CÁCH CHIA ĐA THỨC BẰNG LƯỢC ĐỒ HOOC-NE -hoc247.vn - Vững vàng tảng, Khai sáng tươg lai CÁCH CHIA ĐA THỨC BẰNG LƯỢC ĐỒ HOOC-NE I Lược đồ Hooc-ne Công dụng: n n 1 n2 Dùng để chia đa thức bậc n có dạng f ( x) a0 x a1 x a2 x an1x an cho đa thứ ( x ) Lợi dụng khả chia đa thức nhanh chóng, sõ đồ Hooc-ne thường dùng nhiều việc giải phương trình bậc (hay bậc cao hơn), ta biết nghiệm phương trình (đề cho hay tự nhẩm) Cách chia: Thuật tốn Hooc-ne hình thành từ cách chia đa thức kinh điển mà ta đươc học lớp Tuy nhiên áp dụng phương pháp sơ đồ Hooc-ne bạn có cách tính nhanh tuyệt vời vừa tiết kiệm thời gian mà lại xác Gia sử cho đa thức: f ( x) a0 x n a1 x n1 a2 x n2 an1x1 an Khi đa thức thương g ( x) b0 x n1 b1 x n2 bn1 xác định theo lượt đồ sau: Giải thích lược đồ Hoocne: Trong lược đồ gồm hàng: Hàng chứa hệ số đa thức f ( x) hàng chứa hệ số tìm g ( x) Bước 1: Sắp xếp hệ số đa thức f ( x) theo ẩn giảm dần đặt số vào vị trí hàng Nếu đa thức mà khuyết ẩn hệ số coi ta phải cho vào lược đồ Bước 2: Hạ hệ số a0 hàng xuống hàng cột Đây hệ số g ( x) tìm được, tức là: b0 a0 Bước 3: Lấy số nhân với hệ số vừa tìm hàng cộng chéo với hệ số hàng Ta có: b1 b0 a1 Quy tắc cần nhớ: “Nhân ngang, cộng chéo” Bước 4: Cứ làm hệ số cuối ta có kết quả: Vững vàng tảng, Khai sáng tươg lai f ( x) ( x ).g ( x) r Chú ý: + Bậc đa thức g ( x) nhỏ bậc đa thức f ( x) đơn vị đa thức chia x có bậc + Nếu r đa thức f ( x) chia hết cho đa thức g ( x) x nghiệm đa thức f ( x) Ví dụ 1: Thực phép chia x3 + 2x2 – 5x – cho (x-2) Ta thực phép chia lược đồ Hooc-ne bảng sau: 2 a0 =1 b0 = a0 = a1=2 b1= 2.1+2 = a2 =-5 b2 = 2.4+(-5)= a3 =-6 b3 = 2.3 + (– 6) = Cuối cùng, ta có (x3+2x2–5x-6)/(x-2)=(x2+4x+3) Hay:(x3+2x2–5x-6)=(x-2).(x2+4x+ 3) Ví dụ 2: Khơng dùng máy tính giải phương trình bậc sau: x3 + 5x2 + 2x -8 =0 Ta làm sau: Dễ thấy phương trình có nghiệm x=1 ( x=1 vào biểu thức thấy đa thức =0).Sau nhẩm nghiệm x=1,ta chia đa thức (x3+5x2+2x-8)cho (x-1) Dùng sõ đồ Horner sau: 1 a0 =1 b0 = a0 = a1=5 b1= 1.1+5 = a2 =2 b2 = 1.6+2 = a3 =-8 b3 = 1.8 + (– 8) = Ta được: x3 + 5x2 + 2x -8 = (x-1)(x2+6x+8).Bây giờ, ta việc giải phương trình bậc hai x2+6x+8=0, bạn dễ dàng tìm nghiệm lại x2=-2 x3=-4 Vậy, ta kết luận phương trình cho có nghiệm: x1 = 1; x2=-2, x3=-4 Lưu ý việc giải phương trình làm số cuối hàng thứ phải số 0, khác số nghĩa bạn có chỗ làm sai, nên coi kĩ lại Vững vàng tảng, Khai sáng tươg lai II Nghiệm hữu tỷ đa thức biến bậc n Giả sử có đa thức: f ( x) a0 x n a1 x n1 a2 x n2 an1x1 an (a0 0) Ta có định lý sau: Nếu a0, a1, a2 , , an hệ số nguyên f ( x) nghiệm hữu tỷ f ( x) có x p , đó: q +p q hai số nguyên tố (ước chung 1) + p ước a n , q ước a0 Qua định lý ta rút cách tìm nghiệm hữu tỷ đa thức (nếu có) sau: + Tìm tất ước m a n tất ước n a0 m + Lần lượt lấy giá trị m chia cho trị n tính f i n j m i nghiệm nj m , f i nj Qua ta giới hạn giá trị nghiệm đa thức, từ dùng chức CALC máy tính kiểm tra nghiệm dễ dàng giá trị nghiệm Việc nhẩm nghiệm nhanh chóng đơn giản a0 Tự viết đa thức bậc kiểm tra định lý nhé! ... ý: + Bậc đa thức g ( x) nhỏ bậc đa thức f ( x) đơn vị đa thức chia x có bậc + Nếu r đa thức f ( x) chia hết cho đa thức g ( x) x nghiệm đa thức f ( x) Ví dụ 1: Thực phép chia x3 +... sau: Dễ thấy phương trình có nghiệm x=1 ( x=1 vào biểu thức thấy đa thức =0).Sau nhẩm nghiệm x=1,ta chia đa thức (x3+5x2+2x-8)cho (x-1) Dùng sõ đồ Horner sau: 1 a0 =1 b0 = a0 = a1=5 b1= 1.1+5... chỗ làm sai, nên coi kĩ lại Vững vàng tảng, Khai sáng tươg lai II Nghiệm hữu tỷ đa thức biến bậc n Giả sử có đa thức: f ( x) a0 x n a1 x n1 a2 x n2 an1x1 an (a0 0) Ta có định