LaTeX kỹ năng toán trắc nghiệm 12

Nhóm "Tốn LATEX" Phiên Ngày 22 tháng năm 2017 KỸ THUẬT TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 HÀ NỘI - 2017 Mục lục Hàm số bậc 1.1 Kiến thức 1.2 Các dạng toán 1.2.1 Xác định dấu hệ số a, b, c, d dựa vào đồ thị: 1.2.2 Chọn hàm số phù hợp với đồ thị hàm số 1.2.3 Bài toán biến thiên hàm bậc 3: 1.2.4 Bài toán cực trị 1.2.5 Bài toán biện luận số giao điểm Bài tập tự luyện 1.3 Dạng xét tính đơn điệu cực trị hàm bậc cụ thể 12 2.1 Lý thuyết 12 2.2 Bài tập tự luyện 15 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm trùng phương đoạn, khoảng 3.1 Nhắc lại kiến thức 3.2 Phương Pháp giải 3.3 Bài tập tự luyện Tìm m để hàm số y = ax4 + bx2 + c có 0,1,3 cực trị 4.1 Bài tập tự luyện Tìm m để cực trị hàm trùng phương thỏa mãn tam giác cân vuông đều, 5.1 Lý thuyết 5.2 Bài tập tự luyện Đồ thị hàm số bậc dạng toán liên quan 6.1 Lý thuyết 6.2 Bài tập tự luyện Nhóm Facebook "Toán LATEX" Biện luận nghiệm phương trình trùng phương chứa m 7.1 Bài tập tự luyện Tương giao đồ thị, hai đồ thị cắt 8.1 Kiến thức cần nhớ 8.2 Bài tập tự luyện Phương Trình Bất Phương Trình Mũ Và Logarit 9.1 Kiến Thức Cơ Bản 9.1.1 Phương trình mũ 9.1.2 Phương trình logarit 9.1.3 Bất phương trình mũ 9.1.4 Bất phương trình logarit Các Dạng Toán 9.2.1 Phương Trình Mũ 9.2.2 Phương trình logarit 9.2.3 Bất phương trình mũ 9.2.4 Bất phương trình logarit Bài Tập Tự Luyện 9.2 9.3 10 Thể tích khối nón 11 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 18 11.1 Kiến thức 18 11.1.1 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng 18 11.1.2 Phương trình tổng quát mặt phẳng 18 11.1.3 Các trường hợp riêng 19 11.1.4 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 19 11.1.5 Vị trí tương đối hai mặt phẳng 20 11.1.6 Vị trí tương đối mặt phẳng đường thẳng 20 11.1.7 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu 20 11.2 Các dạng toán 21 11.2.1 Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (α) 21 11.2.2 Xét vị trí tương đối (α) với đường thẳng d 21 11.2.3 Xét vị trí tương đối (α) với mặt cầu (S ) 21 11.2.4 Tìm điểm hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng (α) 21 11.2.5 Tìm điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng (α) 21 11.3 Bài tập tự luyện 24 Mở đầu Kính chào Thầy/Cơ Trên tay Thầy/Cô tài liệu môn Toán soạn thảo theo chuẩn LATEX tập thể giáo viên nhóm "Tốn LATEX".1 Mục tiêu nhóm Hỗ trợ giáo viên Tốn tiếp cận với LATEX soạn thảo tài liệu Tốn nói chung đề thi trắc nghiệm LATEX nói riêng với cấu trúc gói đề thi trắc nghiệm ex_test tác giả Trần Anh Tuấn, Đại học Thương Mại Các thành viên nhóm chia sẻ miễn phí pdf chun đề nhóm Các thành viên nhóm có đóng góp dự án Chẳng hạn đóng góp 1,2, đề LATEX dự án nhận file tổng hợp LATEX đề từ thành viên khác Hướng đến việc chia sẻ chuyên đề, viết sách, LATEX, Tại địa https://www.facebook.com/groups/toanvalatex/ Chương Hàm số bậc 1.1 Kiến thức Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, (a 0) có đặc điểm sau: + Tập xác định R + Đồ thị hàm số có dạng sau: b2 − 3ac > b2 − 3ac ≤ (I) (II) a>0 (IV) (III) a 0, hàm số bậc có cực trị khơng có cực trị + Hoành độ hai điểm cực trị nghiệm y Chú ý: Khi giải nhiều toán hàm số bậc cần nhớ dạng hàm số minh hoạ đồ Nhóm Facebook "Tốn LATEX" thị bảng 1.2 1.2.1 Các dạng toán Xác định dấu hệ số a, b, c, d dựa vào đồ thị: + Nếu đồ thị thuộc dạng (I) (II) a > + Hệ số d tung độ giao điểm đồ thị với trục Oy, tung độ giao điểm dương b > ngược lại + Hệ số c y (0), nên dựa vào tiếp tuyến đồ thị giao điểm suy hệ số c, cụ thể giao điểm đồ thị với Oy mà tiếp tuyến có hướng lên (từ trái qua phải) c > 0, xuống c < + Hệ số b y”(0) ta để ý qua x = (tức từ trái sang phải, hay cho x thay đổi từ âm sang dương) mà tiếp tuyến có hệ số góc tăng lên b > 0, hệ số góc giảm b < x1 + x2 = Ngoài ta xác định hệ số b thơng qua đặc điểm hồnh độ điểm uốn, xu = b − , đồ thị ta biết dấu a suy dấu b thơng qua hồnh độ điểm uốn 3a (chính hoành độ trung