Trang 12 Kết thực Trang 13 Đánh giá SKKN Trang14 Kiến nghị đề xuất Trang14 Mục lục Phần I: Đặt vấn đề Phần II: Nội dung Phần III Kết luận PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài: Tư hình thức nhận thức lí tính người Về mặt tâm lí tư q trình tâm lí phản ánh thuộc tính chất, mối liên hệ quan hệ bên có tính quy luật vật tượng thực khách quan mà trước người chưa biết Tư thể phát triển người xã hội Tư khơng tự nhiên mà có mà q trình rèn luyện lâu dài, muốn tư phát triển cần rèn luyện thường xuyên, học môn khoa học tự nhiên đặc biệt mơn tốn phát triển tư tốt Lứa tuổi trường THCS phát triển mạnh tư nên giáo viên cần quan tâm không xem nhẹ vấn đề Mỗi dạng tốn hình có phương pháp giải tập khác nhau, nhiên làm tập hình, học sinh có nhìn góc cạnh khác từ tốn hiểu sâu sắc tập hình tìm đẹp mơn Tốn Cái nhìn phương diện khác cách thay đổi tốn trở thành dễ trở thành tốn khó Khi làm ý thức học sinh cao hơn, tập khó trở nên dễ hơn, quan trọng học sinh có tự tin làm tập Trong định hướng đổi phương pháp dạy học bậc THCS tự học yêu cầu quan trọng học sinh Tự học giúp học sinh say mê học tập, hiểu sâu kiến thức quan trọng phát triển tư sáng tạo Vấn đề đặt làm giúp học sinh tạo hứng thú việc tự học tìm thấy niềm vui học tốn, cho học sinh thấy tốn khó toán Hơn học tốn thơng thường học sinh say mê làm tập Đại số, ngại làm tập hình đặc biệt tốn khó, dạng tốn thơng thường hình vẽ nhiều chi tiết rườm rà, học sinh giỏi gặp dạng toán e ngại bỏ qua mà khơng chịu tìm tòi đến lời giải Do giáo viên định hướng cho học sinh biết kết gắn điều thú vị tốn từ có hứng thú xây dựng tập hình cho riêng có dạng tương tự Chính mà tơi chọn đề tài này, giúp học sinh thay đổi cách nhìn, thay đổi phong cách học tập tư cho phù hợp với lứa tuổi, cách khai thác tình có dạng tập biết, thay đổi, phát triển tốn thành tốn khác Làm học sinh thấy tự tin gặp tốn lạ có khả tự tìm tòi lời giải hay cho tốn, biết xây dựng mơ típ tập hình học theo chủ đề học tập từ phát huy tính sáng tạo đáp ứng nhu cầu học tập thời đại Mục đích nghiên cứu: Đây đề tài rộng ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể rõ vẽ đẹp mơn hình học đặc biệt giúp phát triển nhiều tư học sinh mà có nhiều đồng nghiệp khai thác nghiên cứu nâng cao hiệu giảng dạy, vấn đề tiếp tục khai thác hàng năm quan tâm góp ý thầy hẳn kinh nghiệm quý dành cho việc dạy học sinh khá, giỏi Vì chủ đề rộng nên kinh nghiệm trình bày khai thác số tốn hình học áp dụng toán biết giải toán, gần gũi với học sinh xuất nhiều kì thi Chỉ thấy thú vị toán thực tế giảng dạy, toán bản, toán đơn giản làm cho số học sinh giỏi lúng túng, chưa nắm toán phương pháp giải Khi sâu tìm tòi tốn có mối liên hệ với khơng học sinh nắm sâu kiến thức mà tìm vẽ đẹp mơn hình Vẻ đẹp thể qua cách giải khác nhau, cách kẻ đường phụ, ý tưởng đặc biệt tìm mối liên hệ toán với tốn mà mơn hình có, làm học sinh u thích mơn hình học Đó mục đích giáo viên dạy môn cần khêu gợi niềm vui u thích học sinh mơn