điểm hai điểm cực trị) Ví dụ 1.2.1 Cho đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d hình bên (đường cong màu xanh) Hãy xác định dấu y hệ số a, b, c, d Hướng dẫn: + Ta thấy đồ thị thuộc dạng (I) nên a > + Giao điểm với Oy có tung độ dương nên d > 0; + Tiếp tuyến giao điểm với Oy đường màu đỏ có hướng lên suy c > x + Các tiếp tuyến đồ thị chuyển qua giao điểm với Oy có hướng giảm (quay theo chiều kim đồng hồ) suy b < Kết luận: a > 0, b < 0, c > 0, d > 1.2.2 Chọn hàm số phù hợp với đồ thị hàm số Phương pháp: Để chọn hàm số bậc nói riêng hàm số khác ta phải dựa vào đặc điểm hình dáng đồ thị, toạ độ giao điểm với trục suy hệ số chọn hàm cho Ví dụ 1.2.2 Nhóm Facebook "Tốn LATEX" y Hình vẽ bên là đồ thị hàm số hàm sau: A y = x3 − 3x + B y = x3 − 5x2 + 2x + 2 C y = x3 − x2 − 2x + D y = −x3 + 3x + −2 −1 x −1 Hướng dẫn: + Từ hình dáng đồ thị thấy a > nên loại phương án D + Ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực trị nên b2 − 3ac > suy loại phương án C + Còn lại phương án A, B ta thấy điểm uốn nằm trục tung nên b = suy phương án A ( Hoặc dựa vào số giao điểm đồ thị với trục hoành kết suy lựa chọn tương tự.) 1.2.3 Bài toán biến thiên hàm bậc 3: Khi gặp toán trắc nghiệm liên quan tới biến thiên hàm số bậc cần hình dung hàm số đề cập đến thuộc dạng dạng hàm số, từ xét điều kiện chọn phương án phù hợp Bên cạnh ta sử dụng máy tính để tính đạo hàm số điểm kết luận biến thiên Ví dụ 1.2.3 Hàm số y = x3 − 3x − đồng biến miền đây: A (−1, 1) B [−1; 1] C (−∞; −1) D R \ {−1; 1} Hướng dẫn: Bài tính y suy khoảng biến thiên sau suy phương án C Hoặc dùng máy tính Casio tính y (0) từ loại phương án A, B Phương án D bị loại khơng phải khoảng đoạn (nó bị rời nhau) Từ chọn phương án C đáp án x3 + (m + 1)x2 + 3x + Để hàm số đồng biến R giá trị   m ≤ −1 B m ≤ −1 C m ≥ D  m≥2 Ví dụ 1.2.4 Cho hàm số y = (m2 − 1) m là: A m = ±1 1.2.4 Bài tốn cực trị + Điều kiện có cực trị: b2 − 3ac > + Về số cực trị: có cực trị cực trị + Hàm số đạt cực trị hai nghiệm phân biệt y Nhóm Facebook "Tốn LATEX" + Với a > hàm số đạt cực đại nghiệm nhỏ, cực tiểu nghiệm lớn y + Để tìm phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ta dùng thuật tốn b sau: ta có y = y ( x + ) + mx + n, đường thẳng qua hai cực trị có phương trình y = mx + n 9a Ta tính m, n máy tính Casio sau: b Lập hàm y − y ( x + ), CALC x = thu n 9a b Tính tiếp y − y ( x + ) − n, CALC x = thu m, từ suy đường thẳng cần tìm 9a Ví dụ 1.2.5 Hàm số y = − x3 + x2 − 9x − 2017 có cực trị? A B C D 27 < nên hàm số cực trị, chọn phương Hướng dẫn: Ta dùng máy tính tính b2 − 3ac = − án A Ví dụ 1.2.6 Hàm số y = mx3 + 2x2 + x + đạt cực đại x = −1 1 A m = B m = − C m = −1 D m = 3 Hướng dẫn Với ta phải có y (−1) = ⇒ 3m − = ⇒ m = 1, nên chọn phương án A Điều kiện chưa phải điều kiện đủ với tốn trắc nghiệm đủ để loại phương án B, C, D nên có phương án A Ví dụ 1.2.7 Tìm tất giá trị m để hàm số y = mx3 + 2x2 + x + có cực trị 4 A m ≤ B m < 3 4 C m ∈ (−∞; 0) ∪ (0; ) D m > 3 Hướng dẫn Ví dụ 1.2.8 Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + có phương trình A y = 2x + B y = −2x + C y = x − D y = 2x − Hướng dẫn: Dùng thuật tốn máy tính Casio phần hướng dẫn suy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị y = −2x + 2, nên chọn phương án B 1.2.5 Bài toán biện luận số giao điểm + Bài toán biện luận giao điểm đồ thị hàm số bậc ba với đường thẳng thường có hai hướng giải quyết: đồ thị biện luận phương trình + Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d điểm phân biệt ⇔ yCT < m < yCĐ + Với nhiều tốn dùng máy tính giải phương trình bậc để suy phương án Ví dụ 1.2.9 Cho hàm số y = x3 − 3x + − m Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt A < m < C m > B ≤ m ≤ D m < Hướng dẫn: Với ta nhìn thấy có phương án A đáp án có dạng yCT < m < yCĐ Nhóm Facebook "Tốn LATEX" Ví dụ 1.2.10 Đồ thị hàm số y = x3 − 6x2 + 9x − cắt đường thẳng y = điểm? A B C D Hướng dẫn: Bài ta cần sử dụng máy tính giải phương trình x3 − 6x2 + 9x − = 3, thấy phương trình có nghiệm thực nên chọn phương án B Ví dụ 1.2.11 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m − với m tham số, có đồ thị Cm Xác định m để (Cm ) có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hồnh? A m < C m < B m ≤ D m ≤ Hướng dẫn: Bài tốn làm theo phương pháp tự luận, nhiều thời gian khó Ta biết điểm cực đại điểm cực tiểu nằm hai phía trục hồnh đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt, ta dùng máy tính kiểm tra nghiệm phương trình bậc loại trừ sau: Thay m = vào giải phương trình bậc 3: y = thấy có nghiệm, phương án A bị loại, thay m = thấy không thoả mãn nên loại phương án B, thay m = 2, thấy thoả mãn nên chọn phương án C 1.3 Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm m để hàm số y = A −2 ≤ m ≤ −1 x + (m + 1)x2 − (m + 1)x + đồng biến R B m < −2 ∨ m > −1 D −2 < m < −1 C m ≤ −2 ∨ m ≥ −1 Bài 2: Hàm số y = x3 + 2x2 + x + nghịch biến khoảng nào? A (−∞; −1) B −1; − C (−∞; +∞) D − ; +∞ Bài 3: Giá trị cực đại hàm số y = x3 − 3x + A yCĐ = −4 B yCĐ = C yCĐ = D yCĐ = Bài 4: Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 5x + có phương trình A y = x + B y = 2x + C y = − 16 x+ 3 D y = x − Bài 5: Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + m có phương trình A y = −8x + m B y = −8x + m − C y = −8x + m − D y = −8x − m + Nhóm Facebook "Tốn LATEX" Bài 6: Đồ thị sau hàm số y = x3 − 3x + Với giá trị m phương trình x3 − 3x − m − = có ba nghiệm phân biệt? A −2 < m < y B −2 ≤ m < C −3 < m < 1 −3 −2 −1 −1 x −2 D −1 < m < −3 Bài 7: Điểm cực tiểu hàm số y = −x3 + 3x2 + A B C (0; 1) D Bài 8: Số giao điểm hai đồ thị hàm số y = x2 − 3x − y = x3 − A B C D Bài 9: Hàm số y = −x3 + 3x nghịch biến khoảng nào? A (1; +∞) B (−∞; −1) ∪ (1; +∞) C (−∞; −1) D (−∞; −1) (1; +∞) Bài 10: Tìm m để hàm số y = A −2 ≤ m ≤ −1 x + (m + 1)x2 − (m + 1)x + đồng biến R B m < −2 ∨ m > −1 D −2 < m < −1 C m ≤ −2 ∨ m ≥ −1 Bài 11: Hàm số y = x3 + 2x2 + x + nghịch biến khoảng nào? A (−∞; −1) B −1; − C (−∞; +∞) D − ; +∞ Bài 12: Giá trị cực đại hàm số y = x3 − 3x + A yCĐ = −4 B yCĐ = C yCĐ = D yCĐ = Bài 13: Cho hàm số y = x3 − 2x Tìm hệ thức liên hệ giá trị cực đại (yCĐ ) giá trị cực tiểu (yCT ) hàm số A yCT = 2yCĐ B yCT = yCĐ C yCT = −yCĐ D 2yCT = yCĐ Bài 14: Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + điểm có hồnh độ −1 A y = 9x + B y = 9x + 12 C y = 9x − D y = 9x − 12 Bài 112: Một tứ diện cạnh a có đỉnh trùng với đỉnh hình nón, ba đihr lại nằm đường tròn hình nón Khi tích xung quanh √ đáy √ diện √ của2 hình nón √ 3πa2 3πa2 3πa A B C D 3πa2 √ Bài 113: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông A, AB = a AC = a Tính độ dài đường sinh l hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB √ √ C l = a D l = 2a A l = a B l = a Bài 114: Một tơn hình tam giác S BC có độ dài cạnh 3; K trung điểm BC Người ta dùng compa lấy tâm S , bán kính S K vạch cung tròn MN Lấy phần hình quạt gò thành hình nón khơng có mặt đáy với đỉnh S , cung MN thành đường tròn đáy hình nón (hình vẽ) S N M B K Tính thể tích √ khối nón π 105 3π A B 64 32 C √ 3π C 32 √ π 141 D 64 Bài 115: Diện tích xung quanh hình nón tròn xoay ngoại tiếp √ tứ 2diện cạnh a √ 2 πa 2πa π 3a 2π 3a A S xq = B S xq = C S xq = D S xq = 3 3 Bài 116: Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng đáy) đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy người ta thả vào khối trụ đo 16π thể tích nước tràn dm3 Biết mặt khối trụ nằm mặt hình nón, điểm đường tròn đáy lại thuộc O đường sinh hình nón (như hình vẽ) khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón Diện tích xung quanh bình nước √ 9π 10 A dm2 S √ B 4π 10 dm2 C 4π dm2 3π D dm2 Bài 117: Trong không gian, tập hợp điểm M cách đường thẳng d cho trước khoảng không đổi Trang 14/?? A Một mặt trụ B Một mặt nón C Một mặt cầu D Hai đường thẳng song song Bài 118: Hình nón (Π) có đỉnh nằm mặt cầu (S ) đáy đường tròn lớn (S ) Tính thể tích khối cầu (S ) theo l, biết (Π) có đường sinh l √ A 2πl3 B 4πl3 C √ 2πl3 D √ 3πl3 Bài 119: Hình nón có đáy hình tròn bán kính R, chiều cao h Kết luận sau sai? A Góc đỉnh α = arctan Rh B Đường sinh hình nón l = √ h2 + R2 √ C Diện tích xung quanh S xq = πR R2 + h2 D Thể tích khối nón V = πR2 h Bài 120: Quay đường tròn quanh đường kính ta A Mặt cầu B Mặt xuyến C Mặt trụ D Mặt nón Bài 121: Trong hình nón (N) nội tiếp mặt cầu (S ) bán kính R (N) có đỉnh thuộc (S ) đáy đường tròn nằm hồn tồn (S ), tìm thể tích lớn (N) A 16πR3 81 B 32πR3 C 32πR3 81 D 64πR3 27 Bài 122: Mặt phẳng qua trục hình nón cắt hình nón theo thiết diện hình gì? A Đường elip B Đường tròn C Hình chữ nhật D Tam giác cân Bài 123: Trong hình nón có đỉnh đường tròn đáy nằm mặt cầu có bán kính 3cm, tính bán kính đáy hình nón tích lớn √ √ A 2cm B 2cm √ C 2cm D Kết khác Bài 124: Cho hình nón có bán kính đáy 4a, chiều cao 3a Diện tích xung quanh hình nón bằng? A 24πa2 B 20πa2 C 40πa2 D 12πa2 Bài 125: Một hình nón có đường sinh bán kính đáy Diện tích hình nón 9π Tính đường cao h hình nón √ A h = 3 √ B h = √ C h = √ D h = Trang 15/?? Bài 126: Cho tam giác ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH sinh hình nón Tính diện tích xung quanh hình nón √ πa2 A πa2 B C 2πa2 D πa2 Bài 127: Cho hình nón có chiều cao 3cm, góc trục đường sinh 60◦ Thể tích khối nón A 9πcm3 B 3πcm3 C 18πcm3 D 27πcm3 Bài 128: Cho hình nón có độ dài đường sinh 2cm, góc đỉnh 60◦ Diệ tích xung quanh hình nón A 3πcm2 B 6πcm2 C 2πcm2 D πcm2 Bài 129: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R điểm C thay đổi nửa đường tròn đó, đặt góc CAB = α gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm α cho thể tích vật tròn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn A α = 60◦ B α = 45◦ C α = arctan √ D α = 30◦ Bài 130: Trong không gian, tập hợp điểm M cách đường thẳng d cho trước khoảng không đổi A Một mặt trụ B Một mặt nón C Một mặt cầu D Hai đường thẳng song song Bài 131: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh b Đoạn thẳng AC quay xung quanh AA tạo hình nón tròn xoay Diện tích xung quanh S hình nón là: √ √ √ A πb2 B πb2 C πb2 D πb2 Trang 16/?? ĐÁP ÁN 76 A 82 A 88 D 94 D 100 D 106 A 112 C 118 A 124 B 130 A 77 D 83 A 89 C 95 D 101 D 107 D 113 D 119 D 125 A 131 A 78 C 84 A 90 C 96 D 102 A 108 D 114 A 120 A 126 D 79 B 85 A 91 C 97 D 103 B 109 A 115 C 121 C 127 D 80 A 86 A 92 B 98 D 104 B 110 D 116 B 122 D 128 C 81 A 87 A 93 C 99 B 105 D 111 D 117 A 123 D 129 C Trang 17/?? Chương 11 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 11.1 Kiến thức 11.1.1 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng −n ∗) Véc tơ → → − −n vng góc với gọi véc tơ pháp tuyến (vtpt) mặt phẳng (α) giá → mặt phẳng (α) ∗) Chú ý: −n véctơ pháp tuyến mặt phẳng (α) k→ −n (k • Nếu → 0) véctơ pháp tuyến mặt phẳng (α) • Một mặt phẳng hoàn toàn xác định biết điểm mà qua véc tơ pháp tuyến −u , → −v có giá song song với mặt phẳng (α) nằm mặt • Nếu hai véc tơ không phương → −n = → −u ,→ −v véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (α) phẳng (α) → 11.1.2 Phương trình tổng quát mặt phẳng ∗) Trong không gian Oxyz, phương trình tổng qt mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz + D = A2 + B2 + C ∗) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = có véctơ pháp tuyến → −n = (A; B; C) −n ∗) Phương trình mặt phẳng qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) nhận → làm véc tơ pháp tuyến phương trình tổng qt có dạng A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = ∗) Điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) thuộc mặt phẳng (α) có phương trình: Ax + By + Cz + D = Ax0 + By0 + Cz0 + D = 18 11.1.3 Các trường hợp riêng Xét mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = với A2 + B2 + C ∗) TH1: Nếu hệ số • Nếu D = mặt phẳng (α) có dạng: Ax + By + Cz = Mặt phẳng qua gốc O • Nếu A = 0; B 0; C mặt phẳng (α) có dạng: By + Cz + D = Khi mặt phẳng (α) Ox 0; C mặt phẳng (α) có dạng: Ax + Cz + D = Khi mặt phẳng (α) Oy 0; B mặt phẳng (α) có dạng: Ax + By + D = Khi mặt phẳng (α) Oz (α) ⊃ Ox • Nếu B = 0; A (α) ⊃ Oy • Nếu C = 0; A (α) ⊃ Oz ∗) TH2: Nếu hệ số A, B, C • Nếu A = B = 0; C, D mặt phẳng (α) có dạng: Cz + D = Mặt phẳng (α) (Oxy) • Nếu A = C = 0; B, D mặt phẳng (α) có dạng: By + D = Mặt phẳng (α) (Oxz) • Nếu B = C = 0; A, D mặt phẳng (α) có dạng: Ax + D = Mặt phẳng (α) (Oyz) Đặc biệt +) Mặt phẳng tọa độ (Oxy) có phương trình là: z = +) Mặt phẳng tọa độ (Oxz) có phương trình là: y = +) Mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình là: x = ∗) TH3: Nếu A, B, C, D khác ta đưa phương trình dạng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: x y z + + =1 a b c Mặt phẳng cắt trục tọa độ điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) 11.1.4 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α) là: d(M0 , (α)) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ A2 + B2 + C Nhận xét: Nếu cho hai mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D1 = (β) : Ax + By + Cz + D2 = song song với khoảng cách hai mặt phẳng xác định: Cách 1: Gọi M0 (x0 ; y0 ; z0 ) ∈ (α) Khi d((α); (β)) = d(M0 , (β)) = Cách 2: d((α); (β)) == √ |D1 − D2 | |Ax0 + By0 + Cz0 + D2 | √ A2 + B2 + C A2 + B2 + C Trang 19/?? 11.1.5 Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian với hệ trục tọađộ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (β) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = A1 B1 C1 D1 = = • (α) (β) ⇔ A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1 • (α) ≡ (β) ⇔ = = = A2 B2 C2 D2 • (α) ⊥ (β) ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = • (α) (β) cắt ⇔ A1 : B1 : C1 11.1.6 A2 : B2 : C2 Vị trí tương đối mặt phẳng đường thẳng Trong  không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = đường thẳng     x = x0 + u1 t       d: y = y0 + u2 t (t ∈ R)         z = z0 + u3 t Xét phương trình hồnh độ giao điểm: A(x0 + u1 t) + B(y0 + u2 t) + C(z0 + u3 t) + D = (1) • Nếu phương trình (1) vơ nghiệm d (α) • Nếu phương trình (1) vơ số nghiệm d ⊂ (α) • Nếu phương trình (1) có nghiệm t0 d cắt (α) điểm M0 (x0 + u1 t0 ; y0 + u2 t0 ; z0 + u3 t0 ) 11.1.7 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = mặt cầu √ (S ) : x2 + y2 − 2ax − 2by − 2cz + d = (có tâm I(a; b; c) bán kính R = a2 + b2 + c2 − d) Gọi OH khoảng cách từ tâm I(a; b; c) mặt cầu (S ) đến mặt phẳng (α) xác định công thức: OH = d(I, (α)) = |Aa + Bb + Cc + D| √ A2 + B2 + C Khi xảy trường hợp sau • TH1: Nếu OH > R mặt phẳng (α) mặt cầu (S ) khơng có điểm chung • TH2: Nếu OH = R mặt phẳng (α) tiếp xúc mặt cầu (S ) điểm H giao điểm đường thẳng ∆ qua I, H mặt cầu (S ) • TH3: Nếu OH < R mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S ) theo đường tròn giao tuyến có tâm hình √ chiếu vng góc I lên mặt phẳng (α) bán kính r = R2 − OH Trang 20/?? 11.2 Các dạng tốn 11.2.1 Viết phương trình tổng qt mặt phẳng (α) Dạng 1: Đi qua điểm có véctơ pháp tuyến Dạng 2: Đi qua điểm có véc tơ có giá song song song nằm mặt phẳng Dạng 3: Đi qua điểm khơng thẳng hàng 11.2.2 Xét vị trí tương đối (α) với đường thẳng d 11.2.3 Xét vị trí tương đối (α) với mặt cầu (S ) 11.2.4 Tìm điểm hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng (α) 11.2.5 Tìm điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng (α) BÀI TẬP MẪU Bài 132: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (α): −n = (3; −5; 1) làm véc tơ pháp tuyến qua M(−1; 3; 2) nhận → qua M(−1; 3; 2) song song với mặt phẳng (β) : 4x + x − 7z − =      x=2+t       qua M(−1; 3; 2) vng góc với đường thẳng d :  y = − 3t (t ∈ R)         z = 5t LỜI GIẢI 1) Phương trình tổng quát mặt phẳng (α) là: 3x − 5y + z + 16 = 2) Ta có: − n−→ = (4; 1; −7) véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (β) (β) −n = (4; 1; −7) làm véc tơ pháp tuyến Vì mặt phẳng (α) (β) nên mặt phẳng (α) nhận → Phương trình tổng quát mặt phẳng (α) : 4x + y − + 15 = − 3) Ta có → u = (1; −3; 5) véc tơ phương đường