học Nhưng mục đích lớn việc dạy học phát triển tư học sinh hình thành nhân cách cho học sinh Qua tốn học sinh có nhìn nhận đánh giá xác, sáng tạo tự tin qua việc giải tập hình phẩm chất người Kết cần đạt: Các tập Hình phát triển dựa toán nhiều dạng tốn có mối liên hệ biết giúp tìm u cầu toán ngắn gọn dễ hiểu nên mục đích cần hướng đến học sinh trung bình làm tốt tập ban đầu dạng ` Sau đó, giáo viên giúp cho số đối tượng học sinh hiểu số tốn phát triển từ tốn quan trọng giáo viên giúp cho học sinh hiểu hướng phát triển toán Tại phải làm vậy? Làm đạt mục đích gì? Qua giúp em say mê mơn tốn, số học sinh làm điều khơng nhiều vấn đề khó cần kiên trì cố gắng học sinh giáo viên, tơi hướng tới đối tượng học sinh trung bình trở lên giỏi, đạt điều học sinh khơng tạo dạng tốn thầy vốn kinh nghiệm em hạn chế nên giáo viên cần định hướng, động viên em tự tin hơn, thơng qua tốn em gặp dạng tốn tạo cho em dòng tư duy, tìm tòi lời giải không bị lạ Cho dù học sinh giỏi hay học sinh trung bình nhìn tốn góc độ quen thuộc em tự tin thích thú với mơn học, yếu tố quan trọng trình tự học, giúp trình rèn luyện hình thành tư cho học sinh tốt Đối tượng - phạm vi nghiên cứu Đề tài viết trình dạy học, rút trình bồi dưỡng học sinh giỏi ôn tập tuyển sinh vào THPT nên đối tượng học sinh đại trà nâng lên số học sinh giỏi phạm vi trường THCS, việc nâng chất lượng dạy học đại trà quan tâm hàng đầu trường THCS đặc biệt chất lượng học sinh giỏi nên vấn đề nghiên cứu đề tài nâng cao cấp độ đối tượng phù hợp với yêu cầu thực tế đối tượng học sinh PHẦN II NỘI DUNG Cơ sở lí luận: Do tư thuộc tính tâm lí, tư hình thành phát triển theo giai đoạn trình trưởng thành người Tư đặc biệt phát triển mạnh giai đoạn thanh, thiếu niên Vì giáo viên cần phải quan tâm đến phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư cho học sinh cách tốt Tất môn học phát triển tư học sinh môn tốn có vai trò quan trọng Giải tập toán lúc học sinh thể kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư Các tập Hình chương trình học thường đa dạng phong phú học sinh nhớ lâu, hiểu vấn đề quan trọng Đặc điểm hình học khó, đòi hỏi phải tư trừu tượng nên giáo viên phải tạo cho học sinh kĩ vẽ hình, tương tự tìm tính tương đồng toán học Thực trạng vấn đề Bản thân giáo viên trường THCS phân công giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, nhiên trường THCS công tác đơn vị có số học sinh ít, kèm theo số học sinh khá, giỏi khiêm tốn chất lượng đại trà chất lượng học sinh giỏi tập thể cán giáo viên quan tâm để tạo móng tiền đề cho việc xây dựng trường đạt danh hiệu chuẩn quốc gia Mục tiêu trường chúng tơi nâng cao chất lượng đại trà, củng cố thêm cho học sinh giỏi, bên cạnh hình thành cho học sinh ý thức người mới: Sáng tạo động Trong trình giảng dạy lựa chọn phương pháp dạy cụ thể nhằm nâng cao khả tư cho học sinh Sau nội dung tơi trình bày: Giải pháp thực Thật vậy, trước hết xét toán sau: Bài toán Cho tam giác nhọn ABC Đường cao BE, CF