thẳng d d −n = (1; −3; 5) làm véc tơ Vì đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α) nên mặt phẳng (α) nhận → pháp tuyến Vậy phương trình tổng quát mặt phẳng (α): x − 3y + 5z = Bài 133: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (α): qua M(−1; 3; 2), N(0; 1; −2) vng góc với mặt phẳng (β) : x + y − 4z − = qua M(−1; 3; 2) chứa trục Ox Trang 21/?? qua M(−1; 3; 2) vng góc với hai mặt phẳng (P) : x + y − 2z − = (Q) : −2x + 5y − z+2=0      x = + 3t       chứa đường thẳng d :  y=2−t         z = − t vng góc với mặt phẳng (β) : 3x − y − = LỜI GIẢI −−−→ − 1) Ta có MN = (1; −2; −4) → nβ = (1; 1; −4) không phương    −2 −4 −4 1 −2  −−−→ −−→  = (12; 0; 3) = 3(4; 0; 1) ; Khi MN; n(β) =  ;  −4 −4 1  − Mặt phẳng (α) qua N nhận → nα = (4; 0; 1) véc tơ pháp tuyến nên phương trình tổng qt có dạng: 4x + z + = → − −−→ 2) Cách 1: Ta có i = (1; 0; 0) OM = (−1; 3; 2) không phương      0 1  → − −−→ → −  = (0; −2; 3) véc tơ pháp tuyến (α) Khi nα = i ; OM =  ; ;  2 −1 −1  Phương trình tổng qt có dạng: 2y − 3z = Cách 2: Vì mặt phẳng (α) chứa trục Ox nên phương trình có dạng: y + bz = 3 Vì M(−1; 3; 2) ∈ (α) nên + 2b = ⇒ b = − tức là: (α) : y − z = ⇔ 2y − 3z = 2 −−→ 3) Ta có − n−→ (P) = (1; 1; −2) n(Q) = (−2; 5; −1) không phương − Khi → n = − n−→; − n−→ = (9; 5; 7) véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (α) α (P) (Q) Phương trình tổng quát có dạng: 9x + 5y + 7z − 20 = − 4) Ta có → u = (3; −1; −1) − n−→ = (3; −1; 0) không phương d (β) − − Khi → nα = → ud ; − n−→ (β) = (−1; −3; 0) véctơ pháp tuyến (α) Vì mặt phẳng (α) ⊃ d nên Md (1; 2; 1) ∈ (α) Phương trình tổng qt có dạng: x + 3y − = Bài 134: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 0; 0), B(0; −1; 0), C(0; 0; 4), D(−1; 2; 2) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) Từ chứng minh A, B, C, D đỉnh tứ diện Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (α) qua cạnh AB song song với cạnh CD Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng (ABC) Tìm tọa độ điểm D điểm đối xứng với D qua mặt phẳng (ABC) LỜI GIẢI 1) Cách Vì A ∈ Ox, B ∈ Oy, C ∈ Oz nên phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng: x y z + + = ⇔ 2x − 4y + z − = −1 Trang 22/?? −−→ −−→ Cách Ta có AB = (−2; −1; 0) AC = (−2; 0; 4) Khi    4 −2 −2  − − → − − → − −−→ = AC; AB =   = (4; −8; 2) véc tơ pháp tuyến (ABC) ; ; n−(ABC)  −1 0 −2 −2 −1  Phương trình tổng qt có dạng: 2x − 4y + z − = Lưu ý: Cách áp dụng trường hợp đặc biệt điểm phải nằm trục tọa độ Do cách cách thơng dụng nên áp dụng Thay tọa độ điểm D(1; 2; 2) vào mặt phẳng (ABC) ta thấy: 2.1 − 4.2 + − = −8 (ABC) Chứng tỏ A, B, C, D đỉnh tứ diện −−→ −−→ 2) Ta có AB = (−2; −1; 0) CD = (−1; 2; −2) Khi   −1 0 −2 −2 −1  −−→ −−→ −   ; n−→ (α) = AB; AC =   −2 −2 −2 −1 ; −1  = (2; −4; −5) véc tơ pháp tuyến (α) Phương trình tổng quát có dạng: 2x − 4y − 5z − = ⇒D 3) Gọi đường thẳng ∆ qua  D vng góc với mặt phẳng (ABC)     x = + 2t       nên phương trình có dạng:  y = − 4t (t ∈ R)         z = + t Gọi H(x; y; z) hình chiếu vng góc D lên (ABC) H giao điểm mặt phẳng (ABC) đường thẳng ∆,  tọa độ nghiệm     x = + 2t  37       x=       21       y = − 4t  10 hệ phương trình  ⇔ y=       21   z = + t     50      z =    21 2x − 4y + z − = Do H 37 10 50 ; ; 21 21 21 4)  Gọi D điểm đối xứng D qua mặt phẳng (ABC) nên H trung điểm DD 53 xD + xD       x x   D = 2xH − xD = H =     21       53 22 58   yD + yD 22 ⇔ Do D ;− ;−  y = y = 2y − y = − H D H D     21 21 21   21       z + zD 58     zD = 2zH − zD = − zH = D 21 SỬ DỤNG MTCT ĐỂ TÌM TỌA ĐỘ HÌNH CHIẾU VNG GĨC Bài tốn: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(a; b; c) mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc A lên (α)? Bước 1: Nhập phương trình: A(a + AX) + B(b + BX) + C(c + CX) + D = (1) Bước 2: Giải phương trình (1) chức shift solve Tìm nghiệm X, từ suy tọa độ hình chiếu H(a + AX; b + BX; c + CX) Ví dụ 1: Tìm hình chiếu vng góc D(1; 2; 2) lên mặt phẳng (α) : 2x − 4y + z − = 0? HƯỚNG DẪN BẤM MÁY Bước 1: Nhập phương trình: 2.(1 + 2X) − 4.(2 − 4X) + 1.(2 + X) − = Trang 23/?? 37 10 50 ⇒H ; ; 21 21 21 21 Ví dụ 2: Tìm hình chiếu vng góc A(1; 2; 1) lên mặt phẳng (α) : x + y − 2z + = 0? Bước 2: Bấm Shift Solve ta X = HƯỚNG DẪN BẤM MÁY Bước 1: Nhập phương trình: 1.(1 + X) + 1.(2 + X) − 2(1 − 2X) + = Bước 2: Bấm Shift Solve ta X = −1 ⇒ H(0; 1; 3) Ví dụ 3: Tìm hình chiếu vng góc M(1; 4; 2) lên mặt phẳng (α) : x + y + z − = 0? HƯỚNG DẪN BẤM MÁY Bước 1: Nhập phương trình: 1.(1 + X) + 1.(4 + X) + (2 + X) − = Bước 2: Bấm Shift Solve ta X = −2 ⇒ H(−1; 2; 0) Ví dụ 4: Tìm hình chiếu vng góc M(1; −1; 2) lên mặt phẳng (α) : 2x − y + 2z + 11 = 0? HƯỚNG DẪN BẤM MÁY Bước 1: Nhập phương trình: 2.(1 + 2X) − 1.(−1 − X) + 2(2 + 2X) + 11 = Bước 2: Bấm Shift Solve ta X = −2 ⇒ H(−3; 1; −2) 11.3 Bài tập tự luyện Bài 135: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua điểm M(−1; 2; 0) nhận −n = (−1; 0; 2) có phương trình là: véc tơ pháp tuyến → A −x + 2z − = B −x + 2z − = C −x + 2y − = D x + 2y − = Bài 136: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua điểm M(−2; 2; 0) nhận −n = (1; 0; 5) có phương trình là: véc tơ pháp tuyến → A −x − 5z + = B x − 5z − = C x − 5y + = D x − 5z + = Bài 137: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 2y + z − = Phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) có dạng A 2x + y + 2z + D = 0; D −3 B 2x + 2y + z + D = 0; D C x + 2y + 2z + D = 0; D −3 D 2x + 2y − 3z + D = 0; D −3 −3 Bài 138: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua M(2; 1; −2) song song với mặt phẳng (Q): 2x − y + 3z + = A 2x − y + 2z − 11 = B 2x − y + 3z − 11 = C 2x − y + 3z + 11 = D 2x − y + 3z − = Trang 24/?? Bài 139: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua M(0; 0; 1) song song với mặt phẳng (Q): x − y − 2z + = A x − y − 2z + = B x − y − 2z − = C x − y − 2z + = D x − y − 2z + = Bài 140: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (α) qua M(1; 1; 1) vuông góc x−1 y+2 z+4 = = có phương trình với đường thẳng d: A 2x − 3y + z − = B 2x − 3y + z + = C 2x + 3y + z − = D 2x + 3y + z + = Bài 141: Trong không  gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (α) qua M(3; 2; −5) vng góc     x = + 2t       với đường thẳng d:  y = −1 + t , (t ∈ R) có phương trình là:         z = A 2x + y − = B 2x + y + z − = C 2x − y − = D 2x + y − = Bài 142: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 2; −5), B(−3; 0; −1) Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB A 3x + y − 2z − = B 3x + y − 2z − 21 = C 3x + y + 2z − 21 = D 3x + y − 2z + = Bài 143: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 3; 7), B(4; 1; 3) Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB A x + y − 2z + = B x − y − 2z − = C x − y − 2z + = D x − y + 2z + = Bài 144: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(−1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; −2) Phương trình mặt phẳng (ABC) A −2x − y − z + = B −2x + y − z − = C −2x + y + z − = D −2x + y − z + = Bài 145: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 1; −8), B(3; 2; −5), C(−2; 1; 0) Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) −n = (1; 30; 7) A → −n = (1; −15; 1) C → −n = (1; 15; −1) B → −n = (−2; 30; 2) D → Trang 25/??      x=1+t       Bài 146: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :  y=2         z = − t x+1 y z−2 = = Phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 song song với d2 là: A x − 5y + z − 12 = B x − 5y + z − = C x − z + = d2 : D x − 5y + z + = y−1 z+2 x−2 x−3 = = d2 : = Bài 147: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : −1 2 y−4 z−1 = Phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 song song với d2 là: −1 −2 A 2y − 4y + 5z + = B 2x + 4y − 5z + = C 2x + 4y + 5z + = D 2x − 4y + 5z − = Bài 148: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) qua M(1; 0; 2) song song với hai đường thẳng x y−1 z+1 x−1 y+1 z−2 d1 : = = d2 : = = Phương trình tổng quát mặt