Chứng minh rằng: AB.AF = AC.AE Giải: Xét ∆ ABE ∆ ACF, ta có: A  góc chung AEB = AFC = 900 Suy ra: ∆ ABE E F ∆ ACF (g.g) AB AE = (1) AC AF ⇔ AB AF = AC AE ⇒ B C *Từ hệ thức (1) ta có tốn sau: Bài tốn 2: Cho tam giác nhọn ABC Đường cao BE, CF Chứng minh rằng: a) ∆ AEF ∆ ABC b) EF = BC.CosA Giải: a) Xét ∆ AEF ∆ ABC Ta có: A  chung Từ (1): AB.AF = AC.AE ⇒ E AB AC = AE AF Vậy: ∆ AEF ∆ ABC (c.g.c) (2) b) Ta có: ∆ AEF ⇒ F B C ∆ ABC AE EF EF AE = ⇒ CosA = (vì CosA = ) (3) AB AB BC BC Vậy EF = BC.CosA *Từ hệ thức (3) Chọn góc A góc đặc biệt ta có tốn sau: Bài toán 3: Cho tam giác nhọn ABC Đường cao BE, CF Biết  = 600 Chứng minh rằng: EF = BC Giải: Ta có: EF = BC.CosA ( Theo toán 2) mà  = 600 ⇒ EF = BC.Cos600 ⇒ EF = BC *Theo hệ thức (2) kẻ thêm đường cao AD ta có tốn sau: Bài tốn Cho tam giác nhọn ABC Đường cao AD, BE, CF Gọi H trực tâm Chứng minh rằng: Điểm H tâm đường tròn nội tiếp tam giác EFD Giải: Từ (2) ta có: ∆ AEF A ∆ ABC (c.g.c) ⇒ F1 = ACB E Tương tự: ∆ BFD ∆ BCA ∆ CDE ∆ CAB F ⇒ F4 = ACB B Do đó: F2 = F3 (Cùng phụ với F1, F4 ) H D C Suy ra: FC tia phân giác DFE Tương tự ta có: EB tia phân giác FED DA tia phân giác EDF Nên H giao điểm ba đường phân giác tam giác EFD cách ba cạnh tam giác Vậy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác EFD *Từ toán hệ thức (3) theo định lý tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng ta có tốn sau: Bài toán 5: Cho tam giác nhọn ABC Đường cao AD, BE, CF Gọi H trực tâm Chứng minh rằng: SDEF = SABC.(1- Cos2A – Cos2B – Cos2C) Giải : A Ta có: SDEF = SABC – SAEF – SBDF – SCDE ⇒ S DEF S S S = − AEF − BDF − CDE S ABC S ABC S ABC S ABC E F H Theo toán 4, có: ∆ AEF ∆ ABC ∆ BFD ∆ BCA ∆ CDE ∆ CAB B D C Suy ra: S AEF  AE  =  = Cos A S ABC  AB  S BDF  BF  =  = Cos B S ABC  BC  S CDE  CD  =  = Cos C S ABC  CA  Vậy SDEF = SABC.(1- Cos2A – Cos2B – Cos2C) *Khi kẻ đường cao thứ ba khai thác tam giác vng đồng dạng từ ta có toán sau: Bài toán Cho tam giác nhọn ABC Đường cao BE, CF Gọi H trực tâm Chứng minh : BE.BH = CF.CH = BC2 Giải : A Kẻ đường cao AD, ta có: ∆ BDH ∆ BEC (g.g) ∆ CDH ∆ CFB (g.g) E F H BD BH = ⇒ BE.BH = BC.BD Suy ra: BE BC CD CH = ⇒ CF CH = BC.CD CF BC B D Vậy BE.BH + CF.CH = BC (4) Bài toán Cho tam giác nhọn ABC Đường cao AD, BE, CF Gọi H trực tâm Chứng minh rằng: AD.DH = BE.BH = CF.CH Giải Ta có: ∆ AFH ∆ CDH (g.g) Và ∆ BFH ∆ CEH (g.g) Suy : AH FH = ⇔ AH HD = CH FH CH HD BH FH = ⇔ BH HE = CH FH CH EH Vậy AD.DH = BE.BH = CF.CH C *Xét hai tam giác vuông ∆ ADB ∆ CDH Áp dụng bất đẳng thức ( x + y) xy ≤ Dấu ‘’=’’ xảy x = y Ta có tốn hay sau Bài toán Cho tam giác nhọn ABC Đường cao BE, CF Gọi H trực tâm Tìm điều kiện tam giác ABC để : a) Tích AD.DH đạt giá trị lớn b) Biểu thức T = BE.BH + CF.CH có giá trị nhỏ Giải: a) ta có: ∆ ADB ∆ CDH (g.g) AD DB = ⇒ AD.DH = DB.CD CD DH ( BD + DC ) BC ⇒AD.DH = DB.CD ≤ = 4 Dấu “=” Xảy BD = DC Vậy tích AD.DH đạt giá trị lớn BC Khi tam giác ABC cân A b) Từ hệ thức (4) tốn Ta có: BE.BH + CF.CH = BC2 = (BD + DC)2 ≥ 4BD.DC Dấu xảy BD = DC Vậy T = BE.BH + CF.CH có giá trị nhỏ tam giác ABC cân A *Do H trực tâm tam giác ABC cách xét diện tích tam giác thành phần ta có tốn sau: Bài tốn Cho tam giác nhọn ABC Đường cao BE, CF Gọi H trực tâm Chứng minh rằng: Tổng HD HE HF + + khơng đổi AD BE CF Giải: A Ta có: SABC = SAHB + SBHC + SCHA ⇒ SABC E F 1 = FH.AB + HD.BC + HE.AC 2 mà SABC = H 1 FC.AB = AD.BC = BE.AC 2 B D HD HE HF + + Suy = (5) AD BE CF Vậy tổng HD HE HF + + không đổi AD BE CF 1 1 *Từ hệ thức (5) Áp dụng bất đẳng thức ( x + y + z )  + +  ≥ Dấu ‘’=’’ Xảy x y z   khi x = y = z Ta dễ dàng giải tốn khó sau Bài tốn 10 Cho tam giác nhọn ABC Đường cao BE, CF Gọi H trực tâm AD BE CF + + HD HE HF Tìm giá trị nhỏ tổng T = Giải : Theo hệ thức (5) toán HD HE HF + + = AD BE CF 1 1 Áp dụng bất đẳng thức ( x + y + z )  + +  ≥ Dấu ‘’=’’ Xảy khi x x y z   = y = z Ta có:  HD HE HF  AD BE CF  + + + +   ≥9  AD BE CF  HD HE HF  ⇒T = AD BE CF + + ≥ HD HE HF Dấu ‘’ = ‘’ Xảy Vậy T = HD HE HF = = AD BE CF AD BE CF + + có giá trị nhỏ 9, tam giác HD HE HF ABC tam giác * Từ toán M điểm thuộc miền tam giác ta dễ dàng chứng minh toán hay sau: 10 C Bài toán 11 Cho tam giác nhọn ABC Đường cao AD, BE, CF Trực tâm H M điểm thuộc miền tam giác ABC Gọi P,N,Q hình chiếu M lên cạnh AB, BC, CA a) Chứng minh tổng MN MQ MP + + không phụ thuộc vào điểm M AD BE CF b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : AD BE CF T = MN + MQ + MP Giải: A a) Tương tự cách giải toán 10 ta có : E MN MQ MP + + =1 AD BE CF F MN MQ MP + + Do tổng không phụ AD BE CF P Q H M thuộc vào vị trí M tam giác ABC b) Áp dụng bất đẳng thức B  D N C  ( x + y + z )  + +  ≥ Dấu ‘’=’’ Xảy x y z khi x = y = z Ta có: AD BE CF T = MN + MQ + MP ≥ Dấu ‘’=’’ Xảy M thuộc trung trực ba cạnh tam giác ABC tam giác ABC tam giác * Tiếp tục tìm tòi suy nghĩ khai thác nhiều nhiều tốn hay khó có nguồn gốc từ tốn Hoặc kết hợp điều kiện yêu cầu khác cho ta phong phú toán, sau toán ta lại đưa giả thiết trường hợp đặc biệt theo tính chất đem đến nhiều toán hay, toán tổng quát bổ ích cho qua trình hình thành nhân cách học sinh tiếp cận tình có vấn đề toán học sống BÀI TẬP LUYỆN TẬP 11 Bài Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AD, BE, CF Chứng minh DA tia phân giác góc FDE Bài Cho nửa đường tròn (O) Hai dây AC BD cắt H Chứng minh AH.AC + BH.BD = AB2 Bài Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp đường tròn (O) H trực tam tam giác ABC Kẻ OK vng góc với BC ( K thuộc BC) Chứng minh rằng: AH = 2OK Bài Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AD,BE,CF H trực tam tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ đối xứng với H qua BC, AC AB Chứng minh tổng AA' BB ' CC ' + + = AD BE CF Bài Cho tam giác nhọn ABC Đường cao AD, BE, CF cắt H Tìm điều kiện tam giác ABC để tổng S = AF2 + BD2 + CE2 đạt giá trị nhỏ Bài Cho tam giác ABC nhọn M điểm nằm tam giác, tia AM, BM, CM cắt cạnh đối diện A’, B’, C’ Xác định vị trí điểm M để tổng MA MB