phẳng (P) là: −1 A 3y − 4y + 5z − 13 = B 3x + 4y + 5z − 13 = C 2x + 3y + 5z − 12 = D 2x − 3y + 5z − 12 = Bài 149: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (β) : 2x + y − z = đường x−1 y z+1 thẳng d : = = Phương trình mặt phẳng (α) chứa d vng góc với mặt phẳng (β) là: 2 A x − 2y + z = B x + 2y − = C x + y + z = D x − 2y − = Bài 150: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (β) : x − 2y + 2z − = đường x−1 y−3 z thẳng d : = = Phương trình mặt phẳng (α) chứa d vng góc với mặt phẳng (β) −3 là: A 2x − 2y + z − = B 2x − 2y + z + = C 2x + 2y + z − = D 2x + 2y − z − = Bài 151: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi mặt phẳng (α) qua M(3; −1; −5) vng góc với hai mặt phẳng (P) : 3x − 2y + 2z + = 0; (Q) : 5x − 4y + 3z + = Phương trình tổng quát mặt phẳng (α) là: A 2x + y − 2z + 15 = B 2x + y − 2z − 15 = C 2x + y + 2z − 15 = D 2x − y − 2z − 15 = Bài 152: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi mặt phẳng (α) qua gốc tọa độ vng góc với hai mặt phẳng (P) : 3x − 2y + 2z + = 0; (Q) : x − 4y + 3z + = Phương trình tổng quát mặt phẳng (α) là: Trang 26/?? A 2x + 7y − z = B 2x + y − 2z = C 2x − 7y − 10z = D 2x − y − 2z − 10z = Bài 153: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; 0), B(2; 3; 1) mặt phẳng (P) : x + 2y − z = Phương trình tổng quát mặt phẳng (α) qua A, B vng góc (P) là: A 4x − 3y − 2z + = B 4x − 3y − 2z − = C 4x − 3y + 2z + = D 4x + 3y − 2z − = Bài 154: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−2; 1; 3), B(−1; 2; 1) mặt phẳng (P) : 2x − 3y + z − = Phương trình tổng quát mặt phẳng (α) qua A, B vng góc (P) là: A x + y + z − = B x − y + z = C −x + y − z + = D 5x + y + z + = Bài 155: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : 2x+my+3z−5 = (Q) : nx−8y−6z+2 = Xác  định m, n để hai mặt phẳng  song song         m = −4 m = B A         n = −4 n = −4      m = C     n =      m = −4 D     n = Bài 156: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; −3; 1) hai mặt phẳng (P) : 2x − my + 3z + m + = (Q) : (m + 3)x − 2y − (5m + 1)z − 10 = Xác định m để hai mặt phẳng song song A B C −3 D −1 Bài 157: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; −3; 1) (P) : −x + 2y + z + = Tọa độ hình chiếu vng góc M lên (P) là: A H(1; −2; −2) B H(1; −1; 2) C H(1; 0; 0) D H(0; −3; 1) Bài 158: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,tọa độ cho điểm M(1; 1; 1) (Oyz) Tọa độ hình chiếu vng góc M lên (P) là: A H(0; 0; 1) B H(1; 0; 1) C H(1; 0; 0) D H(0; 1; 1) Bài 159: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Khoảng cách hai mặt phẳng (P) : 2x + 4y + 4z + = (Q) : x + 2y + 2z + = là: A B C D Trang 27/?? Bài 160: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Cho mặt phẳng (α) : 3x − 2y − z + = đường x−1 y−7 z−3 thẳng ∆ : = = Gọi mặt phẳng (β) chứa đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) Khoảng cách hai mặt phẳng (α) (β) là: 3 B √ C D √ A 15 14 14 14 Bài 161: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Cho mặt cầu (S ) : (x−12)2 +(y−2)2 +(z+3)2 = Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S ) điểm A(2; 3; −2) A x + y + z − = B x + 3y + z − = C x − 2y + 3z + 10 = D x + y + 3z + = ĐÁP ÁN 135 A 138 B 141 A 144 B 147 A 150 C 153 A 156 B 159 C 136 A 139 A 142 A 145 A 148 A 151 B 154 A 157 B 160 B 137 B 140 D 143 C 146 D 149 D 152 C 155 A 158 C 161 A Trang 28/?? ... LATEX".1 Mục tiêu nhóm Hỗ trợ giáo viên Toán tiếp cận với LATEX soạn thảo tài liệu Tốn nói chung đề thi trắc nghiệm LATEX nói riêng với cấu trúc gói đề thi trắc nghiệm ex_test tác giả Trần Anh Tuấn,... y = có nghiệm Từ (*) suy y = có nghiệm phân b b − ≤ ⇔ ≥ Khi đó, nghiệm y = x = 2a a Từ bảng bảng biến thiên hàm số, xét xem khoảng đồng biến hay nghịch biến toán cho phù hợp với khoảng nghiệm. .. số giao điểm đồ thị với trục hoành kết suy lựa chọn tương tự.) 1.2.3 Bài toán biến thiên hàm bậc 3: Khi gặp toán trắc nghiệm liên quan tới biến thiên hàm số bậc cần hình dung hàm số đề cập đến