MC + + đạt giá trị nhỏ MA' MB ' MC ' Kết thực hiện: 12 Trong suốt trình dạy học ôn tập thi tuyển sinh vào THPT Bồi dưỡng học sinh giỏi năm học qua nhận thấy: Sau học bồi dưỡng phát triển tư qua toán liên hệ đường cao tam giác, học sinh bước đầu hình thành kĩ sáng tạo giải toán đặc biệt nhận rõ dạng tập theo tập từ tìm lời giải cách có hiệu quả, thể rõ kết đạt học sinh làm tốt thi học sinh giỏi, thi thử tuyển sinh vào THPT đề thi tuyển sinh vào THPT năm trước, số học sinh giỏi tự sáng tạo cho tốn thú vị trao đổi học hỏi lẫn Các em tự tin học tốn, có hứng thú học tốn khơng ngại gặp tốn dạng lạ nữa, từ em tự tìm tòi có ý thức tự học thêm yêu môn hứng thú sáng tạo giải Hình học, em tự giải học tập sách “Toán nâng cao chuyên đề Đại số Hình học” tác giả Vũ Dương Thụy - Nguyễn Ngọc Đạm, “Toán bồi dưỡng học sinh giỏi” tác giả Vũ Hữu Bình cố gắng em đạt kết tốt kì thi PHẦN III - KẾT LUẬN 13 Đánh giá sáng kiến kinh nghiệm: Sáng kiến kinh nghiệm thực sở kinh nghiệm giảng dạy thân có kết hợp với số kinh nghiệm đồng nghiệp mà thân học tập kết hợp logic tập, số tập thân tự sáng tạo nhằm nâng cao hiệu việc giảng dạy học tập Hệ thống tập phát triển dựa tập nâng cao, tập số đề thi học sinh giỏi, hạn chế bắt nguồn tạo tiền đề cho phát triển nhiều sau này, giúp học sinh nhìn tốn nhiều góc cạnh Trong thực tế giảng dạy với tập khó tơi áp dụng bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tất em hào hứng với cách học nắm bắt dạng toán cách nhẹ nhàng khơng gò bó, mà lĩnh hội cách tự nhiên Kin ngh xut: - Đề nghị Sở GD mở nhiều chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi để giáo viên huyện đợc trao đổi học hỏi kinh nghiệm - Đề nghị phòng GD đầu t tài liệu tham khảo cho giáo viên, thời gian ôn luyện, chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi - Đối với nhà trường THCS có quan tâm việc phát huy tính tự giác học tập học sinh, tổ chức thi sáng tạo làm đề thi dựa toán bản, phối kết hợp với bậc cha mẹ học sinh tạo điều kiện mặt thời gian tài liệu tham khảo cho em học sinh - Đối với sáng kiến kinh nghiệm cố gắng thể phần ý tưởng, song với khn khổ có hạn nhiều vấn đề cần bàn mong có nhiều ý kiến đóng góp thầy giáo, em học sinh nhằm góp phần xây dựng nên qua điểm lí luận, hệ thống tập hoàn thiện hơn, đầy đủ Xin chân thành cám ơn ! 14 15 ... phân giác DFE Tương tự ta có: EB tia phân giác FED DA tia phân giác EDF Nên H giao điểm ba đường phân giác tam giác EFD cách ba cạnh tam giác Vậy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác EFD *Từ toán hệ. .. + + có giá trị nhỏ 9, tam giác HD HE HF ABC tam giác * Từ toán M điểm thuộc miền tam giác ta dễ dàng chứng minh toán hay sau: 10 C Bài toán 11 Cho tam giác nhọn ABC Đường cao AD, BE, CF Trực tâm... BH.BD = AB2 Bài Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp đường tròn (O) H trực tam tam giác ABC Kẻ OK vng góc với BC ( K thuộc BC) Chứng minh rằng: AH = 2OK Bài Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AD,BE,CF